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Universität Stuttgart
Dr. W.-P. Düll
Dipl.-Math. R. Bauer
Fahbereih Mathematik
Probeklausur
Höhere Mathematik IV
16.07.2012
Hinweis: Zur Lösung der Aufgaben 2-6 dürfen alle Sätze aus der Vorlesung verwendet werden,
ohne dass sie bewiesen werden müssen. Des Weiteren darf ohne Beweis verwendet werden:
• Normen sind stetige Abbildungen.
• R ist vollständig.
• Konvergiert eine Folge stetiger Funktionen gleihmäÿig gegen eine Funktion f , dann ist f
ebenfalls stetig.
Aufgabe 1.
Sei (X, (·, ·)X ) ein Skalarproduktraum. Zeigen Sie, dass in X die Parallelogrammgleihung gilt.
Aufgabe 2.
a) Sei RN der Vektorraum aller Folgen P
mit reellen Werten. Zeigen Sie, dass (RN , (·, ·)RN ) mit
∞
(x, y)RN = ((xn )n∈N , (yn )n∈N )RN =
n=1 xn yn ein Skalarproduktraum ist.
12
ist.
|f (t)| dt
b) Sei X = C ([−1, 1]) und M = {f ∈ X : ||f || > 1} , wobei ||f || =
Zeigen Sie, dass M eine oene Teilmenge des normierten Raumes (X, || · ||L2 ) ist.
0
L2
L2
R
1
−1
2
) Zeigen Sie, dass ∂t : (C 1 ([0, 2]), ||·||C 0 ) −→ (C 0 ([0, 2]), ||·||C 0 ) , wobei ||f ||C 0 = maxt∈[0,2] |f (t)|
ist, kein stetiger Operator ist.
d) Zeigen Sie, dass der normierte Raum (C 0 ([0, 2]), || · ||C 0 ) vollständig ist.
Aufgabe 3.
a) Zeigen Sie, dass T : C 0 ([0, 1]) −→ C 0 ([0, 1]) mit
0
∀f ∈ C ([0, 1]) :
(T f )(x) :=
Z
1
xy 2 f (y)dy
0
eine stetige, lineare Abbildung ist.
b) Zeigen Sie, dass die Integralgleihung
f (x) = artan(x) +
Z
1
xy 2 f (y)dy
0
in C 0 ([0, 1]) eine eindeutige Lösung f besitzt.
Die Lösung brauht dabei niht explizit berehnet zu werden.
1
Aufgabe 4.
Sei (H, (·, ·)H ) ein Hilbertraum, A j H eine abgeshlossene, konvexe, nihtleere Menge und
x ∈ H. Des Weiteren sei (yn )n∈N eine Folge in A mit
lim ||x − yn ||H = inf ||x − y||H ,
n−→∞
y∈A
wobei || · ||H die von (·, ·)H induzierte Norm sei. Zeigen Sie, dass (yn)n∈N gegen ein y0 ∈ A
konvergiert und dass y0 die beste Approximation von x in A ist.
Aufgabe 5.
Beantworten Sie die folgenden Fragen und geben Sie jeweils eine kurze Begründung Ihrer Antwort
an.
a) Sei X ein R− Vektorraum und d eine Metrik auf X . Welhe zusätzlihen Eigenshaften
muss d besitzen, damit durh ||x|| := d(x, 0) eine Norm auf X deniert ist?
b) Existiert eine Konstante C > 0 , sodass
Z
∀f ∈ C 0 ([−2, 2]) :
2
−2
gilt?
Z
f (t) dt ≦ C
2
−2
12
|f (t)|2 dt
) Sei (X, || · ||1 ) ein normierter Raum, in dem jede beshränkte, abgeshlossene Teilmenge
kompakt ist. Gibt es eine weitere Norm || · ||2 auf X , welhe niht äquivalent zu || · ||1 ist?
d) Die Funktion f : R −→ R sei Lipshitz-stetig in jedem x ∈ R mit Lipshitz-Konstanten
L ≦ 21 . Besitzt die Gleihung x − f (x) = 0 eine eindeutige Lösung in R ?
e) Sei (E, || · ||E ) ein normierter Raum, (F, || · ||F ) ein Banahraum und
G = {T : E −→ F : T ist linear und in 0 stetig.} .
Ist (G, || · ||G) mit ||T ||G := supx∈∂BE ||T x||F vollständig?
Aufgabe 6.
a) Zeigen Sie, dass M := {(x, y, 1 − x2 + ey ) : x, y ∈ (−1, 1)} eine 2-dimensionale C ∞ Mannigfaltigkeit im R3 ist.
b) Gegeben sei die Mannigfaltigkeit A := {(s, t3 , s2 − t2 ) : s, t ∈ (0, 3)} . Bestimmen Sie eine
Basis des Tangentialraumes Tp A , wobei p = (2, 8, 0) sei.
) Zeigen Sie, dass die Mannigfaltigkeit N = {(x, y) ∈ R2 : 3y 2 + 2x2 = 1} invariant ist unter
dem Fluss des Systems
x′
y′
1
y − 3xy
2
1
= − x + 2x2 .
3
=
2