∫Adµ

R
Adµ
Universität Stuttgart
Blatt 3
Fakultät Mathematik und Physik
Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung
30.04.2007
Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Analysis und HM 4, 2007
Theoretishe Übungen
Aufgabe 1
Sei f eine messbare Funktion auf X und µ ein niht-negatives Mass auf X . Beweisen Sie folgende
Aussagen:
1. Gilt f ∈ Lr (X, µ) ∩ Ls (X, µ), s < r, so folgt f ∈ Lp (X, µ) für jedes p ∈ (s, r).
2. Angenommen kf kr < ∞ für ein r < ∞. Dann gilt
lim kf kp = kf k∞ .
p→∞
3. Angenommen µ(X) = 1 und kf kr < ∞ für ein r > 0. Dann gilt
Z
lim kf kp = exp
ln |f | dµ .
p→0
X
Aufgabe 2
Die Funktion f : R → R sei deniert durh f (x) = x2 für x ∈ [−π, π] und f (x + 2π) = f (x).
1. Berehnen Sie die FourierCosinuskoezienten
Z π
Z π
1
1
a0 =
f (x) dx , an =
f (x) cos(nx) dx .
2π −π
π −π
2. Benutzen Sie den Satz von Dini um zu zeigen, dass
f (x) =
∞
X
an cos nx
n=0
für alle x ∈ R.
3. Zeigen Sie mit Hilfe von 2.2 dass
∞
X
π2
1
=
.
n2
6
n=1
Aufgabe 3
Sei f : R → C, 2π−periodish und Hölderstetig von Grad α ∈ (0, 1). Das heiÿt, es gibt eine
Konstante C , so dass für alle x, h ∈ R
|f (x + h) − f (x)| ≤ C |h|α .
Zeigen Sie, dass es eine Konstante P gibt, so dass für alle k ∈ Z \ {0} gilt:
Z π
P
−ikx
f (x) e
dx ≤ α .
|k|
−π
Aufgabe 4
Sei µ ein Maÿ auf X . Zeigen Sie, dass L1 (X, µ) ein vollständig normierter Raum ist. Hinweis: z.B.
Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis
1