Теория Галуа

ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÒÅÎÐÈÞ ÃÀËÓÀ
Êîíñïåêò ëåêöèé
Åðìîëàåâ Þ.Á.
2000-2001ã.
Ñîäåðæàíèå:
×àñòü I (I ñåìåñòð)
1. Êîíå÷íûå àëãåáðàè÷åñêèå ðàñøèðåíèÿ.
2. Òåîðåìà Ãàëóà î ñîîòâåòñòâèè.
3. Ãðóïïà Ãàëóà äâó÷ëåííîãî ìíîãî÷ëåíà.
4. Íîðìàëüíûå è êîìïîçèöèîííûå ðÿäû â ãðóïïàõ.
5. Òåîðåìà ðàçðåøèìîñòè.
6. Íåðàçðåøèìîñòü â ðàäèêàëàõ îáùåãî óðàâíåíèÿ ïðè n > 4.
7. Ïðîñòîòà ãðóïïû An (n > 4).
8. Ìíîãî÷ëåíû, èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî ãðóïïû G ⊆ Sn .
×àñòü II (II ñåìåñòð)
8. Ìíîãî÷ëåíû, èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî ãðóïïû G ⊆ Sn .
9. Òðàíçèòèâíûå ãðóïïû.
10. Òðàíçèòèâíûå ïîäãðóïïû â S3 è S4 .
11. Òðàíçèòèâíûå ïîäãðóïïû â S5 .
12. Ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà.
Ïðèëîæåíèå.
1
×àñòü I
(I ñåìåñòð)
1. Êîíå÷íûå àëãåáðàè÷åñêèå ðàñøèðåíèÿ
Àëãåáðàè÷åñêèé ýëåìåíò íàä ïîëåì. Ýëåìåíò γ íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åK , åñëè ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåí íàä K (ò.å. ñ êîýôôèöèåíòàìè â K ), êîðíåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ γ .
Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí àëãåáðàè÷åñêîãî ýëåìåíòà. Ìèíèìàëüíûì ìíîãî÷ëåíîì ýëåìåíòà γ (íàä K ) íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåí íàä K ìèíèìàëüíîé
ñòåïåíè ñðåäè òåõ, êîðíåì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ γ . Îáîçíà÷èì ýòîò ìíîãî÷ëåí
÷åðåç fγ (x). Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî åãî ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ðàâåí 1.
Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ýëåìåíòà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1) Äåëèìîñòü. Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí f (x), êîòîðûé îáðàùàåòñÿ â íóëü ýëåìåíòîì γ (ïðè x = γ ), äåëèòñÿ íà ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí fγ (x).
Äåéñòâèòåëüíî, âñåãäà èìååì f (x) = q(x)fγ (x) + r(x), ãäå r(x) ëèáî íóëåâîé ìíîãî÷ëåí, ëèáî èìååò ñòåïåíü ìåíüøå ñòåïåíè äåëèòåëÿ fγ (x). À òàê
êàê, êðîìå òîãî, èç ýòîãî ðàâåíñòâà (è ïðåäïîëîæåíèé fγ (γ) = 0 è f (γ) = 0)
èìååì r(γ) = 0, òî âòîðàÿ âîçìîæíîñòü èñêëþ÷àåòñÿ.
2) Åäèíñòâåííîñòü. Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ýëåìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ èç K (è çíà÷èò, åñëè ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ðàâåí 1, òî òî÷íî îäíîçíà÷íî).
Åñëè ìèíèìàëüíûõ ìíîãî÷ëåíîâ äâà, òî ïî ïåðâîìó ñâîéñòâó îíè äîëæíû äåëèòü äðóã äðóãà, à çíà÷èò îòëè÷àòñÿ òîëüêî ìíîæèòåëåì èç K .
3) Íåïðèâîäèìîñòü. Ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ýëåìåíòà γ íàä K íåïðèâîäèì íàä K .
Åñëè ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí fγ (x) ýëåìåíòà γ ðàçëàãàåòñÿ íà äâà ìíîæèòåëÿ, òî γ äîëæåí áûòü êîðíåì îäíîãî èç íèõ, ñòåïåíü êîòîðîãî ìåíüøå
ñòåïåíè fγ (x).
Ñîïðÿæåííûå ýëåìåíòû. Äâà ýëåìåíòà íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæåííûìè íàä
K , åñëè èõ ìèíèìàëüíûå ìíîãî÷ëåíû íàä K ñîâïàäàþò (ò.å. îíè ÿâëÿþòñÿ
êîðíÿìè îäíîãî è òîãî æå íåïðèâîäèìîãî íàä K ìíîãî÷ëåíà).
Àëãåáðàè÷åñêîå ðàñøèðåíèå. Ïóñòü K ïîäïîëå ïîëÿ F , òîãäà F íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåíèåì (èëè íàäïîëåì) ïîëÿ K (F ⊇ K ). Ðàñøèðåíèå F
íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì íàä K , åñëè âñå åãî ýëåìåíòû àëãåáðàè÷åñêèå
íàä K .
Êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå è åãî àëãåáðàè÷íîñòü. Ðàñøèðåíèå R ïîëÿ K íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì, åñëè R, êàê ïðîñòðàíñòâî íàä K , êîíå÷íîìåðíî. Ðàçìåðíîñòü R íàä K íàçûâàåòñÿ ñòåïåíüþ ðàñøèðåíèÿ è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç
(R : K) = dimK R.
Òåîðåìà 1. (Î ïðîñòîòå êîíå÷íîãî ðàñøèðåíèÿ.) Âñÿêîå êîíå÷íîå (ñåïàðàáåëüíîå) ðàñøèðåíèå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ïðèñîåäèíåíèåì îäíîãî (ïðèìèòèâíîãî) ýëåìåíòà.
Íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå. Ðàñøèðåíèå íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíûì, åñëè âìåñòå ñ êàæäûì ýëåìåíòîì îíî ñîäåðæèò è âñå åãî ñîïðÿæåííûå.
Ïåðâûé êðèòåðèé íîðìàëüíîñòè: Ðàñøèðåíèå (êîíå÷íîå) ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîëó÷åíî ïðèñîåäèíåíèåì âñåõ êîðíåé
êàêîãî-ëèáî ìíîãî÷ëåíà.
ñêèì íàä ïîëåì
2
Èçîìîðôèçìû è àâòîìîðôèçìû íàä ïîëåì. Ïåðåõîä â ñîïðÿæåííûé ïðè
èçîìîðôèçìå. Ïóñòü ϕ : R → Q èçîìîðôèçì ïîëåé è K ïîëå ëåæàùåå â
R ∩ Q. ϕ íàçûâàåòñÿ èçîìîðôèçìîì íàä K , åñëè âñå ýëåìåíòû èç K ñòàáèëüíû (îñòàþòñÿ íà ìåñòå) ïîä äåéñòâèåì ϕ. Êàæäûé àëãåáðàè÷åñêèé íàä K
ýëåìåíò ïîä äåéñòâèåì èçîìîðôèçìà íàä K ïåðåõîäèò â ñîïðÿæåííûé (ò.ê.
îáðàç äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü òîìó æå óðàâíåíèþ, ÷òî è ïðîîáðàç). Ïîýòîìó
èìååì:
Âòîðîé êðèòåðèé íîðìàëüíîñòè: Ðàñøèðåíèå (êîíå÷íîå) ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñÿêèé åãî èçîìîðôèçì íàä K ÿâëÿåòñÿ àâòîìîðôèçìîì (èçîìîðôèçìîì â ñåáÿ).
Ïðåäëîæåíèå 1 (Î ïðîäîëæåíèè èçîìîðôèçìîâ). Ïóñòü K ⊂ Q ⊂ R
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñøèðåíèé ïîëåé. Åñëè K ⊂ Q0 òîæå ðàñøèðåíèå
ïîëÿ K è ñóùåñòâóåò èçîìîðôèçì ϕ : Q → Q0 íàä K , òî ñóùåñòâóåò ðàñøèðåíèå Q0 ⊂ R0 è èçîìîðôèçì ψ : R → R0 , ïðîäîëæàþùèé ϕ (ò.å. ψ = ϕ íà
ýëåìåíòàõ èç Q, â ÷àñòíîñòè, ψ èçîìîðôèçì íàä K ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà Q = K(α) è R =
Q(β), ò.å. R = K(α, β).  ýòîì ñëó÷àå Q0 = K(α0 ), ãäå α è α0 ñîïðÿæåííûå
íàä K ýëåìåíòû. Ïóñòü b0 xn + b1 xn−1 + · · · + bn−1 x + bn ìèíèìàëüíûé
ìíîãî÷ëåí ýëåìåíòà β íàä Q è β 0 ëþáîé êîðåíü ìíîãî÷ëåíà b00 xn +b01 xn−1 +
· · · + b0n−1 x + b0n , ãäå b0i = ϕbi îáðàç ýëåìåíòà bi ïðè èçîìîðôèçìå ϕ, è
R0 = Q(β 0 ). ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî èñêîìûé èçîìîðôèçì R = K(α, β) →
K(α0 , β 0 ) = R0 îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâèåì α 7→ α0 , β 7→ β 0 . 2. Òåîðåìà Ãàëóà î ñîîòâåòñòâèè
Îïðåäåëåíèå ãðóïïû Ãàëóà. Ïóñòü K ⊂ R íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå,
ò.å. êàæäûé èçîìîðôèçì R íàä K ÿâëÿåòñÿ àâòîìîðôèçìîì. Ìíîæåñòâî
âñåõ àâòîìîðôèçìîâ R íàä K , ò.å. òàêèõ êîòîðûå îñòàâëÿþò âñå ýëåìåíòû
èç K ñòàáèëüíûìè, ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé Ãàëóà R
íàä K è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç G(R : K).
Ñäåëàåì âàæíîå óòî÷íåíèå: âñå (â ñîâîêóïíîñòè) àâòîìîðôèçìû èç G(R :
K) îñòàâëÿþò ñòàáèëüíûìè òîëüêî ýëåìåíòû èç K â ñèëó ñëåäóþùåé ëåììû.
Ëåììà 1. Ïóñòü K ⊂ R íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå. Ýëåìåíò γ ∈ R ñòàáèëåí ïîä äåéñòâèåì âñåõ àâòîìîðôèçìîâ ãðóïïû G(R : K) òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà γ ∈ K .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü R = K(θ) è γ = c0 + c1 θ + · · · + cm θm . Ïóñòü
θ1 , ..., θn âñå ðàçëè÷íûå ñîïðÿæåííûå ýëåìåíòû äëÿ θ. Òîãäà nγ = c0 +
c1 s1 + · · · + cm sm , ãäå si i-òàÿ ñòåïåííàÿ ñóììà îò θ1 , ..., θn . Ïî òåîðåìå î
ñèììåòðè÷åñêèõ ôóíêöèÿõ âñå si ëåæàò â K , à ñëåäîâàòåëüíî, è nγ ∈ K .
Âòîðîå äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà òåîðåìå î ïðîäîëæåíèè èçîìîðôèçìîâ íà ðàñøèðåíèÿ. Ïóñòü fγ (x) = a0 xm + · · · + am ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ýëìåíòà γ íàä K . Íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî m = 1. Åñëè m > 1, òî γ èìååò
m ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ γi . È êàæäîå ñîîòâåòñòâèå γ → γi ïðîäîëæàåòñÿ
äî èçîìîðôèçìà K(γ) íàä K , à ïîòîì è äî àâòîìîðôèçìà R íàä K , êîòîðûå
ïî îïðåäåëåíèþ íå îñòàâëÿþò γ ñòàáèëüíûì. 3
Ïðåäëîæåíèå î ðàâåíñòâå ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ è ïîðÿäêà åãî ãðóïïû
Ãàëóà.
Ïðîìåæóòî÷íûå ïîëÿ.
Òåîðåìà 1 (Î ñîîòâåòñòâèè Ãàëóà). 1) Êàæäîìó ïðîìåæóòî÷íîìó ïîëþ
P : K ⊂ P ⊂ R ñîîòâåòñòâóåò ïîäãðóïïà G(R : P ) â G(R : K), à èìåííî,
G(R : P ) ìíîæåñòâî òåõ àâòîìîðôèçìîâ â G(R : K), êîòîðûå îñòàâëÿþò
âñå ýëåìåíòû èç P ñòàáèëüíûìè. 2) Êàæäîé ïîäãðóïïå H â G(R : K) ñîîòâåòñòâóåò ïðîìåæóòî÷íîå ïîëå Q: K ⊂ Q ⊂ R, äëÿ êîòîðîãî H = G(R : Q),
ò.å. Q åñòü ìíîæåñòâî âñåõ òåõ ýëåìåíòîâ èç R, êîòîðûå îñòàþòñÿ ñòàáèëüíûìè ïîä äåéñòâèåì âñåõ àâòîìîðôèçìîâ èç H .
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ýòî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ãðóïïû G(R : K) ââèäó óòî÷íåíèÿ, ñäåëàííîãî ïîñëå íåãî. Çäåñü
åùå îòìåòèì òîëüêî, ÷òî åñëè R íîðìàëüíî íàä K , òî òåì áîëåå íîðìàëüíî
íàä ëþáûì ïðîìåæóòî÷íûì ïîëåì P .
2) Ìíîæåñòâî Q âñåõ ýëåìåíòîâ â P ñòàáèëüíûõ ïîä äåéñòâèåì âñåõ àâòîìîðôèçìîâ èç ïîäãðóïïû H , î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ïîäïîëåì â R, ñîäåðæàùèì
K , è î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî H ⊆ G(R : Q). Ïóñòü R = P (θ) è H = {h1 , ..., hm }.
Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåí f (x) = (x − θ1 ) · · · (x − θm ), ãäå θi = θhi . Âñå åãî êîýôôèöèåíòû ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè îò θ1 , ..., θm , à ïîòîìó
ñòàáèëüíû ïîä äåéñòâèåì H , è ïî îïðåäåëåíèþ Q ëåæàò â íåì. Î÷åâèäíî,
÷òî Q(θ) = R (ò.ê. K(θ) = R) è θ = θi äëÿ íåêîòîðîãî i. Ïîýòîìó ñòåïåíü
ìèíèìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíàθ íàä Q ≤ m (ò.ê. îí äîëæåí áûòü äåëèòåëåì
f (x)). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîðÿäîê G(R : Q) ðàâíûé ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ
(R : Q) ≤ m, ò.å. = m è, ñëåäîâàòåëüíî, H = G(R : Q). Ëåììà 2. Ïóñòü K ⊂ R íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå K , γ ∈ R è Gγ ñòàáèëèçàòîð γ â G(R : K) (ò.å. Gγ = G(K(γ) : K). Èìååò ìåñòî âçàèìíî
îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ëåâûìè êëàññàìè ñìåæíîñòè Gγ è ñîïðÿæåííûìè ñ γ ýëåìåíòàìè, à èìåííî, β = γh ⇔ h ∈ Gγ g.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü γh = γg, òîãäà γhg−1 = γ , ò.å. hg−1 ∈ Gγ . È
îáðàòíî. Ëåììà 3. Ïóñòü K ⊂ Q ⊂ R, ãäå Q ïðîìåæóòî÷íîå ðàñøèðåíèå â
íîðìàëüíîì ðàñøèðåíèè R. Åñëè g ∈ G(R : K), òî Qg òîæå ïðîìåæóòî÷íîå ðàñøèðåíèå: K ⊂ Qg ⊂ R, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì íàä K , è
G(R : Qg) = g −1 G(R : Q)g .
Äîêàçàòåëüñòâî. Òî, ÷òî K ⊂ Q ⊂ R ñëåäóåò ñðàçó èç îïðåäåëåíèé, à
òî, ÷òî Qg ïîäïîëå ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ. Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü ðàâåíñòâî
G(R : Qg) = g −1 G(R : Q)g : Qg(g −1 G(R : Q)g) = Qg è îáðàòíî, ïóñòü äëÿ
âñÿêîãî γ ∈ Q èìååì γgh = γg, òîãäà γghg−1 = γ , ò.å. ghg−1 ∈ G(R : Q) è
h ∈ g −1 G(R : Q)g . Ñëåäñòâèå 1.. Â óñëîâèÿõ ëåììû 2 Q íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå K
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà G(R : Q) íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G(R : K),
è G(Q : K) ∼= G(R : K)/G(R : Q) (ôàêòîð ãðóïïà).
Ëåììà 4. Åñëè ïîëå F åñòü íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ K , òî îíî åñòü
íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå è äëÿ ëþáîãî ïðîìåæóòî÷íîãî ïîëÿ P : K ⊂ P ⊂ F .
Äîêàçàòåëüñòâî. Âñÿêèé íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí f íàä P (c êîðíÿìè
â F ) ÿâëÿåòñÿ ìíîæèòåëåì íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà íàä K . 4
3. Ãðóïïà Ãàëóà äâó÷ëåííîãî ìíîãî÷ëåíà
Òåîðåìà 2
(Î ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ). Óðàâíåíèå
a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = 0
íàä K ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ãðóïïà Ãàëóà
ðàçðåøèìà.
Ëåììà 4. Ïóñòü ïîëå K ñîäåðæèò âñå êîðíè n-îé ñòåïåíè èç 1 (è n
âçàèìíî ïðîñòî ñ õàðàêòåðèñòèêîé ïîëÿ). Òîãäà ãðóïïà Ãàëóà äâó÷ëåííîãî
ìíîãî÷ëåíà f (x) = xn − a (a ∈ K ) öèêëè÷íà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü θ êîðåíü f (x) è ζ ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü nîé ñòåïåíè èç 1 (ζ ∈ K ). Òîãäà ζ i θ, i = 0, ..., n − 1 âñå êîðíè f (x), êîòîðûå
ðàçëè÷íû (ò.ê. ζ i θ = ζ j θ ⇒ ζ i = ζ j ). Ïîýòîìó K(θ) ïîëå ðàçëîæåíèÿ
f (x) è êàæäûé ýëåìåíò g ãðóïïû Ãàëóà G = G(K(θ) : K) çàäàåòñÿ ñîîòâåòñòâèåì θ → ζ i θ è îïðåäåëÿåò ãîìîìîðôèçì G → Un (G â ãðóïïó êîðíåé
n-îé ñòåïåíè èç 1) ñîîòâåòñòâèåì g 7→ ζ i (ïðîâåðèòü). Òàêèì îáðàçîì, G
èçîìîðôíà íåêîòîðîé ïîäãðóïïå öèêëè÷åñêîé ãðóïïû Un , à ïîòîìó ñàìà
öèêëè÷íà. Ëåììà 5. (Î íåçàâèñèìîñòè àâòîìîðôèçìîâ.) Ïîïàðíî ðàçëè÷íûå (íåíóëåâûå) àâòîìîðôèçìû ïîëÿ R ëèíåéíî íåçàâèñèìû (êàê ôóíêöèè).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g1 , ..., gm ðàçëè÷íûå íåíóëåâûå àâòîìîðôèçìû
ïîëÿ R è ñóùåñòâóþò òàêèå a1 , ..., am ∈ R òàêèå, ÷òî g = a1 g1 + · · · + am gm
íóëåâîé àâòîìîðôèçì (ò.å. g(x) = 0 ∀x ∈ R). Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî âñå
ai = 0. Èíäóêöèÿ ïî m. Ñëó÷àé m = 1 î÷åâèäåí. Ïóñòü a1 g1 (x) + · · · +
am gm (x) = 0 (*) äëÿ ëþáîãî x ∈ R, íî òîãäà äëÿ ëþáîãî a ∈ R èìååì òàêæå
a1 g1 (ax)+· · ·+am gm (ax) = 0 (**). Óìíîæèì (*) íà gm (a) è âû÷òåì ðåçóëüòàò
m−1
èç (**). Ïîëó÷èì (ò.ê. gi àâòîìîðôèçì): P ai (gi (a) − gm (a))gi (x) = 0,
i=1
îòêóäà â ñèëó èíäóêöèîííîãî ïðåäïîëîæåíèÿ èìååì ai (gi (a) − gm (a)) =
0, i = 1, ..., m − 1. Òàê êàê âñå gi ðàçëè÷íû è ðàâåíñòâà ýòè èìåþò ìåñòî äëÿ
ëþáîãî a ∈ R, òî îòñþäà èìååì ai = 0, i = 1, ..., m − 1, à çíà÷èò è am = 0.
Çàìå÷àíèå 1. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî âñÿêèé ãîìîìîðôèçì ÿâëÿåòñÿ
ôóíêöèåé, íî íå âñÿêàÿ ôóíêöèÿ åñòü ãîìîìîðôèçì.  ÷àñòíîñòè, ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ãîìîìîðôèçìîâ â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì. Íàïðèìåð, ïóñòü f, g ðàçëè÷íûå íåíóëåâûå ãîìîìîðôèçìû, òîãäà
f, g, f + g ïîïàðíî ðàçëè÷íûå íåíóëåâûå (ïðè g 6= −f ), íî ëèíåéíî çàâèñèìû ïî îïðåäåëåíèþ, ò.ê. f + g íå ãîìîìîðôèçì. Òàêèì îáðàçîì, ëåììà 5
ñïðàâåäëèâà òîëüêî äëÿ àâòîìîðôèçìîâ (ãîìîìîðôèçìîâ).
