Çèìîâåö Àðòåì Àíàòîëüåâè÷, Óðàëüñêèé ôåäåðàëüíûé óíèâåðñèòåò, ã. Åêàòåðèíáóðã,

ISSN 1810-0198. Âåñòíèê ÒÃÓ, ò. 16, âûï. 4, 2011
Çèìîâåö Àðòåì Àíàòîëüåâè÷, Óðàëüñêèé ôåäåðàëüíûé óíèâåðñèòåò, ã. Åêàòåðèíáóðã,
Ðîññèéñêàÿ Ôåäåðàöèÿ, àñïèðàíò, e-mail: [email protected].
ÓÄÊ 517.911.5
ÏÐÈÍÖÈÏ ÊÂÀÇÈÈÍÂÀÐÈÀÍÒÍÎÑÒÈ ÄËß ÍÅÀÂÒÎÍÎÌÍÛÕ
ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÂÊËÞ×ÅÍÈÉ
c È. À. Ôèíîãåíêî
Êëþ÷åâûå ñëîâà
: ôóíêöèîíàëüíî äèôôåðåíöèàëüíîå âêëþ÷åíèå, ôóíêöèîíàë Ëÿïóíî-
âà, êâàçèèíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî, ïðèíöèï èíâàðèàíòíîñòè.
Äëÿ
íåàâòîíîìíûõ
ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ
ñâîéñòâî êâàçèèíâàðèàíòíîñòè
âêëþ÷åíèé
óñòàíàâëèâàåòñÿ
ω -ïðåäåëüíûõ ìíîæåñòâ è àíàëîã ïðèíöèïà èíâàðèàíò-
íîñòè Ëà-Ñàëëÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà ñî çíàêîïîñòîÿííîé ïðîèçâîäíîé.
Ïóñòü Rn n -ìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé · , τ > 0 ïðîèçâîëüíîå
âåùåñòâåííîå ÷èñëî, Cτ ïðîñòðàíñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé φ(·) , îïðåäåëåííûõ
íà îòðåçêå [−τ, 0] è ñî çíà÷åíèÿìè â Rn , ñ îáû÷íîé sup-íîðìîé φ(·)C . Äëÿ íåïðåðûâíîé
ôóíêöèè x : [α − τ, β) → Rn ôóíêöèÿ xt (·) ∈ Cτ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì xt (θ) = x(t + θ) ,
−τ θ 0 . Ðàññìàòðèâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíîå âêëþ÷åíèå:
ẋ ∈ F (t, xt (·)),
(1)
ãäå F : R1 × Cτ → Rn ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî ñäåëàåì ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ.
A1. Äëÿ êàæäûõ (t, φ(·)) ìíîæåñòâî F (t, φ(·)) íåïóñòî, âûïóêëî è êîìïàêòíî.
A2. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F (t, φ(·)) ïîëóíåïðåðûâíî ñâåðõó ïî ïåðåìåííîé φ(·)
ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî t .
A3. Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè φ(·) ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F (·, φ(·)) èìååò èçìåðèìûé
ñåëåêòîð.
A4. Äëÿ âñåõ (t, φ(·)) , f ∈ F (t, φ(·)) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî: f L(1 + φ(·)C ) ñ
íåêîòîðîé êîíñòàíòîé L > 0 .
×åðåç F a (t, φ(·)) îáîçíà÷àåòñÿ ñäâèã ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F (t, φ(·)) íà âåëè÷èíó
a > 0 , îïðåäåëåííûé ðàâåíñòâîì F a (t, φ(·)) = F (t + a, φ(·)) . Ïðåäåëüíîå ìíîãîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå îòíîñèòåëüíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè tn → +∞ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
F (t, φ(·)) = ∩n>1 co ∪k>n F (t + tk , φ(·)).
(Çäåñü co çíàê âûïóêëîé çàìêíóòîé îáîëî÷êè ìíîæåñòâà).  äàëüíåéøåì ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêæå ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ
ẋ ∈ F (t, φ(·)).
(2)
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî G ⊂ Cτ êâàçèèíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî âêëþ÷åíèÿ (1),
åñëè äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ψ(·) ∈ G ñóùåñòâóåò ðåøåíèå y(t) âêëþ÷åíèÿ (2) ñ íåêîòîðîðûì
1205
ISSN 1810-0198. Âåñòíèê ÒÃÓ, ò. 16, âûï. 4, 2011
ïðåäåëüíûì ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì F (t, φ(·)) â ïðàâîé ÷àñòè, òàêîå, ÷òî y0 (·) = ψ(·)
è yt (·) ∈ G äëÿ âñåõ t 0 .
