Признаки делимости

Ëèñòîê 18
26.01.2010
Ïðèçíàêè äåëèìîñòè
Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî abcde äåëèòñÿ íà 11 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
äåëèòñÿ íà 11.
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèøåì ÷èñëî ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Ïðèìåð 18.1.
a−b+c−d+e
abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e.
Äàëåå, èç ðàâåíñòâ
10d = 11d − d,
100c = 110c − 10c = 110c − 11c + c,
1000b = 1100b − 100b = 1100b − 110b + 10b = 1100b − 110b + 11b − b,
10000a = 11000a − 1000a = 11000a − (1100a − 110a + 11a − a) = 11000a − 1100a + 110a − 11a + a
ïîëó÷àåì, ÷òî
abcde = 11000a − 1100a + 110a − 11a + 1100b − 110b + 11b + 110c − 11c + 11d + a − b + c − d + e.
Ïîñêîëüêó ñóììà
11000a − 1100a + 110a − 11a + 1100b − 110b + 11b + 110c − 11c + 11d = 11 · (909a + 91b + 9c + d)
äåëèòñÿ íà 11, òî ñàìî ÷èñëî abcde äåëèòñÿ íà 11 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a − b + c − d + e
äåëèòñÿ íà 11, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ìîæíî äîêàçàòü ýòî è èíà÷å, ïîëüçóÿñü ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ðàâåíñòâ:
abcde = abcd·10+e = abcd·11−abcd+e = abcd·11−abc·10−d+e = abcd·11−abc·11+abc−d+e =
= abcd · 11 − abc · 11 + ab · 10 + c − d + e = abcd · 11 − abc · 11 + ab · 11 − ab + c − d + e =
= abcd · 11 − abc · 11 + ab · 11 − 10a − b + c − d + e = abcd · 11 − abc · 11 + ab · 11 − 11a + a − b + c − d + e.
Ïðèìåð 18.2.
äåëèòñÿ íà 13.
Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî abcd äåëèòñÿ íà 13 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà bcd − a
Äîêàçàòåëüñòâî.
Çàìåòèì, ÷òî
abcd = 1000a + bcd = 1001a − a + bcd = 77 · 13a + bcd − a.
Ïîñêîëüêó 77 · 13a äåëèòñÿ íà 13, òî ÷èñëî abcd äåëèòñÿ íà 13 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
bcd − a äåëèòñÿ íà 13, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ëèñòîê 18
26.01.2010
Çàäà÷è
Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 11 äëÿ øåñòèçíà÷íîãî ÷èñëà.
Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 11 äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà.
Äîêàæèòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 11 äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà.
Íå ïðîâîäÿ äåëåíèÿ âûÿñíèòå, êàêîé îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà 11 äàåò ÷èñëî
123456789. À ÷èñëî 234567891?
Çàäà÷à 18.5. Ïðèäóìàéòå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà 11, â çàïèñè êîòîðîãî èñïîëüçîâàíû âñå 10
öèôð ïî îäíîìó ðàçó.
Çàäà÷à 18.6. A øåñòèçíà÷íîå ÷èñëî, â çàïèñè êîòîðîãî ïî îäíîìó ðàçó âñòðå÷àþòñÿ öèôðû
1, 2, 3, 4, 5, 6. Äîêàæèòå, ÷òî A íå äåëèòñÿ íà 11.
Çàäà÷à 18.7. Ïóñòü a, b, c, d ðàçëè÷íûå öèôðû. Äîêàæèòå, ÷òî cdcdcdcd íå äåëèòñÿ íà aabb.
Çàäà÷à 18.8. Ê ÷èñëó ïðèïèñàëè ÷èñëî, çàïèñàííîå òåìè æå öèôðàìè, íî â îáðàòíîì ïîðÿäêå.
Äîêàæèòå, ÷òî ïîëó÷åííîå ÷èñëî ñîñòàâíîå.
Çàäà÷à 18.9. Äîêàæèòå, ÷òî ðàçíîñòü ÷èñëà, èìåþùåãî íå÷åòíîå êîëè÷åñòâî öèôð, è ÷èñëà,
çàïèñàííîãî òåìè æå öèôðàìè, íî â îáðàòíîì ïîðÿäêå, äåëèòñÿ íà 99.
Çàäà÷à 18.10. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ÷èñëî äåëèòñÿ íà 99, òî ñóììà åãî öèôð íå ìåíåå 18.
Çàäà÷à 18.11. à) Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî 1001 = 7 · 11 · 13, äîêàæèòå, ÷òî abcdef äåëèòñÿ íà 7
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà abc − def äåëèòñÿ íà 7. á) Âåðíî ëè òîæå ñàìîå óòâåðæäåíèå äëÿ
äåëèìîñòè íà 11 è 13?
Çàäà÷à 18.12. Íå ïðîâîäÿ äåëåíèÿ âûÿñíèòå, äåëèòñÿ ëè ÷èñëî 93483 íà 7 è íà 13.
Çàäà÷à 18.13. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 7 è íà 13 äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà.
Çàäà÷à 18.14. Äîêàæèòå ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 7 è íà 13 äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà.
Çàäà÷à 18.15. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 91. Ïðîâåðüòå, äåëèòñÿ ëè ÷èñëî
1123456698 íà 91.
Çàäà÷à 18.16. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 99 . . . 9 (k äåâÿòîê) òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà ñóììà åãî ãðàíåé ïî k öèôð (ãðàíè èäóò ñïðàâà íàëåâî) äåëèòñÿ íà 99 . . . 9. (Íàïðèìåð,
1200798 äåëèòñÿ íà 999, òàê êàê 1 + 200 + 798 äåëèòñÿ íà 999.)
Çàäà÷à 18.17. Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî 999 = 27 · 37, ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 27
è 37.
Çàäà÷à 18.18. Äîêàæèòå ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 27 è 37.
Çàäà÷à 18.19. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî, äåñÿòè÷íàÿ çàïèñü êîòîðîãî ñîñòîèò èç 300 îäèíàêîâûõ
öèôð, äåëèòñÿ íà 37.
Çàäà÷à 18.20. Òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, âñå öèôðû êîòîðîãî ðàçëè÷íû è îòëè÷íû îò 0, äåëèòñÿ íà
37. Äîêàæèòå, ÷òî ïåðåñòàíîâêàìè öèôð ýòîãî ÷èñëà ìîæíî ïîëó÷èòü åùå äâà ÷èñëà, äåëÿùèõñÿ íà 37.
Çàäà÷à 18.21. Øåñòèçíà÷íîå ÷èñëî, çàïèñàííîå øåñòüþ îòëè÷íûìè îò íóëÿ ðàçëè÷íûìè
öèôðàìè, äåëèòñÿ íà 37. Äîêàæèòå, ÷òî ïåðåñòàíîâêàìè öèôð ýòîãî ÷èñëà ìîæíî ïîëó÷èòü
åùå ïî êðàéíåé ìåðå 23 ðàçëè÷íûõ ÷èñëà, äåëÿùèõñÿ íà 37.
Çàäà÷à 18.1.
Çàäà÷à 18.2.
Çàäà÷à 18.3.
Çàäà÷à 18.4.
Êðèòåðèè îöåíîê
¾5¿
¾4¿
¾3¿
¾2¿
15 çàäà÷ 12 çàäà÷ 9 çàäà÷ 6 çàäà÷