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Prof. W. Bley
Sommersemester 2011
Dustin Lazarovii
Abshlussklausur
Daniel Bembé
28. Juli 2011
Analysis I
Klausur
Nahname:
Vorname:
Matrikelnr.:
Fahsemester:
Abshluss:
Bahelor
❏
PO 2010
❏
PO 2011
❏
Lehramt Gymnasium
❏
modularisiert
❏
niht modularisiert
❏
Master
❏
Hauptfah:
❏
Mathematik
❏
Wirtshaftsm.
❏
Inf.
❏
Phys.
❏
Stat.
❏
Nebenfah:
❏
Mathematik
❏
Wirtshaftsm.
❏
Inf.
❏
Phys.
❏
Stat.
❏
Anrehnung
der Credit Points für das
Diplom
❏ Hauptfah
❏ Nebenfah
(Bahelor / Master)
Bitte überprüfen Sie, ob Sie fünf Aufgaben erhalten haben.
Shreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Nahnamen und Vornamen.
Lösungen zu vershiedenen Aufgaben bitte auf vershiedene Blätter shreiben.
Zugelassene Hilfsmittel: Shreibzeug, Lineal oder Geodreiek.
Bearbeitungszeit: 120 Minuten.
Viel Erfolg!
Pseudonym
1
2
/10
3
/12
4
/08
P
5
/06
/10
/46
Name:
[4 + 6 = 10 Punkte℄
Aufgabe 1.
a) Berehnen Sie Real- und Imaginärteil von
b) Sei
√1 (1
2
+ i)
100
.
A := {z ∈ C | Re(z) ≥ Im(z) ≥ 0, |z| ≤ 2} ⊂ C.
Zeihnen Sie in der komplexen Zahlenebene:
i) Die Menge
A.
ii) Das komplex konjugierte der Menge
iii) Die Menge
A2 := {z 2 | z ∈ A}.
Bitte begründen Sie alle Ihre Antworten.
A,
also
A := {z | z ∈ A}.
Name:
[4 + 4 + 4 = 12 Punkte℄
Aufgabe 2.
a) Bestimmen Sie, ob folgende Reihe (absolut) konvergent oder divergent ist:
∞
X
n=1
b) Sei
(an )n∈N
eine reelle Folge, und
n2 + 1
n3 − n + 5
a := lim an
n→∞
∞
X
n=1
existiere. Zeigen Sie, dass die Reihe
an+1 − an
konvergent ist, und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
) Sei
x ∈ R.
Untersuhen Sie die Funktionenfolge
∞
X
arctan(nx)
n=1
n2
auf Konvergenz. Ist die Grenzfunktion stetig? Begründen Sie Ihre Antwort.
Name:
Zu Aufgabe 2:
Name:
[6 + 2 = 8 Punkte℄
Aufgabe 3.
a) Sei
c ∈ R>0 .
Untersuhen Sie, wo die Abbildung
f : R>0 → R, x 7→ xc/x
monoton wahsend bzw. monoton fallend ist.
b) Entsheiden Sie mit Beweis welhe der beiden Zahlen
Hinweis: Verwenden Sie Teilaufgabe a).
√
2
√
3
und
√
√
3
2
gröÿer ist.
Name:
Zu Aufgabe 3:
Name:
Aufgabe 4.
H := {z ∈ C | Im(z) > 0}. Sei (zn )n∈N eine konvergente Folge in C
Zeigen Sie, dass dann zn ∈ H gilt für alle bis auf endlih viele n ∈ N.
Sei
[6 Punkte℄
mit Grenzwert
z ∈ H.
Name:
Aufgabe 5.
X, Y metrishe Räume und Y vollständig. Sei (xn )n∈N eine Cauhy-Folge
f : X → Y gleihmäÿig stetig. Zeigen Sie, dass (f (xn ))n∈N konvergent ist.
Seien
[10 Punkte℄
in
X
Hinweis: Drüken Sie die gegebenen Voraussetzungen formal aus. Ahten sie darauf, die
X und Y voneinander zu untersheiden.
Metriken auf
und