Adµ - IADM

Universität Stuttgart
R
Adµ
Fakultät Mathematik und Physik
Blatt 4
Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung
Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Analysis und HM 4, 2007
Angewandte Übungen
Aufgabe 1
Sei f ∈ L1 (R) eine Funktion, für welhe die Dini-Bedingung im gegebenen Punkt t ∈ R gilt.
Beweisen Sie folgende Aussagen:
(i) Es gilt
1
v.p.
2π
f (t) =
∞
Z
dλ
−∞
Z
f (τ ) cos(λ(t − τ )) dτ .
R
(ii) Gilt f (t) = f (−t), so folgt
2
f (t) = v.p.
π
Z
∞
Z
∞
cos(λt) dλ
0
Z
∞
Z
∞
f (τ ) cos(λτ ) dτ .
0
(iii) Gilt f (t) = −f (−t), so folgt
f (t) =
2
v.p.
π
sin(λt) dλ
0
f (τ ) sin(λτ ) dτ .
0
Aufgabe 2
Sei {an }n∈N , 0 = a1 < a2 < . . . eine Folge mit an → 1 für n → ∞. Desweiteren
sei {gn } eine Folge
R1
von stetigen Funtktionen, so dass gn (x) = 0 für alle x ∈/ (an , an+1 ) und 0 gn (x) dx = 1 für alle
n ∈ N. Die Funktion f : [0, 1] × [0, 1] → R sei deniert durh
f (x, y) =
∞
X
[gn (x) − gn+1 (x)] gn (y) .
n=0
Berehnen Sie
Z
1
dx
0
Z
1
Z
f (x, y) dy,
0
1
dy
0
Z
1
f (x, y) dx
0
und entsheiden Sie, ob die Voraussetzungen des Satzes von Fubini für f erfüllt sind.
Aufgabe 3
Gegeben seien die Funktionen
2
f1 (x) = e−ax , a > 0,
f2 (x) = f1 (x) sin x,
f3 (x) =
1
0
für |x| ≤ 1
für |x| > 1
Berehnen Sie die Fourier-Transformationen fˆ1 , fˆ2 und fˆ3 von f1 , f2 bzw. f3 sowie die inversen
Fourier-Transformationen von fˆ1 , fˆ2 und fˆ3 .
Aufgabe 4
Sei {fn }n∈N eine Folge der Funktionen aus der Klasse C0∞ (R). Sei f : R → R, so dass
sup |f (x) − fn (x)| → 0
x∈R
Zeigen Sie, dass limx→±∞ f (x) = 0.
1
für n → ∞ .