Ãîìîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà âåñíà 2012 Ëèòåðàòóðà:

Ãîìîëîãè÷åñêàÿ àëãåáðà
âåñíà 2012
Ëèòåðàòóðà:
[Mà] Ñ. Màêëåéí.
. ÔÌË, 2004.
Êàòåãîðèè äëÿ ðàáîòàþùåãî ìàòåìàòèêà
[Wei] Charles A. Weibel. An introduction to homological algebra, volume 38
of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University
Press, Cambridge, 1994.
[Xà] Ð. Xàðòñõîðí.
Àëãåáðàè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ
1
. Ìèð, 1981.
1
Êîìïëåêñû ([Wei, Ch. 1])
Êàòåãîðèÿ R − mod. Òî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Êîðîòêàÿ òî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Öåïíîé êîìïëåêñ. Ãîìîëîãèè. Îòîáðàæåíèå êîìïëåêñîâ.
Êîöåïíîé êîìïëåêñ è êîãîìîëîãèè. Êâàçèèçîìîðôèçì. Ãîìîòîïèÿ.
Óïðàæíåíèÿ
1. Âû÷èñëèòü ãîìîëîãèè êîìïëåêñà
. . .o
4
Z8 o
4
Z8 o
4
...
2. Ïðèäóìàòü òðèàíãóëÿöèè äâóìåðíûõ ñôåðû è òîðà è ïîñ÷èòàòü èõ
ñèìïëèöèàëüíûå ãîìîëîãèè.
3. Êîìïëåêñ íàçûâàåòñÿ òî÷íûì ðàñùåïèìûì, åñëè îí åñòü ïðÿìàÿ ñóììà
id
êîìïëåêñîâ âèäà V o
V . Äîêàçàòü, ÷òî òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå
êîìïëåêñà â ñåáÿ ãîìîòîïíî íóëåâîìó åñëè, è òîëüêî åñëè îí òî÷íûé
ðàñùåïèìûé.
4. Ïóñòü R êîììóòàòèâíîå êîëüöî è A R-àëãåáðà ñ åäèíèöåé. Äëÿ
ïðàâîãî A-ìîäóëÿ M è ëåâîãî A-ìîäóëÿ N ïðîèçâåäåíèå êðó÷åíèÿ
Tor∗ (M, N ) åñòü ãîìîëîãèè ñëåäóþùåãî êîìïëåêñà:
Cn≥0 = M ⊗R A ⊗R · · · ⊗R A ⊗R N,
|
{z
}
n
d(m ⊗ a ⊗ b ⊗ · · · ⊗ n) =
ma ⊗ b ⊗ · · · ⊗ c ⊗ n − m ⊗ ab ⊗ · · · ⊗ c ⊗ n + · · · ± a ⊗ b ⊗ · · · ⊗ cn
Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè M = A, òî åñòü A êàê ïðàâûé A-ìîäóëü, òî âûñøèå
ïðîèçâåäåíèÿ êðó÷åíèÿ ðàâíû íóëþ, òî åñòü Tor>0 (A, N ) = 0.
: ïîñòðîéòå ãîìîòîïèþ.
Óêàçàíèå
2
2
Äëèííàÿ òî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ([Wei, Ch.
1])
Äèàãðàììíûé ïîèñê. 5-ëåììà. Ëåììà î çìåå. Îïåðàöèè íà êîìïëåêñàõ:
ñäâèã è óñå÷åíèå. Äëèííàÿ òî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Êîíóñ ìîðôèçìà.
Óïðàæíåíèÿ
1. (5-ëåììà) Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè â äèàãðàììå
A0
a
A
/ B0
/ C0
/ D0
/ E0
b
c
d
e
/C
/B
/D
/E
ñ òî÷íûìè ñòðîêàìè b è d ìîíîìîðôèçìû è a ýïèìîðôèçì, òî c
ìîíîìîðôèçì, à åñëè b è d ýïèìîðôèçìû è e ìîíîìîðôèçì, òî
c ýïèìîðôèçì.
2. Ïóñòü Z• è B• öèêëû è ãðàíèöû êîìïëåêñà C• , ðàññìàòðèâàåìûå
êàê êîìïëåêñû ñ íóëåâûì äèôôåðåíöèàëîì. Ïîêàçàòü, ÷òî äëèííàÿ
òî÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, àññîöèèðîâàííàÿ ñ òî÷íîé ïîñëåäîâàòåëü/ C• d / B• [−1]
/ 0 ðàñïàäàåòñÿ
/ Z• 
íîñòüþ êîìïëåêñîâ 0
â ïðÿìóþ ñóììó êîðîòêèõ òî÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
3. Äëÿ îòîáðàæåíèÿ êîìïëåêñîâ f : B• → C• ïîñòðîèòü êîðîòêóþ òî÷íóþ
/ C•
/ cone(f )
/ B• [−1]
/ 0 . Ïîêàïîñëåäîâàòåëüíîñòü 0
çàòü, ÷òî ñâÿçûâàþùèé ìîðôèçì Hi (B• ) = Hi+1 (B• [−1]) → Hi (C• ) â
äëèííîé òî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, àññîöèèðîâàííîé ñ íåé, èíäóöèðîâàí f .
4. Ïîêàçàòü, ÷òî êîíóñ îòîáðàæåíèÿ C• → cone(f ) èç ïðåäûäóùåãî óïðàæíåíèÿ êâàçèèçîìîðôåí B• [−1].
