Сумма или произведение?

Ëèñòîê 17
13.01.2009
Êîìáèíàòîðèêà: ïðàâèëî ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ
Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàçëè÷íûõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, â çàïèñè êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî íå÷åòíûå öèôðû?
Ðåøåíèå. Ïðåäñòàâèì, ÷òî ìû íà÷àëè âûïèñûâàòü âñå òàêèå ÷åòûðåõçíà÷íûå ÷èñëà. Äëÿ
íà÷àëà íàïèøåì ïåðâóþ öèôðó. Ïîñêîëüêó íå÷åòíûõ öèôð âñåãî ïÿòü (1, 3, 5, 7, 9), òî îíà
ìîæåò áûòü ëþáîé èç ïÿòè. Åñëè ìû íàïèñàëè ïåðâîé öèôðîé 1, òî ê íåé ìîæíî ïðèïèñàòü
ëþáóþ èç òåõ æå ïÿòè öèôð è ïîëó÷èòü ÷èñëà 11, 13, 15, 17, 19. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ê 3 ïðèïèñàòü ëþáóþ èç ïÿòè öèôð, à òàêæå ê 5, 7 è 9. Ïîëó÷àåì, ÷òî èç êàæäîãî èç ïÿòè èìåâøèõñÿ
îäíîçíà÷íûõ ÷èñåë ïîëó÷èëîñü ïî 5 íîâûõ. Âñåãî ïîëó÷èëîñü 5 · 5 = 25 ðàçëè÷íûõ äâóçíà÷íûõ ÷èñåë, â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî íå÷åòíûå öèôðû: 11, 13, 15, . . . , 97, 99. Ïðîäîëæèì
âûïèñûâàòü âñå ÷åòûðåõçíà÷íûå ÷èñëà. Ê ÷èñëó 11 ìîæíî ïðèïèñàòü ëþáóþ èç ïÿòè öèôð è
ïîëó÷èòü 111, 113, 115, 117, 119. Òî÷íî òàêæå ê ëþáîìó èç îñòàâøèõñÿ 24 äâóçíà÷íûõ ÷èñåë
ìîæíî ïðèïèñàòü îäíó èç ïÿòè öèôð è ïîëó÷èòü ïÿòü íîâûõ. À ðàç èç êàæäîãî äâóçíà÷íîãî
÷èñëà ïîëó÷àåòñÿ 5 òðåõçíà÷íûõ, òî âñåãî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ñòàíåò 25 · 5 = 125.
Èòàê, ó íàñ ïîëó÷èëîñü 125 òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë. Ê êàæäîìó èç íèõ ìîæíî ïðèïèñûâàòü ïî
î÷åðåäè ëþáóþ íå÷åòíóþ öèôðó è ïîëó÷àòü ïÿòü ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë. Íî ðàç èç êàæäîãî
òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà ïîëó÷àþòñÿ ïî ïÿòü íîâûõ, òî âñåãî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ñòàíåò 125·5 =
625, ÷òî è ÿâëÿåòñÿ îòâåòîì ê çàäà÷å.
Êîðîòêî ðåøåíèå ìîæíî áûëî áû çàïèñàòü òàê:
ïîñêîëüêó íà êàæäîì èç ÷åòûðåõ ìåñò ìîæåò ñòîÿòü ëþáàÿ èç ïÿòè öèôð, òî âñåãî
ñóùåñòâóåò 5 · 5 · 5 · 5 = 54 = 625 òàêèõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë.
Îòâåò: 625.
Ïðèìåð 17.2. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàçëè÷íûõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, â çàïèñè êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî íå÷åòíûå öèôðû è âñå öèôðû êîòîðûõ ðàçëè÷íû?