Ëåììà 6. Åñëè ïîëå K ñîäåðæèò âñå êîðíè n-é ñòåïåíè èç 1 è R åãî
öèêëè÷åñêîå ðàñøèðåíèå ñòåïåíè n, òî R = K(γ), ãäå γ êîðåíü äâó÷ëåííîãî óðàâíåíèÿ xn − c = 0 íàä K .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü K ñîäåðæèò âñå êîðíè n-é ñòåïåíè èç 1 è K ⊂ R
öèêëè÷åñêîå ðàñøèðåíèå ñòåïåíè n (ò.å. åãî ãðóïïà Ãàëóà öèêëè÷åñêàÿ
5
ñ îáðàçóþùåé g). Ïóñòü ζ ïðèìèòèâíûé êîðåíü n-é ñòåïåíè èç 1 è α ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ïîëÿ R. Îïðåäåëèì ðåçîëüâåíòó Ëàãðàíæà, ïîëàãàÿ
(ζ, α) = α + ζgα + ζ 2 g 2 α + · · · + ζ n−1 g n−1 α.
Èìååì
1) g(ζ, α) = ζ −1 (ζ, α)
2) gk (ζ, α) = ζ −k (ζ, α)
Îòñþäà g(ζ, α)n = (ζ, α)n , è ïîòîìó c = (ζ, α)n ëåæèò â K , à òàêæå âñå
g k (ζ, α), k = 0, ..., n − 1 ðàçëè÷íû, ò.å. R = K(γ), ãäå γ = (ζ, α). Ïðåäëîæåíèå 2. Åñëè ïîëå K ñîäåðæèò âñå êîðíè n-é ñòåïåíè èç 1,
òî R ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêèì ðàñøèðåíèåì ñòåïåíè n òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà R = K(γ), ãäå γ êîðåíü äâó÷ëåííîãî óðàâíåíèÿ xn − c = 0 íàä K .
Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç ëåìì 4 è 6. Ëåììà 7. Åñëè ïîëå K ñîäåðæèò âñå êîðíè p-é ñòåïåíè èç 1, ãäå p ïðîñòîå ÷èñëî, òî ìíîãî÷ëåí xp − a (a ∈ K ) ëèáî íåïðèâîäèì, ëèáî ðàçëàãàåòñÿ
íà ëèíåéíûå ìíîæèòåëè íàä K .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ïðåäëîæåíèþ 2 ãðóïïà Ãàëóà G ìíîãî÷ëåíà xp − a
èçîìîðôíà ïîäãðóïïå Cp (öèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà p). Òàê êàê p ïðîñòîå, òî G
ëèáî åäèíè÷íàÿ è ïîòîìó âñå êîðíè xp − a ëåæàò â K , ëèáî èçîìîðôíà Cp ,
ò.å. âñå êîðíè ñîïðÿæåíû è ìíîãî÷ëåí xp − a íåïðèâîäèì. Ëåììà 8.  ïðîèçâîëüíîì ïîëå K äëÿ ïðîñòîãî ÷èñëà p ìíîãî÷ëåí xp −a
(a ∈ K ) ëèáî íåïðèâîäèì, ëèáî èìååò ëèíåéíûé ìíîæèòåëü, ò.å.
xp − a = (x − c)(xp−1 + cxp−2 + · · · + cp−1 )
è a = cp (c ∈ K ).
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü f (x) = xp −a = ϕ(x)ψ(x) è θ êîðåíü f (x). Òîãäà
Q
k
ϕ(x) = (x − ζ θ) (ãäå k ïðîáåãàåò íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî â {0, ..., p − 1})
è åãî ñâîáîäíûé ÷ëåí b = ζ 0 θm . Èìååì bp = θpm = am , 0 < m < p. Ïóñòü
um + vp = 1. Òîãäà a = aum avp = bup avp = cp , ãäå c = bu av . 4. Íîðìàëüíûå è êîìïîçèöèîííûå ðÿäû â ãðóïïàõ
: 1) G B H, G ⊃ F, G = F H ⇒ G/H ∼= F/(F ∩ H). (T1 î
ãîìîìîðôèçìàõ.)
2) A B C ⇒ (A B (∃)B B C ⇔ A/C B B/C). (T2 î ãîìîìîðôèçìàõ.)
Íîðìàëüíûé ðÿä ãðóïïû G ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäãðóïï G0 = G ⊇
G1 ⊇ · · · ⊇ Gl = 1, â êîòîðîì Gi B Gi+1 (íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â Gi , íî
íå îáÿçàòåëüíî â G). {Gi /Gi+1 ; i = 0, ..., l − 1} ôàêòîðû ðÿäà, l äëèíà
ðÿäà (÷èñëî ôàêòîðîâ).
Ïîâòîðåíèÿ (Gi = Gi+1 ) è óïëîòíåíèÿ (Gi ⊇ G0i ⊇ Gi+1 ).
Êîìïîçèöèîííûé ðÿä ãðóïïû G íå èìåþùèé ïîâòîðåíèé è íåóïëîòíÿåìûé (áåç ïîâòîðåíèé) íîðìàëüíûé ðÿä.
Äâà íîðìàëüíûõ ðÿäà îäèíàêîâîé äëèíû íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ñîîòâåòñòâèå ìåæäó èõ ôàêòîðàìè, ïðè êîòîðîì ñîîòâåòñòâóþùèå ôàêòîðû èçîìîðôíû.
Íàïîìèíàíèå
6
Ëåììà 9. Åñëè äâà ðÿäà èçîìîðôíû, òî âñÿêîå óïëîòíåíèå îäíîãî èìååò
èçîìîðôíîå óïëîòíåíèå äðóãîãî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Gi ⊇ Gi+1 è G0j ⊇ G0j+1 îòðåçêè íîðìàëüíûõ
ðÿäîâ, äëÿ êîòîðûõ Gi /Gi+1 ∼= G0j /G0j+1 . Åñëè Gi ⊇ F1 ⊇ · · · ⊇ Ft ⊇ Gi+i
óïëîòíåíèå ïåðâîãî èç íèõ, òî ïî T2 î ãîìîìîðôèçìàõ ïîñëåäîâàòåëüíî
íàéäóòñÿ H1 , H2 , ..., Ht òàêèå, ÷òî G0j ⊇ H1 ⊇ · · · ⊇ Ht ⊇ G0j+1 óïëîòíåíèå
âòîðîãî, â êîòîðîì Fk /Fk+1 ∼= Hk /Hk+1 , k = 0, ..., t (F0 = Gi , Ft+1 = Gi+1 è
H0 = G0j , Ht+1 = G0j+1 ) (Ïðè t = 1 íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìåíåíèå T2, çàòåì
èíäóêöèÿ ïî t ïðèìåíåííàÿ ê F1 ⊇ Gi+1 è H1 ⊇ G0j+1 .) Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü A ∼
= B èçîìîðôèçì íîðìàëüíûõ ðÿäîâ â ãðóïïå
G è B 0 îòðåçîê ðÿäà B , ò.å. B = {C ⊇ B 0 }. Åñëè D íîðìàëüíûé ðÿä èçîìîðôíûé íåêîòîðîìó óïëîòíåíèþ B 0 : D ∼= B̃ 0 , òî ðÿä A èìååò óïëîòíåíèå
à èçîìîðôíîå {C ⊇ D}: à ∼
= {C ⊇ D}.
Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî B̃ = {C ⊇ B̃ 0 } åñòü óïëîòíåíèå B è
B̃ ∼
= {C ⊇ D} (*). Ïî ëåììå 9 ñóùåñòâóåò óïëîòíåíèå Ã ðÿäà A èçîìîðôíîå
B̃ : Ã ∼
= B̃ . Îòñþäà è (*) ïîëó÷àåì à ∼
= {C ⊇ D} Ëåììà 10. Ïóñòü G ⊇ G1 ⊇ 1 è G ⊇ H1 ⊇ 1 íîðìàëüíûå ðÿäû, òî
{G ⊇ P ⊇ G1 ⊇ D ⊇ 1} ∼
= {G ⊇ P ⊇ H1 ⊇ D ⊇ 1}, ãäå P = G1 H1 , D =
G1 ∩ H1 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê G1 è H1 íîðìàëüíûå ïîäãðóïïû, òî òàêîâûìè
æå ÿâëÿþòñÿ P è D. Ïî îïðåäåëåíèþ P è D èìååì âêëþ÷åíèÿ G ⊇ P ⊇
G1 ⊇ D ⊇ 1 è G ⊇ P ⊇ H1 ⊇ D ⊇ 1. Îñòàåòñÿ îòìåòèòü, ÷òî ïî T1
î ãîìîìîðôèçìàõ P/G1 ∼= H1 /D è G1 /D ∼= P/H1 . (P/G1 = G1 H1 /G1 ∼=
H1 /(G1 ∩ H1 ) = H1 /D, àíàëîãè÷íî âòîðîå.) Çàìå÷àíèå 2. Ïóñòü X = {Z ⊇ X 0 } è Y = {Z ⊇ Y 0 } íîðìàëüíûå
ðÿäû è X 0 , Y 0 èìåþò èçîìîðôíûå óïëîòíåíèÿ: X̃ 0 ∼= Ỹ 0 , òî èçîìîðôíû
òàêæå X̃ = {Z ⊇ X̃ 0 } ∼= {Z ⊇ Ỹ 0 } = Ỹ ).
Òåîðåìà 3. (Øðàéåðà) Äâà ïðîèçâîëüíûõ íîðìàëüíûõ ðÿäà ãðóïïû G
èìåþò èçîìîðôíûå óïëîòíåíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
A = {G ⊇ G1 ⊇ · · · ⊇ Gr = 1},
B = {G ⊇ H1 ⊇ · · · ⊇ Hs = 1}
íîðìàëüíûå ðÿäû â ãðóïïå G. Èñïîëüçóåì èíäóêöèþ ïî s (ñ ëþáûì r)
è äëÿ êàæäîãî s ïî r ≥ s. Ñëó÷àé s = 1 î÷åâèäåí (ò.ê. âñÿêèé ðÿä åñòü
óïëîòíåíèå òðèâèàëüíîãî G ⊇ 1).
Ñëó÷àé s = 2. B = {G ⊇ H1 ⊇ 1}. Èíäóêöèÿ ïî r , îñíîâàíèå êîòîðîé
äàåò ëåììà 10. Çàòåì äåëàåì èíäóêöèîííîå ïðåäïîëîæåíèå è çàìåòèì, ÷òî
åñëè îíî ïðèìåíèìî ê ñîîòâåòñòâóþùèì îòðåçêàì ðÿäîâ, òî îíî ïðèìåíèìî
è ê öåëûì ðÿäàì (â ñèëó çàìå÷àíèÿ). Ðàçîáüåì äîêàçàòåëüñòâî íà ñëåäóþùèå øàãè:
1) Ñòðîèì âñïîìîãàòåëüíûå èçèìîðôíûå (ïî ëåììå 10) íîðìàëüíûå ðÿäû:
A1 = {G ⊇ P ⊇ G1 ⊇ D ⊇ 1} ∼
= {G ⊇ P ⊇ H1 ⊇ D ⊇ 1} = B1 ,
ãäå P = G1 H1 , D = G1 ∩ H1 .
7
(a)
2) Ñòðîèì èçèìîðôíûå óïëîòíåíèÿ äëÿ ðÿäîâ A1 è A, (ñòðîãî ãîâîðÿ,
âìåñòî A ðàññìàòðèâàåòñÿ åãî óïëîòíåíèå ñ ïîìîùüþ äîáàâëåíèÿ P ; ïî
ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè è çàìå÷àíèþ):
Ã1 = {G ⊇ P ⊇ · · · ⊇ D ⊇ · · · ⊇ 1} ∼
= {G ⊇ P ⊇ · · · ⊇ Gi ⊇ · · · ⊇ Gr = 1} = Ã.
(b)
B1
Ã1
3) Â ñèëó (a) ïî ëåììå 9
èìååò óïëîòíåíèå èçîìîðôíîå :
B̃1 = {G ⊇ P ⊇ · · · ⊇ H1 ⊇ · · · ⊇ 1} ∼
= {G ⊇ P ⊇ · · · ⊇ D ⊇ · · · ⊇ 1} = Ã1 .
(c)
4) Èç (b) è (c) ïîëó÷àåì èñêîìûå óïëîòíåíèÿ
{G ⊇ P ⊇ · · · ⊇ H1 ⊇ D ⊇ · · · ⊇ 1} ∼
= {G ⊇ P ⊇ G1 ⊇ · · · ⊇ G2 ⊇ · · · ⊇ Gr = 1}.
1) Äëÿ A è B1
óïëîòíåíèÿ
. Îïÿòü ðàçáèâàåì ðàññóæäåíèÿ íà øàãè:
(ñëó÷àé s = 2) èìåþò èçîìîðôíûå
s
= {G ⊇ H1 ⊇ 1}
Ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî
à = {G ⊇ · · · ⊇ Gi ⊇ · · · ⊇ Gr = 1} ∼
= {G ⊇ · · · ⊇ H1 ⊇ · · · ⊇ 1} = B̃1 .
(d)
2) Îòðåçîê B2 = {H1 ⊇ · · · ⊇ 1} ðÿäà B̃1 (ñì.(d)) è îòðåçîê B 0 = {H1 ⊇
H2 ⊇ · · · ⊇ Hs = 1} ðÿäà B ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè èìåþò èçîìîðôíûå óïëîòíåíèÿ:
B̃2 = {H1 ⊇ · · · ⊇ 1} ∼
= {H1 ⊇ · · · ⊇ H2 ⊇ · · · ⊇ 1} = B̃ 0 .
(e)
3) Â ñèëó ñëåäñòâèÿ 2 èç (d) è (e) èìååì èçîìîðôíûå óïëîòíåíèÿ äëÿ Ã
è B̃ :
A = {G ⊇ · · · ⊇ Gi ⊇ · · · ⊇ Gr = 1} ∼
= {G ⊇ · · · ⊇ Hi ⊇ · · · ⊇ 1} = B,
ãäå B ïîëó÷åíî çàìåíîé îòðåçêà B2 íà B̃ 0 . Ñëåäñòâèå 3. Âñå êîìïîçèöèîííûå ðÿäû â ãðóïïå G (åñëè îíè ñóùåñòâóþò) èçîìîðôíû.
Ñëåäñòâèå 4. Ëþáîé íîðìàëüíûé ðÿä áåç ïîâòîðåíèé â êîíå÷íîé ãðóïïå G ìîæíî óïëîòíèòü äî êîìïîçèöèîííîãî.  ÷àñòíîñòè, ëþáóþ íîðìàëüíóþ ïîäãðóïïó ìîæíî âêëþ÷èòü â íåêîòîðûé êîìïîçèöèîííûé ðÿä.
Ïóñòü G ãðóïïà. Ïîäãðóïïà G(1) â G, ïîðîæäåííàÿ âñåìè ýëåìåíòàìè
âèäà aba−1 b−1 , a, b ∈ G ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé è íàçûâàåòñÿ êîììóòàíòîì
ãðóïïû G.
Ëåììà 11. Êîììóòàíò G(1) ãðóïïû G ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1) G(1) íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G.
2) Ãðóïïà G/G(1) àáåëåâà.
3) Åñëè F íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G òàêàÿ, ÷òî G/F àáåëåâà, òî F ⊇
G(1) (ò.å. G(1) ìèíèìàëüíàÿ íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà ñ òàêèì ñâîéñòâîì).
Äîêàçàòåëüñòâî.
1) Íîðìàëüíîñòü. Èìååì xaba−1 b−1 x−1 = (xax−1 )(xbx−1 )(xa−1 x−1 )(xb−1 x−1 x−1 ) =
−1 −1
a1 b1 a1 b1 , ãäå a1 = xax−1 , b1 = xbx−1 äëÿ ëþáûõ a, b, x ∈ G, ò.å. ìíîæåñòâî
îáðàçóþùèõ ïðè ñîïðÿæåíèè ñîõðàíÿåòñÿ, à çíà÷èò è G(1) . 2) Àáåëåâîñòü.
8
3) Ïóñòü G → G/F åñòåñòâåííûé ãîìîìîðôèçì, ïðè êîòîðîì a 7→ −1
a = aF
−1
−1 −1
(ýëåìåíò â ñâîé êëàññ). Åñëè a, b ∈ G è x = aba b , òî x = aba b = 1,
ò.ê. G/F àáåëåâà,ò.å. x ∈ F . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, x îäèí èç îáðàçóþùèõ ïîäãðóïïû G(1) . Òàêèì îáðàçîì, âñå îáðàçóþùèå G(1) ëåæàò â F , à çíà÷èò è
G(1) ⊆ F . Îòñþäà (èëè àíàëîãè÷íî) ñëåäóåò è àáåëåâîñòü. Çàìå÷àíèå 2. Ðÿä êîììóòàíòîâ G = G(0) ⊇ G(1) ⊇ G(2) ⊇ · · · ⊇ G(s) ,
ãäå G(i+1) êîììóòàíò G(i) , i = 0, ..., s − 1, ìîæåò íà íåêîòîðîì s ñòàáèëèçèðîâàòüñÿ åñëè ãðóïïà êîíå÷íà, òî ýòî ïðîèçîéäåò îáåçàòåëüíî), ò.å. áóäåì
èìåòü G(s+1) = G(s) (à çíà÷èò è G(s+i) = G(s) äëÿ ëþáîãî i > 0). Åñëè ïðè
ýòîì G(s) = 1, òî ðÿä êîììóòàíòîâ áóäåò íîðìàëüíûì, âñå ôàêòîðû êîòîðîãî àáåëåâû. Åñëè G(s) 6= 1, òî, äîáàâèâ â êîíöå 1 îïÿòü ïîëó÷èì íîðìàëüíûé
ðÿä, âñå ôàêòîðû êîòîðîãî, êðîìå ïîñëåäíåãî, òîæå àáåëåâû.
Ïðåäëîæåíèå 3. Ïóñòü G ãðóïïà. Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû:
(1) âñå ôàêòîðû êîìïîçèöèîííîãî ðÿäà G ïðîñòûå àáåëåâû ãðóïïû,
(2) ñóùåñòâóåò Â G íîðìàëüíûé ðÿä, âñå ôàêòîðû êîòîðîãî àáåëåâû,
(3) ñóùåñòâóåò òàêîå s, ÷òî G(s) = 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. (2) → (1). Åñëè G/H àáåëåâà ãðóïïà, íî íå ïðîñòàÿ, òî
îíà èìååò ñîáñòâåííóþ íîðìàëüíóþ ïîäãðóïïó F/H è G ⊃ F ⊃ H îòðåçîê
íîðìàëüíîãî ðÿäà. Ïîýòîìó óïëîòíåíèå ïðîèçâîëüíîãî íîðìàëüíîãî ðÿäà
äî êîìïîçèöèîííîãî âñåãäà èìååò âñå ôàêòîðû ïðîñòûå àáåëåâû. (Îáðàòíîå
î÷åâèäíî, ò.ê. êîìïîçèöèîííûé ðÿä åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé íîðìàëüíîãî.)
(3) → (2) Åñëè G(s) = 1 äëÿ íåêîòîðîãî s, òî ðÿä êîììóòàíòîâ ÿâëÿåòñÿ
íîðìàëüíûì.
(1) → (3) Ïóñòü ðÿä êîììóòàíòîâ îáðûâàåòñÿ íà G(s) (ò.å. G(s) = G(s+1) )
è G(s) 6= 1. Äîáàâèâ ê íåìó 1, ïîëó÷èì íîðìàëüíûé ðÿä. Óïëîòíèì åãî äî
êîìïîçèöèîííîãî. Òîãäà êîíå÷íûé îòðåçîê ïîëó÷åííîãî êîìïîçèöèîííîãî
ðÿäà áóäåò èìåòü âèä: G(s) ⊃ H1 ⊃ · · · ⊃ 1, ãäå H1 ñîáñòâåííàÿ íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G(s) òàêàÿ, ÷òî G(s) /H1 àáåëåâà. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ G(s) = G(s+1) , ò.ê. ïî ëåììå 11 äîëæíû èìåòü G(s) ⊃ H1 ⊇ G(s+1) .
Ãðóïïà íàçûâàåòñÿ ðàçðåøèìîé, åñëè äëÿ íåå âûïîëíåíî îäíî èç óñëîâèé
ïðåäëîæåíèÿ 3.
5. Òåîðåìà ðàçðåøèìîñòè
Ïóñòü f (x) = a0 xn +a1 xn−1 +· · ·+an−1 x+an íåïðèâîäèìûé íàä ïîëåì
K ìíîãî÷ëåí, α1 , ..., αn åãî (ðàçëè÷íûå) êîðíè è F = K(α1 , ..., αn ) åãî
(ìèíèìàëüíîå) ïîëå ðàçëîæåíèÿ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî óðàâíåíèå f (x) = 0
ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ íàä K , åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîñòûõ öèêëè÷åñêèõ ðàñøèðåíèé
K = K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Km = R,
(1)
òàêàÿ, ÷òî F ⊆ R. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Ki = Ki−1 (γi ), ãäå γi êîðåíü íåïðèâîäèìîãî íàä Ki−1 ìíîãî÷ëåíà hi (x) = xp − ci , â êîòîðîì ci ∈ Ki−1 è pi i
9
ïðîñòîå ÷èñëî, i = 1, ..., m (K0 = K ), è
F = K(α1 , ..., αn ) ⊆ K(γ1 , ..., γm ) = R.
