ИвановАВ Презентация урока Правильные многогранники

Ðåâäèíñêèé Öåíòð ìåäèöèíñêîãî îáðàçîâàíèÿ
ÃÁÏÎÓ ¾Ñâåðäëîâñêèé îáëàñòíîé ìåäèöèíñêèé êîëëåäæ¿
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
ÐÀÇÄÅË 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÔÈÃÓÐÛ
8.5. Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè
34.02.01 Ñåñòðèíñêîå äåëî
31.02.03 Ëàáîðàòîðíàÿ äèàãíîñòèêà
Ñîñòàâèòåëü:
Èâàíîâ Àëåêñåé Âèòàëüåâè÷
Ðåâäà 2020
ÏÎÂÒÎÐÅÍÈÅ
1
×òî òàêîå ìíîãîãðàííèê?
ýòî òåëî, ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî ñîñòàâëåíà èç
êîíå÷íîãî ÷èñëà ïëîñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ.
×òî íàçûâàþò ãðàíüþ, ðåáðîì è âåðøèíîé ìíîãîãðàííèêà?
ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê, ÿâëÿþùèéñÿ
÷àñòüþ ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà è îãðàíè÷åííûé åãî ð¼áðàìè.
ñòîðîíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
âåðøèíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
Êàêîé ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì?
ýòî ìíîãîãðàííèê, ðàñïîëîæåííûé
ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè åãî ëþáîé ãðàíè.
Êàêèå âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè ìû óæå çíàåì?
Ìíîãîãðàííèê
2
Ãðàíü ìíîãîãðàííèêà
Ðåáðî ìíîãîãðàííèêà
Âåðøèíà ìíîãîãðàííèêà
3
Âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê
4
Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, ïèðàìèäà.
2
ÏÎÂÒÎÐÅÍÈÅ
1
×òî òàêîå ìíîãîãðàííèê?
ýòî òåëî, ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî ñîñòàâëåíà èç
êîíå÷íîãî ÷èñëà ïëîñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ.
×òî íàçûâàþò ãðàíüþ, ðåáðîì è âåðøèíîé ìíîãîãðàííèêà?
ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê, ÿâëÿþùèéñÿ
÷àñòüþ ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà è îãðàíè÷åííûé åãî ð¼áðàìè.
ñòîðîíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
âåðøèíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
Êàêîé ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì?
ýòî ìíîãîãðàííèê, ðàñïîëîæåííûé
ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè åãî ëþáîé ãðàíè.
Êàêèå âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè ìû óæå çíàåì?
Ìíîãîãðàííèê
2
Ãðàíü ìíîãîãðàííèêà
Ðåáðî ìíîãîãðàííèêà
Âåðøèíà ìíîãîãðàííèêà
3
Âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê
4
Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, ïèðàìèäà.
2
ÏÎÂÒÎÐÅÍÈÅ
1
×òî òàêîå ìíîãîãðàííèê?
ýòî òåëî, ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî ñîñòàâëåíà èç
êîíå÷íîãî ÷èñëà ïëîñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ.
×òî íàçûâàþò ãðàíüþ, ðåáðîì è âåðøèíîé ìíîãîãðàííèêà?
ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê, ÿâëÿþùèéñÿ
÷àñòüþ ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà è îãðàíè÷åííûé åãî ð¼áðàìè.
ñòîðîíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
âåðøèíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
Êàêîé ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì?
ýòî ìíîãîãðàííèê, ðàñïîëîæåííûé
ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè åãî ëþáîé ãðàíè.
Êàêèå âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè ìû óæå çíàåì?
Ìíîãîãðàííèê
2
Ãðàíü ìíîãîãðàííèêà
Ðåáðî ìíîãîãðàííèêà
Âåðøèíà ìíîãîãðàííèêà
3
Âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê
4
Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, ïèðàìèäà.
2
ÏÎÂÒÎÐÅÍÈÅ
1
×òî òàêîå ìíîãîãðàííèê?
ýòî òåëî, ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî ñîñòàâëåíà èç
êîíå÷íîãî ÷èñëà ïëîñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ.
×òî íàçûâàþò ãðàíüþ, ðåáðîì è âåðøèíîé ìíîãîãðàííèêà?
ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê, ÿâëÿþùèéñÿ
÷àñòüþ ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà è îãðàíè÷åííûé åãî ð¼áðàìè.
ñòîðîíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
âåðøèíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
Êàêîé ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì?
ýòî ìíîãîãðàííèê, ðàñïîëîæåííûé
ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè åãî ëþáîé ãðàíè.
Êàêèå âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè ìû óæå çíàåì?
Ìíîãîãðàííèê
2
Ãðàíü ìíîãîãðàííèêà
Ðåáðî ìíîãîãðàííèêà
Âåðøèíà ìíîãîãðàííèêà
3
Âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê
4
Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, ïèðàìèäà.
2
ÏÎÂÒÎÐÅÍÈÅ
1
×òî òàêîå ìíîãîãðàííèê?
ýòî òåëî, ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî ñîñòàâëåíà èç
êîíå÷íîãî ÷èñëà ïëîñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ.
×òî íàçûâàþò ãðàíüþ, ðåáðîì è âåðøèíîé ìíîãîãðàííèêà?
ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê, ÿâëÿþùèéñÿ
÷àñòüþ ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà è îãðàíè÷åííûé åãî ð¼áðàìè.
ñòîðîíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
âåðøèíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
Êàêîé ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì?
ýòî ìíîãîãðàííèê, ðàñïîëîæåííûé
ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè åãî ëþáîé ãðàíè.
Êàêèå âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè ìû óæå çíàåì?
Ìíîãîãðàííèê
2
Ãðàíü ìíîãîãðàííèêà
Ðåáðî ìíîãîãðàííèêà
Âåðøèíà ìíîãîãðàííèêà
3
Âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê
4
Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, ïèðàìèäà.
2
ÏÎÂÒÎÐÅÍÈÅ
1
×òî òàêîå ìíîãîãðàííèê?
ýòî òåëî, ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî ñîñòàâëåíà èç
êîíå÷íîãî ÷èñëà ïëîñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ.
×òî íàçûâàþò ãðàíüþ, ðåáðîì è âåðøèíîé ìíîãîãðàííèêà?
ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê, ÿâëÿþùèéñÿ
÷àñòüþ ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà è îãðàíè÷åííûé åãî ð¼áðàìè.
ñòîðîíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
âåðøèíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
Êàêîé ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì?
ýòî ìíîãîãðàííèê, ðàñïîëîæåííûé
ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè åãî ëþáîé ãðàíè.
Êàêèå âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè ìû óæå çíàåì?
Ìíîãîãðàííèê
2
Ãðàíü ìíîãîãðàííèêà
Ðåáðî ìíîãîãðàííèêà
Âåðøèíà ìíîãîãðàííèêà
3
Âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê
4
Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, ïèðàìèäà.
2
ÏÎÂÒÎÐÅÍÈÅ
1
×òî òàêîå ìíîãîãðàííèê?
ýòî òåëî, ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî ñîñòàâëåíà èç
êîíå÷íîãî ÷èñëà ïëîñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ.
×òî íàçûâàþò ãðàíüþ, ðåáðîì è âåðøèíîé ìíîãîãðàííèêà?
ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê, ÿâëÿþùèéñÿ
÷àñòüþ ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà è îãðàíè÷åííûé åãî ð¼áðàìè.
ñòîðîíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
âåðøèíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
Êàêîé ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì?
ýòî ìíîãîãðàííèê, ðàñïîëîæåííûé
ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè åãî ëþáîé ãðàíè.
Êàêèå âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè ìû óæå çíàåì?
Ìíîãîãðàííèê
2
Ãðàíü ìíîãîãðàííèêà
Ðåáðî ìíîãîãðàííèêà
Âåðøèíà ìíîãîãðàííèêà
3
Âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê
4
Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, ïèðàìèäà.
2
ÏÎÂÒÎÐÅÍÈÅ
1
×òî òàêîå ìíîãîãðàííèê?
ýòî òåëî, ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî ñîñòàâëåíà èç
êîíå÷íîãî ÷èñëà ïëîñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ.
