Избранные задачи Московской физической олимпиады

"&
ÊÂÀÍT 2000/¹4
èìåþùèå ïëîòíóþ ðàññòàíîâêó ëàäåé
(óãëîâèêè). Êàêîâî íàèáîëüøåå âîçìîæíîå ÷èñëî óãëîâèêîâ? (11)
À.Êàíåëü, Ã.Êîíäàêîâ
ñóììà öèôð ÷èñëà n. Äîêàæèòå, ÷òî
äëÿ áåñêîíå÷íî ìíîãèõ k
8. Äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë:
a0 = 1; ak +1 = ak + S ak , ãäå S n –
(11)
c h
bg
c h
e c
S ak < lg lg lg ak
hj .
À.Êàíåëü
9. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ðåáåð
ìîæåò áûòü â ãðàôå ñ 2000 âåðøèí,
åñëè ñðåäè ëþáûõ 10 âåðøèí õîòÿ áû
îäíà ñîåäèíåíà ñ îñòàëüíûìè 9? (11)
Â.Ñåíäåðîâ
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè
Â.Ñåíäåðîâ, Á.Ôðåíêèí
Èçáðàííûå çàäà÷è Ìîñêîâñêîé
ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäû
Ïåðâûé òåîðåòè÷åñêèé òóð
7 êëàññ
1. Âàñÿ è Îëåã ïðîâîäèëè ýêñïåðèìåíòû ïî èññëåäîâàíèþ âûòåêàíèÿ
æèäêîñòè èç öèëèíäðè÷åñêèõ ñîñóäîâ. Äëÿ ýêñïåðèìåíòà îíè âîñïîëüçîâàëèñü äâóìÿ îäèíàêîâûìè ñîñóäàìè,
ñîäåðæàùèìè îäèíàêîâûå ìàññû æèäêîñòè. Âàñÿ ïðîäåëàë íåáîëüøîå îòâåðñòèå â áîêîâîé ñòåíêå ñîñóäà íà
âûñîòå h îò äíà è èçìåðèë äàëüíîñòü
ïîëåòà ñòðóè æèäêîñòè. Îëåã ñíà÷àëà
íàãðåë ñîñóä ñ æèäêîñòüþ è îáíàðóæèë, ÷òî îíà ðàñøèðèëàñü, à çàòåì
ïîâòîðèë ýêñïåðèìåíò, ïðîäåëàííûé
Âàñåé. Â êàêîì èç ýêñïåðèìåíòîâ äàëüíîñòü ïîëåòà ñòðóè æèäêîñòè îêàçàëàñü áîëüøå? Îòâåò îáîñíóéòå. Ñäåëàéòå ïîÿñíÿþùèé ðèñóíîê.
Î.Îâ÷èííèêîâ
2. Íåîïûòíûé âåëîñèïåäèñò ïðè
òðîãàíèè ñ ìåñòà íà äâóõêîëåñíîì âåëîñèïåäå «Êàìà» ñëó÷àéíî íàæàë ðû÷àã ðó÷íîãî òîðìîçà, âñëåäñòâèå ÷åãî
âåëîñèïåä íå ïîåõàë, à âåëîñèïåäèñò
óïàë. Ñäåëàéòå ñõåìàòè÷íûé ðèñóíîê
âåëîñèïåäà è óêàæèòå íà íåì íàïðàâëåíèÿ ñèë òðåíèÿ, äåéñòâîâàâøèõ ñî
ñòîðîíû çåìëè íà ïåðåäíåå è çàäíåå
êîëåñà âî âðåìÿ ïîïûòêè òðîíóòüñÿ ñ
ìåñòà. Ó âåëîñèïåäà «Êàìà» ïåäàëè
ñîåäèíåíû öåïüþ ñ çàäíèì êîëåñîì, à
ðó÷íîé òîðìîç çàêëèíèâàåò òîëüêî
ïåðåäíåå êîëåñî.
