Вопросы к зачету по ТФКП

Вопросы к зачету по ТФКП
для студентов III курса математического факультета
осенний семестр 2002-2003 уч. г.
1. Поле  комплексных чисел (к.ч.). Геометрическое изображение к.ч. Действия с к.ч. в алгебраической, тригонометрической и показательной форме. Примеры.
2. Последовательности и ряды к.ч. Предел последовательности (определение, геометрическая интерпретация, связь с ограниченностью, примеры). Частичная сумма и сумма ряда. Примеры сходящихся и расходящихся рядов, исследование на сходимость. Критерий сходимости. Необходимое условие сходимости. Абсолютная и условная сходимость ряда. Признаки Коши и Даламбера абсолютной сходимости. Действия с рядами.
3. Доказать: если z n  xn  iyn , z 0  x0  iy0 , то

 lim xn  x0
а) lim z n  z 0   n
n 
lim y  y 0

 n  n
б)



n 1
n 1
n 1
 z n - сходится (абсолютно)   xn   y n - сходятся (абсолютно).
Примеры.
4. Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды в комплексной области.
Радиус и круг сходимости степенного ряда. Разложение в ряд Тейлора (Лорана) дробно
– рациональных функций (используя геометрические ряды). Теорема Коши – Адамара.
Теорема Абеля. Равномерная сходимость степенных рядов. Свойства суммы степенного
ряда (непрерывность, аналитичность, бесконечная дифференцируемость). Примеры.
5. Производная ф.к.п. Определение, примеры (в т.ч. w  Re z ). Производная к. ф. от вещественного аргумента. Дифференцируемость ф. к. п. в точке (определение, связь с непрерывностью и с существованием производной функции в этой точке). Дифференциал.
6. Критерий дифференцируемости ф. к. п. в точке. Условия Коши – Римана. Определение
аналитической в точке (в области) функции. Примеры.
7. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие конформного отображения. Примеры.
8. Дробно – линейная функция. Ее основные свойства (в т.ч. круговое и групповое). Примеры.
9. Степенная функция с натуральным показателем: w  z n , n   \{1}. Нарушение конформности в точке z = 0.
10. Показательная функция ( w  exp z ). Ее основные свойства (в т.ч. периодичность, теорема сложения). Примеры.
11. Тригонометрические функции (sin z, cos z). Их основные свойства (в т.ч. формула Эйлера, нули функции, периодичность, неограниченность). Показательная
форма к. ч. Примеры.
12. Логарифмическая функция как обратная к функции w  exp z . Основные свойства
функции w  Ln z (в т.ч. выделение однозначных ветвей). Выражение обратных тригонометрических и обратных гиперболических функций через логарифмическую. Примеры.
13. Степень к.ч. с комплексным показателем. Общая степенная и общая показательная
функции. Примеры.
14. Функция w  n z . Определение, основные свойства. Однозначные ветви.
15. Понятие об интеграле от ф.к.п. Вычисление. Теорема Коши для односвязных и неодносвязных областей.