×òî íàçûâàþò ãðàíüþ, ðåáðîì è âåðøèíîé ìíîãîãðàííèêà?
ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê, ÿâëÿþùèéñÿ
÷àñòüþ ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà è îãðàíè÷åííûé åãî ð¼áðàìè.
ñòîðîíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
âåðøèíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
Êàêîé ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì?
ýòî ìíîãîãðàííèê, ðàñïîëîæåííûé
ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè åãî ëþáîé ãðàíè.
Êàêèå âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè ìû óæå çíàåì?
Ìíîãîãðàííèê
2
Ãðàíü ìíîãîãðàííèêà
Ðåáðî ìíîãîãðàííèêà
Âåðøèíà ìíîãîãðàííèêà
3
Âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê
4
Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, ïèðàìèäà.
2
ÏÎÂÒÎÐÅÍÈÅ
1
×òî òàêîå ìíîãîãðàííèê?
ýòî òåëî, ïîâåðõíîñòü êîòîðîãî ñîñòàâëåíà èç
êîíå÷íîãî ÷èñëà ïëîñêèõ ìíîãîóãîëüíèêîâ.
×òî íàçûâàþò ãðàíüþ, ðåáðîì è âåðøèíîé ìíîãîãðàííèêà?
ïëîñêèé ìíîãîóãîëüíèê, ÿâëÿþùèéñÿ
÷àñòüþ ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà è îãðàíè÷åííûé åãî ð¼áðàìè.
ñòîðîíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
âåðøèíà ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.
Êàêîé ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì?
ýòî ìíîãîãðàííèê, ðàñïîëîæåííûé
ïî îäíó ñòîðîíó îò ïëîñêîñòè åãî ëþáîé ãðàíè.
Êàêèå âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè ìû óæå çíàåì?
Ìíîãîãðàííèê
2
Ãðàíü ìíîãîãðàííèêà
Ðåáðî ìíîãîãðàííèêà
Âåðøèíà ìíîãîãðàííèêà
3
Âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê
4
Ïðèçìà, ïàðàëëåëåïèïåä, ïèðàìèäà.
2
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
ýòî âûïóêëûé
ìíîãîãðàííèê, ó êîòîðîãî âñå ãðàíè ðàâíûå
ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè è èç êàæäîé åãî âåðøèíû
âûõîäèò îäèíàêîâîå ÷èñëî ðåáåð.
Ïðàâèëüíûé ìíîãîãðàííèê
Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè òàêæå
.
Çàìå÷àíèå.
Ïëàòîíîâûìè òåëàìè
íàçûâàþò
3
ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
ýòî âûïóêëûé
ìíîãîãðàííèê, ó êîòîðîãî âñå ãðàíè ðàâíûå
ïðàâèëüíûå ìíîãîóãîëüíèêè è èç êàæäîé åãî âåðøèíû
âûõîäèò îäèíàêîâîå ÷èñëî ðåáåð.
Ïðàâèëüíûé ìíîãîãðàííèê
Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè òàêæå
.
Çàìå÷àíèå.
Ïëàòîíîâûìè òåëàìè
íàçûâàþò
3
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
Ó ïðàâèëüíîãî ìíîãîãðàííèêà ãðàíÿìè ìîãóò áûòü òîëüêî ïðàâèëüíûå
òðåóãîëüíèêè, ÷åòûð¼õóãîëüíèêè (êâàäðàòû) è ïÿòèóãîëüíèêè.
Äîê-âî:
1) âíóòðåííèé óãîë ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ðàâåí
α=
π(n − 2)
n
2) m-ãðàííûé óãîë (ïðè âåðøèíå ìíîãîãðàííèêà) ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà
α1 + α2 + . . . + αm = m
π(n − 2)
< 2π
n
3) èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷àåì
1
1
1
+ >
m
n
2
(1)
4) äëÿ n > 3 è m > 3 íåðàâåíñòâî (1) èìååò ñëåäóþùèå öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ:
(n, m) = {(3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3)}
×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
4
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
Ó ïðàâèëüíîãî ìíîãîãðàííèêà ãðàíÿìè ìîãóò áûòü òîëüêî ïðàâèëüíûå
òðåóãîëüíèêè, ÷åòûð¼õóãîëüíèêè (êâàäðàòû) è ïÿòèóãîëüíèêè.
