юме гд л мфан йкал л м йдаф гть я жыр а

HUMBOLDTUNIVERSITÄT ZU BERLIN
Mathematish-Naturwissenshaftlihe Fakultät II
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Jürgen Guddat
Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik, Unter den Linden 6, D-10099 Berlin
Optimierung I
Serie 11. (Abgabetermin: 05.07.05)
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Betrahte die Folge
xk =
(
k
1 2
4
xk−1
k ,
, k
k
gerade
ungerade
Man untersuhe, ob die Folge {xk }
(a) Q-superlinear konvergiert.
(b) Q-quadratish konvergiert.
Aufgabe 2 (6 Punkte)
Ein Verfahren wird gradientenähnlih genannt, falls Rihtungen dk ∈ Rn verwendet werden, die die Bedingung
(1)
∇f (xk )T dk ≤ −ρ||∇f (xk )|| ||dk ||,
k = 0, 1, . . .
mit einem festen ρ ∈ (0, 1] genügen. Derartige Rihtungen werden auh gradientenähnlih
genannt.
Als wihtige Klasse von gradientenähnlihen Verfahren betrahten wir Algorithmen, bei
denen die Rihtungen dk im Iterationspunkt xk bestimmt werden durh
(2)
Hk dk + ∇f (xk ) = 0
mit einer Familie gleihmäÿig positiv deniter und beshränkter Matrizen Hk , d.h. Matrizen, für die mit Konstanten 0 < m ≤ M eine Abshätzung
(3)
m||z||2 ≤ z T Hk z ≤ M ||z||2
für alle z ∈ Rn
gilt.
Man weise nah, dass durh (2) und (3) gradientenähnlihe Rihtungen erzeugt werden.
Mit welher Zahl ρ ∈ (0, 1] gilt die entsprehende Ungleihung (1)?
Aufgabe 3 (6 Punkte)
Sei f (x) = 12 xT Qx+cT x, Q ∈ Rn×n symmetrish, c ∈ Rn , eine streng konvexe quadratishe
Funktion. Weiter sei d ∈ Rn eine Abstiegsrihtung von f im Punkt x ∈ Rn und
α̂ = argmin f (x + αd)
α≥0
bezeihne die durh die Minimierungsregel gelieferte Shrittweite.
Man zeige, dass α = α̂ für alle λ ∈ (0, 12 ] der Armijo-Bedingung
f (x + αd) − f (x) ≤ λα∇f (x)T d
genügt, für alle λ >
1
2
aber niht.