Ïîÿñíåíèå: Ðàçðåøèìîñòü óðàâíåíèÿ f (x) = 0 â ðàäèêàëàõ îçíà÷àåò,
÷òî êàæäûé êîðåíü α ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâèì â âèäå
α = Qm (Qm−1 (...(Q1 (a1 , ..., an )...)),
(2)
ãäå Qi (u1 , ..., us ) = {v1 , ..., vt } åñòü êîíå÷íîå ìíîæåñòâî âûðàæåíèé vj =
vj (u1 , ..., us )√
, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ðàöèîíàëüíûõ îïåðàöèé (+, −, ·, :) èç
è
u1 , ..., us è ci . (Qm ñîäåðæèò îäèí ýëåìåíò). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ýòî òàê
êàæäûé ýëåìåíò uj ëåæèò â Ki−1 , òî êàæäûé vk ëåæèò à Ki . Çäåñü√ïîä √ci
ïîíèìàåòñÿ îäèí èç êîðíåé óðàâíåíèÿ hi (x) = xp − ci = 0 (ò.å. ci = γi ).
Ïðè ýòîì çàìåíà êàêîãî-ëèáî êîðíÿ ìíîãî÷ëåíà hi (x) íà äðóãîé ïðèâîäèò
ê çàìåíå α íà äðóãîé êîðåíü f (x). Ýòî îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðåäëîæåíèåì î ïðîäîëæåíèè èçîìîðôèçìîâ, ò.ê. pi ïðîñòûå è ïîòîìó ìíîãî÷ëåíû hi íåïðèâîäèìûå íàä Ki−1 (à çíà÷èò èçîìîðôèçìû ÿâëÿþòñÿ àâòîìîðôèçìàìè).
Çàìå÷àíèå 3. Åñëè â âûðàæåíèå (2) âõîäÿò ðàäèêàëû, òî â ëþáîì
p ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíè ïðîñòûå (ïðîñòîé ñòåïåíè), ò.ê. √a = √a.
Ëåììà 1. Åñëè q ïðîñòîå ÷èñëî, òî ìíîãî÷ëåí Φq (x) = xq−1 + xq−2 +
· · · + x + 1 íåïðèâîäèì íàä Q è åãî ãðóïïà Ãàëóà öèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà q − 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåïðèâîäèìîñòü Φq (x) äîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Ýéçíåøòåéíà (ïîñëå çàìåíû x = y − 1). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî
óòâåðæäåíèÿ íàïîìíèì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
(*) Åñëè K ïîëå õàðàêòåðèñòèêè p è n íå äëèòñÿ íà p, òî ãðóïïà êîðíåé
n-îé ñòåïåíè èç 1 öèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà n.  ÷àñòíîñòè, ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ
ãðóïïà âû÷åòîâ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ p öèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà p − 1 (ò.ê. ïî
"ìàëîé òåîðåìå Ôåðìà"äëÿ a 6≡ 0 (mod p) èìååì ap−1 − 1 ≡ 0 (mod p), ò.å.
íåíóëåâûå âû÷èòû ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè p − 1-îé ñòåïåíè èç 1 íàä ïðîñòûì
ïîëåì Pp õàðàêòåðèñòèêè p, è ò.ê. î÷åâèäíî, ÷òî p è p − 1 âçàèìíî ïðîñòû).
Ïóñòü òåïåðü η ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü q-îé ñòåïåíè èç 1 (íàä ïîëåì
−1
K = Q), à çíà÷èò êîðåíü Φq (x) (ò.ê. Φq (x) = xx−1
) è a ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü (q − 1)-îé ñòåïåíè èç 1 íàä ïîëåì Pq . Òîãäà â ñèëó ñêàçàííîãî
{η, η 2 , ..., η q−1 } = {η, η a , η a , ..., η a } ìíîæåñòâî âñåõ êîðíåé ìíîãî÷ëåíà
Φq (x). Îïðåäåëèì àâòîìîðôèçì σ ïîëÿ K(η) íàä K (ò.å. ýëåìåíò ãðóïïû
Ãàëóà ýòîãî ïîëÿ íàä K ), ïîëàãàÿ σ : η 7→ ηa (ò.å. σ(η) = ηa ). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî σk (η) = ηa . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî àâòîìîðôèçìû 1, σ, σ2 , ..., σq−2
ñîñòàâëÿþò âñþ ãðóïïó G(K(η) : K) (K = Q) (σq−1 = 1). Îñòàåòñÿ óáåäèòñÿ,
÷òî âñå îíè ðàçëè÷íû.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ðàçìåðíîñòü K(η) íàä K ðàâíà
q − 1, ò.å. ÷òî ýëåìåíòû η, η 2 , ..., η q−1 ëèíåéíî íåçàâèñèìû íàä K . (Íàïîìíèì, ÷òî {η, η2 , ..., ηq−1 } = {η, ηa , ηa , ..., ηa }.) Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî
Φq (x) íåïðèâîäèì, ò.ê. çàâèñèìîñòü c1 η + c2 η 2 + · · · + cq−1 η q−1 = 0 (ci ∈ K)
ðàâíîñèëüíà òîìó, ÷òî η åñòü êîðåíü ìíîãî÷ëåíà c1 + c2 x2 + · · · + cq−1 xq−2
ñòåïåíè q − 2. pi
pi
pi
i
pq
q
2
q−1
k
2
10
q−1
p
q
Åñëè q ïðîñòîå ÷èñëî, òî óðàâíåíèå xq − 1 = 0 ðàçðåøèìî â íåïðèâîäèìûõ ðàäèêàëàõ (ò.å. êîðíè q-îé ñòåïåíè èç 1 ïðåäñòàâèìû
íåïðèâîäèìûìè ðàäèêàëàìè).
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè q = 2, òî óòâåðæäåíèå òðèâèàëüíî. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî îíî âåðíî äëÿ âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë ìåíüøå q. Ïî ëåììå 2 ãðóïïà Ãàëóà
G ìíîãî÷ëåíà f (x) = xq −1 íàä K öèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà q −1. Ïóñòü K(η) ïîëå ðàçëîæåíèÿ
ýòîãî ìíîãî÷ëåíà, ãäå η åãî ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü. Åñëè
q − 1 = pk1 pk2 · · · pks , òî ïðèñîåäèíèì ê K êîðíè âñåõ ñòåïåíåé pi , i = 1, ..., s
èç 1. Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííîå ïîëå ÷åðåç K1 è áóäåì ðàññìàòðèâàòü f (x) íàä
K1 . Ãðóïïà Ãàëóà G1 äëÿ f (x) íàä K1 ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé G (ò.ê. àâòîìîðôèçìû K(η), ñòàáèëüíûå íà K1 ñòàáèëüíû íà K ). Ïîýòîìó îíà òîæå
öèêëè÷íà è åå ïîðÿäîê åñòü äåëèòåëü q − 1. Ñëåäîâàòåëüíî, îíà èìååò êîìïîçèöèîííûé ðÿä G1 ⊃ G2 ⊃ · · · ⊃ Gt ⊃ 1, âñå ôàêòîðû Gi /Gi+1 êîòîðîãî
èìåþò ïîðÿäêè, ëåæàùèå ñðåäè ÷èñåë {p2 , p2 , ..., ps }.  ñîîòâåòñòâóþùåé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàñøèðåíèé K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Kt ⊂ K(η) êàæäûé øàã
öèêëè÷åñêèé ïîðÿäêà íåêîòîðîãî pi è ïîòîìó ïîëó÷àåòñÿ (â ñèëó ëåììû 6
Ÿ 3) ïðèñîåäèíåíèåì êîðíÿ íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà âèäà xp − ai (íåïðèâîäèìîãî, ò.ê. èíà÷å ñòåïåíü ðàñøèðåíèÿ íå áóäåò ðàâíà pi , ñì. ëåììó 7
Ÿ 3), ò.å. íåïðèâîäèìîãî ðàäèêàëà. Òàê êàê ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè âñå
ýëåìåíòû K1 âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðàäèêàëû (íàä K ), òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
è âñå ýëåìåíòû K(η), â ÷àñòíîñòè, êîðíè f (x), âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðàäèêàëû
íàä K . Òåîðåìà 4. (Î ðàçðåøèìîñòè â ðàäèêàëàõ.) Äëÿ òîãî ÷òîáû óðàâíåíèå f (x) = 0, ãäå f (x) íåïðèâîäèìûé íàä K ìíîãî÷ëåí, íåîáõîäèìî è
äîñòàòî÷íî, ÷òîáû åãî ãðóïïà Ãàëóà áûëà ðàçðåøèìà. (K ÷èñëîâîå ïîëå.)
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Íåîáõîäèìîñòü (åñëè õîòÿ áû äëÿ îäíîãî êîðíÿ α
ñóùåñòâóåò âûðàæåíèå (2), òî ãðóïïà G(F : K) ðàçðåøèìà). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîëåé (1) ñîîòâåòñòâóåò íîðìàëüíûé ðÿä (ò.ê. âñå ðàñøèðåíèÿ
íîðìàëüíû, êàê öèêëè÷åñêèå ïðîñòûå) ïîäãðóïï
Ëåììà 2.
1
2
s
i
G(R : K) = G0 ⊃ G1 ⊃ · · · ⊃ Gm = 1,
(3)
ôàêòîðû Gi /Gi+1 êîòîðîé ïðîñòûå êîììóòàòèâíûå ãðóïïû, ò.å. (3) ÿâëÿåòñÿ
êîìïîçèöèîííûì ðÿäîì è G0 ðàçðåøèìà. (Ñíà÷àëà íóæíî ïðèñîåäèíèòü
âñå êîðíè pi -ûõ ñòåïåíåé èç 1). Ãðóïïà G(F : K) ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé
ïîäãðóïïîé â G(R : K) (ò.ê. F íîðìàëüíîå ðàñøèðåíèå K ). Ïîýòîìó G(F :
K) òîæå ðàçðåøèìà.
2) Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü G = G(F : K) ðàçðåøèìà, ò.å. èìååò êîìïîçèöèîííûé ðÿä
H0 = G ⊃ H1 ⊃ H2 ⊃ · · · ⊃ Ht = 1,
âñå ôàêòîðû Hi /Hi+1 êîòîðîãî ïðîñòûå öèêëè÷åñêèå (ïîðÿäêîâ pi ). Ïðèñîåäèíèì ñíà÷àëà ê K âñå êîðíè pi -ûõ ñòåïåíåé èç 1, ãäå pi âñå ïîðÿäêè
ôàêòîðîâ (ïðîñòûå ÷èñëà). Ïîëó÷èì ïîëå K0 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç K1 ìèíèìàëüíîå ïîëå F0 , ñîäåðæàùåå K0 è F . Ãðóïïà Ãàëóà K0 íàä K ðàçðåøèìà
(â ñèëó ëåììû 2 è äîêàçàííîé ÷àñòè òåîðåìû). Ñëåäîâàòåëüíî, ðàçðåøèìà
è ãðóïïà Ãàëóà F0 íàä K .
11
6. Íåðàçðåøèìîñòü â ðàäèêàëàõ îáùåãî óðàâíåíèÿ ïðè n > 4
Îáùèì óðàâíåíèåì
ñòåïåíè n íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå
f (x) = xn − u1 xn−1 + · · · + (−1)n−1 un−1 x + (−1)n un = 0
(1)
íàä ïîëåì K(u1 , ..., un ), ãäå u1 , ..., un íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, ïóñòü
åãî êîðíè. ðàññìîòðèì òàêæå óðàâíåíèå
v1 , ..., vn
g(x) = xn −σ1 xn−1 +· · ·+(−1)n−1 σn−1 x+(−1)n σn = (x−x1 )(x−x2 ) · · · (x−xn ) = 0,
(2)
x1 , x2 , ..., xn
σi = σi (x1 , x2 , ..., xn )
i
Ëåììà 1.
g(x)
K1 = K(x1 , ..., xn )
K0 = K(σ1 , ..., σn )
Sn
n
K0
K0 ⊂ K1
σi = σi (x1 , ..., xn )
ãäå
íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, à
ýëåìåíòàðíûé ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè .
Ãðóïïà Ãàëóà ìíîãî÷ëåíà (ò.å. ðàñøèðåíèÿ
íàä
) åñòü ãðóïïà âñåõ ïîñòàíîâîê ñòåïåíè è ýòîò
ìíîãî÷ëåí íåïðèâîäèì íàä .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî
(ò.å. äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåíèåì) ïî îïðåäåëåíèþ
. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ïåðâîé îñíîâíîé òåîðåìû î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ. Âòîðîå ñëåäóåò èç ïåðâîãî. Äåéñòâèòåëüíî, âñå êîðíè ìíîãî÷ëåíà g(x)
ðàçëè÷íû ïî îïðåäåëåíèþ è ïîòîìó îí íå ìîæåò áûòü ñòåïåíüþ êàêîãî-òî
ìíîãî÷ëåíà. Íî îí íå ìîæåò áûòü è ïðîèçâåäåíèåì íåñêîëüêèõ ðàçëè÷íûõ
ìíîãî÷ëåíîâ, ò.ê. âñå åãî êîðíè ñîïðÿæåíû íàä K0 ïî ïåðâîìó óòâåðæäåíèþ. Ëåììà 2. Èìååì èçîìîðôèçì ïîëåé
F0 = K(u1 , ..., un ) ∼
= K(σ1 , ..., σn ),
(3)
êîòîðûé ïðîäîëæàåòñÿ äî èçîìîðôèçìà
K(x1 , ..., xn ) ∼
= K(v1 , ..., vn ) = F1 ,
(4)
ïðè ñîîòâåòñòâèè ui 7→ σi ; xi 7→ vi .
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê u1 , ..., un íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, òî ñîîòâåòñòâèÿ ui 7→ σi , i = 1, ..., n îïðåäåëÿþò ãîìîìîðôèçì êîëåö K[u1 , ..., un ] →
K[σ1 , ..., σn ], à ò.ê. σi íåçàâèñèìûå ôóíêöèè (ïî âòîðîé îñíîâíîé òåîðåìå
î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ), òî ýòîò ãîìîìîðôèçì ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì è ïîòîìó ïðîäîëæàåòñÿ äî èçîìîðôèçìà ïîëåé îòíîøåíèé (3). Ïî
ïðåäëîæåíèþ î ïðîäîëæåíèè èçîìîðôèçìîâ ïîëó÷àåì èçîìîðôèçì (4), ò.ê.
xi è vi êîðíè ñîîòâåòñòâóþùèõ íåïðèâîäèìûõ ìíîãî÷ëåíîâ. Ñëåäñòâèå 1. Ãðóïïà Ãàëóà îáùåãî óðàâíåíèÿ ñòåïåíè n (íàä F0 ) åñòü
Sn ãðóïïà âñåõ ïîñòàíîâîê ñòåïåíè n.
12
7. Ïðîñòîòà ãðóïïû An (n > 4)
Òåîðåìà 5. Ãðóïïà An ÷åòíûõ ïîäñòàíîâîê ñòåïåíè n ïðè n ≥ 5 ïðîñòàÿ
(íåêîììóòàòèâíàÿ).
Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ.
Ãðóïïà ïîäñòàíîâîê Sn . Âûðàæåíèå ïîäñòàíîâîê íåçàâèñèìûìè öèêëàìè.
Ïðåäñòàâëåíèå öèêëà ïðîèçâåäåíèåì òðàíñïîçèöèé: c = (1, 2, ..., k−1, k) =
(1, k)(2, k) · · · (k − 1, k) ⇒ ÷åòíîñòü (1, ..., k) ðàâíà (−1)k−1 , ÷åòíîñòü σ =
c1 c2 · · · cs ðàâíà (−1)k +···+k −s .
Îïðåäåëåíèå An ìíîæåñòâî âñåõ ÷åòíûõ ïîäñòàíîâîê.
Ëåììà 1. An ïîðîæäàåòñÿ 3-öèêëàìè: (1, i)(2, j) = (1, 2, j)(1, 2, i); (1, i)(2, i) =
(1, 2, i).
Ëåììà 2. N C An , (i, j, k) ∈ N ⇒ N = An :
(1, 2, 3) ∈ N ⇒ (1, 2)(3, k)(1, 2, 3)(1, 2)(3, k) = (1, 2, k).
Ëåììà 3. N CAn , (i, j)(k, l) ∈ N (n > 4) ⇒ N = An : τ = (1, 2)(3, 4), τ1 =
(3, 4, 5)τ (3, 5, 4) = (1, 2)(3, 5) ∈ N ; ⇒ τ1 τ −1 = τ1 τ = (3, 5, 4) ∈ N .
Ëåììà 4. τ = c1 · · · cs (`(ci ) ≥ `(ci+1 )); τ = c0 τ0 , ãäå c0 = c1 · cq , τ0 =
cq+1 · cs . Åñëè τ ∈ N C An , òî äëÿ âñÿêîãî σ íåçàâèñÿùåãî îò τ0 (ò.å. ñòàáèëü−1
íîãî íà ÷èñëàõ èç τ0 : στ0 = τ0 σ) èìååì τ1 = τ −1 (στ σ−1 ) = c−1
∈ N.
0 σc0 σ
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Ïóñòü N C An è τ = c1 · · · cs ∈ N (`(ci ) ≥
`(ci+1 )).
1o `(c1 ) ≥ 4 ⇒ N = An c0 = c1 = (1, 2, ..., k)
−1
a) k > 4. Ëåììà 4 äëÿ σ = (2, 3, 4) äàåò: τ1 = c−1
= (1, k, k −
0 σc0 σ
1, ..., 2)(2, 3, 4) · (1, 2, ..., k)(2, 4, 3) = (2, 4, 5) ∈ N .
−1
b) k = 4. τ1 = c−1
= (1, 4, 3, 2)(2, 3, 4)(1, 2, 3, 4)(2, 4, 3) = (1, 2, 4) ∈
0 σc0 σ
N.
2o `(c1 ) = 3 ⇒ N = An
−1
a) c0 = c1 c2 = (1, 2, 3)(4, 5, 6), σ = (2, 3, 4). Èìååì τ1 = c−1
=
0 σc0 σ
(1, 3, 2)(4, 6, 5) · (2, 3, 4)(1, 2, 3)(4, 5, 6)(2, 4, 3) = (1, 5, 2, 4, 3) ∈ N . Ñâåëè ê ñëó÷àþ 1o .
−1
b) c0 = c1 c2 = (1, 2, 3)(4, 5), σ = (2, 3, 4). Èìååì τ1 = c−1
=
0 σc0 σ
(1, 3, 2)(4, 5) · (2, 3, 4)(1, 2, 3)(4, 5)(2, 4, 3) = (1, 5, 2, 4, 3) ∈ N . Îïÿòü ñâåëè ê
ñëó÷àþ 1o .
3o `(c1 ) = 2 ⇒ N = An
a) s > 2. c0 = (1, 2)3, 4), σ = (2, 3, 4); τ1 = (1, 2)(3, 4)(2, 3, 4)(1, 2)(3, 4)(2, 4, 3) =
(1, 3)(2, 4) (n > 4, ëåììà 3).
b) s = 2. τ = (1, 2)(3, 4) ∈ N . íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìåíåíèå ëåììû 3.
 ñëó÷àå `(c1 ) = 1 N = 1. 1
s
13
8. Ìíîãî÷ëåíû, èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî ãðóïïû G ⊆ Sn
Äåéñòâèå ïîäñòàíîâêè íà ìíîãî÷ëåíå. Ïóñòü f = f (x1 , ..., xn ) ìíîãî÷ëåí
îò n ïåðåìåííûõ íàä ïîëåì K è a ïîäñòàíîâêà ñòåïåíè n (a ∈ Sn ). Ïîëîæèì f a = f (x1a , x2a , ..., xna ), ãäå ia ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ a íà i (a : i 7→ ia).
Ìíîãî÷ëåí f íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî a, åñëè f a = f .
Ïóñòü G ïîäãðóïïà â Sn (G ⊆ Sn ). Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí f èíâàðèa
àíòåí îòíîñèòåëüíî G, åñëè f = f äëÿ êàæäîãî a ∈ G (ò.å. èíâàðèàíòåí
îòíîñèòåëüíî âñåõ ýëåìåíòîâ èç G). Ìíîãî÷ëåí f íàçûâàåòñÿ îïðåäåëÿþùèì
äëÿ G ⊆ Sn , åñëè f a = f ⇔ a ∈ G.
Ëåììà 1. Ìíîãî÷ëåí f ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ G òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà îäèíàêîâîå äåéñòâèå äâóõ ðàçíûõ ýëåìåíòîâ a è b èç Sn íà f
îçíà÷àåò ïðèíàäëåæíîñòü èõ ê îäíîìó ïðàâîìó êëàññó ñìåæíîñòè ïî G (ò.å.
ab−1 ∈ G).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f îïðåäåëÿþùèé äëÿ G. Èìååì f a = f b ⇒
ab
= f ⇒ ab−1 ∈ G, ò.ê. f îïðåäåëÿþùèé äëÿ G.
f
Îáðàòíî, ïóñòü f a = f b , íî ab−1 ∈/ G. Îäíàêî, î÷åâèäíî, ÷òî f ab =
f , ò.å. ýëåìåíò ab−1 , íåëåæàùèé â G, ñîõðàíÿåò f . Ñëåäîâàòåëüíî, f íå
îïðåäåëÿþùèé.