Äîê-âî:
1) âíóòðåííèé óãîë ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ðàâåí
α=
π(n − 2)
n
2) m-ãðàííûé óãîë (ïðè âåðøèíå ìíîãîãðàííèêà) ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà
α1 + α2 + . . . + αm = m
π(n − 2)
< 2π
n
3) èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷àåì
1
1
1
+ >
m
n
2
(1)
4) äëÿ n > 3 è m > 3 íåðàâåíñòâî (1) èìååò ñëåäóþùèå öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ:
(n, m) = {(3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3)}
×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
4
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
Ó ïðàâèëüíîãî ìíîãîãðàííèêà ãðàíÿìè ìîãóò áûòü òîëüêî ïðàâèëüíûå
òðåóãîëüíèêè, ÷åòûð¼õóãîëüíèêè (êâàäðàòû) è ïÿòèóãîëüíèêè.
Äîê-âî:
1) âíóòðåííèé óãîë ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ðàâåí
α=
π(n − 2)
n
2) m-ãðàííûé óãîë (ïðè âåðøèíå ìíîãîãðàííèêà) ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà
α1 + α2 + . . . + αm = m
π(n − 2)
< 2π
n
3) èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷àåì
1
1
1
+ >
m
n
2
(1)
4) äëÿ n > 3 è m > 3 íåðàâåíñòâî (1) èìååò ñëåäóþùèå öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ:
(n, m) = {(3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3)}
×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
4
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
Ó ïðàâèëüíîãî ìíîãîãðàííèêà ãðàíÿìè ìîãóò áûòü òîëüêî ïðàâèëüíûå
òðåóãîëüíèêè, ÷åòûð¼õóãîëüíèêè (êâàäðàòû) è ïÿòèóãîëüíèêè.
Äîê-âî:
1) âíóòðåííèé óãîë ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ðàâåí
α=
π(n − 2)
n
2) m-ãðàííûé óãîë (ïðè âåðøèíå ìíîãîãðàííèêà) ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà
α1 + α2 + . . . + αm = m
π(n − 2)
< 2π
n
3) èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷àåì
1
1
1
+ >
m
n
2
(1)
4) äëÿ n > 3 è m > 3 íåðàâåíñòâî (1) èìååò ñëåäóþùèå öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ:
(n, m) = {(3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3)}
×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
4
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
Ó ïðàâèëüíîãî ìíîãîãðàííèêà ãðàíÿìè ìîãóò áûòü òîëüêî ïðàâèëüíûå
òðåóãîëüíèêè, ÷åòûð¼õóãîëüíèêè (êâàäðàòû) è ïÿòèóãîëüíèêè.
Äîê-âî:
1) âíóòðåííèé óãîë ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ðàâåí
α=
π(n − 2)
n
2) m-ãðàííûé óãîë (ïðè âåðøèíå ìíîãîãðàííèêà) ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà
α1 + α2 + . . . + αm = m
π(n − 2)
< 2π
n
3) èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷àåì
1
1
1
+ >
m
n
2
(1)
4) äëÿ n > 3 è m > 3 íåðàâåíñòâî (1) èìååò ñëåäóþùèå öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ:
(n, m) = {(3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3)}
×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
4
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
Ñóùåñòâóåò ðîâíî ïÿòü ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ.
Äîê-âî:
1) äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà äëÿ
âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà:
à +  − Ð = 2.
(2)
2) Ïóñòü ãðàíè ïðàâèëüíûå n-óãîëüíèêè, à m ÷èñëî ð¼áåð,
âûõîäÿùèõ èç îäíîé âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà.
3) Òàê êàê êàæäîå ðåáðî ñîåäèíÿåò äâå âåðøèíû, è â êàæäîé âåðøèíå
ñõîäÿòñÿ m ð¼áåð, òî 2Ð = Âm. Òîãäà  = 2Ð/m.
4) Òàê êàê êàæäîå ðåáðî ìíîãîãðàííèêà ñîäåðæèòñÿ â äâóõ ãðàíÿõ, òî
Ã=n = 2Ð. Òîãäà Ã= 2Ð/n.
