Определённый интеграл Римана

1. Определённый интеграл Римана.
1. Задача об определении и вычислении площади. Частная задача о площади “под
графиком функции”. Определение интеграла Римана функции, заданной на замкнутом
ограниченном интервале: разбиение с отмеченными точками, интегральные суммы
Римана, переход к пределу. Ограниченность интегрируемой функции.
2. Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций.
3. Основные свойства интеграла Римана: интеграл константы; линейность,
интегрирование неравенств, интегральное среднее, связь интеграла функции с интегралом
её модуля; аддитивность интеграла как функции интервала интегрирования.
4 Определённый интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность,
дифференцируемость. Наличие первообразной у непрерывной функции. Формула
Ньютона-Лейбница.
5. Вычисление определённого интеграла по частям и методом замены переменной.
6.Общая схема применения интеграла Римана к вычислению геометрических,
механических и физических величин. Вычисление длина дуги, площадей плоских фигур,
объемов тел.
2.. Несобственные интегралы.
2.1. Определение несобственного интеграла 1-го рода, интегралы степенных функций.
Критерий Коши сходимости интеграла. Случай положительной функции: свойство
ограниченности первообразной, признак сравнения. Абсолютная сходимость, теорема
Абеля-Дирихле. Несобственные интегралы 2-го рода.
2.2. Общий случай несобственного интеграла. Примеры: функция гамма Эйлера
(определение, область существования, основное функциональное соотношение,
распространение факториала на множество положительных чисел); функция бета Эйлера
(определение, область существования).
3.Ряды.
1. Числовые ряды.
1.1. Определение числового ряда, его сходимости и расходимости. Иллюстрация
монотонной и колеблющейся сходимости и расходимости. Критерий Коши для числовых
рядов. Расходимость гармонического ряда, сходимость ряда обратных квадратов.
Необходимый признак сходимости ряда.
1.2. Свойство частичных сумм ряда с неотрицательными членами. Признак сравнения.
Признаки Даламбера, Коши (радикальный и интегральный). Абсолютно и условно
сходящиеся ряды. Признак Лейбница. Теорема Абеля-Дирихле.
1.2. Сходимость суммы рядов, произведения на число, произведения рядов в смысле
Коши. Группировка членов ряда, перестановка членов ряда.
2. Функциональные последовательности и ряды.
2.1. Определение сходимости последовательности функций на множестве. Проблема
переноса свойств функций последовательности на предельную функцию. Два определения
равномерной сходимости последовательности. Критерий Коши равномерной сходимости
последовательности. Теоремы об ограниченности, непрерывности, интегрируемости и
дифференцируемости предельной функции.
2.2. Сходимость и равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши
равномерной сходимости числового ряда. Признак Вейерштрасса равномерной
сходимости ряда. Теоремы об ограниченности, непрерывности, интегрируемости и
дифференцируемости суммы ряда.
3. Степенные ряды.
3.1. Определение степенного ряда. Первая теорема Абеля. Теорема Коши-Адамара о
радиусе и интервале сходимости степенного ряда. Использование признака Даламбера.
3.2. Равномерная сходимость степенного ряда, непрерывность его суммы внутри
интервала сходимости. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного
ряда.
3.3. Задача о разложении бесконечно дифференцируемой функции в её ряд Тейлора исследование остаточного члена формулы Тейлора. Пример функции, не совпадающей со
своим рядом Тейлора. Теорема о единственности разложения функции в степенной ряд
4. Функции нескольких переменных.
. Метрические свойства n-мерного пространства.
n
4.1. Пространство R . Расстояние, открытые шары. Ограниченные множества, открытые и
замкнутые множества, плотные множества.
4.2. Ограниченность и сходимость последовательности. Эквивалентность сходимости
последовательности векторов и системы координатных числовых последовательностей.
Свойства сходящихся последовательностей векторов.
4.3.
Определение
векторной
функции
векторной
переменной
y = f ( x) : ( D ⊂ R m ) → R n , частные случаи
m = n = 1; m = 1, n > 1; m > 1, n = 1:
геометрическая и физическая интерпретация. Понятия предела и непрерывности, обзор их
свойств.
5. Векторные функции действительной переменной
5.1. Производная: определение, координатное представление, физический и
геометрический смысл. Дифференциал. Касательная к кривой, заданной параметрически.
Изменение производной при замене параметра, инвариантность касательной.
5.2. Вторая производная, формула Тейлора. Правила дифференцирования суммы и
произведений, производная векторной функции с постоянным модулем.
5.3. Определение, координатное представление и основные свойства определённого
интеграла векторной функции. Первообразная, формула Ньютона-Лейбница,
интегрирование по частям.
6. Пространственные кривые.
6.1. Длина дуги пространственной кривой: определение, условия существования и
формула для вычисления в векторном виде. Частные случаи различных координатных
представлений кривой.
6.2. Длина дуги как параметр (естественная параметризация кривой).
7. Числовые функции вектора (функции нескольких переменных).
7.1. Определение функции нескольких переменных f : ( D ⊂ R ) → R , её графика и
поверхностей уровня. Случаи n = 1, 2,3 . Понятие предела и непрерывности функции в
точке.
7.2. Определение дифференцируемости функции в точке, дифференциал, частные
производные первого порядка, градиент, касательная плоскость. Геометрическая
n
иллюстрация этих понятий для случая n = 2 . Пример функции, имеющей в точке частные
производные, но не дифференцируемой. Достаточное условие дифференцируемости.
Производная по направлению: определение, существование, связь с градиентом.
7.3. Дифференцируемость сложной функции. Вычисление частных производных сложной
функции. Полная производная: определение, физическая интерпретация.
7.4. Постановка задачи о неявной функции, определение неявной функции y = y ( x) ,
заданной соотношением F ( x, y ) = C . Формулировка и доказательство теоремы о неявной
функции. Формулировка общей теоремы о неявной функции. Практическое вычисление
производных неявной функции. Приложения неявных функций: касательная к плоской
линии, заданной общим уравнением; касательная плоскость к поверхности, заданной
общим уравнением; касательная к пространственной линии, заданной как пересечение
двух поверхностей.
7.5. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума во
внутренней точке. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа. Нахождение
глобального экстремума в замкнутой области.
7.6. Высшие производные и дифференциалы функции нескольких переменных. Формула
Тейлора. Локальное исследование функции с помощью формулы Тейлора. Приближённый
метод наискорейшего спуска.