ыр × с р

Übungsbogen
Heiko Dumlich und Max Homann
3. Mai 2006
2 Aufgaben zur Mathematikvorlesung für Physiker IV
2.1
(a)
n
Wir bestimmen den Konvergenzradius der Potenzreihe
genzradius
R=
z
Σ∞
n=1 n2 .
Es gilt für den Konver-
1√
. Somit folgt für unsere Potenzreihe :
limsup n |an |
1
R=
q
limsup n
√
n −→ 1
Wir wissen, dass n
für
1
n2
=
1
limsup
n −→ ∞.
R=
Somit beträgt der Konvergenzradius
1
√
n 2
n
=
1
1
limsup ( √
n n)2
Somit folgt also für den Konvergenzradius :
1
1
12
=1
R = 1.
(b)
Wir betrachten die Randpunkte des Konvergenzkreises. Für
Σ∞
n=1
z=1
folgt demnach :
zn
1
π2
∞
−→
Σ
−→
n=1
n2
n2
6
Diese Reihe ist bekannt und konvergiert.
Für den Fall, dass
z = −1
ist, erhalten wir :
Σ∞
n=1
n
zn
π2
∞ (−1)
−→
Σ
−→
−
n=1
n2
n2
12
Diese Reihe konvergiert auch, da sie aus einer Leibnizreihe und eine konvergenten Reihe
besteht. Sie konvergiert sogar schneller als für den Fall
beide, jedoch besitzen sie verschiedene Grenzwerte !
1
z = 1.
Die Reihen konvergieren
(c)
n
Wir erhalten für die gliedweise abgeleitete Reihe aus
n−1
n−1
z
∞ z
Σ∞
n=2 n n2 = Σn=2 n
z
f (z) = Σ∞
n=1 n2
folgt
f 0 (z) =
, somit folgt für den Konvergenzradius :
Rf 0 =
√
Da wir wie schon in (a) n
n −→ 1
1
q =1
limsup n n1
mit
n −→ ∞
wissen.
Wir betrachten das Konvergenzverhalten in den Randpunkten des Konvergenzkreises,
wobei für
z=1
folgt :
Σ∞
n=2
1
−→ ∞
n
Diese Reihe ist bekannt und divergiert.
Für den Fall, dass
z = −1
ist, erhalten wir :
Σ∞
n=2
(−1)n−1
−→ ln(2) − 1 ≈ −0.307
n
Somit konvergiert in diesem Fall nur einer der Randpunkte (z
= −1),
während der
andere divergiert. Der Grenzwert ist jedoch auch verschieden von den Grenzwerten der
Stammreihe.
2.2
πi
|eiz | mit z = 6e 3
somit z auch als :
Wir betrachten :
Wir können
z = 6(cos
schreiben. Damit folgt für
|eiz | = |e−
√
√
π
π
1
1√
3) = 3 + 27i
+ i sin ) = 6( + i
3
3
2
2
|eiz |
27+3i
:
| = |e−
√
27
| · |e3i | = |e−
√
27
| · 1 ≈ 5.54 · 10−3
2.3
Wir bestimmen die komplexen Nullstellen von
ez :
ez = 0 + 0i
ez = ex+iy = ex · eiy = ex (cos y + i sin y)
⇒ 0 = ez = ex (cos y + i sin y)
2
⇔ 0 = cos y + i sin y
Hieran erkenne wir sofort, dass keine Lösung zu nden ist, da es keinen Wert
gibt, für den
cos
und
sin 0
werden können !
3
y∈R