5
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
Ñóùåñòâóåò ðîâíî ïÿòü ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ.
Äîê-âî:
1) äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà äëÿ
âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà:
à +  − Ð = 2.
(2)
2) Ïóñòü ãðàíè ïðàâèëüíûå n-óãîëüíèêè, à m ÷èñëî ð¼áåð,
âûõîäÿùèõ èç îäíîé âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà.
3) Òàê êàê êàæäîå ðåáðî ñîåäèíÿåò äâå âåðøèíû, è â êàæäîé âåðøèíå
ñõîäÿòñÿ m ð¼áåð, òî 2Ð = Âm. Òîãäà  = 2Ð/m.
4) Òàê êàê êàæäîå ðåáðî ìíîãîãðàííèêà ñîäåðæèòñÿ â äâóõ ãðàíÿõ, òî
Ã=n = 2Ð. Òîãäà Ã= 2Ð/n.
5
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
Ñóùåñòâóåò ðîâíî ïÿòü ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ.
Äîê-âî:
1) äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà äëÿ
âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà:
à +  − Ð = 2.
(2)
2) Ïóñòü ãðàíè ïðàâèëüíûå n-óãîëüíèêè, à m ÷èñëî ð¼áåð,
âûõîäÿùèõ èç îäíîé âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà.
3) Òàê êàê êàæäîå ðåáðî ñîåäèíÿåò äâå âåðøèíû, è â êàæäîé âåðøèíå
ñõîäÿòñÿ m ð¼áåð, òî 2Ð = Âm. Òîãäà  = 2Ð/m.
4) Òàê êàê êàæäîå ðåáðî ìíîãîãðàííèêà ñîäåðæèòñÿ â äâóõ ãðàíÿõ, òî
Ã=n = 2Ð. Òîãäà Ã= 2Ð/n.
5
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
Ñóùåñòâóåò ðîâíî ïÿòü ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ.
Äîê-âî:
1) äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà äëÿ
âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà:
à +  − Ð = 2.
(2)
2) Ïóñòü ãðàíè ïðàâèëüíûå n-óãîëüíèêè, à m ÷èñëî ð¼áåð,
âûõîäÿùèõ èç îäíîé âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà.
3) Òàê êàê êàæäîå ðåáðî ñîåäèíÿåò äâå âåðøèíû, è â êàæäîé âåðøèíå
ñõîäÿòñÿ m ð¼áåð, òî 2Ð = Âm. Òîãäà  = 2Ð/m.
4) Òàê êàê êàæäîå ðåáðî ìíîãîãðàííèêà ñîäåðæèòñÿ â äâóõ ãðàíÿõ, òî
Ã=n = 2Ð. Òîãäà Ã= 2Ð/n.
5
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
Ñóùåñòâóåò ðîâíî ïÿòü ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ.
Äîê-âî:
1) äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà äëÿ
âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà:
à +  − Ð = 2.
(2)
2) Ïóñòü ãðàíè ïðàâèëüíûå n-óãîëüíèêè, à m ÷èñëî ð¼áåð,
âûõîäÿùèõ èç îäíîé âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà.
3) Òàê êàê êàæäîå ðåáðî ñîåäèíÿåò äâå âåðøèíû, è â êàæäîé âåðøèíå
ñõîäÿòñÿ m ð¼áåð, òî 2Ð = Âm. Òîãäà  = 2Ð/m.
4) Òàê êàê êàæäîå ðåáðî ìíîãîãðàííèêà ñîäåðæèòñÿ â äâóõ ãðàíÿõ, òî
Ã=n = 2Ð. Òîãäà Ã= 2Ð/n.