Ë å ì ì à 1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé A1−A4 ω -ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî Λ+ (x) ëþ-
áîãî îãðàíè÷åííîãî ðåøåíèÿ x(t) âêëþ÷åíèÿ (1) íåïóñòî, êîìïàêòíî, ñâÿçíî, êâàçèèíâàðèàíòíî è d(xt (·), Λ+(x)) → 0 ïðè t → +∞ , ãäå d îçíà÷àåò ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî
ìíîæåñòâà â ïðîñòðàíñòâå Cτ .
Ò å î ð å ì à 1. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ A1−A4, x(·) îãðàíè÷åííîå ðåøåíèå
âêëþ÷åíèÿ (1) ñ ω -ïðåäåëüíûì ìíîæåñòâîì Λ+ (x) . Ïðåäïîëîæèì ñëåäóþùåå.
1. Ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíûé, èíâàðèàíòíî äèôôåðåíöèðóåìûé ôóíêöèîíàë [1]
V (t, x, φ(·)) , îãðàíè÷åííûé ñíèçó è ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé t íåïðåðûâíûé
ïî ïåðåìåííûì (x, φ(·)) íà êàæäîì ìíîæåñòâå âèäà R1 × K[0] × K , ãäå K ⊂ Cτ êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, K[0] = {φ(0) : φ(·) ∈ K} .
2. Ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííûé è ðàâíîìåðíî ïî ñîâîêóïíîñòè àðãóìåíòîâ íåïðåðûâíûé
íà êàæäîì ìíîæåñòâå âèäà R1 × K ôóíêöèîíàë w(t, φ(·)) 0 , òàêîé ÷òî äëÿ âñåõ
(t, φ(·)) ∈ R1 × Cτ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:
V̇ + (t, φ(·)) −w(t, φ(·)),
V̇ + âåðõíÿÿ
(t, φ(0), φ(·)) .
ãäå
ïðàâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèîíàëà
V
â ñèëó âêëþ÷åíèÿ
(1)
â òî÷êå
Òîãäà äëÿ êàæäîé ôóíêöèè ψ(·) ∈ Λ+(x) ñóùåñòâóþò ïðåäåëüíûå îòîáðàæåíèÿ
V w , F ( ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîé è òîé æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè tn → +∞) è ðåøåíèå y(·) âêëþ÷åíèÿ (1) ñ íà÷àëüíîé ôóíêöèåé y0 = ψ(·) òàêîå, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ
ñîîòíîøåíèÿ:
,
äëÿ âñåõ
ψ(·) ∈
t 0,
Λ+ (x)
.
yt (·) ∈ Λ+ (x), V (t, y(t), yt (·)) = c, w (t, yt (·)) = 0
ãäå
c
íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, îäíà è òà æå äëÿ âñåõ ôóíêöèé
 óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî ðåøåíèÿ x(·)
âêëþ÷åíèÿ (1) ìíîæåñòâî Λ+(x) ïðèíàäëåæèò íàèáîëüøåìó êâàçèèíâàðèàíòíîìó ìíîæåñòâó èç ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ
Ñ ë å ä ñ ò â è å 1.
EV = {ψ(·) : V ∗ (0, ψ(0), ψ(·)) = c}, Ew = {ψ(·) : w∗ (0, ψ(·)) = 0},
ãäå V ∗(t, x, ψ(·)) = lima→+∞ V (t + a, x, ψ(·)) , w∗(t, ψ(·)) = lima→+∞ w(t + a, ψ(·)) . Ïðè ýòîì
âñå ïðåäåëüíûå ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ F (t, ψ(·)) â ïðàâîé ÷àñòè âêëþ÷åíèÿ (2) ìîãóò áûòü çàìåíåíû íà íàèáîëüøåå ïî âêëþ÷åíèþ ïðåäåëüíîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
F ∗ (t, φ(·)) = ∩b>0 co ∪a>b F (t + a, φ(·)) .
 çàêëþ÷åíèå óêàæåì íà îáçîðíóþ ñòàòüþ [2], ãäå èçëîæåíû ðåçóëüòàòû è ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ïðîáëåìû èíâàðèàíòíîñòè äëÿ íåàâòîíîìíûõ ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ẋ = f (t, xt (·)) .
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 10 àïðåëÿ 2011 ã.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
1.
Êèì À.Â. i-ãëàäêèé àíàëèç è ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Åêàòåðèíáóðã: ÈÌÌ
ÓðÎ ÐÀÍ, 1996. 233 ñ.