Ðåøåíèå. Áóäåì äåéñòâîâàòü òàêæå, êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å: íà÷íåì âûïèñûâàòü âñå
òàêèå ÷èñëà.  êà÷åñòâå ïåðâîé öèôðû íàïèøåì ëþáóþ èç ïÿòè. Íî äàëüøå ê 1 ìîæíî ïðèïèñàòü âòîðîé öèôðîé òîëüêî 3, 5, 7, 9, à åùå îäíó 1 óæå íåëüçÿ. Çíà÷èò ñ ïåðâîé öèôðîé 1
ïîëó÷èòñÿ òîëüêî 4 äâóçíà÷íûõ ÷èñëà: 13, 15, 17 è 19. Òî÷íî òàêæå ïðîèçîéäåò è ñ ëþáîé äðóãîé ïåðâîé öèôðîé: ê íåé ìîæíî áóäåò ïðèïèñàòü ëþáóþ èç ÷åòûðåõ öèôð. Çíà÷èò ñ êàæäîé
èç ïåðâûõ ïÿòè öèôð ïîëó÷èòñÿ 4 äâóçíà÷íûõ ÷èñëà, à âñåãî èõ îêàæåòñÿ 4 · 5 = 20. Âîçüìåì
êàæäîå èç ïîëó÷èâøèõñÿ 20 äâóçíà÷íûõ ÷èñåë è ïîñìîòðèì, ñêîëüêî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë èç
íåãî ìîæíî ïîëó÷èòü.  ëþáîì äâóçíà÷íîì ÷èñëå óæå çàäåéñòâîâàíî äâå íå÷åòíûõ öèôðû,
çíà÷èò ê íåìó ìîæíî ïðèïèñàòü ëþáóþ èç îñòàâøèõñÿ òðåõ öèôð. Èç ëþáîãî èìåþùåãîñÿ
äâóçíà÷íîãî ÷èñëà ïîëó÷àåì òðè òðåõçíà÷íûõ ÷èñëà, à ïîñêîëüêó äâóçíà÷íûõ ÷èñåë áûëî âñåãî 20, òî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë áóäåò 20 · 3 = 60. Òåïåðü â çàïèñè êàæäîãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà
èñïîëüçîâàíî òðè íå÷åòíûõ öèôðû, ïîýòîìó ê êàæäîìó ìîæíî ïðèïèñûâàòü ëþáóþ èç äâóõ
íåèñïîëüçîâàííûõ íå÷åòíûõ öèôð è ïîëó÷àòü ïî äâà ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñëà. (Òàê, èç ÷èñëà
397 ìîæíî ïîëó÷èòü 3971 è 3975.) Çíà÷èò âñåãî èñêîìûõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ïîëó÷èòñÿ
Ïðèìåð 17.1.
60 · 2 = 120.
Êîðîòêèé ñïîñîá çàïèñè ðåøåíèÿ âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
íà ïåðâîì ìåñòå ìîæåò ñòîÿòü ëþáàÿ èç 5 öèôð, íà âòîðîì ëþáàÿ èç îñòàâøèõñÿ
÷åòûðåõ, íà òðåòüåì ëþáàÿ èç îñòàâøèõñÿ òðåõ, íà ÷åòâåðòîì ëþáàÿ èõ îñòàâøèõñÿ
äâóõ, çíà÷èò âñåãî òàêèõ ÷èñåë ñóùåñòâóåò 5 · 4 · 3 · 2 = 120.
Îòâåò: 120.
Ïðèìåð 17.3. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, âñå öèôðû êîòîðûõ íå÷åòíû, ïðè÷åì õîòÿ áû îäíà èç íèõ ðàâíà 5?
Ðåøåíèå. Îñíîâíàÿ ñëîæíîñòü çàäà÷è ñîñòîèò â òîì, ÷òî íå ÿñíî, êàêàÿ èç öèôð ïî ñ÷åòó
ÿâëÿåòñÿ 5, óñëîâèþ çàäà÷è óäîâëåòâîðÿþò è òå ÷èñëà, â êîòîðûõ öèôð 5 íåñêîëüêî.  ïåðâîé
Ëèñòîê 17
13.01.2009
çàäà÷å óäàëîñü âûÿñíèòü, ÷òî ÷èñëî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, âñå öèôðû êîòîðûõ íå÷åòíû,
ðàâíî 625. Íàéäåì òåïåðü êîëè÷åñòâî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, â êîòîðûõ âñå öèôðû íå÷åòíû,
íî íåò íè îäíîé öèôðû 5. Ýòî ÷åòûðåõçíà÷íûå ÷èñëà, â çàïèñè êîòîðûõ âñòðå÷àþòñÿ òîëüêî
÷åòûðå öèôðû: 1, 3, 7, 9. Íà÷íåì ïðîâîäèòü ðàññóæäåíèÿ êàê â ïåðâîé çàäà÷å. Íà ïåðâîì,
âòîðîì, òðåòüåì è ÷åòâåðòîì ìåñòå ìîæåò íàõîäèòüñÿ ëþáàÿ èç ÷åòûðåõ öèôð. Çíà÷èò âñåãî
òàêèõ ÷èñåë ìîæåò áûòü 4 · 4 · 4 · 4 = 256.
Èòàê, êîëè÷åñòâî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, â êîòîðûõ âñòðå÷àþòñÿ öèôðû 1, 3, 5, 7, 9, ðàâíî
625, à êîëè÷åñòâî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, â êîòîðûõ âñòðå÷àþòñÿ öèôðû 1, 3, 7, 9, ò.å. âñå öèôðû êîòîðûõ íå÷åòíû, íî íåò íè îäíîé öèôðû 5, ðàâíî 256. Òîãäà êîëè÷åñòâî ÷åòûðåõçíà÷íûõ
÷èñåë, âñå öèôðû êîòîðûõ íå÷åòíû, íî åñòü õîòÿ áû îäíà öèôðà 5, ðàâíî 625 − 256 = 369.