5
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
5) Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ à è  â ôîðìóëó Ýéëåðà (2), ïîëó÷èì
2Ð
2Ð
+
− Ð = 2.
m
n
6) Ïîäåëèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà 2P , ïîëó÷èì
(3)
Ð
7) Ïîäñòàâëÿÿ (èç ïðåäûäóùåãî ñâîéñòâà) â (3) íàéäåííûå äîïóñòèìûå ïàðû
(m, n) è ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû äëÿ  è à ÷åðåç Ð, ïîëó÷àåì ïðàâèëüíûå
ìíîãîãðàííèêè ñî ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðàìè:
1. n = 3, m = 3, Ð = 6, Ã= 4 òåòðàýäð;
2. n = 3, m = 4, Ð = 12, Ã= 8 îêòàýäð;
3. n = 3, m = 5, Ð = 30, Ã= 20 èêîñàýäð;
4. n = 4, m = 3, Ð = 12, Ã= 6 êóá;
5. n = 5, m = 3, Ð = 30, Ã= 12 äîäåêàýäð.
1
1
1
1
+ − = .
m
n
2
×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
6
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
5) Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ à è  â ôîðìóëó Ýéëåðà (2), ïîëó÷èì
2Ð
2Ð
+
− Ð = 2.
m
n
6) Ïîäåëèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà 2P , ïîëó÷èì
(3)
Ð
7) Ïîäñòàâëÿÿ (èç ïðåäûäóùåãî ñâîéñòâà) â (3) íàéäåííûå äîïóñòèìûå ïàðû
(m, n) è ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû äëÿ  è à ÷åðåç Ð, ïîëó÷àåì ïðàâèëüíûå
ìíîãîãðàííèêè ñî ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðàìè:
1. n = 3, m = 3, Ð = 6, Ã= 4 òåòðàýäð;
2. n = 3, m = 4, Ð = 12, Ã= 8 îêòàýäð;
3. n = 3, m = 5, Ð = 30, Ã= 20 èêîñàýäð;
4. n = 4, m = 3, Ð = 12, Ã= 6 êóá;
5. n = 5, m = 3, Ð = 30, Ã= 12 äîäåêàýäð.
1
1
1
1
+ − = .
m
n
2
×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
6
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
5) Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ à è  â ôîðìóëó Ýéëåðà (2), ïîëó÷èì
2Ð
2Ð
+
− Ð = 2.
m
n
6) Ïîäåëèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà 2P , ïîëó÷èì
(3)
Ð
7) Ïîäñòàâëÿÿ (èç ïðåäûäóùåãî ñâîéñòâà) â (3) íàéäåííûå äîïóñòèìûå ïàðû
(m, n) è ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû äëÿ  è à ÷åðåç Ð, ïîëó÷àåì ïðàâèëüíûå
ìíîãîãðàííèêè ñî ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðàìè:
1. n = 3, m = 3, Ð = 6, Ã= 4 òåòðàýäð;
2. n = 3, m = 4, Ð = 12, Ã= 8 îêòàýäð;
3. n = 3, m = 5, Ð = 30, Ã= 20 èêîñàýäð;
4. n = 4, m = 3, Ð = 12, Ã= 6 êóá;
5. n = 5, m = 3, Ð = 30, Ã= 12 äîäåêàýäð.
1
1
1
1
+ − = .
m
n
2
×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
6
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
5) Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ à è  â ôîðìóëó Ýéëåðà (2), ïîëó÷èì
2Ð
2Ð
+
− Ð = 2.
m
n
6) Ïîäåëèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà 2P , ïîëó÷èì
(3)
Ð
7) Ïîäñòàâëÿÿ (èç ïðåäûäóùåãî ñâîéñòâà) â (3) íàéäåííûå äîïóñòèìûå ïàðû
(m, n) è ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû äëÿ  è à ÷åðåç Ð, ïîëó÷àåì ïðàâèëüíûå
ìíîãîãðàííèêè ñî ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðàìè:
1. n = 3, m = 3, Ð = 6, Ã= 4 òåòðàýäð;
2. n = 3, m = 4, Ð = 12, Ã= 8 îêòàýäð;
3. n = 3, m = 5, Ð = 30, Ã= 20 èêîñàýäð;
4. n = 4, m = 3, Ð = 12, Ã= 6 êóá;
5. n = 5, m = 3, Ð = 30, Ã= 12 äîäåêàýäð.