2.
Àíäðååâ À.Ñ. Ìåòîä ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà â çàäà÷å îá óñòîé÷èâîñòè ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé. // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 2009.  9. Ñ.455.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 10 àïðåëÿ 2011 ã.
1206
ISSN 1810-0198. Âåñòíèê ÒÃÓ, ò. 16, âûï. 4, 2011
ÁËÀÃÎÄÀÐÍÎÑÒÈ: Ðàáîòà ïîääåðæàíà ÑÎ ÐÀÍ, ìåæäèñöèïëèíàðíûé ïðîåêò  107
è Ðîññèéñêèì ôîíäîì ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé (ãðàíò  100100132).
Finogenko I.A. Principle of quasiinvariance for nonautonomous functional-dierential inclusions. For nonautonomous functional-dierential inclusions property of quasiinvariance for
ω -limiting sets and analogue of a principle of invariancy La-Salle by use of Lyapunov functional
with constant sign derivative is established.
Key words: functional dierential inclusion; Lyapunov functional; quasiinvariant set; a principle of invariancy; asymptotic stability.
Ôèíîãåíêî Èâàí Àíàòîëüåâè÷, Èíñòèòóò äèíàìèêè ñèñòåì è òåîðèè óïðàâëåíèÿ ÑÎ
ÐÀÍ, ã. Èðêóòñê, Ðîññèéñêàÿ Ôåäåðàöèÿ, äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, çàâåäóþùèé
ëàáîðàòîðèåé, e-mail: [email protected].
ÓÄÊ 519.853
ÌÅÒÎÄÛ ÍÅÂÛÏÓÊËÎÉ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ Ñ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÌÈ
ÎÏÎÐÍÛÌÈ ÔÓÍÊÖÈßÌÈ
c Î.Â. Õàìèñîâ
Êëþ÷åâûå ñëîâà
: îïîðíàÿ ôóíêöèÿ; êàñàòåëüíàÿ îïîðíàÿ ôóíêöèÿ; íåäèôôåðåíöèðóå-
ìàÿ îïòèìèçàöèÿ.
Äëÿ ìèíèìèçàöèè íåâûïóêëîé íåäèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè íà âûïóêëîì êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå ïðåäëàãàåòñÿ è îáîñíîâûâàåòñÿ èòåðàöèîííàÿ ïðîöåäóðà, íà êàæäîè
øàãå êîòîðîé ðåøàåòñÿ âñïîìîãàòåëüíàÿ çàäà÷à âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
Ïóñòü äàíû ìíîæåñòâî X ⊂ Rn è ôóíêöèÿ f : X → R.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f èìååò âîãíóòóþ îïîðíóþ
ôóíêöèþ-ìèíîðàíòó è âûïóêëóþ îïîðíóþ ôóíêöèþ-ìàæîðàíòó íà ìíîæåñòâå X, åñëè ñóùåñòâóþò ôóíêöèè ψ : Rn × X → R è ϕ : Rn × X → R òàêèå, ÷òî
1) ψ(·, y) íåïðåðûâíà è âîãíóòà;
2) ϕ(·, y) íåïðåðûâíà è âûïóêëà;
3) ψ(x, y) f (x) ϕ(x, y) ∀(x, y) ∈ X × X ;
4) ϕ(y, y) = f (y) = ψ(y, y) ∀y ∈ X.
Ôóíêöèþ ψ áóäåì íàçûâàòü îïîðíîé ôóíêöèåé-ìèíîðàíòîé, à ôóíêöèþ ϕ îïîðíîé
ôóíêöèåé-ìàæîðàíòîé.
1, X Ò å î ð å ì à 1. Ïóñòü f è fi , i = 1, . . . , m, m > 1 óäîâëåòâîðÿþò îïðåäåëåíèþ
m
êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî è
p(x) = f1 (x) · f2 (x) · . . . · fm (x)
Òîãäà ôóíêöèè s(x) = λi fi(x), (λi ∈ R),
i=1
òàêæå óäîâëåòâîðÿþò îïðåäåëåíèþ 1.
f (x) > 0 ∀x ∈ X.
è
r(x) =
1
f (x)
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 ïðèâåäåíî â [1].
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ïóñòü f óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ 1. Âûïóêëóþ îïîðíóþ
ôóíêöèþ-ìàæîðàíòó ϕ áóäåì íàçûâàòü âûïóêëîé êàñàòåëüíîé ôóíêöèåé-ìàæîðàíòîé, åñëè
ϕ(x, y) − f (x) = oϕ (x − y),
1207