хсь рч п р × ыр р п п р р ж вчщп р ж × р д ь жв

Aufgabe 1
a1) Potenzial eines unendlih langen, kreiszylindrishen Leiters (a, q, ~rq )
Zylinderahse falle mit x = y = 0 zusammen
⇒
∂
∂
= 0,
= 0, ~r = x~ex + y~ey , r = |~r|
∂z
∂ϕ
Gauÿshen Satz anwenden auf Zylinder V der Länge
l und Radius r
Z
~ a = Q(V ) = 2πrlǫEr (r) =
Dd~
∂V
Er (r) =
q · l, r > a
0, r < a
1 2q
,
4πǫ r
r>a
0, r < a
(*): Das Potenzial ist auf und im Leiter konstant:
∂V
Er = −
⇒ V (r) =
∂r
Z∞
2q
E dr = −
4πǫ
′
r
ln r, r > a
ln a, r ≤ a
Verallgemeinerung: Zylinderahse falle mit x = xq und y = yq zusammen
~ r) =
E(~
2q ~r − ~rq
,
4πǫ |~r − ~rq |2
~ r) = 0,
E(~
~r ∈ R2 \L
~r ∈ L
2q
ln |~r − ~rq | , ~r ∈ R2 \L
4πǫ
2q
ln a,
~r ∈ L
V (~r) = −
4πǫ
V (~r) = −
1
a2) Potenzial zweier unendlih langer kreiszylindrisher Leiter (ai , qi, ~ri), wobei gilt:
a1 = a2 =: a,
q1 = −q2 =: q,
~r1 − ~r2 =: d >> a
Wegen d >> a stören sih die Ladungsverteilungen auf den beiden Leitern nur wenig,
in erster Näherung lsst sih das Potenzial
der Doppelleitung aus den ungestörten Potenzialen zweier einzelner Leiter superponieren!
V (~r) = −
2q1
2q2
ln |~r −~r1 | −
ln |~r −~r2 | =
4πǫ
4πǫ
=−
!
V (~r) = 0
[
|~r − ~r1 |
2q
ln
, ~r ∈ R2 \ Li
4πǫ |~r − ~r2 |
i
für Symmetrieebene
⇒ |~r − ~r1 | = |~r − ~r2 |
√
~r ∈ ∂L1 ⇒ |~r − ~r1 | = a, |~r − ~r2 | ≈ d
~r ∈ ∂L2 ⇒ |~r − ~r1 | ≈ d, |~r − ~r2 | = a
Spezialfall:
~r1 =
0
d
2
→ V (x, y) = −
,
~r2 =
0
− d2
)
und (*)
⇒ V (~r) =
[
x2 + (y − d2 )2
q
2
ln 2
,
(x,
y)
∈
R
\
Li
4πǫ
x + (y + d2 )2
i
2
2q
− 4πǫ
(
ln( ad ), ~r ∈ L1
ln( ad ), ~r ∈ L2
b)
Potenzial zweier Doppelleitungen unter der Voraussetzung
′
V (~r) =
)
~r ∈ ∂L1
~r ∈ ∂L2
und (*)
a1 , a2 << l, d1 , d2
′
|~r − ~r2 |
2q1 |~r − ~r1 | 2q2
ln
+
ln
4πǫ |~r − ~r1 | 4πǫ
|~r − ~r2 |
|~r − ~r1 |2
a21
l2
′
|~r − ~r1 |2
d21
l 2 + d1 d2

 V (~r) =
|~r − ~r2 |2
l2
a22
2
′
|~r − ~r2 |2
l 2 + d1 d2
d22
ln 1 + d1l2d2 =: V1 , ~r ∈ L1
⇒
 V (~r) = q1 ln 1 + d1 d2 + q2 ln d2 2 =: V , ~r ∈ L
2
2
4πǫ
l2
4πǫ
a2
q1
4πǫ
ln
d1
a1
+
q2
4πǫ
3
:
d)

 
2
 q 
v1
1
ln 1 + d1l2d2
ln ad11

 
 
4πǫ   = 
2   
d1 d2
d2
ln
1
+
ln
v2
q2
l2
a2
⇒
 
q1
 
  =
q2
invertieren:
mit N

4πǫ 

N
|
:= ln
d1
a1
2
d2
a2
ln
d1 d2
l2
− ln 1 +
2
− ln 1 + d1l2d2
ln ad11
{z
Kapazitätsmatrix
2
ln
d2
a2
2
 v 
1
 
 
v2
}
d1 d2
− ln 1 + 2
l
2
Für zwei Kugeln (statt Zylinder) ergibt sih:
  
v1

=
4πǫ
v2
1
a1
1
l
−
1
d1
1
l
− √ 21
1
a2
− √ 21
l +d1 d2
l +d1 d2
− d12
 
Q1
 
Q2
e)
α) l → ∞
 

q1
 

  = 4πǫ 
q2
1
“ ”2
d
ln a1
0
0
1
“ ”2
d
ln a2
1
2
 
v1
 
 
v2
β) d := d1 = d2 , d → ∞
2
ln ad2
ln d2 − ln a22
lim
= lim
=
2
2
2
2 2
d→∞
d→∞ (ln d2 − ln a2
N
1 )(ln d − ln a2 ) − (ln d − ln l )
1
1
=
=
2
2
2
2
2 ln l − (ln a1 + ln a2 )
2 ln l
a1 a2
Die anderen Koezienten ergeben sih nah ähnliher Rehnung!
q1
q2
!
=
2 ln
“4πǫ2 ”
l
a1 a2
1 −1
!
−1
1
|
{z
}
v1
v2
!
Sonderfall, denn Cij ist niht invertierbar!
Cij
(i) geg.:
(ii) geg.:
geg.:
v1 , v2
⇒ q1 , q2 ;
q1 , q2
⇒ v1 , v2 ;
q1 , q2 = −q1 ⇒ v1 − v2 ;
hier: q1 = −q2
hier niht möglih!
hier möglih!
4