Î.Îâ÷èííèêîâ
3.  àâòîìîáèëüíûõ àêêóìóëÿòîðíûõ áàòàðåÿõ îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ
ýëåêòðîëèò, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé
ðàñòâîð ñåðíîé êèñëîòû â äèñòèëëèðîâàííîé âîäå. Ðàñòâîð ãîòîâèòñÿ ïðè
ïîìîùè òàáëèöû, êîòîðàÿ îòðàæàåò
ñîîòíîøåíèå êîëè÷åñòâ êèñëîòû è
âîäû, íåîáõîäèìîå äëÿ ïîëó÷åíèÿ îäíîãî ëèòðà ýëåêòðîëèòà. Ïðè ïå÷àòàíèè òàáëèöû áûë äîïóùåí òèïîãðàôñêèé áðàê â åå ïåðâîì ñòîëáöå, â ðåçóëüòàòå ÷åãî òàáëèöà ïðèîáðåëà ñëåäóþùèé âèä:
Ïëîòíîñòü
ýëåêòðîëèòà,
ã/ë
Kîëè÷åñòâî
âîäû
ïëîòíîñòüþ
1000 ã/ë
Kîëè÷åñòâî
ñåðíîé
êèñëîòû
ïëîòíîñòüþ
1830 ã/ë
1,***
0,650 ë
0,423 ë
äîâ ïåðåñîõíåò ïîñëåäíèì? Ñ÷èòàòü,
÷òî ïðóäû èìåþò âåðòèêàëüíûå ñòåíêè
è ïëîñêîå äíî.
Î.Îâ÷èííèêîâ
8 êëàññ
1. Ê îäíîìó êîíöó íèòè, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç áëîê, ïîäâåøåí ãðóç ìàññîé
Ì, èçãîòîâëåííûé èç ìàòåðèàëà ïëîòíîñòüþ ρ1 . Ãðóç ïîãðóæåí â ñîñóä ñ
æèäêîñòüþ ïëîòíîñòüþ ρ2 . Ê äðóãîìó
êîíöó íèòè ïîäâåøåí ãðóç ìàññîé m
Âîññòàíîâèòå ÷èñëî, êîòîðîå äîëæíî
ñòîÿòü â ïåðâîì ñòîëáöå. Îòâåò îáîñíóéòå.
Î.Îâ÷èííèêîâ
4. Â çàñóøëèâîå ëåòî 1999 ãîäà ñàìîëåò ïðîòèâîïîæàðíîé ñëóæáû ïðîèçâåë àýðîôîòîñúåìêó ðåçåðâíûõ âîäîåìîâ ñ âîäîé â ðàéîíå äåðåâíè Ãàâðèëîâî. Íà ñíèìêå (ðèñ.1) âèäíû òðè
íåãëóáîêèõ ïðóäà. Â ìîìåíò ñúåìêè
3
ïðóäû ñîäåðæàëè V1 = 200 ì , V2 =
3
= 30 ì è V3 = 500 ì 3 âîäû. Åñëè
ïîãîäà íå èçìåíèòñÿ, òî êàêîé èç ïðó-
Ðèñ. 1
Ñ
Þ
M
Ðèñ. 2
(ðèñ.2). Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ m ãðóç
ìàññîé Ì â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ
ìîæåò ïëàâàòü â æèäêîñòè?
Î.Øâåäîâ
3
2
m
#
2. ×åðåç äâà íåïîäâèæíûõ áëîêà,
íàõîäÿùèõñÿ íà îäíîé âûñîòå, ïåðåêèíóòà äëèííàÿ ëåãêàÿ íèòü, ê êîíöàì
êîòîðîé ïðèêðåïëåíû äâà ãðóçà îäíîé
è òîé æå ìàññû (ðèñ.3). Íèòü íà÷èíàþò ìåäëåííî îòòÿãèâàòü âíèç çà òî÷êó,
íàõîäÿùóþñÿ ïîñåðåäèíå ìåæäó áëîêàìè. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñèëû F,
ïðèêëàäûâàåìîé ê íèòè, îò ñìåùåíèÿ
õ ýòîé òî÷êè ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 4.