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Prof. K. Bongartz
A. Dönmez
BU Wuppertal
Fahbereih C - Mathematik
Abgabe am 21. Mai 2014
um 10:00 Uhr
in das Postfah eures Übungsleiters
Übungen zur Analysis II
Blatt 6
Die ersten beiden Aufgaben sind Standardbeispiele, die auf Cantor zurükgehen.
Aufgabe 1.
Sei f :
R2
(
0
x
→ R deniert durh f
=
x3 y−xy 3
y
x2 +y 2
x = y = 0,
sonst.
a) Berehnen Sie D1 f und D2 f in allen Punkten.
b) Zeigen Sie, dass D2 D1 f und D1 D2 f überall existieren und auÿerhalb von
0
0
.
6= D1 D2 f
) Zeigen Sie D2 D1 f
0
0
0
niht beide stetig.
Also sind D1 D2 f und D2 D1 f in
0
(
0
x
2
Aufgabe 2. Sei f : R → R gegeben durh f
=
x3
y
x2 +y 2
0
stetig sind.
0
x = y = 0,
sonst.
a) Berehnen Sie D1 f und D2 f in allen Punkten.
b) Sei ϕ : R →
R2
t
0
′
′
die Kurve ϕ(t) = . Berehnen Sie (f ◦ ϕ) (0), ϕ (0) und Jf
.
t
0
Leiten Siemit
Hilfe der Kettenregel einen Widerspruh her zur Annahme,
0
dierenzierbar ist.
dass f in
0
0
die Komposition
) Zeigen Sie, dass für jede dierenzierbare Kurve ϕ :]−ε, +ε[→ R mit ϕ(0) =
0
f ◦ ϕ in 0 dierenzierbar ist. (Dabei ist ε > 0 eine Konstante!)
Aufgabe 3.
a) Zeigen Sie, dass µ :
die Ableitung.
R2
x
→ R mit µ
= xy überall dierenzierbar ist und berehnen Sie
y
b) Seien f : Rn → R, g : Rn → R dierenzierbar. Zeigen Sie, dass auh f · g
(mit (f · g)(x) = f (x)g(x)) dierenzierbar ist und (f · g)′ (x) = f ′ (x)g(x) + f (x)g′ (x) gilt.
) Seien f : Rn → R, g : Rn → R \ {0} dierenzierbar. Zeigen Sie, dass dann auh
(x)
(mit fg (x) = fg(x)
) dierenzierbar ist und die Quotientenregel gilt.
f
g
(Tipp: Bei b) und ) shreibt man f · g bzw. fg als geeignete Kompositionen und verwende die
Kettenregel. Selbst die AnaI-Produktregel ist so einfaher zu beweisen.)
Aufgabe 4. Sei V ein endlih-dimensionaler normierter Raum und B = EndR (V ) versehen mit der
zugehörigen Operatornorm. Sei B ∗ = {ϕ | ϕ ist invertierbar in B , d.h. ∃ ψ mit ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ = idV }.
a) B ist eine R-Algebra, die vollständig ist.
n
mit Konvergenzradius R > 0, so konvergiert für
b) Ist P (x) = ∞
n=0 an x eine reelle Potenzreihe
Pk
jedes ϕ ∈ B mit kϕk < R die Folge sk (ϕ) = n=0 an ϕn in B .
Man shreibt P (ϕ) für den Grenzwert.
P
) Sei U := {ϕ | kϕ − 1 k < 1}. Dann gilt für alle ϕ ∈ U , dass ϕ invertierbar ist mit
∞
−1 X
(1 −ϕ)n .
=
ϕ−1 = 1 −(1 −ϕ)
n=0
(1 ist die kurzshreibweise für idV .)
d) Die Abbildung i : B ∗ → B ∗ , ϕ 7→ ϕ−1 ist an der Stelle idV dierenzierbar.
Was ist die Ableitung?