к ж 3 f(x) = { : |x| k)| º N (y) N ∑ |zk|2

Spektralmethoden
Prof. D. Cohen und I. Sim
Mathematik, FS 2008
Universität Basel
Serie 3
1.
a) Finden Sie die Fourier-Koezienten von der 2π - periodishen Funktion
f (x) =
(
4
π
: |x| < π
0 : x = π.
N −1
b) Implementieren Sie die DFT z = FN (y) mit y = (yℓ)ℓ=0
, yℓ = f (xℓ ),
ℓ = 0, . . . , N − 1 .
) Plotten Sie den Fehler |zk − fˆ(k)| .
2.
Beweisen Sie die Parsevalshe Gleihung für die DFT z = FN (y):
N
N
−1
X
2
|zk | =
N
−1
X
|yk |2 .
k=0
k=0
3.
Beweisen Sie das
trigonometrishe Polynom
pN (x) =
X
′
zk exp(ikx)
|k|≤N/2
der folgenden Gleihung genügt:
pN (x) =
N
−1
X
SN (x − xℓ ) mit SN (x) =
ℓ=0
sin(N x/2) cos(x/2)
.
N
sin(x/2)
4.
N −1
Um eine DFT für reelle Folge y = (yℓ )ℓ=0
shneller zu berehnen, kann man den
folgenden Trik benutzen:
a) Denieren Sie die komplexe Folge wℓ := y2ℓ +iy2ℓ+1 für ℓ = 0, . . . , N/2−1. Berehnen
Sie q := FN/2 (w) und setzen Sie qN/2 = q0 . Zeigen Sie, dass
q = (y g + iy u )
1
mit
g
(y )k =
1
N/2
und
u
(y )k =
1
N/2
Man bekommt die DFT (ŷ)k =
1
4
N/2−1
y2ℓ exp(−2π iℓk/(N/2))
X
ℓ=0
N/2−1
1
N
X
y2ℓ+1 exp(−2π iℓk/(N/2)).
ℓ=0
PN −1
ℓ=0
yℓ exp(−2π ikℓ/N) für y wie folgt:
(ŷ)k = (qk + q N/2−k ) − (qk − q N/2−k ) exp(−2π ik/N).
i
4
Beweisen Sie diese Gleihung.
b) Implementieren Sie die DFT für die reelle Folge aus der Aufgabe 6 in der Serie 2.
2