Äðóãàÿ ðåäàêöèÿ: äâà ðàâåíñòâà f a = f b è f ab = f , î÷åâèäíî, ýêâèâèëåíòíû. Ïîýòîìó, åñëè f îïðåäåëÿþùèé äëÿ G, òî îäèíàêîâîå äåéñòâèå
a è b íà G âëå÷åò ab−1 ∈ G. Îáðàòíî, åñëè f a = f b , íî ab−1 ∈
/ G, òî f íå
ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì. Ñëåäñòâèå 1. Åñëè a1 , ..., as ïîëíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâèòåëåé (ïðàâûõ
êëàññîâ ñìåæíîñòè), òî âñå ga ðàçëè÷íû.
Ïðåäëîæåíèå 1. (Î ñóùåñòâîâàíèè îïðåäåëÿþùåãî ìíîãî÷ëåíà). Íàä
áåñêîíå÷íûì ïîëåì K äëÿ êàæäîé ïîäãðóïïû G â Sn ñóùåñòâóåò îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G = {b1 , ..., bm } è h = h(x1 , ..., xn ) = c1 x1 + · · · +
cn xn , ãäå ci ∈ K è ci 6= cj ïðè i 6= j (ýòî âîçìîæíî, ò.ê. K áåñêîíå÷íî).  òàêîì ñëó÷àå áóäåì èìåòü: ha = hb ⇔ a = b (a, b ∈ Sn ) (ha = hb ⇒ cia = cib ).
Ïîýòîìó, åñëè ïîëîæèòü ϕ(t, x1 , ..., xn ) = (t − hb ) · · · (t − hb ), òî âñå ìíîãî÷ëåíû ϕa (t), i = 1, ..., s, ãäå a1 , ..., as ïîëíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâèòåëåé,
ðàçëè÷íû (ò.ê. èõ êîðíè ha , a ∈ Sn ðàçëè÷íû) è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî
ïîäîáðàòü t0 ∈ K òàê, ÷òîáû ϕa (t0 ) 6= ϕa (t0 ) äëÿ ëþáûõ i 6= j . Òîãäà
ϕ(t0 , x1 , ..., xn ) èñêîìûé ìíîãî÷ëåí. Çàìå÷àíèå 1. Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 1 íå òîëüêî óñòàíàâëèâàåò
ñóùåñòâîâàíèå îïðåäåëÿþùåãî ìíîãî÷ëåíà äëÿ G, íî è äàåò íåêîòîðûé ñïîñîá åãî ïîñòðîåíèÿ. Îäíàêî, êàê áóäåò âèäíî â äàëüíåéøåì èç ïðèìåðîâ,
ýòîò ñïîñîá äàëåêî íå âñåãäà ïðèâîäèò ê ïðîñòåéøåìó èç îïðåäåëþþùèõ
ìíîãî÷ëåíîâ. Ïîëó÷àåìûé ýòèì ñïîñîáîì ìíîãî÷ëåí èìååò ñòåïåíü m (ïîðÿäîê ãðóïïû G), íî ÷àñòî ñóùåñòâóåò îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí ìåíüøåé
ñòåïåíè.
Ñîïðÿæåííûå ïîäãðóïïû è êëàññ ñîïðÿæåííîñòè.
Íàïîìíèì, ÷òî ïîäñòàíîâêà êîðíåé α1 , ..., αn ìíîãî÷ëåíà f (x) íàä ïîëåì
K ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ãðóïïû Ãàëóà ýòîãî ìíîãî÷ëåíà (íàä K ), åñëè îíà
−1
−1
−1
i
1
i
i
j
14
m
ïðîäîëæàåòñÿ äî àâòîìîðôèçìà ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ K(α1 , ..., αn ) ìíîãî÷ëåíà f (x). Ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ïîäñòàíîâîê îáðàçóåò ãðóïïó Ãàëóà ýòîãî
ìíîãî÷ëåíà (íàä K ).
Çàâèñèìîñòü ãðóïïû Ãàëóà îò ïîðÿäêà êîðíåé.
Ëåììà 2. Åñëè F èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî G, òî F a èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî a−1 Ga.
Ëåììà 3. Åñëè F îïðåäåëÿþùèé äëÿ G, òî F a îïðåäåëÿþùèé äëÿ a−1 Ga.
Îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí äëÿ [G]. Ïóñòü g îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí
äëÿ G ⊆ Sn è a1 , ..., as ïîëíûé íàáîð ïðåäñòàâèòåëåé äëÿ G, òîãäà ìíîãî÷ëåí G(z) = G(z, x1 , ..., xn ) = (z −ga ) · · · (z −ga ) íàçûâàåòñÿ îïðåäåëÿþùèì
ìíîãî÷ëåíîì äëÿ [G].
Ëåììà 4. G(z) = (z − ga ) · · · (z − ga ) íå çàâèñèò îò G ∈ [G], íî çàâèñèò
îò g.
Ëåììà 5. Êîýôôèöèåíòû G(z) ñèììåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îò x1 , ..., xn .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî G a (z) = G(z) äëÿ ëþáîé ïîäñòàíîâêè a ∈ Sn . Èìååì G a (z) = (z − ga )a · · · (z − ga )a = (z − ga a ) · · · (z −
g a a ). Ïîñêîëüêó a1 , ..., as ïîëíûé íàáîð ïðåäñòàâèòåëåé (ïðàâûõ êëàññîâ
ñìåæíîñòè ïî G−1), òî è a1 a, ..., as a òîæå ïîëíûé íàáîð ïðåäñòàâèòåëåé (ò.ê.
ai a(aj )−1 = ai aj ). Îòñþäà G a (z) = G(z).
Âòîðîå äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ G(z) = zs −σ1 zs−1 +· · ·+(−1)s σs ,
ãäå σk ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû îò ga , ..., ga , à ò.ê. ïîä
äåéñòâèåì a ∈ Sn ýòè ôóíêöèè ïåðåñòàâëÿþòñÿ, òî σk ñèììåòðè÷åñêèå
ìíîãî÷ëåíû è îò x1 , ..., xn . Âû÷èñëåíèå ãðóïïû Ãàëóà ìíîãî÷ëåíà íàä K . Ïóñòü f (x) = a0 xn +a1 xn−1 +
· · · + an ìíîãî÷ëåí íàä K áåç êðàòíûõ êîðíåé, α1 , ..., αn åãî êîðíè.
G íåêîòîðàÿ ïîäãðóïïà â Sn è G(z) = G(z, x1 , ..., xn ) îïðåäåëÿþùèé
ìíîãî÷ëåí äëÿ [G]. Ïîëîæèì G0 (z) = G(z, α1 , ..., αn ).  ñèëó ëåììû 5 G0 (z)
ìíîãî÷ëåí íàä K .
Ïðåäëîæåíèå 2. G(f ) ⊆ G ⇒ ∃ γ ∈ K : G0 (γ) = 0. (Åñëè ãðóïïà
Ãàëóà ìíîãî÷ëåíà f (íàä K ) ñîäåðæèòñÿ â Gi ∈ [G], òî G0 (z) èìååò êîðåíü
â K ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì G0 (z) = (z − g0a ) · · · (z − g0a ), ãäå ga îïðåäåëÿþùèé
äëÿ
Gi ∈ [G] = {G1 , ..., Gs }; åñëè G(f ) ⊆ Gi , òî g a a = g a ∀ a ∈ Gi ⇒
a b
a
g0 = g0 ∀ b ∈ G(f ) ⇒ g0a ∈ K 1 . Ïðåäëîæåíèå 3. Ïóñòü G0 (z) íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé è ∃ γ ∈ K :
G0 (γ) = 0 ⇒ G(f ) ⊆ Gi ∈ [G].
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g0a = βi ∈ K . ∀ b ∈ G(fa) : βib =a βi ; g0a b = g0a =
βi . Òàê êàê íåò êðàòíûõ êîðíåé, òî ýòî âëå÷åò g0 = g0 ⇒ i = j , ò.å.
g0a b = g0a ∀b ∈ G(f ) ⇒ G(f ) ⊆ Gi ∈ [G], ò.ê. g a îïðåäåëÿþùèé äëÿ Gi
1
s
1
s
1
s
1
s
1
1
s
s
i
i
i
i
i
i
i
i
j
i
i
i
i
i
Ïîñòðîåíèå
G0 (z)
áåç êðàòíûõ êîðíåé (äëÿ äàííîãî
f)
 ñëó÷àå, êîãäà ïîëÿ K áåñêîíå÷íî, äëÿ äàííûõ ìíîãî÷ëåíà f (x) ∈ K[x] è ãðóïïû G ⊂ Sn ñóùåñòâóåò îïðåäåëÿþùèé äëÿ [G]
ìíîãî÷ëåí G(z) òàêîé, ÷òî G0 (z) íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé.
Ïðåäëîæåíèå 4.
1 Çäåñü
è íèæå ïîä
g0a (a ∈ Sn )
ìû ïîíèìàåì
15
g0a = g a (α1 , ..., αn ) = g(α1a , ..., αna ).
Ëåììà 6. Åñëè ïîëå K áåñêîíå÷íî, òî ñóùåñòâóþò c1 , ..., cn ∈ K òàêèå,
÷òî äëÿ êàæäîãî hk = hk (x1 , ..., xk ) = c1 x1 +· · ·+ck xk èìååì (hak )0 = (hbk )0 ⇔
xai = xbi , i = 1, ..., k , ãäå (hk )0 = c1 α1 + · · · + ck αk è a, b ∈ Sn .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì hk = hk−1 + ck xk (c1 6= 0); ïóñòü hak = hak−1 +
ck xi , hbk = hbk−1 + ck xj , i 6= j (ò.å. xak = xi , xbk = xj ). Òîãäà hak − hbk =
h
−h
äëÿ ëþáûõ a, b ∈ Sn . hak−1 − hbk−1 + ck (αi − αj ) 6= 0 ⇔ ck 6= − α −α
Çàìå÷àíèå 2. Óñëîâèå: ci 6= cj ïðè i 6= j â îïðåäåëåíèè h íåäîñòàòî÷íî
äëÿ òîãî, ÷òîáû ha0 = hb0 ⇔ a = b (a, b ∈ Sn ) (ïî ñðàâíåíèþ ñ äîêàçàòåëüñòâîì ïðåäëîæåíèÿ 1 çäåñü ha0 ýëåìåíòû ïîëÿ K(α1 , ..., αn ), òîãäà êàê òàì
ha ìíîãî÷ëåíû). Ïîýòîìó çäåñü äëÿ âûáîðà ci ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü áîëåå òîíêîå ðàññóæäåíèå. Íî ïîñëå òîãî, êàê óäàåòñÿ íàéòè íóæíîå h, äîâîäû
äîêàçàòåëüñòâà ïðåäëîæåíèÿ 1 ñîõðàíÿþò ñâîþ ñèëó.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 4. Ïóñòü G = {b1 , ..., bm }, h = hn (ñì. ëåììó 6) è ϕ(t) = (t − hb ) · · · (t − hb ). Åñëè t0 ∈ K ïîäîáðàíî òàê, ÷òî ga 6= ga
ïðè i 6= j , ãäå g = ϕ(t0 ), à a1 , ..., as ïîëíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâèòåëåé äëÿ
G, òî g îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí äëÿ G, ñîîòâåòñòâóþùèé ìíîãî÷ëåí
G(z) = (z − g0a ) · · · (z − g0a ) êîòîðîãî áóäåò èñêîìûì. Äåéñòâèòåëüíî, êîðíÿìè G(z) ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòû g0a , êîòîðûå ïî ïîñòðîåíèþ g âñå ðàçëè÷íû.
Ïðèìåðû. Ñëó÷àé n = 3. Ïîäãðóïïû S3 : E = {(1)}, C2 = {(1), (12)}, C20 =
{(1), (13)}, C200 = {(1), (23)}, A3 = {(1), (123), (132)}, S3 .
Ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà. Ïóñòü çàäàíû ìíîãî÷ëåí f (x) = xn −σ1 xn−1 +
· · · + (−1)n−1 σn−1 x + (−1)n σn , σi ∈ K , ñî ñâîèìè êîðíÿìè α1 , α2 , ..., αn è
ïðåîáðàçîâàíèå y = a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 , ai ∈ K .
Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ìíîãî÷ëåí g(y) = yn − Σ1 yn−1 + · · · + (−1)n Σn ,
êîðíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ βi = y(αi ), i = 1, ..., n. Ïåðåõîä îò ïåðâîãî
ìíîãî÷ëåíà f (x) êî âòîðîìó g(y) íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì ×èðíãàóçåíà
(ìíîãî÷ëåíà f (x)). Ðàññìîòðèì äâà ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ ìíîãî÷ëåíà g(y) äëÿ
äàííîãî f (x) íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå.
Ïóñòü f (x) = x3 − 2x + 3, y = 1 − x + x2 .
1) Íàéäåì ñòåïåííûå ñóììû äëÿ âåëå÷èí yi . Èìååì y = 1 − x + x2 , y2 =
7 − 9x + 5x2 , y 3 = 49 − 59x + 31x2 (mod f (x)). Ïîýòîìó S1 = β1 + β2 +
β3 = 3 − s1 + s2 , S2 = 21 − 9s1 + 5s2 , S3 = 147 − 59s1 + 31s2 ; çàòåì, ò.ê.
σ1 = 0, σ2 = −2, σ3 = −3, òî s1 = 0, s2 = 4; îòñþäà S1 = 7, S2 = 41, S3 =
271 ⇒ Σ1 = 7, Σ2 = 4, Σ3 = 4. Ñëåäîâàòåëüíî, g(y) = y 3 − 7y 2 + 4y − 4.
Çàìå÷àíèå. Ìîæíî òàêæå (è âîçìîæíî ýòî ïðîùå) íàéòè çàâèñèìîñòü
ìåæäó 1, y, y2 , y3 (mod f (x)).
2) Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ìíîãî÷ëåíîâ: y = 1 − x + x2 , xy =
−3 + 3x − x2 , xy 2 = 3 − 5x + 3x2 (mod f (x)). Òàê êàê ýòà ñèñòåìà äîëæíà
èìåòü ðåøåíèå îòíîñèòåëüíî (1, x, x2 ), òî äîëæíîèìåòü ìåñòî ðàâåíñòâî
a
k−1
i
1
1
b
k−1
j
m
i
s
i
1−y
−3
3
−1
3−y
−5
1
−1
3−y
= 0.
Ýòî è åñòü g(y) (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ èç K ).
16
j
Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâíèå ×èðíãàóçåíà. Ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèå x = b0 + b1 y + b2 y2
òàêîå, ÷òî ïåðåâîäèò g(y) îáðàòíî â f (x).
Ïóñòü yi =
n−1
P
; òîãäà x =
aij xj (mod f (x))
j=0
n−1
P
i=0
γi y i =
n−1
P n−1
P
(
γi aij )xj ⇒
j=0 i=0
. Ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèé (îòíîñèòåëüíî γi )
äîëæíà èìåòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ò.å. det (aij ) 6= 0, ãäå a0j = δ0j .
Ïðåäëîæåíèå. Åñëè ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà îáðàòèìî, òî G(f ) =
G(g).
 ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå ïðåîáðàçîâàíèå îáðàòèìî, ò.ê. ïðåîáðàçîâàíèå x = 21 + 54 y − 14 y2 ïåðåâîäèò g(x) â f (x).
n−1
P
aij γ = δ1j , j = 1, ..., n − 1
i=0
17
×àñòü II (II ñåìåñòð)
8. Ìíîãî÷ëåíû, èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî ãðóïïû G ⊆ Sn
Äåéñòâèå ïîäñòàíîâêè íà ìíîãî÷ëåíå. Ïóñòü f = f (x1 , ..., xn ) ìíîãî÷ëåí
îò n ïåðåìåííûõ íàä ïîëåì K è a ïîäñòàíîâêà ñòåïåíè n (a ∈ Sn ). Ïîëîæèì f a = f (x1a , x2a , ..., xna ), ãäå ia ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ a íà i (a : i 7→ ia).
Ìíîãî÷ëåí f íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî a, åñëè f a = f .
Ïóñòü G ïîäãðóïïà â Sn (G ⊆ Sn ). Ãîâîðÿò, ÷òî ìíîãî÷ëåí f èíâàðèa
àíòåí îòíîñèòåëüíî G, åñëè f = f äëÿ êàæäîãî a ∈ G (ò.å. èíâàðèàíòåí
îòíîñèòåëüíî âñåõ ýëåìåíòîâ èç G). Ìíîãî÷ëåí g (îò n ïåðåìåííûõ) íàçûâàåòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ G ⊆ Sn , åñëè ga = g ⇔ a ∈ G.
Ëåììà 1. Ìíîãî÷ëåí g ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ G òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà îäèíàêîâîå äåéñòâèå äâóõ ðàçíûõ ýëåìåíòîâ a è b èç Sn íà g
îçíà÷àåò ïðèíàäëåæíîñòü èõ ê îäíîìó ïðàâîìó êëàññó ñìåæíîñòè ïî G (ò.å.
g a = g b ⇔ ab−1 ∈ G).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g îïðåäåëÿþùèé äëÿ G. Èìååì ga = gb ⇒
ab
= g ⇒ ab−1 ∈ G, ò.ê. g îïðåäåëÿþùèé äëÿ G.
g
Îáðàòíî, ïóñòü ga = gb , íî ab−1 ∈/ G. Òîãäà gab = g, ò.å. ýëåìåíò ab−1 ,
íåëåæàùèé â G, ñîõðàíÿåò g, è ñëåäîâàòåëüíî, g íå îïðåäåëÿþùèé.
Äðóãàÿ ðåäàêöèÿ: äâà ðàâåíñòâà ga = gb è gab = g, î÷åâèäíî, ýêâèâàëåíòíû. Ïîýòîìó, åñëè g îïðåäåëÿþùèé äëÿ G, òî îäèíàêîâîå äåéñòâèå
a è b íà G âëå÷åò ab−1 ∈ G. Îáðàòíî, åñëè g a = g b , íî ab−1 ∈
/ G, ò.å. ýëåìåíò ab−1 , íåëåæàùèé â G, ñîõðàíÿåò g, è ñëåäîâàòåëüíî, g íå ÿâëÿåòñÿ
îïðåäåëÿþùèì. Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü a1 , ..., as ïîëíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâèòåëåé ïðàâûõ êëàññîâ ñìåæíîñòè ïîäãóïïû G â Sn (ò.å. ïî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîãî êëàññà); ìíîãî÷ëåí g, èíâàðèàíòíûé îòíîñèòåëüíî ãðóïïû G, ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ íåå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå ìíîãî÷ëåíû
g a , i = 1, ..., s ðàçëè÷íû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè g îïðåäåëÿþùèé äëÿ G, òî ïî ëåììå 1 äëÿ ëþáûõ
ïðåäñòàâèòåëåé ga 6= ga ïðè i 6= j . Îáðàòíîå òîæå ÿñíî, ò.ê. ýòî íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî ga = gb âîçìîæíî òîëüêî, êîãäà ab−1 ∈ G (åñëè g
èíâàðèàíòíà äëÿ G è ab−1 ∈ G, òî ga = gb â ëþáîì ñëó÷àå).  äàëüíåéøåì, êàê ïðàâèëî, îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí ãðóïïû G ⊆ Sn
áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç g, à ïîëíóþ ñèñòåìó ïðåäñòàâèòåëåé ïðàâûõ êëàññîâ
ñìåæíîñòè ïî G ÷åðåç a1 , ..., as è íàçûâàòü åå ïðîñòî ñèñòåìîé ïðåäñòàâèòåëåé.
Ïðåäëîæåíèå 5. (Î ñóùåñòâîâàíèè îïðåäåëÿþùåãî ìíîãî÷ëåíà). Íàä
áåñêîíå÷íûì ïîëåì K äëÿ êàæäîé ïîäãðóïïû G â Sn ñóùåñòâóåò îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G = {b1 , ..., bm } è h = h(x1 , ..., xn ) = c1 x1 + · · · +
cn xn , ãäå ci ∈ K è ci 6= cj ïðè i 6= j (ýòî âîçìîæíî, ò.ê. K áåñêîíå÷íî).  òàêîì ñëó÷àå áóäåì èìåòü: ha = hb ⇔ a = b (a, b ∈ Sn ) (ha = hb ⇒ cia = cib ).
