Analysis II Universität Heidelberg Vorlesung SS 2008 Dozent: Prof. Dr. A. Stevens Übungsblatt 12 Übungen: Dr. I. Primi 27.06.2008 Im Folgenden wird R [a,b] f (x) dx für das Lebesgue-Integral und Aufgabe 1 (6 Punkte): Sei a f (x) dx für das Regelintegral benutzt 2 Z f (y) = Rb R e−x dx 1 + |x|y 2 ∀y ∈ (−1, 1) . Beweisen Sie, dass f wohl deniert ist und f ∈ C 1 ((−1, 1), R). Aufgabe 2 (3 Punkte): Berehnen Sie lim n→∞ 1 4 x +x− e−x/n dx n [1,100] Z mit ausführliher Begründung (Benutzen Sie einen der Sätze über die Konvergenz der Integrale, die Sie neulih gelernt haben. Wie immer, prüfen Sie, dass alle Voraussetzungen erfüllt sind ). Aufgabe 3 (3 Punkte): Berehnen Sie lim n→∞ Z [0,1] √ n x dx 1 + n2 x2 mit ausführliher Begründung (Benutzen Sie einen der Sätze über die Konvergenz der Integrale, die Sie neulih gelernt haben. Wie immer, prüfen Sie, dass alle Voraussetzungen erfüllt sind ). Aufgabe 4 (5 Punkte): Seien X eine niht leere Menge, V ⊆ Abb(X, R) ein Vektorverband, I ein elementares Integral auf V und L1I (X) die dazugehörige Menge von I -integrablen Funktionen. Sei P∞ 1 {f Pn∞}n∈N ⊂ LI (X) mit n=1 I(|fn |) < ∞ (d.h. die Reihe konvergiert). Beweisen Sie, dass die Reihe n=1 fn I -fast überall konvergiert, die Funktion s(x) := in L1I (X) ist und I(s) = P∞ n=1 (P ∞ n=1 fn 0 falls die Reihe konvergiert sonst I(fn ). Aufgabe 5 (3 Punkte): Sei H : R2 −→ R mit H(x, y) = ( Berehnen Sie 1 − |x| − |y| für |x| + |y| ≤ 1 0 sonst . Z H(x, y) dx dy R2 mit ausführliher Begründung. Aufgabe * (auÿer Konkurrenz): Bestimmen Sie (mit Beweis) lim m→∞ ∞ X 1 2 + log(m) n n=1 ! . Abgabe: Freitag, den 4.07.2008, vor der Vorlesung, im Briefkasten Ihrer Übungsgruppe im EG des Instituts für Angewandte Mathematik (IAM), INF 294 Die Sheinbedingungen sind erfüllt, wenn mindestens 60% der Punkte im Durhshnitt erreiht werde, eine aktive Teilnahme in der Übungsgruppe bestätigt wird und die Klausur bestanden wird. Die Note des Sheins entspriht dem Ergebnis der Klausur. Die erste Klausur ndet am 16.7.2008 von 1000 − 1300 Uhr statt.