Êîðîòêî ðåøåíèå ìîæíî áûëî áû çàïèñàòü òàê:
êîëè÷åñòâî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, âñå öèôðû êîòîðûõ íå÷åòíû, ðàâíî 5 · 5 · 5 · 5 = 625;
êîëè÷åñòâî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå ñîñòîÿò èç öèôð 1, 3, 7, 9 ðàâíî 4 · 4 · 4 · 4 = 256;
òîãäà êîëè÷åñòâî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, âñå öèôðû êîòîðûõ íå÷åòíû, ïðè÷åì õîòÿ áû îäíà
èç íèõ 5, ðàâíî 625 − 256 = 369.
Îòâåò: 369.
Çàäà÷è
 ìàãàçèíå èìåþòñÿ 3 êðàñíûõ, 5 çåëåíûõ è 4 ãîëóáûõ øàïêè, à òàêæå øàðôû
òðåõ öâåòîâ: 7 êðàñíûõ, 2 çåëåíûõ è 5 ãîëóáûõ. à) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè Ìàøà ìîæåò âûáðàòü
ñåáå øàïêó è øàðô? á) À ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáðàòü øàïêó è øàðô îäíîãî öâåòà?
Çàäà÷à 17.2. Àâòîáóñíûå áèëåòû èìåþò øåñòèçíà÷íûå íîìåðà, îò 000000 äî 999999. Ñêîëüêî
ñóùåñòâóåò íîìåðîâ à) âñå öèôðû êîòîðûõ ÷åòíû? á) â êîòîðûõ ëþáûå äâå ñîñåäíèå öèôðû
ðàçëè÷íû? â) âñå öèôðû êîòîðûõ ðàçëè÷íû? ã) â êîòîðûõ åñòü íå ìåíåå äâóõ îäèíàêîâûõ
öèôð? ä) ñîäåðæàùèõ öèôðó 7? å) â êîòîðûõ åñòü õîòÿ áû îäíà ÷åòíàÿ öèôðà? æ) â êîòîðûõ
ðîâíî äâå îäèíàêîâûå öèôðû?
Çàäà÷à 17.3. Àâòîìîáèëüíûå íîìåðà â îäíîì ðåãèîíå ÐÔ ñîñòîÿò ëèáî èç 3 áóêâ è 3 öèôð,
ëèáî èç 2 áóêâ è 4 öèôð, ïðè ýòîì ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ áóêâ è öèôð â íîìåðå ôèêñèðîâàí. Èç
áóêâ èñïîëüçóþòñÿ íå âñå, à òîëüêî à, â, å, ê, ì, í, î, ð, ñ, ò, ó, õ. Êàêîå ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî
àâòîìîáèëåé ìîæåò áûòü â îäíîì ðåãèîíå?
Çàäà÷à 17.4. à) Ñêîëüêî ìîæíî ñîñòàâèòü ðàçíûõ (íå îáÿçàòåëüíî îñìûñëåííûõ) ñëîâ èç k
áóêâ, èñïîëüçóÿ ðóññêèé àëôàâèò? á) À åñëè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû áóêâû â ñëîâàõ íå ïîâòîðÿëèñü? â) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïåðåñòàâèòü áóêâû â ñëîâå èç k ðàçëè÷íûõ áóêâ?
Çàäà÷à 17.5. à)  çàáîðå 20 äîñîê, êàæäóþ íàäî ïîêðàñèòü â ñèíèé, çåëåíûé èëè æåëòûé öâåò,
ïðè÷åì ñîñåäíèå äîñêè êðàñÿòñÿ â ðàçíûå öâåòà. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü?
á) À åñëè òðåáóåòñÿ åùå, ÷òîáû õîòü îäíà èç äîñîê îáÿçàòåëüíî áûëà ñèíåé?
Çàäà÷à 17.6. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïîêðàñèòü êâàäðàò 2 × 2, ñîñòàâëåííûé èç 4 êâàäðàòèêîâ, åñëè êàæäûé êâàäðàòèê íàäî ïîêðàñèòü â îäèí èç n öâåòîâ, è ñîñåäíèå (èìåþùèå
îáùóþ ñòîðîíó) êâàäðàòèêè äîëæíû áûòü ïîêðàøåíû ïî-ðàçíîìó?