Ïîýòîìó, åñëè ïîëîæèòü ϕ(t, x1 , ..., xn ) = (t − hb ) · · · (t − hb ), òî âñå ìíîãî÷ëåíû ϕa (t), i = 1, ..., s, ãäå a1 , ..., as ïîëíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâèòåëåé,
−1
−1
−1
i
i
j
1
i
18
m
ðàçëè÷íû (ò.ê. èõ êîðíè ha , a ∈ Sn ðàçëè÷íû) è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî
ïîäîáðàòü t0 ∈ K òàê, ÷òîáû ϕa (t0 ) 6= ϕa (t0 ) äëÿ ëþáûõ i 6= j . Òîãäà
ϕ(t0 , x1 , ..., xn ) èñêîìûé ìíîãî÷ëåí. Çàìå÷àíèå 1. Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 1 íå òîëüêî óñòàíàâëèâàåò
ñóùåñòâîâàíèå îïðåäåëÿþùåãî ìíîãî÷ëåíà äëÿ G, íî è äàåò íåêîòîðûé ñïîñîá åãî ïîñòðîåíèÿ. Îäíàêî, êàê áóäåò âèäíî â äàëüíåéøåì èç ïðèìåðîâ,
ýòîò ñïîñîá äàëåêî íå âñåãäà ïðèâîäèò ê ïðîñòåéøåìó èç îïðåäåëÿþùèõ
ìíîãî÷ëåíîâ. Ïîëó÷àåìûé ýòèì ñïîñîáîì ìíîãî÷ëåí èìååò ñòåïåíü m (ïîðÿäîê ãðóïïû G), íî ÷àñòî ñóùåñòâóåò îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí ìåíüøåé
ñòåïåíè. Íèæå áóäåò ðàññìîòðåí åùå îäèí ñïîñîá.
Ñîïðÿæåííûå ïîäãðóïïû è êëàññ ñîïðÿæåííîñòè.
Íàïîìíèì, ÷òî ïîäñòàíîâêà êîðíåé α1 , ..., αn ìíîãî÷ëåíà f (x) íàä ïîëåì
K ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ãðóïïû Ãàëóà ýòîãî ìíîãî÷ëåíà (íàä K ), åñëè îíà
ïðîäîëæàåòñÿ äî àâòîìîðôèçìà ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ F = K(α1 , ..., αn ) ìíîãî÷ëåíà f (x). Ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ïîäñòàíîâîê îáðàçóåò ãðóïïó Ãàëóà ýòîãî
ìíîãî÷ëåíà (íàä K ). Ýòà ãðóïïà ñîâïàäàåò ñ ãðóïïîé àâòîìîðôèçìîâ ïîëÿ
F , ñòàáèëüíûõ íà êàæäîì ýëåìåíòå èç K . (Êàæäûé ýëåìåíò ïîëÿ F ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè îò α1 , ..., αn . Âñÿêàÿ ïåðåñòàíîâêà êîðíåé âëå÷åò ïåðåñòàíîâêó ýòèõ ôóíêöèé è òîëüêî ýëåìåíòû ïîëÿ
K îñòàþòñÿ íà ìåñòå. Îáðàòíî, âñÿêèé àâòîìîðôèçì ïîëÿ F , ñîõðàíÿþùèé
ýëåìåíòû K , ïåðåñòàâëÿåò êîðíè.)
Ëåììà 2. Ãðóïïà Ãàëóà ìíîãî÷ëåíà f çàâèñèò îò íóìåðàöèè (ïîðÿäêà)
åãî êîðíåé. Åñëè ïðè äàííîì ïîðÿäêå α1 , ..., αn åãî ãðóïïà åñòü G(f ), òî
ïðè èçìåíåííîì ïîðÿäêå α1 a, ..., αn a (ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîëüíîãî a ∈ Sn ) åãî
ãðóïïà áóäåò a−1 G(f )a.
Òàêèì îáðàçîì, ãðóïïà Ãàëóà ìíîãî÷ëåíà f (x) îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ
äî ñîïðÿæåííîñòè.
Ëåììà 3. Åñëè F èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî G, òî F a èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî a−1 Ga, è åñëè F îïðåäåëÿþùèé äëÿ G, òî F a îïðåäåëÿþùèé
äëÿ a−1 Ga.
Îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí äëÿ [G]. Ïóñòü g îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí
äëÿ G ⊆ Sn è a1 , ..., as ïîëíûé íàáîð ïðåäñòàâèòåëåé äëÿ G, òîãäà ìíîãî÷ëåí G(z) = G(z, x1 , ..., xn ) = (z −ga ) · · · (z −ga ) íàçûâàåòñÿ îïðåäåëÿþùèì
ìíîãî÷ëåíîì äëÿ [G] èëè ðåçîëüâåíòîé [G].
Ëåììà 4. G(z) = (z − g a ) · · · (z − g a ) íå çàâèñèò îò G ∈ [G], íî çàâèñèò
îò g.
Ëåììà 5. Êîýôôèöèåíòû G(z) ñèììåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îò x1 , ..., xn .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî G a (z) = G(z) äëÿ ëþáîé ïîäñòàíîâêè a ∈ Sn . Èìååì G a (z) = (z − ga )a · · · (z − ga )a = (z − ga a ) · · · (z −
g a a ). Ïîñêîëüêó a1 , ..., as ïîëíûé íàáîð ïðåäñòàâèòåëåé (ïðàâûõ êëàññîâ
ñìåæíîñòè ïî G−1), òî è a1 a, ..., as a òîæå ïîëíûé íàáîð ïðåäñòàâèòåëåé (ò.ê.
ai a(aj )−1 = ai aj ). Îòñþäà G a (z) = G(z).
Âòîðîå äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ G(z) = zs −σ1 zs−1 +· · ·+(−1)s σs ,
ãäå σk ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû îò ga , ..., ga , à ò.ê. ïîä
äåéñòâèåì a ∈ Sn ýòè ôóíêöèè ïåðåñòàâëÿþòñÿ, òî σk ñèììåòðè÷åñêèå
i
j
s
1
1
s
1
s
1
s
1
19
s
ìíîãî÷ëåíû è îò x1 , ..., xn . Âû÷èñëåíèå ãðóïïû Ãàëóà ìíîãî÷ëåíà íàä K . Ïóñòü f (x) = a0 xn +a1 xn−1 +
· · · + an ìíîãî÷ëåí íàä K áåç êðàòíûõ êîðíåé, α1 , ..., αn åãî êîðíè.
G íåêîòîðàÿ ïîäãðóïïà â Sn è G(z) = G(z, x1 , ..., xn ) îïðåäåëÿþùèé
ìíîãî÷ëåí äëÿ [G]. Ïîëîæèì G0 (z) = G(z, α1 , ..., αn ).  ñèëó ëåììû 5 G0 (z)
ìíîãî÷ëåí íàä K .
Ïðåäëîæåíèå 6. G(f ) ⊆ G ⇒ ∃ γ ∈ K : G0 (γ) = 0. (Åñëè ãðóïïà
Ãàëóà ìíîãî÷ëåíà f (íàä K ) ñîäåðæèòñÿ â Gi ∈ [G], òî G0 (z) èìååò êîðåíü
â K ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì G0 (z) = (z − g0a ) · · · (z − g0a ), ãäå ga îïðåäåëÿþùèé
äëÿ
Gi ∈ [G] = {G1 , ..., Gs }; åñëè G(f ) ⊆ Gi , òî g a a = g a ∀ a ∈ Gi ⇒
a b
a
g0 = g0 ∀ b ∈ G(f ) ⇒ g0a ∈ K 1 . Ïðåäëîæåíèå 7. Ïóñòü G0 (z) íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé è ∃ γ ∈ K :
G0 (γ) = 0 ⇒ G(f ) ⊆ Gi ∈ [G].
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g0a = βi ∈ K . ∀ b ∈ G(fa) : βib =a βi ; g0a b = g0a =
βi . Òàê êàê íåò êðàòíûõ êîðíåé, òî ýòî âëå÷åò g0 = g0 ⇒ i = j , ò.å.
g0a b = g0a ∀b ∈ G(f ) ⇒ G(f ) ⊆ Gi ∈ [G], ò.ê. g a îïðåäåëÿþùèé äëÿ Gi
1
s
i
i
i
i
i
i
i
i
j
i
i
i
i
i
Ïîñòðîåíèå
G0 (z)
áåç êðàòíûõ êîðíåé (äëÿ äàííîãî
f)
 ñëó÷àå, êîãäà ïîëÿ K áåñêîíå÷íî, äëÿ äàííûõ ìíîãî÷ëåíà f (x) ∈ K[x] è ãðóïïû G ⊂ Sn ñóùåñòâóåò îïðåäåëÿþùèé äëÿ [G]
ìíîãî÷ëåí G(z) òàêîé, ÷òî G0 (z) íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé.
Ëåììà 6. Åñëè ïîëå K áåñêîíå÷íî, òî ñóùåñòâóþò c1 , ..., cn ∈ K òàêèå,
÷òî äëÿ êàæäîãî hk = hk (x1 , ..., xk ) = c1 x1 +· · ·+ck xk èìååì (hak )0 = (hbk )0 ⇔
xai = xbi , i = 1, ..., k , ãäå (hk )0 = c1 α1 + · · · + ck αk è a, b ∈ Sn .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì hk = hk−1 + ck xk (c1 6= 0); ïóñòü hak = hak−1 +
ck xi , hbk = hbk−1 + ck xj , i 6= j (ò.å. xak = xi , xbk = xj ). Òîãäà hak − hbk =
h
−h
äëÿ ëþáûõ a, b ∈ Sn . hak−1 − hbk−1 + ck (αi − αj ) 6= 0 ⇔ ck 6= − α −α
Çàìå÷àíèå 2. Óñëîâèå: ci 6= cj ïðè i 6= j â îïðåäåëåíèè h íåäîñòàòî÷íî
äëÿ òîãî, ÷òîáû ha0 = hb0 ⇔ a = b (a, b ∈ Sn ) (ïî ñðàâíåíèþ ñ äîêàçàòåëüñòâîì ïðåäëîæåíèÿ 1 çäåñü ha0 ýëåìåíòû ïîëÿ K(α1 , ..., αn ), òîãäà êàê òàì
ha ìíîãî÷ëåíû). Ïîýòîìó çäåñü äëÿ âûáîðà ci ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü áîëåå òîíêîå ðàññóæäåíèå. Íî ïîñëå òîãî, êàê óäàåòñÿ íàéòè íóæíîå h, äîâîäû
äîêàçàòåëüñòâà ïðåäëîæåíèÿ 1 ñîõðàíÿþò ñâîþ ñèëó.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ 8. Ïóñòü G = {b1 , ..., bm }, h = hn (ñì. ëåììó 6) è ϕ(t) = (t − hb ) · · · (t − hb ). Åñëè t0 ∈ K ïîäîáðàíî òàê, ÷òî ga 6= ga
ïðè i 6= j , ãäå g = ϕ(t0 ), à a1 , ..., as ïîëíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâèòåëåé äëÿ
G, òî g îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí äëÿ G, ñîîòâåòñòâóþùèé ìíîãî÷ëåí
G(z) = (z − g0a ) · · · (z − g0a ) êîòîðîãî áóäåò èñêîìûì. Äåéñòâèòåëüíî, êîðíÿìè G(z) ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòû g0a , êîòîðûå ïî ïîñòðîåíèþ g âñå ðàçëè÷íû.
Äèñêðèìèíàíò ìíîãî÷ëåíà. Ïóñòü f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x +
an ïðîèçâîëüíûé ìíîãî÷ëåí íàä ïîëåì K è α1 , ..., αn åãî êîðíè (íå
Ïðåäëîæåíèå 8.
a
k−1
i
1
1
m
b
k−1
j
i
s
i
1 Çäåñü
è íèæå ïîä
g0a (a ∈ Sn )
ìû ïîíèìàåì
20
g0a = g a (α1 , ..., αn ) = g(α1a , ..., αna ).
j
îáÿçàòåëüíî ðàçíûå). Íàïîìíèì, ÷òî ýëåìåíò ïîëÿ K(α1 , ..., αn )
Y
D(f ) = a2n−2
0
(αi − αj )2
n≥i>j≥1
íàçûâàåòñÿ äèñêðèìèíàíòîì ìíîãî÷ëåíà f . Èç îïðåäåëåíèÿ äèñêðèìèíàíòà ñëåäóåò
1o D(f ) = 0 ⇔ f (x) èìååò êðàòíûå êîðíè.
2o D(f ) ∈ K (ò.ê. D(f ) ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî êîðíåé f ).
Íàïîìíèì òàêæå ñïîñîáû−1 âû÷èñëåíèÿ äèñêðèìèíàíòà:
1) D(f ) = (−1)n(n−1)/2 a0 ∆(f, f 0 ), ãäå f 0 ïðîèçâîäíûé ìíîãî÷ëåí îò
f , à ∆(f, f 0 ) äåòåðìèíàíòíàÿ ôîðìà ðåçóëòàíòà ìíîãî÷ëåíîâ f è f 0 , ò.å.
a0
0
.
0
∆(f, f 0 ) = na0
0
.
0
a1
a0
.
...
(n − 1)a1
na0
.
0
...
a1
.
0
...
(n − 1)a1
.
...
an−1
...
.
a0
an−1
...
.
0
an
an−1
.
a1
0
an−1
.
na0
0
an
.
...
0
0
.
(n − 1)a1
...
...
.
an−1
...
...
.
...
0
0
.
an
0
0
.
an−1
2) Ïóñòü W (x1 , ..., xn ) ìàòðèöà îïðåäåëèòåëÿ Âàíäåðìîíäà, ò.å.



W (x1 , ..., xn ) = 


1
x1
x21
..
xn−1
1
1
x2
x22
..
xn−1
2
...
...
...
..
...
1
xn
x2n
..
xn−1
n



.


Áóäåì îáîçíà÷àòü îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà ÷åðåç
W = det W (x1 , ..., xn ) =
Y
(αi − αj ).
n≥i>j≥1
Èìååì
s0
s1
W 2 = det (W (x1 , ..., xn )W (x1 , ..., xn )t ) = s2
.
sn−1
s1
s2
s3
.
sn
s2
s3
s4
.
sn+1
...
...
...
.
...
sn−1
sn
sn+1
.
s2n−2
,
ãäå s0 = n è sk = xk1 + xk2 + · · · + xkn (k ≥ 1) ñòåïåííûå ñóììû.2n−2
Ïóñòü
W0 = det W (α1 , ..., αn ), òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ D(f ) èìååì D(f ) = a0
W02 .
Çäåñü ñòåïåííûå ñóììû óäîáíî âû÷èñëÿòü ïî ôîðìóëàì Íüþòîíà:
sk − sk−1 σ1 + · · · + (−1)k−1 s1 σk−1 + (−1)k kσk = 0 (k < n),
sk − sk−1 σ1 + · · · + (−1)n−1 s1 σn−1 + (−1)n sk−n σn = 0 (k < n),
21
(2)
.
ïîëàãàÿ â íèõ sk = sk (α1 , ..., αn ) è σi = (−1)i ai /a0 .
 ÷àñíîñòè, èìååì (ìîæíî âû÷èñëèòü è òåì è äðóãèì ñïîñîáîì)
a) D(f ) = b2 − 4ac äëÿ f = ax2 + bx + c.
b) D(f ) = −4a3 c + a2 b2 + 18abc − 4b3 − 27 äëÿ f = x3 + ax2 + bx + c.
c) D(f ) = −4p3 − 27q2 äëÿ f = x3 + px + q.
Îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí äëÿ An
Q
Ëåììà 7. Ìíîãî÷ëåí W =
(xi − xj ) ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì
n≥i>j≥1
äëÿ ãðóïïû An .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ âñÿêîé òðàíñïîçèöèè (i, j) èìååì W (i,j) = −W .
 ñàìîì äåëå, W = det W (x1 , ..., xn ) è ïåðåñòàíîâêà äâóõ ïåðåìåííûõ â
ýòîì îïðåäåëèòåëå ðàâíîñèëüíà ïåðåñòàíîâêå ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòîëáöîâ,
÷òî ìåíÿåò åãî çíàê. Ïîýòîìó âñÿêàÿ ÷åòíàÿ ïîäñòàíîâêà (êàê ïðîèçâåäåíèå
÷åòíîãî ÷èñëà òðàíñïîçèöèé) ñîõðàíÿåò W , à âñÿêàÿ íå÷åòíàÿ ìåíÿåò çíàê,
ò.å. W ñòàáèëåí òîëüêî ïðè äåéñòâèè ýëåìåíòîâ èç An . Ïðåäëîæåíèå 9. G(f ) ⊆ An ⇔ D(f ) ïîëíûé êâàäðàò â K .
Äîêàçàòåëüñòâî. Âû÷èñëèì îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí G(z) äëÿ [An ]. Òàê
êàê ïîäãðóïïà An èìååò èíäåêñ 2, òî ïîëíàÿ ñèñòåìà ïðåäñòàâèòåëåé äëÿ íåå
ñîäåðæèò äâà ýëåìåíòà, íàïðèìåð, 1 è (1, 2). Ïîýòîìó G(z) = (z − W 1 )(z −
W (1,2) ) = z 2 − W 2 (ñì. äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 7) è G0 (z) = z 2 − W02 (ïðè
ýòîì G0 (z) íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé, åñëè èõ íå èìååò f ). Ñëåäîâàòåëüíî,
ïî ïðåäëîæåíèþ
3 G(f ) ⊆ An òîëüêî òîãäà, êîãäà
p W0 ∈ K . Ïîñêîëüêó
D(f ) = a2n−2
W02 , ïîñëåäíåå ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ D(f ) ∈ K . 0
9. Òðàíçèòèâíûå ãðóïïû
Ãðóïïà G ⊆ Sn íàçûâàåòñÿ òðàíçè, åñëè äëÿ ëþáûõ i, j ∈ {1, ..., n} íàéäåòñÿ ïîäñòàíîâêà a ∈ G òàêàÿ,
÷òî ia = j . Èíà÷å ãîâîðÿ, ìíîæåñòâî N = {1, ..., n} íå èìååò ñîáñòâåííûõ
îðáèò îòíîñèòåëüíî G.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ãðóïïà íàçûâàåòñÿ èíòðàíçèòèâíîé.
Íàïîìèíàíèå. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïï (âíóòðåííåå). Âíóòðåííåå ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå (ïîäãðóïï G) H1 è H2 : îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè 1) íîðìàëüíîñòü Hi , 2) H1 H2 = G, 3) H1 ∩ H2 = {e}, èç êîòîðûõ ñëåäóþò: 4)
åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (h = h1 · h2 , h ∈ G, hi ∈ H1 ), 5) êîììóòàòèâíîñòü (h1 h2 = h2 h1 ), 6) Ñâîéñòâà 2, 4 è 5 ìîãóò áûòü âçÿòû çà îïðåäåëåíèå âíóòðåííåãî ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ.  ñëó÷àå s ìíîæèòåëåé (ñâîéñòâî
3 ïðèíèìàåò âèä Hi ∩ H1 · · · Hi−1 Hi+1 · · · Hs = {e}).
Ïðåäëîæåíèå 10. Åñëè ãðóïïà G ⊆ Sn èíòðàíçèòèâíà, òî îíà ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ñâîèõ ïîäãðóïï.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü S = {i1 , ..., is } è T = {j1 , ..., jt } äâà èíâàðèàíòíûõ ïîä äåéñòâèåì ãðóïïû G ïîäìíîæåñòâà â N òàêèå, ÷òî S ∪ T = N =
{1, ..., n}. Ïóñòü F (ñîîòâ., H ) ìíîæåñòâî òåõ ýëåìåíòîâ èç G, êîòîðûå
îñòàâëÿþò íà ìåñòå âñå èíäåêñû èç T (ñîîòâ., èç S ). Î÷åâèäíî, ÷òî F è H ïîäãðóïïû, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1) è 3) îïðåäåëåíèÿ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîäãðóïï. Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü 2). Ïóñòü g ïðîèçâîëüíûé
ýëåìåíò ãðóïïû G è f ïðîåêöèÿ g íà S , ò.å. òàêàÿ ïîäñòàíîâêà, ÷òî if = ig
Òðàíçèòèâíîñòü è èíòðàíçèòèâíîñòü.
òèâíîé
22
äëÿ âñÿêîãî i ∈ S è jf = j äëÿ âñÿêîãî j ∈ T , à h ïðîåêöèÿ g íà T . Î÷åâèäíî, ÷òî g = f h. Ïóñòü F 0 ïðîåêöèÿ G íà S , H 0 ïðîåêöèÿ G íà T .
Òîãäà G ∼= F 0 · H 0 . Òåîðåìà 7. Ìíîãî÷ëåí f (x) íåïðèâîäèì íàä ïîëåì K òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà åãî ãðóïïà Ãàëóà íàä K òðàíçèòèâíà (ò.å. âñå åãî êîðíè ñîïðÿæåíû).
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè f (x) íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n íàä K , òî
âñå åãî êîðíè ñîïðÿæåíû. Â ñàìîì äåëå, ïóñòü α1 êîðåíü f è α1 , ..., αm (m ≤
n) âñå ñîïðÿæåííûå ñ íèì ýëåìåíòû. Òîãäà g(x) = (x − α1 ) · · · (x − αm )
ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì íàä K , ò.ê. åãî êîýôôèöèåíòû, ÿâëÿÿñü ñèììåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè îò êîðíåé, îñòàþòñÿ ñòàáèëüíûìè ïîä äåéñòâèåì ýëåìåíòîâ èç G(f ) (ñì. ëåììó 1 Ÿ 2). Åñëè f íå ñîâïàäàåò ñ g (ñ òî÷íîñòüþ
äî ìíîæèòåëÿ èç K ), ò.å. m < n, òî ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ íåïðèâîäèìîñòüþ f (íàïîìíèì, ÷òî åñëè ýëåìåíò ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà, òî ëþáîé
ñîïðÿæåííûé ñ íèì ýëåìåíò, òîæå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ýòîãî ìíîãî÷ëåíà è ïîýòîìó g äîëæåí äåëèòü f ).
