2. Комбинаторика-1

2. Êîìáèíàòîðèêà-1
2.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ
Èñïîëüçóåòñÿ êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A çàäàåòñÿ ôîðìóëîé:
|A|
÷èñëî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ ,
P(A) =
=
|Ω|
îáùåå ÷èñëî èñõîäîâ
ïðè ýòîì áëàãîïðèÿòíûìè íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàðíûå èñõîäû, ñîñòàâëÿþùèå ñîáûòèå A. Ïîäñ÷åò ÷èñëà èñõîäîâ ïðîèçâîäèòñÿ ïî ïðàâèëàì êîìáèíàòîðèêè è áàçîâûì ôîðìóëàì äëÿ ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê Pn = n!, ðàçìåùåíèé
n!
n!
k
, Ākn = nk è ñî÷åòàíèé Cnk = k!(n−k)!
, C̄nk = Cn+k−1
.
Akn = (n−k)!
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ñòîèò ïîÿñíèòü, äåéñòâèòåëüíî ëè ýëåìåíòàðíûå
èñõîäû ðàâíîâåðîÿòíû.
2.2. Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå
Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ñëîâ ìîæíî ñîñòàâèòü èç ñëîâà ¾ìàòåìàòèêà¿ ñ ïîìîùüþ ïåðåñòàíîâîê áóêâ?
151 200.
×òî âåðîÿòíåå, òî, ÷òî øåñòèçíà÷íûé íîìåð àâòîáóñíîãî áèëåòà ñîäåðæèò öèôðó 5, èëè ÷òî íå ñîäåðæèò åå? Íàéòè ýòè âåðîÿòíîñòè. Çàìå÷àíèå:
íîìåðà 000 000 íå áûâàåò.
≈ 0.531 è ≈ 0.469.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òðåõçíà÷íûé íîìåð ñëó÷àéíî âçÿòîãî àâòîìîáèëÿ â áîëüøîì ãîðîäå ñîñòîèò
à) èç îäèíàêîâûõ öèôð; á) èç ðàçíûõ öèôð?
Çàìå÷àíèå: íîìåðà 000 íå áûâàåò.
à) ≈ 0.009; á) ≈ 0.721.
Íà øàõìàòíîé äîñêå ñòîÿò 2 ëàäüè. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíè íå
áüþò äðóã äðóãà? Ðåøèòü òó æå çàäà÷ó äëÿ n ëàäåé.
7/9 (äëÿ äâóõ ëàäåé).
Èç ïîëíîé êîëîäû äëÿ èãðû â ïðåôåðàíñ (32 êàðòû) âûòÿíóëè 10 êàðò.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè ýòèõ êàðò åñòü
à) õîòÿ áû îäèí òóç;
á) ðîâíî îäèí òóç;
â) íå ìåíåå äâóõ òóçîâ;
ã) ðîâíî äâà òóçà?
1.
Îòâåò.
2.
Îòâåò.
3.
Îòâåò.
4.
Îòâåò.
5.
1
à) ≈ 0.797; á) ≈ 0.428; â) ≈ 0.368; ã) ≈ 0.289.
Ó÷àñòíèêè ïîêóïàþò áèëåòû, íà êîòîðûõ íàïèñàíî íåñêîëüêî ÷èñåë îò 1 äî 90. Ñòîèìîñòü îäíîãî áèëåòà íå çàâèñèò îò
êîëè÷åñòâà íàïèñàííûõ íà íåì ÷èñåë.  äåíü ðîçûãðûøà èç ìåøêà ñ æåòîíàìè, ïîìå÷åííûìè ÷èñëàìè îò 1 äî 90, âûíèìàþò 5 æåòîíîâ. Âûèãðûâàþò
òå áèëåòû, íà êîòîðûõ âñå íàïèñàííûå ÷èñëà ñîäåðæàòñÿ ñðåäè âûòÿíóòûõ
æåòîíîâ. Ïðè ýòîì îñóùåñòâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå âûïëàòû ïî âûèãðûøíûì
áèëåòàì:
• ñ îäíèì ÷èñëîì 15 ñòîèìîñòåé áèëåòà;
• ñ äâóìÿ ÷èñëàìè 270 ñòîèìîñòåé áèëåòà;
• ñ òðåìÿ ÷èñëàìè 5500 ñòîèìîñòåé áèëåòà;
• ñ ÷åòûðüìÿ ÷èñëàìè 75 000 ñòîèìîñòåé áèëåòà;
• ñ ïÿòüþ ÷èñëàìè 1 000 000 ñòîèìîñòåé áèëåòà.
Ðàññ÷èòàéòå äîõîäíîñòü ýòîé ëîòåðåè.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷åòûðåõçíà÷íîå ÷èñëî, êîòîðîå ìîæåò ñîäåðæàòü òîëüêî öèôðû 1, 2, 3, 4, 5 (ìîæåò íå ðàç), äåëèòñÿ íà 4?
1/5.
Îòâåò.
6. Ãåíóýçñêàÿ ëîòåðåÿ.
7.
Îòâåò.
2.3. Äîìàøíåå çàäàíèå
Èç ïîëíîé êîëîäû â 36 êàðò âûòÿãèâàþò 2 êàðòû. Íàéòè âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî
à) âñå êàðòû îäíîãî öâåòà; á) âñå êàðòû ðàçíûõ öâåòîâ?
Ðåøèòü òó æå çàäà÷ó äëÿ 4 êàðò.
Äëÿ äâóõ êàðò à) 17/35; á) 18/35. Äëÿ ÷åòûðåõ êàðò à) 8/77; á) 0.
Íàäî ïîñëàòü 6 ñðî÷íûõ ïèñåì. Êàæäîå èç ïèñåì ìîæíî âðó÷èòü îäíîìó
èç 3 êóðüåðîâ. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü? Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êàæäûé êóðüåð ïîëó÷èò ïî êðàéíåé ìåðå îäíî ïèñüìî?
729, 20/27.
Ñíà÷àëà íàéòè, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûäàòü âñå ïèñüìà
îäíîìó êóðüåðó; ïîòîì îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ïèñüìà
ìîæíî ðàñïðåäåëèòü ìåæäó äâóìÿ êóðüåðàìè.
 óðíå 10 áåëûõ, 20 ÷åðíûõ è 30 êðàñíûõ øàðîâ. Íàóäà÷ó âûíèìàþòñÿ
òðè øàðà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî âñå îíè áóäóò
à) ðàçíîãî öâåòà; á) îäíîãî öâåòà?
à) 300/1711; á) 266/1711.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ãðóïïå èç n ÷åëîâåê ó êîãî-òî ñîâïàäóò
äíè ðîæäåíèÿ. Âûâåñòè ôîðìóëó è ïîäñ÷èòàòü ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè ïðè n = 10, 20, 22, 23, 30, 50, 100.
≈ 0.117, ≈ 0.411, ≈ 0.476, ≈ 0.507, ≈ 0.706, ≈ 0.970, ≈ 1 − 3 · 10−7 .
8.
Îòâåò.
9.
Îòâåò.
Óêàçàíèå.
10.
Îòâåò.
11.
Îòâåò.
2