Çàäà÷à 17.7. à) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïîñòàâèòü íà øàõìàòíóþ äîñêó áåëóþ è ÷åðíóþ
ëàäüè òàê, ÷òîáû îíè íå áèëè äðóã äðóãà? á) Òîò æå âîïðîñ äëÿ äâóõ êîðîëåé.
Çàäà÷à 17.8. à) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàññòàâèòü íà øàõìàòíîé äîñêå 8 ðàçëè÷íûõ
ëàäåé òàê, ÷òîáû îíè íå áèëè äðóã äðóãà? á) À åñëè ëàäüè íåðàçëè÷èìû?
Çàäà÷à 17.9. à) Äåñÿòü äåâóøåê âîäÿò õîðîâîä. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè îíè ìîãóò âñòàòü â
êðóã? á) Ñêîëüêî îæåðåëèé ìîæíî ñîñòàâèòü èç 10 ðàçëè÷íûõ áóñèí?1
Çàäà÷à 17.10. à) Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ñòðîê ìîæíî ñîñòàâèòü èç 0 è 1, ÷òîáû â êàæäîé ñòðîêå
áûëî 8 öèôð? á) Íà ñòîëå 8 ðàçëè÷íûõ êîíôåò. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ñúåñòü íåñêîëüêî
Çàäà÷à 17.1.
1
Îñòîðîæíî!  ýòîé è ñëåäóþùåé çàäà÷àõ îòâåò ê ïóíêòàì à) è á) ðàçëè÷íûé.
Ëèñòîê 17
13.01.2009
èç íèõ? â) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàñïðåäåëèòü 8 âíîâü ïðèøåäøèõ ó÷åíèêîâ ïî òðåì
êëàññàì?
Çàäà÷à 17.11. Ìåíþ â øêîëüíîì áóôåòå ïîñòîÿííî è ñîñòîèò èç n ðàçíûõ áëþä. Ïåòÿ õî÷åò
êàæäûé äåíü âûáèðàòü ñåáå çàâòðàê ïî-íîâîìó (çà ðàç îí ìîæåò ñúåñòü îò 0 äî n ðàçíûõ
áëþä). à) Ñêîëüêî äíåé åìó óäàñòñÿ ýòî äåëàòü? á) Ñêîëüêî áëþä îí ñúåñò çà ýòî âðåìÿ?
Çàäà÷à 17.12*. Âàñÿ, ïðèÿòåëü Ïåòè èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è, ðåøèë ïîñëåäîâàòü ïðèìåðó
ñâîåãî äðóãà, íî ñúåäàòü êàæäûé äåíü íå÷åòíîå ÷èñëî áëþä. à) Ñêîëüêî äíåé åìó óäàñòñÿ ýòî
äåëàòü? á) Ñêîëüêî áëþä îí ñúåñò çà ýòî âðåìÿ?
Çàäà÷à 17.13. Èãðàëüíûé êóáèê èìååò 6 ãðàíåé ñ öèôðàìè 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ
èãðàëüíûõ êóáèêîâ ñóùåñòâóåò, åñëè ñ÷èòàòü ðàçëè÷íûìè äâà êóáèêà, êîòîðûå íåëüçÿ ñïóòàòü,
êàê íè ïåðåâîðà÷èâàé?
Çàäà÷à 17.14. à) Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàçáèòü 7 þíîøåé è 7 äåâóøåê íà ïàðû äëÿ
òàíöåâ? á)* 14 øêîëüíèêîâ íà ïàðû?
Çàäà÷à 17.15*. Íàéòè ñóììó âñåõ ïÿòèçíà÷íûõ ÷èñåë, ñîñòàâëåííûõ èç à) íå÷åòíûõ öèôð;
á) ðàçëè÷íûõ íå÷åòíûõ öèôð.
Çàäà÷à 17.16*.  òàáëèöó ðàçìåðà k × l çàïèñûâàþò ÷èñëà +1 è −1 òàê, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå
÷èñåë â êàæäîé ñòðîêå è â êàæäîì ñòîëáöå ðàâíÿëîñü 1. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî
ñäåëàòü?
Çàäà÷à 17.17. à) Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî íåðàçëè÷èìûõ ñëîíîâ ìîæíî ðàññòàâèòü íà øàõìàòíîé äîñêå òàê, ÷òîáû îíè íå áèëè äðóã äðóãà? á)* Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî ñïîñîáîâ òàêîé
ðàññòàíîâêè êâàäðàò íåêîòîðîãî ÷èñëà. â)* Íàéäèòå ýòî ÷èñëî.
Êðèòåðèè îöåíîê
¾5¿
¾4¿
¾3¿
¾2¿
15 çàäà÷ 12 çàäà÷ 9 çàäà÷ 6 çàäà÷