Îáðàòíî, åñëè f = g · h, òî íèêàêîé ýëåìåíò a ∈ G(f ) íå ïåðåâîäèò êîðíè
îäíîãî ìíîæèòåëÿ â êîðíè äðóãîãî, ò.å. G(f ) èíòðàíçèòèâíà. Ñëåäñòâèå. Ãðóïïà Ãàëóà ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âçàèìíî ïðîñòûõ ìíîãî÷ëåíîâ áåç êðàòíûõ ìíîæèòåëåé åñòü ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïï Ãàëóà
ìíîæèòåëåé (G(g · h) = G(g) · G(h), åñëè (g, h) = 1). Ïðåäëîæåíèå 11. Ïîðÿäîê òðàíçèòèâíîé ãðóïïû G ⊆ Sn äåëèòñÿ íà
n.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Gi = {a ∈ G | 1 a = i}. Åñëè G òðàíçèòèâíà, òî
Gi 6= ∅ äëÿ âñåõ i = 1, ..., n. Èìååì a, b ∈ Gi ⇔ ab−1 ∈ G1 (ïîäãðóïïà ñòàáèëèçàòîð 1). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Gi ïðàâûé êëàññ ñìåæíîñòè G ïî
G1 è ïîòîìó âñå ýòè ìíîæåñòâà ñîäåðæàò ïî îäèíàêîâîìó ÷èñëó ýëåìåíòîâ.
Ïóñòü c = (i1 , ..., is ) öèêë è q =
ïîäñòàíîâêà
−1
èç ãðóïïû Sn ; òîãäà b = q aq = (j1 , ..., js ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Öèêë ìîæåò áûòü íà÷àò ñ ëþáîãî ìåñòà, ïîýòîìó äîñòàòî÷íî óáåäèòñÿ, ÷òî j1 b = j2 . Ñìîòðè ñõåìó:
Ëåììà 1.
i1 , ..., is
j1 , ..., js
a - d
i1 d
i2
q −1 6
q
?
dj2
j1 d
Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü a = c1 c2 · · · ck ðàçëîæåíèå ïîäñòàíîâêè ñòåïåíè
íà íåçàâèñèìûå öèêëû ci , q ïðîèçâîëüíàÿ ïîäñòàíîâêà èç Sn . Òîãäà
ïîäñòàíîâêà b = q−1 aq èìååò òàêîå æå öèêëè÷åñêîå ñòðîåíèå, ÷òî è a, ò.å.
b = c01 c02 · · · c0k . Ïðè ýòîì, åñëè cs = (is1 , ..., ist ), òî c0s = (js1 , ..., jst ), ãäå
jsr = isr q, s = 1, ..., k .
n
23
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü îãðàíè÷åíèå íà ìíîæåñòâî ÷èñåë
, âõîäÿùèõ â öèêë . Òîãäà èìååì
, ãäå
ÿâëÿåòñÿ öèêëîì òîé æå äëèíû, ÷òî è â ñèëó ëåììû 1.
Äâå ïîäñòàíîâêè â ñîïðÿæåíû òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà îíè èìåþò îäèíàêîâîå öèêëè÷åñêîå ñòðîåíèå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå ⇐ äîêàçàíî â ñëåäñòâèè 1. Äîêàæåì ⇒.
Ïóñòü a = c1 c2 · · · ck è b = c01 c02 · · · c0k , ãäå cs = (is1 , ..., ist ) è c0s = (js1 , ..., jst ), äâå ïîäñòàíîâêè ñòåïåíè n ñ îäèíàêîâûì öèêëè÷åñêèì ñòðîåíèåì. Îïðåäåëèì ïîäñòàíîâêó q ðàâåíñòâàìè isr q = jsr äëÿ âñåõ s = 1, ..., k è r = 1, ..., ts .
Ïîñêîëüêó a è b ðàçëîæåíû íà íåçàâèñèìûå öèêëû, òî q äåéñòâèòåëüíî
ïîäñòàíîâêà, è b = q−1 aq â ñèëó ëåììû. ×èñëî âñåõ öèêëîâ äëèíû n ðàâíî (n − 1)! (íà ïåðâîì ìåñòå â öèêëå
ïîñòàâèì 1, îñòàëüíûå èíäåêñû ìîæíî ðàñïîëîæèòü ïðîèçâîëüíî).
×èñëî âñåõ öèêëè÷åñêèõ ïîäãðóïï â Sn ïîðÿäêà n ðàâíî (n−1)!
ϕ(n) , ãäå
ϕ(n) ôóíêöèÿ Ýéëåðà. (Ïóñòü ÷èñëî âñåõ öèêëè÷åñêèõ ïîäãðóïï ïîðÿäêà n â Sn ðàâíî xn . ×èñëî öèêëîâ äëèíû n â êàæäîé èç íèõ ðàâíî ϕ(n).
Ïîýòîìó xn ϕ = (n − 1)! ÷èñëó âñåõ òàêèõ öèêëîâ).
Âñÿêàÿ ãðóïïà â Sn , ñîäåðæàùàÿ òðàíçèòèâíóþ ïîäãðóïïó, òðàíçèòèâíà.  ÷àñòíîñòè, ãðóïïà, ñîäåðæàùàÿ öèêë äëèíû n, òðàíçèòèâíà. (Ò.ê.
âñÿêèé öèêë äëèíû n ïîðîæäàåò öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó, êîòîðàÿ òðàíçèòèâíà: åñëè c = (i1 , i2 , ..., in ), òî ck−1 ïåðåâîäèò i1 â ik , k = 1, ..., n.)
Ëåììà 2. Ïóñòü öèêë a = (i1 , ..., ip ) ∈ Sp (p ïðîñòîå). Åñëè q −1 aq = a,
òî q = ak .
ip
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü q = ji11 ,, ...,
; òîãäà ïî ëåììå 1 b = q−1 aq =
..., jp
(j1 , ..., jp ). Åñëè b = a è j1 = ik+1 , òî js = is , ãäå s0 ≡ s + k (mod p). Òàê êàê
ýòî ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèçóþùèì óñëîâèåì äëÿ ïîäñòàíîâêè ak (is q = is+k =
is ak ). Ïðåäëîæåíèå 13. Ïóñòü C ìíîæåñòâî âñåõ p-öèêëîâ â Sp (p ïðîñòîå, |C| = (p − 1)!). Åñëè ïîðÿäîê |G| ãðóïïû G ⊆ Sp äåëèòñÿ íà p, òî
G ∩ C 6= ∅.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G ⊆ Sp è Ca = {c ∈ C | c = u−1 au, u ∈ G} äëÿ
a ∈ C.
a) Ca ∩ Cb 6= ∅ ⇒ Ca = Cb . Äåéñòâèòåëüíî, x ∈ Ca ∩ Cb ⇒ x =
⇒ Ca ⊆ Cb è
u−1 au = v −1 bv ⇒ a ∈ Cb è b ∈ Ca , ò.å. a = u−1
1 bu1
b = v1−1 av1 ⇒ Cb ⊆ Ca . Òàêèì îáðàçîì, Ca = Cb . Çäåñü u, v, u1 , v1 ∈ G.
b) Åñëè a ∈/ G, òî |Ca | = |G|. Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèå ϕ : G → Ca ,
ïîëàãàÿ ϕ(u) = u−1 au (a ôèêñèðîâàííûé ýëåìåíò èç Ca , u ∈ G). Ïóñòü
u−1 au = a, òîãäà ïî ëåììå u = ak ; åñëè k ≥ 1, à çíà÷èò (p, k) = 1, ò.ê.
1 ≤ k < p, òî ñóùåñòâóþò s, t ∈ Z òàêèå, ÷òî sk + tp = 1, è a = ask+tp =
aks = us ∈ G ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäîâàòåëüíî, u−1 au = v −1 av ⇒ u = v ,
ò.å. ϕ âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå è |Ca | = |G|.
c) b) ⇒ C ∩G = ∅ ⇒ |C| äåëèòñÿ íà |G|, à çíà÷èò è íà p, ÷òî íåâîçìîæíî,
ò.ê. |C| = (p − 1)!. Ïîýòîìó C ∩ G 6= ∅. qs
q
Is =
{is1 , ..., ist }
cs
b = q −1 aq = (q −1 c1 q)(q −1 c2 q) · · · (q −1 ck q) =
(q1−1 c1 q1 ) · (q2−1 c2 q2 ) · · · (qk−1 ck qk ) = c01 c02 · · · c0k
c0s = qs−1 cs qs
cs
Ïðåäëîæåíèå 12.
Sn
0
24
Ñëåäñòâèå 2. Âñÿêàÿ òðàíçèòèâíàÿ ãðóïïà ïîäñòàíîâîê ïðîñòîé ñòåïåíè ñîäåðæèò p-öèêë.
Ñëåäñòâèå 3. ×èñëî p-öèêëîâ, íå ëåæàùèõ â G äåëèòñÿ íà p.
10. Òðàíçèòèâíûå ïîäãðóïïû â S3 è S4
Ñëó÷àé
. Ïîðÿäîê S3 ðàâåí 6 è îíà ñîñòîèò èç ïîäñòàíîâîê:
n=3
S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}.
Åå ïîäãðóïïû: E = {(1)}, C2 = {(1), (12)}, C20 = {(1), (13)}, C200 = {(1), (23)}, C3 =
{(1), (123), (132)}, S3 . Êëàññû ñîïðÿæåííûõ ïîäãðóïï: [E], [C2 ], [A3 ], [S3 ].
Ïðåäëîæåíèå 14. Â S3 òîëüêî äâå òðàíçèòèâíûå ïîäãðóïïû A3 è S3 .
Ïîýòîìó
p
1) Åñëè ìíîãî÷ëåí f ñòåïåíè 3 íåïðèâîäèì è pD(f ) ∈ K , òî G(f ) ∼= A3 .
2) Åñëè ìíîãî÷ëåí f ñòåïåíè 3 íåïðèâîäèì è D(f ) ∈/ K , òî G(f ) ∼= S3 .
Çàìå÷àíèå. Äëÿ âñÿêîãî íåïðèâîäèìîãî ìíîãî÷ëåíà f ñòåïåíè 2 èìååì
G(f ) ∼
= S2 , à äëÿ ïðèâîäèìîãî G(f ) ∼
= 1.
Ñëó÷àé n = 4. Ïîðÿäîê S4 ðàâåí 6 è îíà ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ:
1. (1);
6. (12),(13),(14),(23),(24),(34);
3. (12)(34),(13)(24),(14)(23);
8. (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243);
6. (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432).
Âîçìîæíûå ïîðÿäêè òðàíçèòèâíûõ ïîäãðóïï: 4, 8, 12, 24 (ñì. ïðåäëîæåíèå 11).
Ëåììà 1. A4 åäèíñòâåííàÿ ïîäãðóïïà ïîðÿäêà 12 â S4 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ïîäãðóïïà èíäåêñà 2 íîðìàëüíà, òî îíà äîëæíà ñîäåðæàòü êàæäûé êëàññ ñîïðÿæåííîñòè òîëüêî öåëèêîì. Åäèíñòâåííàÿ
âîçìîæíîñòü ðàçëîæåíèÿ ÷èñëà 12 â ñóììó ïîðÿäêîâ êëàññîâ åñòü 12=1+3+8
(ïðè ýòîì 1 âõîäèò îáÿçàòåëüíî). Ëåììà 2. Â S4 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé êëàññ ñîïðÿæåííûõ ïîäãðóïï
ïîðÿäêà 8.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäãðóïïû ïîðÿäêà 8 â S4 ÿâëÿþòñÿ ñèëîâñêèìè 2ïîäãðóïïàìè, êîòîðûå âñåãäà ñîïðÿæåíû. Ëåììà 3. Ëþáàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà 4 èçîìîðôíà ëèáî C4 , ëèáî C2 × C2
è, ñëåäîâàòåëüíî, àáåëåâà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü |G| = 4. Åñëè â G ñóùåñòâóåò ýëåìåíò c ïîðÿäêà
4, òî G ∼= C4 . Åñëè íåò, òî âñå ýëåìåíòû îòëè÷íûå îò åäèíèöû e ãðóïïû
èìåþò ïîðÿäîê 2 (ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà ïîðÿäîê ýëåìåíòà åñòü äåëèòåëü
ïîðÿäêà ãðóïïû). Ïîýòîìó ãðóïïà G àáåëåâà ((xy)(xy) = xyxy = e ⇔ yx =
xy ). Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ïîäãðóïïà â G íîðìàëüíû. Äëÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ
ýëåìåíòîâ a, b ∈ G ïîðÿäêà 2 èìååì äâå ïîäãðóïïû C2 = {e, a} è C20 = {e, b},
ïðîèçâåäåíèå C2 · C20 êîòîðûõ ïðÿìîå è ñîâïàäàåò ñ G (ò.ê. ïðîèçâåäåíèå èõ
ïîðÿäêîâ 2 · 2 = 4), ò.å. G ∼= C2 × C2 . 25
Ñëåäñòâèå 1. S4 èìååò äâà êëàññà ñîïðÿæåííûõ òðàíçèòèâíûõ ïîäãðóïï, à èìåííî [C4 ] è [B4 ], è îäèí êëàññ [C22 ] íåòðàíçèòèâíûõ ïîäãðóïï
ïîðÿäêà 4. Çäåñü
C4 = {(1), (1234), (13)(24), (1432)},
B4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)},
C22 = {(1), (12)} × {(1), (34)} = {(1), (12), (13), (12)(34)}.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âñÿêèé öèêë äëèíû 4 ïîðîæäàåò öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó ïîðÿäêà 4.  ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 13 âñå òàêèå ïîäãðóïïû ñîïðÿæåíû è
ñîñòàâëÿþò êëàññ [C4 ]. Íàéäåì ïîäãðóïïû â S4 èçîìîðôíûå C2 × C2 . Â
òàêîé ïîäãðóïïå G âñå ýëåìåíòû îòëè÷íûå îò åäèíèöû èìåþò ïîðÿäîê 2,
ò.å. ñîïðÿæåíû ëèáî ñ (12), ëèáî ñ (12)(34). Åñëè G ñîäåðæèò ïîäñòàíîâêó
(12), òî îíà ìîæåò ñîäåðæàòü åùå òîëüêî (34) è (12)(34), ò.ê. âñå îñòàëüíûå ïîäñòàíîâêè ïîðÿäêà 2 ñ (12) íå ïåðåñòàíîâî÷íû. Íî ýòè ïîäñòàíîâêè
êàê ðàç è îáðàçóþò ãðóïïó C22 . Â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 13 ëþáàÿ ïîäãðóïïà,
ñîäåðæàùàÿ 2-öèêë ñîïðÿæåíà ñ C22 , ò.å. èìååì êëàññ [C22 ]. Åñëè G íå ñîäåðæèò 2-öèêëîâ, òî îíà äîëæíà ñîäåðæàòü âñå ïîäñòàíîâêè òðåòåé ñòðîêè
èç òàáëèöû ýëåìåíòîâ S4 . Âìåñòå ñ åäèíèöåé îíè ñîñòàâëÿþò B4 , êîòîðàÿ
íîðìàëüíà è ïîòîìó åå êëàññ [B4 ] ñîñòîèò èç îäíîé ãðóïïû. Ëåììà 4. Ïîäìíîæåñòâî B40 = B4 ∪ {(12), (34), (1423), (1324)} = B4 · C2
ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà 8.
Ïî ëåììà 2 [B40 ] åäèíñòâåííûé êëàññ ñîïðÿæåííûõ ïîäãðóïï ïîðÿäêà
8.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè B íîðìàëüíàÿ, à C ïðîèçâîëüíàÿ ïîäãðóïïû,
òî ìíîæåñòâî B ·C = {bc | b ∈ B, c ∈ C} ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé è, åñëè B ∩C =
{e}, òî |B · C| = |B| · |C|. Ïîäãðóïïû B4 è C2 óäîâëåòâîðÿþò ýòèì óñëîâèÿì.
Òàêèì îáðàçîì, èìååì ïÿòü êëàññîâ òðàíçèòèâíûõ ïîäãðóïï â S4 : [C4 ], [B4 ], [B40 ],
[A4 ] è [S4 ].
Îäèí ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ îïðåäåëÿþùåãî ìíîãî÷ëåíà äëÿ G ⊆ Sn : âûáèðàåòñÿPïðîèçâîëüíûé ìîíîì F0 = xk1 · · · xkn è ðàññìàòðèâàåòñÿ ìíîãî÷ëåí
F =
F0a . Î÷åâèäíî, ÷òî F a = F äëÿ âñÿêîãî a ∈ G. Ïðîâåðÿåòñÿ, áóäåò
a∈G
ëè F îïðåäåëÿþùèì äëÿ G. Åñëè íåò, òî âûáèðàåòñÿ íîâûé ìîíîì è ò.ä.
Ïîñòðîèì òàêèì ñïîñîáîì îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí äëÿ C4 . Ìîíîìû
x1 è x1 x2 íå äàþò òðåáóåìîãî. Òîãäà êàê F0 = x21 x2 äàåò g = x21 x2 + x22 x3 +
x23 x4 + x1 x24 , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ äëÿ C4 îïðåäåëÿþùèì. Òî, ÷òî g ÿâëÿåòñÿ
èíâàðèàíòíûì äëÿ C4 ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî. Óáåäèìñÿ â åãî íåèíâàðèàíòíîñòè äëÿ ïîäñòàíîâîê íå ëåæàùèõ â C4 .
Ïîëíûé íàáîð ïðåäñòàâèòåëåé äëÿ C4 : (1), (12), (13), (14), (23), (34).
Èìååì
1
g (1) = x21 x2 + x22 x3 + x23 x4 + x1 x24 ,
g (12) = x22 x1 + x21 x3 + x23 x4 + x2 x24 ,
g (13) = x23 x2 + x22 x1 + x21 x4 + x3 x24 ,
n
g (14) = x24 x2 + x22 x3 + x23 x1 + x4 x21 ,
g (23) = x21 x3 + x23 x2 + x22 x4 + x1 x24 ,
g (34) = x21 x2 + x22 x4 + x24 x3 + x1 x23 .
g
Òàê êàê âñå ýòè ìíîãî÷ëåíû ðàçëè÷íû, òî îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí
26
äëÿ C4 . Ïîñìîòðèì, ÷òî èç ñåáÿ ïðåäñòàâëÿåò îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí
äëÿ [C4 ]. Ïî îïðåäåëåíèþ îí äîëæåí èìåòü âèä:
G(z) = z 6 − A1 z 5 + A2 z 4 − A3 z 3 + A4 z 2 − A5 z + A6 ,
ãäå Ak = σk (g(1) , g(12) , g(13) , g(14) , g(23) , g(34) ), k = 1, ..., 6 ýëåìåíòàðíûå
ñèììåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îò ga , a = (1), (12), ....  ÷àñòíîñòè,
A1 = g (1) + g (12) + · · · + g (34) = 2(σ1 σ2 − 3σ3 )
(çäåñü ïðàâîé ÷àñòè σi ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå îò x1 , ...x4 ). Îñòàëüíûå êîýôôèöèåíòû Ak èìåþò áîëåå ñëîæíûé âèä.
Îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí ãðóïïû B40 .
B40 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (12), (34), (1324), (1423)}.
Òàê êàê (13)(14) = (134) ∈/ B40 , òî (1),(13),(14) ñîñòàâëÿþò ïîëíûé íàáîð
ïðåäñòàâèòåëåé äëÿ B40 .
Âîçüìåì ìîíîì F0 = x1 x2 , òîãäà F = 4(x1 x2 + x3 x4 ). Ïîýòîìó ψ =
x1 x2 + x3 x4 èíâàðèàíòíûé ìíîãî÷ëåí äëÿ B40 . Ïðîâåðèì èíâàðèàíòíîñòü
äëÿ ïðåäñòàâèòåëåé. Èìååì ψ(13) = x3 x2 + x1 x4 , ψ(14) = x4 x2 + x3 x1 . Òàêèì
îáðàçîì, ψ îïðåäåëÿþùèé äëÿ B40 . Ïîñòðîèì îïðåäåëÿþùèé äëÿ [B40 ]:
R(z) = (z − x1 x2 − x3 x4 )(z − x1 x3 − x2 x4 )(z − x1 x4 − x2 x3 ) =
z 3 − σ2 z 2 + (σ1 σ3 − 4σ4 )z − (σ12 σ4 + σ32 − 4σ2 σ4 ).
Ïîëó÷åííûé òàêèì îáðàçîì ìíîãî÷ëåí äëÿ f (x) = x4 + a1 x3 + a2 x2 +
ïðèíèìàåò âèä (ò.ê. a1 = −σ1 , a2 = σ2 , a3 = −σ3 , a4 = σ4 îò
êîðíåé )
a3 x + a4
f (x)
R(z) = z 3 − a2 z 2 + (a1 a3 − 4a4 )z − (a21 a4 + a23 − 4a2 a4 )
è íàçûâàåòñÿ êóáè÷åñêîé ðåçîëüâåíòîé f (x) (îòíîñèòåëüíî x1 x2 + x3 x4 ).