1
1
1
1
+ − = .
m
n
2
×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
6
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÎÃÎ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÀ
5) Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ à è  â ôîðìóëó Ýéëåðà (2), ïîëó÷èì
2Ð
2Ð
+
− Ð = 2.
m
n
6) Ïîäåëèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà 2P , ïîëó÷èì
(3)
Ð
7) Ïîäñòàâëÿÿ (èç ïðåäûäóùåãî ñâîéñòâà) â (3) íàéäåííûå äîïóñòèìûå ïàðû
(m, n) è ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû äëÿ  è à ÷åðåç Ð, ïîëó÷àåì ïðàâèëüíûå
ìíîãîãðàííèêè ñî ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðàìè:
1. n = 3, m = 3, Ð = 6, Ã= 4 òåòðàýäð;
2. n = 3, m = 4, Ð = 12, Ã= 8 îêòàýäð;
3. n = 3, m = 5, Ð = 30, Ã= 20 èêîñàýäð;
4. n = 4, m = 3, Ð = 12, Ã= 6 êóá;
5. n = 5, m = 3, Ð = 30, Ã= 12 äîäåêàýäð.
1
1
1
1
+ − = .
m
n
2
×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
6
ÒÅÒÐÀÝÄÐ
7
ÃÅÊÑÀÝÄÐ (ÊÓÁ)
8
ÎÊÒÀÝÄÐ
9
ÄÎÄÅÊÀÝÄÐ
10
ÈÊÎÑÀÝÄÐ
11
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
Ñêîëüêî âåðøèí, ðåáåð è ãðàíåé èìåþò: à) òåòðàýäð; á) îêòàýäð; â)
êóá; ã) èêîñàýäð; ä) äîäåêàýäð?
Óïðàæíåíèå 2. ×åìó ðàâíû ïëîñêèå óãëû äîäåêàýäðà?
Óïðàæíåíèå 3. Ðåáðî îêòàýäðà ðàâíî 1. Îïðåäåëèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó åãî
ïðîòèâîïîëîæíûìè âåðøèíàìè.
Óïðàæíåíèå 4. Â ìíîãîãðàííèêå âûðåçàëè îäíó ãðàíü è îñòàâøèåñÿ ãðàíè
ðàñòÿíóëè íà ïëîñêîñòè. Íàðèñóéòå ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàôû äëÿ ïðàâèëüíûõ
ìíîãîãðàííèêîâ. Êàêîìó ìíîãîãðàííèêó ñîîòâåòñòâóåò ãðàô íà ðèñóíêå
Óïðàæíåíèå 1.
Ãîâîðÿò, ÷òî èç ïðàâèëüíûõ ìíîãîãîãðàííèêîâ ìîæíî ñîñòàâèòü
ïðîñòðàíñòâåííûé ïàðêåò (çàïîëíèòü âñ¼ ïðîñòðàíñòâî), åñëè ñóììà äâóãðàííûõ
óãëîâ ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ ñ îáùèì ðåáðîì ðàâíà 360◦ . Ìîæíî ëè
ñîñòàâèòü ïðîñòðàíñòâåííûé ïàðêåò èç ïðàâèëüíûõ ìíîãîóëüíèêîâ, îòëè÷íûõ îò
ãåêñàýäðà?
12
Óïðàæíåíèå 5.
ÒÂÎÐ×ÅÑÊÈÅ ÇÀÄÀÍÈß
ÑÅÌÈÍÀÐ
"ÏÐÀÂÈËÜÍÛÅ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÈ ÂÎÊÐÓÃ ÍÀÑ".
Ïîäãîòîâèòü äîêëàäû íà òåìû:
1. Èñòîðèÿ ïðàâèëüíûõ ìíîãîãðàííèêîâ.
2. Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè â áèîëîãèè è ìåäèöèíå.
3. Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè â ôèçèêå è õèìèè.
4. Ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè â àðõèòåêòóðå è èñêóññòâå.
5. Íåâûïóêëûå ïðàâèëüíûå ìíîãîãðàííèêè.
ÂÛÑÒÀÂÊÀ ÏÐÀÂÈËÜÍÛÕ ÌÍÎÃÎÃÐÀÍÍÈÊÎÂ
Èçãîòîâèòü ìîäåëè âûïóêëûõ è íåâûïóêëûõ ïðàâèëüíûõ
ìíîãîãðàííèêîâ ïî ðàçâåðòêàì.
13