Примерные вопросы к экзамену по дисциплине «Математический анализ»

Примерные вопросы к экзамену по дисциплине
«Математический анализ»
1. Множества и отображения. Множество действительных чисел.
2. Числовые функции и способы их задания. Область определения
функции. График функции. Неявные функции.
3. Предел числовой последовательности и его свойства. Передел функции
и его свойства. Замечательные пределы. Число е.
4. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва.
Основные теоремы о непрерывных функциях.
5. Основные
приемы
вычисления
пределов.
Раскрытие
неопределенностей.
6. Наклонные, горизонтальные и вертикальные асимптоты.
7. Производная.
Задачи,
приводящие
к
понятию
производной.
Определение производной, ее геометрический смысл. Механический и
экономический смысл производной.
8. Дифференцируемость
функции.
Основные
правила
дифференцирования. Дифференциал функции, его свойства и смысл.
Уравнение касательной.
9. Производные высших порядков. Формула Тейлора.
10.Правило Лопиталя. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.
11.Достаточные
признаки
монотонности.
Экстремумы
функции.
Необходимый признак экстремума. Достаточные признаки экстремума.
Наибольшее и наименьшее значение на отрезке.
12.Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
13.Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного
интеграла. Таблица основных интегралов.
14.Методы интегрирования. Замена переменной и интегрирование по
частям.
15.Определенный интеграл Римана как предел интегральной суммы.
Свойства определенного интеграла.
16.Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула
Ньютона-Лейбница.
17.Несобственные интегралы 1-го 2-го рода. Сходимость. Примеры.
18.Геометрические приложения определенного интеграла. Приближенное
вычисление определенного интеграла.
19.Числовые ряды. Сходимость ряда и его сумма. Свойства сходящихся
рядов. Необходимый признак сходимости. Интегральный признак
сходимости. Расходимость гармонического ряда.
20.Признаки сходимости Даламбера и Коши, признаки сравнения.
21.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная
сходимости рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов Свойства
условно сходящихся рядов.
22.Функциональные ряды. Определение и свойства. Область сходимости.
Свойство суммы функционального ряда.
23.Степенные ряды. Теорема Абеля. Область, интервал и радиус
сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование
степенных рядов.
24.Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора - Маклорена.
25.Функции нескольких переменных Основные понятия.
26.Предел и непрерывность функций нескольких переменных.
27.Частные производные функции нескольких переменных. Производная
по направлению.
28.Градиент. Полный дифференциал. Уравнение касательной плоскости.
29.Частные производные высших порядков. Формула Тейлора.
30.Экстремумы функции нескольких переменных, Необходимое условие и
достаточные условия экстремума.
31.Вычисление кратных интегралов. Приложения кратных интегралов.
32.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее и частное
решения. Задача Коши. Поле направлений. Интегральные кривые.
Примеры задач приводящих к дифференциальным уравнениям. Метод
Эйлера приближенного решения.
33.Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Теорема о существовании
и единственности решения задачи Коши.
34.Основные методы интегрирования дифференциальных уравнений 1-го
порядка.
35.Основные методы интегрирования дифференциальных уравнений 2-го
порядка.
36.Системы дифференциальных уравнений.
37.Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений.
38.Векторные поля и их свойства. Операции над векторными полями.
39.Криволинейные интегралы. Свойства и применение.