Óáåäèìñÿ, ÷òî ìíîãî÷ëåí ϕ = (x1 + x2 )(x3 + x4 ) òîæå ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ B40 . Ðàññìîòðèì ìîíîì F0 = x1 x3 . Îí èíâàðèàíòåí F0(1) =
(13)(24)
(12)(34)
(14)(23)
(12)
(1324)
F0
= F0 , F0
= F0
= x2 x4 , F0
= F0
= x2 x3 è
(34)
(1423)
F0
= F0
= x1 x4 . Ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå F = 2(x1 x3 + x2 x4 + x2 x3 +
x1 x4 ) = 2(x1 + x2 )(x3 + x4 ). Îòñþäà ϕ èíâàðèàíòíûé, à ò.ê. ϕ(13) =
(x1 + x4 )(x2 + x3 ), ϕ(14) = (x1 + x3 )(x2 + x4 ), òî è îïðåäåëÿþùèé äëÿ B40 .
Ñîîòâåòñòâóþùèé îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí äëÿ [B40 ]:
R1 (z) = z 3 − 2σ2 z 2 + (σ22 + σ1 σ3 − 4σ4 )z − (σ1 σ2 σ3 − σ12 σ4 + σ32 ).
Äëÿ ìíîãî÷ëåíà f (x) = x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4 (ò.ê. a1 = −σ1 , a2 =
σ2 , a3 = −σ3 , a4 = σ4 îò êîðíåé f (x)) èìååì
R1 (z) = z 3 − 2a2 z 2 + (a22 + a1 a3 − 4a4 )z − (a1 a2 a3 − a21 a4 + a23 )
27
âòîðóþ êóáè÷åñêóþ ðåçîëüâåíòó f (x) (îòíîñèòåëüíî (x1 + x2 )(x3 + x4 )).
Îáû÷íî âìåñòî ìíîãî÷ëåíà f (x) ðàññìàòðèâàåòñÿ åãî ïðèâåäåííàÿ ôîðìà f (y) = y4 + py2 + qy + r, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ çàìåíîé ïåðåìåííîãî
y = x − 41 a1 . Äëÿ òàêîãî ìíîãî÷ëåíà ðåçîëüâåíòû ïðèíèìàþò âèä (a1 =
0, a2 = p, a3 = q, a4 = r)
R(z) = z 3 − pz 2 − 4rz − (q 2 − 4pr),
R1 (z) = z 3 − 2pz 2 + (p2 − 4r)z + q 2 .
Ïðèâåäåííûé ìíîãî÷ëåí, â ÷àñòíîñòè, óäîáåí òåì, ÷òî äèñêðèìèíàíò äëÿ
íåãî âûðàæàåòñÿ çíà÷èòåëüíî ïðîùå:
D(f (y)) = 16p4 r − 4p3 q 2 − 128p2 r2 + 144pq 2 r − 27q 4 + 256r3 .
Òåïåðü ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùåå
Ïðåäëîæåíèå 15. Ïóñòü f (x) íåïðèâîäèìûé íàä ïîëåì K ìíîãî÷ëåí
ñòåïåíè√ 4. Òîãäà
1) √D ∈/ K, Rf (z) íå èìååò êîðíåé â K ⇒ G(f ) ∼= S4 èëè C4 .
2) √D ∈ K, Rf (z) íå èìååò êîðíåé â K ⇒ G(f ) ∼= A4 .
3) √D ∈ K, Rf (z) èìååò êîðåíü â K ⇒ G(f ) ∼= B4 .
4) D ∈/ K, Rf (z) èìååò êîðåíü â K ⇒ G(f ) ∼= B40 .
11. Òðàíçèòèâíûå ïîäãðóïïû â S5
Åñëè x ÷èñëî öèêëè÷åñêèõ ïîäãðóïï ïîðÿäêà p â ãðóïïå
( ïðîñòîå ÷èñëî), òî (p − 2)! − x = pz.
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàæäàÿ p-öèêëè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà â Sp ñîäåðæèò p−1 pöèêë (åñëè c p-öèêë, òî c2 , cp−1 òîæå p-öèêëû). ×èñëî âñåõ p-öèêëîâ â Sp
ðàâíî (p−1)!. Ïîýòîìó (p−1)!−(p−1)x åñòü ÷èñëî âñåõ p-öèêëîâ, íå ëåæàùèõ
â G. Ïî ñëåäñòâèþ 3 ïðåäëîæåíèÿ 14 ýòî ÷èñëî äåëèòñÿ íà p è ïîòîìó
èìååì (p − 1)! − (p − 1)x = py, ãäå y íåêîòîðîå öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå
÷èñëî. Îòñþäà óòâåðæäåíèå ëåììû (ò.ê. ëåâàÿ ÷àñòü äåëèòñÿ íà p − 1, à p
íå äåëèòñÿ, òî íà p − 1 äîëæíî äåëèòñÿ y (p > 2)). Ñëåäñòâèå 1. Êàæäàÿ òðàíçèòèâíàÿ ïîäãðóïïà â S5 ñîäåðæèò ëèáî
òîëüêî îäíó öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó ïîðÿäîê 5, ëèáî âñå (ò.å. 6 ÷èñëî
öèêëè÷åñêèõ 5-ïîäãðóïï â S5 ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ñëåäñòâèþ 2 ïðåäëîæåíèÿ 14 âñÿêàÿ òðàíçèòèâíàÿ
ãðóïïà â S5 ñîäåðæèò öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó è ïî ëåììå ÷èñëî x òàêèõ
ïîäãðóïï äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ðàâåíñòâó x+5z = 6, ãäå z öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Ýòî ðàâåíñòâî òîëüêî èìååò òîëüêî äâà ðåøåíèÿ (äëÿ öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ x è z): x = 1, z = 1 è x = 6, z = 0. Ëåììà 2. Åñëè H ïîäãðóïïà â S5 , ïîðîæäåííàÿ âñåìè 5-öèêëàìè, òî
H = A5 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì
(ij)(kl) = (ikjml)(ikjlm) è (ij)(ik) = (ijk) = (ikmlj)(ikjlm),
ò.å. ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ äâóõ òðàíñïîçèöèé ëåæèò â H , à çíà÷èò è A5 ⊆ H ,
ò.ê. A5 ñîñòîèò èç ïîäñòàíîâîê ïðåäñòàâèìûõ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ÷åòíîãî
Ëåììà 1.
G ⊆ Sp p
28
÷èñëà òðàíñïîçèöèé. Îáðàòíîå âêëþ÷åíèå H ⊆ A5 î÷åâèäíî, ò.ê. âñÿêèé
5-öèêë ïîäñòàíîâêà ÷åòíàÿ. Ñëåäñòâèå 2. Åñëè G ⊆ S5 ñîäåðæèò âñå öèêëè÷åñêèå 5-ãðóïïû, òî ëèáî
G = A5 , ëèáî G = S5 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè G ñîäåðæèò âñå öèêëè÷åñêèå 5-ãðóïïû, òî îíà ñîäåðæèò è âñå 5-öèêëû, à ïîòîìó è ïîäàëãåáðó A5 . Òàê êàê èíäåêñ A5 ðàâåí
2, òî íå ñóùåñòâóåò â S5 ïîäãðóïïû, ñîäåðæàùåé A5 è íå ñîâïàäàþùåé ëèáî
ñ A5 , ëèáî ñ S5 . Ëåììà 3. Åñëè C5 åäèíñòâåííàÿ öèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà 5 ïîäãðóïïà â
G ⊂ S5 , òî îíà íîðìàëüíà â G.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü C5 ïîðîæäåíà 5-öèêëîì c. Òîãäà äëÿ ëþáîãî a ∈
G ýëåìåíò c0 = a−1 ca òîæå 5-öèêë è ïîòîìó c0 ∈ C5 (â ñèëó åäèíñòâåííîñòè
C5 ), ò.å. c0 = a−1 ca = ck äëÿ íåêîòîðîãî k ∈ {1, ...p − 1}. Îòñþäà a−1 C5 a =
C5 . Íèæå ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî C5 = hci (ïîðîæäåíà c), ãäå c=(12345).
Òàê êàê âñå öèêëè÷åñêèå 5-ãðóïïû ñîïðÿæåíû â S5 , òî âñå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ ýòîé êîíêðåòíîé ãðóïïû, ïåðåíîñÿòñÿ íà ïðîèçâîëüíóþ öèêëè÷åñêóþ ãðóïïó ïîðÿäêà 5.
Ëåììà 4. Åñëè G \ C5 6= ∅, òî ñóùåñòâóåò a ∈ (G \ C5 ) òàêîé, ÷òî 1a = 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè a0 ∈ (G \ C5 ) è 1a0 = k, òî a = a0 c−k+1 íóæíûé
ýëåìåíò (a ∈/ C5 , ò.ê. èíà÷å è a ëåæàë áû â C5 ). Ëåììà 5. Ïóñòü C5 åäèíñòâåííàÿ öèêëè÷åñêàÿ 5-ïîäãðóïïà â G è
a ∈ G \ C5 6= ∅, òî B = C5 · C 0 = {ci aj | i = 0, ..., p − 1; j = 0, ..., m − 1}
ïîäãðóïïà â G, ãäå C 0 = {e, a, a2 , ..., am−1 } öèêëè÷åñêàÿ ïîäãðóïïà,
ïîðîæäåííàÿ a (m ïîðÿäîê a). Åñëè C5 6⊆ C 0 , òî ïîðÿäîê ãðóïïû B ðàâåí
5m.
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê C5 íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G, à C 0 ïîäãðóïïà, òî èõ ïðîèçâåäåíèå ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé. Ïðè ýòîì, åñëè C5 6⊆ C 0 ,
òî C5 ∩ C 0 = (1), ïîýòîìó ïîðÿäîê B ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïîðÿäêîâ ìíîæèòåëåé, ò.å. 5m. Ëåììà 6. Óðàâíåíèå (îòíîñèòåëüíî x ∈ S5 )
cx = xck äëÿ êàæäîãî k = 1, 2, 3, 4,
ãäå c = (12345) è 1x = 1 èìååò ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ:
1) Åñëè k = 1, òî x = (1). (ëþáîé ýëåìåíò èç C5 ).
2) Åñëè k = 2, òî x = s = (2354).
3) Åñëè k = 3, òî x = s3 = (2453).
4) Åñëè k = 4, òî x = t = s2 = (25)(34).
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç j íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé âû÷èò
÷èñëà j ïî ìîäóëþ 5 (ò.å. â íàøåì ñëó÷àå j = j , åñëè 1 ≤ j ≤ 5, è j = j − 5,
åñëè 6 ≤ j ≤ 9). Ïóñòü
x=
1 2
1 i2
3
i3
29
4
i4
5
i5
.
Òàê êàê
ck =
1
1+k
2
2+k
3
3+k
4
4+k
5
5+k
,
òî íàì íóæíî ïîäîáðàòü im , m = 2, 3, 4, 5 òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî
ò.å.
1
i2
1 2
1 i2
2
i3
3
i3
3
i4
1
2
2
3
4
i4
4
i5
5
1
3
4
4
5
5
i5
5
1
=
1 2
1 i2
1
1+k
2
2+k
1
1+k
2
i2 + k
3
i3
4
i4
3
3+k
3
i3 + k
5
i5
=
4
4+k
5
5+k
4
i4 + k
5
i5 + k
,
äëÿ êàæäîãî k = 1, 2, 3, 4. Îòñþäà èìååì
i2 = 1 + k, i3 = i2 + k, i4 = i3 + k, i5 = i4 + k, 1 = i5 + k.
Òàêèì îáðàçîì,
ïðè k = 1 èìååì i2 = 2, i3 = 3, i4 = 4, i5 = 5, i1 = 1, ò.å. x = (1);
ïðè k = 2 èìååì i2 = 3, i3 = 5, i4 = 2, i5 = 4, i1 = 1, ò.å. x = (2354);
ïðè k = 3 èìååì i2 = 4, i3 = 2, i4 = 5, i5 = 3, i1 = 1, ò.å. x = (2453);
ïðè k = 4 èìååì i2 = 5, i3 = 4, i4 = 3, i5 = 2, i1 = 1, ò.å. x = (25)(34). Ñëåäñòâèå 3. Âñÿêàÿ òðàíçèòèâíàÿ ïîäãðóïïà G â S5 , ñîäåðæàùàÿ
òîëüêî îäíó öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó ïðÿäêà 5, ñîïðÿæåíà ñ îäíîé èç ñëåäóþùèõ òðåõ ïîäãðóïï:
C5 = {ci | i = 0, ..., 4} öèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà 5,
B5 = {ci tj | i = 0, ..., 4, j = 0, 1} ïîëóìåòàöèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà 10,
B50 = {ci sj | i = 0, ..., 4, j = 0, ..., 3} ìåòàöèêëè÷åñêàÿ ïîðÿäêà 20,
ãäå c = (12345), s = (2354), t = s2 = (25)(34).
(Ãðóïïà G íàçûâàåòñÿ ìåòàöèêëè÷åñêîé, åñëè åå êîììóòàíò G0 è ôàêòîð
ãðóïïà G/G0 ãðóïïû öèêëè÷åñêèå. Êîììóòàíò ïîäãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ
âñåìè êîììóòàòîðàìè [a, b] = aba−1 b−1 , a, b ∈ G.)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü G òðàíçèòèâíàÿ ãðóïïà â S5 è C5 åå åäèíñòâåííàÿ öèêëè÷åñêàÿ 5-ïîäãðóïïà. Åñëè C5 íå ñîâïàäàåò ñ G, òî ïî ëåììå
4 ñóùåñòâóåò ýëåìåíò a ∈ (G \ C5 ), êîòîðûé ïåðåâîäèò 1 â ñåáÿ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîâïàäàþùèé ñ s, s3 èëè c t = s2 . Åñëè a = t, òî ïî ëåììå 5
B5 = {ci tj | i = 0, ..., 4, j = 0, 1} ïîäãðóïïà ïîðÿäêà 10 (ò.ê. C5 ∩ hti = (1))
ëåæèò â G. Åñëè B5 íå ñîâïàäàåò ñ G, òî îïÿòü ïî ëåììå 4 äîëæåí ñóùåñòâîâàòü ýëåìåíò a îòëè÷íûé îò t è óäîâëåòâîðÿþùèé òåì æå óñëîâèÿì,
ò.å. ëèáî s, ëèáî s3 . Îäíàêî, åñëè s3 ëåæèò â G, òî è s (= (s3 )3 ) ëåæèò â
G. Ïîýòîìó B50 ⊆ G. Ïðè ýòîì äðóãèõ ýëåìåíòîâ â G, íå ëåæàùèõ â B50 íåò
(ò.ê. åñëè áû òàêèå ýëåìåíòû áûëè, òî ñðåäè íèõ áûë áû è ïî êðàéíåé ìåðå
îäèí èç sk , à îíè âñå ëåæàò â B50 ), ò.å. â ýòîì ñëó÷àå G = B50 . Ïîðÿäîê ýòîé
ãðóïïû ðàâåí 20, ò.ê. C5 ∩ hsi = (1). 30
Ïðåäëîæåíèå 16. Â S5 èìååòñÿ 5 êëàññîâ ñîïðÿæåííîñòè òðàíçèòèâíûõ ïîäãðóïï, à èìåííî, [C5 ], [B5 ], [B50 ], [A5 ], [S5 ], èç êîòîðûõ ïåðâûå òðè
ñîäåðæàò ðàçðåøèìûå ãðóïïû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ñëåäñòâèé 1, 2 è 3. Äëÿ
ïðîâåðêè âòîðîãî îòìåòèì, ÷òî C5 C B5 C B50 êîìïîçèöèîííûé ðÿä, âñå
ôàêòîðû êîòîðîãî èìåþò ïîðÿäîê 2 è ïîòîìó àáåëåâû. Íîðìàëüíîñòü B5 C
B50 ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî s−1 ci tj s = s−1 ci stj ∈ B5 , ò.ê. s è t ïåðåñòàíîâî÷íû
è s−1 ci s ∈ C5 . Ñëåäñòâèå 4. Íåïðèâîäèìîå óðàâíåíèå f (x) = x5 + a1 x4 + · · · a5 = 0
ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ãðóïïà Ãàëóà G(f )
ñîïðÿæåíà ñ ïîäãðóïïîé â B50 .
Îïðåäåëÿþùèå ìíîãî÷ëåíû äëÿ ðàçðåøèìûõ ãðóïï:
C5 : (x1 + εx2 + ε2 x3 + ε3 x4 + ε4 x5 )5 , ε5 = 1, ε 6= 1.
B5 : u = x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x5 + x5 x1 èëè v = x1 x3 + x3 x5 + x5 x2 +
x2 x4 + x4 x1 .
B50 : (u − v)2 .
Ïîäñòàíîâêè a1 = (1), a2 = (123), a3 = (234), a4 = (345), a5 = (145), a6 =
(125) îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó ïðåäñòàâèòåëåé ïðàâûõ êëàññîâ ñìåæíîñòè
S5 ïî B50 .
Îïðåäåëÿþùåå óðàâíåíèå êëàññà [B50 ]. Îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí ãðóïïû
0
B5 çàïèøåì â âèäå g = g(x1 , ..., x5 ) = h2 , ãäå h = u − v
6
Q
(t − ha ).
Ëåììà 1. G(t2 ) = H(t)H(−t), ãäå H(t) =
i
i=1
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì G(t2 ) = Q (t2 − (ha )2 ) Q (t − ha ) Q (t + ha ) =
i=1
i=1
i=1
H(t)H(−t). Ëåììà 2. Ìíîãî÷ëåí h ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ B5 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a ∈/ B5 è ha = h, òîãäà ha = ua − va . Òàê êàê
è σ2a = ua + va (σ2 ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí è ïîòîìó èíâàðèàíòåí
äëÿ ëþáîãî a ∈ S5 ), òî 2ua = ha + σ2a = h + σ2 = 2u. Ïîñêîëüêó u îïðåäåëÿþùèé äëÿ B5 , òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî a ∈ B5 ïðîòèâîðå÷èå. Ëåììà 3. Åñëè a ∈ B50 \ B5 , òî ha = −h.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì (h2 )a − h2 = (ha )2 − h2 = (ha − h)(ha + h) = 0 äëÿ
âñÿêîãî a ∈ B50 . Òàê êàê ïî ëåììå 2 ïåðâûé ìíîæèòåëü ha − h = 0 òîëüêî
äëÿ a ∈ B5 , òî äëÿ êàæäîãî a ∈ B50 \ B5 äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ âòîðîé
ìíîæèòåëü. Ëåììà 4. Äëÿ âñÿêîãî a ∈ A5 èìååì ha = ha , à äëÿ âñÿêîãî b ∈ S5 \ A5
èìååì hb = −ha ñ íåêîòîðûì i = 1, ..., 6.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü óòâåðæäåíèå äëÿ a = (12) (òîãäà
îíî áóäåò ñïðàâåäëèâî è äëÿ ëþáîãî a = (ij), i 6= j , è ïðèìåíèòü ñîîáðàæåíèå ñèììåòðèè. Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî: B50 = B5 ∪ B 5 . Âñå ýëåìåíòû B5
÷åòíû (B5 ⊂ A5 ), à âñå ýëåìåíòû B 5 íå÷åòíû (B 5 ⊂ A5 ). Ýòî âëå÷åò (ò.ê.
6
6
S
S
a
S5 =
(A5 ∪ A5 )a =
(Aa5 ∪ A5 ), ãäå ai ÷åòíî), ÷òî äëÿ âñÿêîãî c ∈ A5
i=1
i=1
èìååì c = aai , ãäå a ∈ B5 , à äëÿ âñÿêîãî c ∈ A5 èìååì c = bai , ãäå b ∈ B 5 .
6
6
i
i
i
i
i
i
31
6
i
i
Îòñþäà hc = ha , åñëè c ∈ A5 , è hc = −ha , åñëè c ∈ A5 â ñèëó ëåììû 3. Ñëåäñòâèå 5. Ïóñòü H(t) = t6 + b1 t5 + · · · + b5 t + b6 ; òîãäà b2 , b4 , b6
ñèììåòðè÷åñêèå (ba2i = b2i ∀a ∈ S5 ), à b1 , b3 , b5 êîñîñèììåòðè÷åñêèå
ìíîãî÷ëåíû (ò.å. ba2i+1 = b2i+1 ∀a ∈ A5 è bc2i+1 = −b2i+1 ∀c ∈ A5 ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ýòî íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç ëåììû 4, ò.ê. ïî îïðåäåëåíèþ H ìíîãî÷ëåíû ha ÿâëÿþòñÿ åãî êîðíÿìè è ïî ôîðìóëàì Âüåòà
êàæäûé êîýôôèöèåíò bk åñòü ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îò ha , i = 1, ..., 6,
ñòåïåíè k. Ëåììà 5. Âñÿêèé êîñîñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí F = F (x1 , ..., xn ) åñòü
ïðîèçâåäåíèå F = W S , ãäå W = Q (xi − xj ) îïðåäåëèòåëü Âàíäåðn≥i>j≥1
ìîíäà, à S = S(x1 , ..., xn ) ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ìíîãî÷ëåí îò äâóõ ïåðåìåííûõ ϕ(x, y) ∈ K[x, y]
ìåíÿåò çíàê ïðè òðàíñïîçèöèè ïåðåìåííûõ (ϕ(x, y) = −ϕ(y, x)), òî ϕ(x, x) =
0, è ñëåäîâàòåëüíî, ϕ(x, y) äåëèòñÿ íà ëèíåéíûé äâó÷ëåí x−y : ϕ(x, y) = (x−
y)ψ(x, y) ãäå ψ ∈ K[x, y]. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ϕ(x, x) = A, òî èç ðàâåíñòâà
ϕ(x, y) = −ϕ(y, x) èìååì A = −A, ò.å. A = 0.
