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Zentrum Mathematik
Tehnishe Universität Münhen
Prof. Dr. Bernd Shmidt
7. Juni 2010
Dr. Johannes Giannoulis
Blatt 6
Shwahe Konvergenzmethoden für
nihtlineare partielle Dierentialgleihungen
im Sommersemester 2010
Aufgabe 23: Ein Homogenisierungsresultat.
n×n
∞
n
n×n
A : [0, 1]n → Rsym
, periodish fortgesetzt zu A ∈ L (R ; Rsym ), gleihmäÿig elliptish,
(j)
n
und A (x) := A(jx). Ferner sei Ω ⊂ R oen und beshränkt. Zeigen Sie:
Z
(j) ∗
a) A
⇀
A(x) dx =: A in L∞ (Rn ).
Sei
[0,1]n
b)
A
ist elliptish.
u(j) ∈ H01 (Ω) shwahe Lösungen von div(A(j) ∇u(j)) = f (j)
2
(j)
shränkt in L (Ω). Dann ist ku kH 1 beshränkt.
) Seien
und
(f (j) )
be-
(j)
d) Es gelte (zeilenweise) divA
= 0 in D ′ (Rn ), sowie f (j) ⇀ f in L2 (Ω). Dann gilt
u(j) ⇀ u in H01 (Ω), wobei u die shwahe Lösung von div(A∇u) = f ist.
Aufgabe 24: Berehnen von Young-Maÿen.
Berehnen Sie das der Folge
dessen Erwartungswerte für
Aufgabe 25: Zur starken
Es sei
Ω ⊂ Rn
i) u(j) → u
in
u(j) (x) = sin(2πjx)
jedes x ∈ (0, 1) .
(0, 1)
zugehörige Young-Maÿ sowie
Lp -Konvergenz.
oen und beshränkt,
Lr (Ω)
auf
für ein
(u(j) ) ⊂ L∞ (Ω)
1≤r<∞
oder
beshränkt und
ii) u(j) → u
punktweise fast überall in
Ω.
Zeigen Sie:
a)
u(j) → u
b)
u(j) → u
in
Lp (Ω)
für alle
1 ≤ p < ∞.
dem Maÿe nah (entsprehend dem Konzept der Konvergenz in Wahr-
sheinlihkeit aus der Wahrsheinlihkeitstheorie), das heiÿt,
∀ ε > 0 : |{x ∈ Ω : |u(j)(x) − u(x)| ≥ ε}| → 0.