Çàïèøåì ϕ(x, y) â âèäå ϕ(x, y) = A0 (x)ym +A1 (x)ym−1 +· · ·+Am−1 (x)y +
Am (x), ãäå Ak (x) ∈ K[x]. Ðàâåíñòâî ϕ(x, x) = 0 îçíà÷àåò, ÷òî x êîðåíü
ýòîãî ìíîãî÷ëåíà (îòíîñèòåëüíî y), à ïîòîìó îí äåëèòñÿ íà y − x.
Òàê êàê ìíîãî÷ëåí F ìåíÿåò çíàê ïðè òðàíñïîçèöèè ëþáûõ äâóõ ïåðåìåííûõ xi è xj (i 6= j ), òî îí äîëæåí äåëèòüñÿ íà êàæäûé äâó÷ëåí xi − xj , à
ñëåäîâàòåëüíî, íà W : F = W S . Îáà ìíîãî÷ëåíà F è W êîñîñèììåòðè÷íû,
ò.å. îäíîâðåìåííî ìåíÿþò çíàê èëè íåò (ïîä äåéñòâèåì a ∈ Sn , òî S = F/W
ìíîãî÷ëåí ñèììåòðè÷åñêèé. Ñëåäñòâèå 6. H(t) = t6 +b2 t4 +b4 t2 +cW t+b6 , ãäå c ∈ K , à b2i îäíîðîäíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè 2i (ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ
x1 , ..., x5 ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó ñëåäñòâèÿ 5 ëåììû 5 èìååì b2i+1 = W c2i+1 äëÿ
i = 0, 1, 2. Òàê êàê deg h = 2, òî deg bk = 2k , â ÷àñòíîñòè, deg b1 = 2, deg b3 =
6, deg b5 = 10. Ïîñêîëüêó deg W = 10, òî ýòî âîçìîæíî, òîëüêî ïðè c1 =
c3 = 0 è deg c5 = 0 (ò.å. c5 = c ∈ K ). Èç ëåììû 1 è ñëåäñòâèÿ 6 íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷àåì
Ïðåäëîæåíèå 17. Îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí êëàññà ñîïðÿæåííîñòè
[B50 ] èìååò âèä
3
2
2
2
i
i
i
i
G(z) = (z + b2 z + b4 z + b6 ) − Dc z,
ãäå D = W äèñêðèìèíàíò ìíîãî÷ëåíà f (x), b2 , b4 , b6 îäíîðîäíûå
ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû îò êîðíåé x1 , ..., x5 ìíîãî÷ëåíà f (x) ñòåïåíåé
4, 8, 12 ñîîòâåòñòâåííî (ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ) è c ∈ K .
Ñëó÷àé íîðìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè 5. Ïîä íîðìàëüíûì ìíîãî÷ëåíîì (íîðìàëüíîãî âèäà) ïîíèìàåòñÿ f (x) = x5 + px + q.
Ïðåäëîæåíèå 18. Îïðåäåëÿþùèé ìíîãî÷ëåí êëàññà ñîïðÿæåííîñòè
[B50 ] è äèñêðèìèíàíò â ñëó÷àå íîðìàëüíîãî ìíîãî÷ëåíà èìåþò âèä
2
G(z) = (z 3 − 20pz 2 + 240p2 z + 320p3 )2 − 1024Dz,
32
D = 44 p5 + 55 q 4 . (3)
Åñëè f (x) íîðìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè 5, òî èìååì b2i =
, ãäå c2i ∈ K, i = 1, 2, 3.
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê ìíîãî÷ëåíû îò êîðíåé p è q èìåþò deg p = 4 è
deg q = 5, à deg b2i = 4i (Ïîäñ÷èòàòü!). Êàæäîå óðàâíåíèå 4x + 5y = 4i äëÿ
i = 1, 2, 3 ìîæåò èìåòü öåëî÷èñëåííîå ðåøåíèå òîëüêî ïðè y = 4y1 . Ïðè
ýòîì y ≤ i − 1 (åñëè y = i, òî x = 0 è i = 5 ýòî íåâîçìîæíî). Ïîýòîìó
y = 0. Ëåììà 7. Äëÿ f (x) = x5 + px + q èìååì D(f ) = 44 p5 + 55 q 4 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîëæíû èìåòü D = P dkl pk ql , ãäå 4k + 5l = 20. Îòñþäà
D = d1 p5 + d2 q 4 . Òàê êàê ïðè p = 0, q = −1 èìååì D = −256, òî d1 = 256 =
44 . Çàòåì âû÷èñëèì D äëÿ p = 0, q = 1, ïîëó÷èì D = 55 , îòêóäà d2 = 55 .
5
Ëåììà 8. Äëÿ
√ f1 (x) = x − x (êîðíè: x1 = 0, x2 = i, x3 = −1, x4 =
−i, x5 = 1 (i = −1) ⇒ D(f1 ) = −256) èìååì
Ëåììà 6.
c2i pi
G0 (z) = z 6 + 40z 5 + 880z 4 + 8960z 3 + 44800z 2 + 10854z + 102400.
(4)
5
Äîêàçàòåëüñòâî. Êîðíÿìè
√ f1 (x) = x − x ÿâëÿþòñÿ x1 = 0, x2 = i, xa 3 =
−1, x4 = −i, x5 = 1 (i = −1). Îòñþäà èìååì h(x1 , ..., x5 ) = −2i è h =
ha = ha = −2i, ha = 2 + 4i, ha = −4 + 2i. Ýòî âëå÷åò (4). Ïðåäëîæåíèå 19. Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå f (x) = x5 + px + q = 0 ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìíîãî÷ëåí
2
4
5
3
6
R(y) = (y 3 − 5py 2 + 15p2 y + 5p3 )2 − Dy
èìååò êîðåíü â K .
Äîêàçàòåëüñòâî. R(y) ïîëó÷àåòñÿ èç G(z) çàìåíîé y = 41 z. Ïîýòîìó, åñëè
R(y) íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé, òî óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãî,
åñëè æå èìååò, òî pq = 0. 12. Ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà
Ïóñòü çàäàíû ìíîãî÷ëåí
, ñ êîðíÿìè
è ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ
, îïðåäåëåííàÿ ïðè êàæäîì çíà÷åíèè
(èíà÷å ãîâîðÿ, ñî çíàìåíàòåëåì , íå èìåþùèì îáùèõ êîðíåé ñ , ò.å. ñ
). Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ìíîãî÷ëåí
,
êîðíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ
. Ïåðåõîä îò ïåðâîãî
ìíîãî÷ëåíà
êî âòîðîìó
íàçûâàåòñÿ
(ìíîãî÷ëåíà ).
Ïðåæäå âñåãî, îòìåòèì ñëåäóþùóþ ëåììó:
s(x)
Ëåììà 1. Äëÿ âñÿêîé ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè y(x) = t(x) ñ (f (x), t(x)) =
1 ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåí z(x) ñòåïåíè ≤ n − 1 (n = deg f (x)) òàêîé, ÷òî
z(αi ) = y(αi ) äëÿ âñåõ êîðíåé αi ìíîãî÷ëåíà f (x).
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê (f (x), t(x)) = 1, òî ñóùåñòâóþò ìíîãî÷ëåíû
u(x), v(x), äëÿ êîòîðûõ èìååò ìåñòî u(x)f (x) + v(x)t(x) = 1. Èç ýòîãî ðàâåí)
ñòâà èìååì v(αi ) = 1/t(αi ) (ò.ê. f (αi ) = 0, à t(αi ) 6= 0). Ñëåäîâàòåëüíî, s(α
t(α ) =
Îïðåäåëåíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ×èðíãàóçåíà.
f (x) =
xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an , ai ∈ K
α1 , α2 , ..., αn
q(x)
y(x) = r(x)
x = αi
r(x)
f (x)
(f (x), r(x)) = 1
g(y) = y n +b1 y n−1 +· · ·+bn
βi = y(αi ), i = 1, ..., n
f (x)
g(y)
ïðåîáðàçîâàíèåì ×èðíãàóçåíà
f (x)
i
i
33
s(αi )v(αi ). Îäíàêî, ìíîãî÷ëåí w(x) = s(x)v(x) ìîæåò îêàçàòüñÿ áîëüøåé
ñòåïåíè ÷åì n − 1.  ýòîì ñëó÷àå ïîäåëèì åãî íà f (x) : w(x) = q(x)f (x) +
r(x). Òàê êàê w(αi ) = r(αi ), òî r(x) èñêîìûé ìíîãî÷ëåí. Ýòî ïîçâîëÿåò îãðàíè÷èòñÿ ðàññìîòðåíèåì ïðåîáðàçîâàíèé ×èðíãàóçåíà, îñóùåñòâëÿåìûõ òîëüêî ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè < n = deg f (x).
Íèæå f = f (x) èñõîäíûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n, y = y(x) = c0 + c1 x + · · · +
cn−1 xn−1 öåëàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ è g = g(x) ìíîãî÷ëåí, ïîëó÷åííûé èç f (x) ïðåîáðàçîâàíèåì ×èðíãàóçåíà ñ ïîìîùüþ y(x), K ïîëå
êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíîâ f è y.
Ïîñòðîåíèå g(x). Ïóñòü h = h(x) ïðîèçâîëüíûé ìíîãî÷ëåí íàä K .
Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç h îñòàòîê îò äåëåíèÿ h íà f : h(x) = q(x)f (x) + h(x).
Îòìåòèì, ÷òî åñëè deg h < n, òî h = h, è ÷òî â ëþáîì ñëó÷àå h(αi ) = h(αi )
äëÿ êàæäîãî êîðíÿ αi ìíîãî÷ëåíà f .
Ðàññìîòðèì äâà ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ ìíîãî÷ëåíà g(y) äëÿ äàííîãî f (x).
1) Íàéäåì ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà y ïî ìîäóëþ f (x): y, y2 , ..., yn (ò.å. ìíîãî÷ëåí yk−1 óìíîæàåì íà y = y, ðåçóëüòàò äåëèì íà f (x) è â êà÷åñòâå yk
áåðåì îñòàòîê îò ýòîãî äåëåíèÿ). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî yk (αi ) = yk (αi ) =
βik , i = 1, ..., n). Ýòî ïîçâîëÿåò íàéòè ñòåïåííûå ñóììû sk (βi ) = β1k + · · · +
βnk , k = 1, ..., n. Çàòåì ñ ïîìîùüþ ôîðìóë Íüþòîíà íàõîäèì ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû σk (βi ).  ñèëó ôîðìóë Âüåòà áóäåì èìåòü
bk = (−1)k σk (βi ), k = 1, ..., n.
Çàìå÷àíèå. Òî, ÷òî ïîëó÷åííûé ìíîãî÷ëåí g(y) = y n + b1 y n−1 + · · · + bn
n
ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì g(y) = P (y − βi ) ÿñíî èç ïîñòðîåíèÿ, êîòîðîå â ÷àñòíîi=1
ñòè ïîêàçûâàåò, ÷òî âñå bk ∈ K .
2) Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ìíîãî÷ëåíîâ:

y = y = c00 + c01 x + · · · + c0,n−1 xn−1


 y = yx = c + c x + · · · + c
n−1
1
10
11
1,n−1 x
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.



n−1
yn−1 = yx
= cn−1,0 + cn−1,1 x + · · · + cn−1,n−1 xn−1
(5)
è îáîçíà÷èì ÷åðåç C = (cij ), i, j = 0, ..., n − 1 ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ
ýòîé ñèñòåìû. Òîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìàòðèöû C ÿâëÿåòñÿ
èñêîìûì ìíîãî÷ëåíîì:
g(y) = det (C − yE)
(E åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà).
(6)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî yk (αi ) = βi αik äëÿ ëþáûõ k = 0, ..., n−
1 è i = 1, ..., n. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè k = 0 ýòî ðàâåíñòâî âåðíî ïî îïðåäåëåíèþ βi . À ïî îïðåäåëåíèþ yk èìååì yk = yk−1 x, k = 1, ..., n − 1 è çíà÷èò
yk (αi ) = yk−1 (αi )αi , ò.å. íàøå óòâåðæäåíèå ïîëó÷àåòñÿ èíäóêöèåé ïî k . Ïîýòîìó ñèñòåìà ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé

(c00 − y)z0 + c01 z1 + · · · + c0,n−1 zn−1 = 0



c10 z0 + (c11 − y)z1 + · · · + c1,n−1 zn−1 = 0
..............................



cn−1,0 z0 + cn−1,1 z1 + · · · + (cn−1,n−1 − y)zn−1 = 0
34
(7)
îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ z0 , z1 , ..., zn−1 ïðè y = βi èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå
n−1
2
(z0 , z1 , ..., zn−1 ) = (1, αi , αi , ..., αi
).
Ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû, êîòîðûé ñîâïàäàåò ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì ìàòðèöû C , ïðè y = βi ðàâåí 0, ò.å. êàæäîå y = βi
ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì êîðíåì ìàòðèöû C (ò.å. êîðíåì ìíîãî÷ëåíà
(6)). Ïðèìåð. Ïóñòü f (x) = x3 − 2x + 3, y = 1 − x + x2 .
1) Îáîçíà÷èì ÷åðåç Sk , Σk ñòåïåííûå è ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå
ìíîãî÷ëåíû îò βi , à ÷åðåç sk , σk ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîãî÷ëåíû îò αi . Íàéäåì
ñíà÷àëà ñòåïåííûå ñóììû äëÿ âåëè÷èí βi . Èìååì y = y = 1 − x + x2 , y2 =
7 − 9x + 5x2 , y 3 = 49 − 59x + 31x2 . Ïîýòîìó S1 = 3 − s1 + s2 , S2 = 21 − 9s1 +
5s2 , S3 = 147 − 59s1 + 31s2 ; çàòåì, ò.ê. σ1 = 0, σ2 = −2, σ3 = −3, òî (ïî
ôîðìóëàì Íüþòîíà) s1 = 0, s2 = 4; îòñþäà S1 = 7, S2 = 41, S3 = 271 ⇒
Σ1 = 7, Σ2 = 4, Σ3 = 4. Ñëåäîâàòåëüíî, g(y) = y 3 − 7y 2 + 4y − 4.
2) Èìååì y = 1 − x + x2 , xy = −3 + 3x − x2 , xy2 = 3 − 5x + 3x2 . Òàê
êàê ýòà ñèñòåìà äîëæíà èìåòü ðåøåíèå îòíîñèòåëüíî (1, x, x2 ), òî äîëæíî
èìåòü ìåñòî ðàâåíñòâî
1−y
−3
3
−1
3−y
−5
1
−1
3−y
= −y 3 + 7y 2 − 4y + 4 = 0
äëÿ y = βi . Ïîëó÷åííûé ìíîãî÷ëåí ñîâïàäàåò ñ g(y) (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ èç K ).
Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà. Ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà íàçûâàåòñÿ îáðàòèìûì, åñëè ñóùåñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèå x = b0 + b1 y + b2 y2
òàêîå, ÷òî ïåðåâîäèò g(y) îáðàòíî â f (x).
 ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå ïðåîáðàçîâàíèå îáðàòèìî, ò.ê. ïðåîáðàçîâàíèå x = 21 + 54 y − 14 y2 ïåðåâîäèò g(x) â f (x).
Ïðåäëîæåíèå 20. Åñëè ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà îáðàòèìî, òî ãðóïïû Ãàëóà ìíîãî÷ëåíîâ f è g èçîìîðôíû (G(f ) ∼= G(g)).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F = K(α1 , ..., αn ) ïîëå ðàçëîæåíèÿ ìíîãî÷ëåíà f (x). Äëÿ ëþáîé ðàöèîíàëüíîé íàä K ôóíêöèè y = ϕ(x), îïðåäåëåííîé
íà âñåõ êîðíÿõ αi ìíîãî÷ëåíà f (x), ýëåìåíòû βi = ϕ(αi ) ëåæàò â F . Òî
åñòü ïîëå ðàçëîæåíèÿ F 0 ìíîãî÷ëåíà g(y) ëåæèò â F . Âñÿêîå ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà g(y) â ñâîþ î÷åðåäü äàñò ìíîãî÷ëåí h(x), ïîëå ðàçëîæåíèÿ F 00 êîòîðîãî ëåæèò â F 0 , ò.å. èìååì F 00 ⊆ F 0 ⊆ F . Îòñþäà ÿñíî, ÷òî
äëÿ òîãî ÷òîáû ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà áûëî îáðàòèìî íåîáõîäèìî è
äîñòàòî÷íî, ÷òîáû èìåëî ìåñòî ðàâåíñòâî: F 0 = F . À òàê êàê ãðóïïà Ãàëóà ìíîãî÷ëåíà ñîâïàäàåò ñ ãðóïïîé Ãàëóà åãî ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ, òî îòñþäà
íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ïðåäëîæåíèÿ. Îòìåòèì îäèí êðèòåðèé îáðàòèìîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ×èðíãàóçåíà
n−1
P
aij xj ; òîãäà ïðåîáðàçîâàíèå ×èðíãàóçåíà
Ëåììà 2. Ïóñòü y i =
j=0
ìíîãî÷ëåíà f (x) ñ ïîìîùüþ y(x) îáðàòèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
35
, ãäå a0j = δ0j .
n−1
n−1 n−1
n−1
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì x = P γi yi = P ( P γi aij )xj ⇒ P aij γ =
j=0 i=0
i=0
i=0
δ1j , j = 1, ..., n − 1. Ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèé (îòíîñèòåëüíî γi ) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà det (aij ) 6= 0. Ïðåäëîæåíèå 21. Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí f (x) ñòåïåíè 5 îáðàòèìûì ïðåîáðàçîâàíèåì ×èðíãàóçåíà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê íîðìàëüíîìó âèäó.
Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà íåïîñðåäñòâåííîì äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêîì
âû÷èñëåíèè.
Ïðèëîæåíèå.
1) Ê âû÷èñëåíèþ êóáè÷åñêèõ ðåçîëüâåíò (â S4 )
det (aij ) 6= 0
A2 = (x1 x2 + x3 x4 )(x1 x3 + x2 x4 ) + (x1 x2 + x3 x4 )(x1 x4 + x2 x3 ) + (x1 x3 +
x2 x4 )(x1 x4 + x2 x3 ) = x21 x2 x3 + ... = σ1 σ3 − 4σ4
A3 = (x1 x2 + x3 x4 )(x1 x3 + x2 x4 )(x1 x4 + x2 x3 ) = x31 x2 x3 x4 + ... = σ12 σ4 +
2
σ3 − 4σ2 σ4
S4
B1 = (x1 + x2 )(x3 + x4 ) + (x1 + x3 )(x2 + x4 ) + (x1 + x4 )(x2 + x3 ) = 2σ2
B2 = (x1 + x2 )(x3 + x4 )(x1 + x3 )(x2 + x4 ) + (x1 + x2 )(x3 + x4 )(x1 + x4 )(x2 +
x3 ) + (x1 + x3 )(x2 + x4 )(x1 + x4 )(x2 + x3 ) = x21 x22 + ... = σ22 + σ1 σ3 − 4σ4
.
2) Ê âû÷èñëåíèþ âòîðîé êóáè÷åñêîé ðåçîëüâåíòû (â )
,
,
B3 = (x1 + x2 )(x1 + x3 )(x1 + x4 )(x2 + x3 )(x2 + x4 )(x3 + x4 ) = x31 x32 + ... =
σ1 σ2 σ3 − σ12 σ4 + σ32
3210 σ1 σ2 σ3
3111 σ12 σ4
2220 σ32
2211 σ2 σ4
x1 = x2 = x3 = 1, x4 = 0. σ1 = 3, σ2 = 3, σ3 = 1, σ4 = 0 8 = 9 + B B =
−1
x1 = x2 = x3 = x4 = 1. σ1 = 4, σ2 = 6, σ3 = 4, σ4 = 1
64 = 96 + 16A + 16B + 6C 32 = 48 + 8A + 8B + 3C − 16 = 8A + 8B + 3C
x1 = x2 = 1, x3 = x4 = −1. σ1 = 0, σ2 = −2, σ3 = 0, σ4 = 1
0 = −2C C = 0
x1 = x2 = x3 = 1, x4 = −1. σ1 = 2, σ2 = 0, σ3 = −2, σ4 = −1
0 = −4B + 4C B = C 0 = −4A + 4B A = B = −1
.
(
)
(
(
)
)
36