5. Ïîêàçàòü, ÷òî êîíóñ îòîáðàæåíèÿ êîìïëåêñîâ àöèêëè÷åí åñëè, è òîëüêî
åñëè ýòî îòîáðàæåíèå êâàçèèçîìîðôèçì.
6. Ïîêàçàòü, ÷òî îòîáðàæåíèå êîìïëåêñîâ f : B• → C• ãîìîòîïíî íóëåâîìó åñëè, è òîëüêî åñëè îíî ïðîäîëæàåòñÿ äî îòîáðàæåíèÿ êîìïëåêñîâ
(−s, f ) : cone(idB• ) → C•
3
3
Àáåëåâû êàòåãîðèè ([Wei, Ch. 1], [Mà, ãë. 8])
Êàòåãîðèè. Íà÷àëüíûé, êîíå÷íûé è íóëåâîé îáúåêòû. ßäðà è êîÿäðà.
Àääèòèâíûå êàòåãîðèè è ôóíêòîðû. Àáåëåâû êàòåãîðèè è òî÷íûå ôóíêòîðû.
Óïðàæíåíèÿ
1. Ïîñòðîèòü êàíîíè÷åñêèé ìîðôèçì a1 t· · ·tai → a1 ×· · ·×ai è ïîêàçàòü,
÷òî â àääèòèâíîé êàòåãîðèè îí èçîìîðôèçì.
2. Ïîêàçàòü, ÷òî àääèòèâíûé ôóíêòîð ìåæäó àáåëåâûìè êàòåãîðèÿìè
òî÷åí åñëè, è òîëüêî åñëè îí ïåðåâîäèò êîðîòêèå òî÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â êîðîòêèå òî÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
3. Ïîêàçàòü, ÷òî êàòåãîðèÿ âñåõ êîíå÷íûõ àáåëåâûõ ãðóïï àáåëåâà.
4. Ïîêàçàòü, ÷òî êàòåãîðèÿ ôèëüòðîâàííûõ êîíå÷íîìåðíûõ âåêòîðíûõ
ïðîñòðàíñòâ íåàáåëåâà.
4
4
Ïðèìåðû àáåëåâûõ êàòåãîðèé.
Ïó÷êè ([Wei,
Ch. 1]), [Xà, ãë. II, Ÿ1]
Ôóíêòîðû. Ìîðôèçìû ôóíêòîðîâ. Êàòåãîðèÿ êîìïëåêñîâ. Ïðåäïó÷êè.
Îïðåäåëåíèå ïó÷êà. Ñëîé ïó÷êà â òî÷êå. Ïó÷êîâèçàöèÿ. Ïó÷êîâèçàöèÿ
òî÷íà, à ôóíêòîð çàáûâàíèÿ òî÷åí ñëåâà.
Óïðàæíåíèÿ
1. Ïîêàçàòü, ÷òî êîìïëåêñ (êî)ÿäåð ìîðôèçìà êîìïëåêñîâ â àáåëåâîé
êàòåãîðèè åñòü (êî)ÿäðî â êàòåãîðèè êîìïëåêñîâ.
2. Ïîêàçàòü, ÷òî ìîðôèçì êîìïëåêñîâ ñ àöèêëè÷íûìè ÿäðîì è êîÿäðîì
åñòü êâàçèèçîìîðôèçì. Âåðíî ëè îáðàòíîå?
3. (ëåììà Éîíåäû) Äëÿ êàòåãîðèè C è îáúåêòà A ∈ Ob C îïðåäåëèì
ôóíêòîð hA èç C â ìíîæåñòâà êàê hA = Hom(A, −). Ïîêàçàòü, ÷òî
äëÿ ëþáîãî ôóíêòîðà F èç C â ìíîæåñòâà, ìíîæåñòâî ìîðôèçìîâ èç
hA â F èçîìîðôíî F (A).
4. Ïîñòîÿííûì ïðåäïó÷êîì íàçûâàåòñÿ ôóíêòîð, ïîñûëàþùèé âñå îòêðûòûå ìíîæåñòâà â ôèêñèðîâàííûé îáúåêò. Îïèñàòü åãî ïó÷êîâèçàöèþ (ïîñòîÿííûé ïó÷îê).
5
5
Ðåçîëüâåíòû ([Wei, Ch. 2])
Ðåçîëüâåíòà. Ïðîåêòèâíûé îáúåêò è ðåçîëüâeíòà. Ïðèìåðû ïðîåêòèâíûõ
îáúåêòîâ. Êàòåãîðèè, â êîòîðûõ äîñòàòî÷íî ïðîåêòèâíûõ îáúåêòîâ. Òåîðåìà
ñðàâíåíèÿ. Âñå òî æå äëÿ èíúåêòèâíûõ îáúåêòîâ.
Óïðàæíåíèÿ
1. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðîåêòèâíûå îáúåêòû â êàòåãîðèè êîìïëåêñîâ ñóòü òî÷íûå ðàñùåïèìûå êîìïëåêñû, òî åñòü òàêèå äëÿ êîòîðûõ òîæäåñòâåííîå
îòîáðàæåíèå â ñåáÿ ãîìîòîïíî íóëåâîìó; èíûìè ñëîâàìè, åñëè äëÿ
êàæäîãî ÷ëåíà êîìïëåêñà Pi ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
0
/ Zi 
/ Pi
d
/ Bi−1
/0
òî÷íà è ðàñùåïëÿåòñÿ.
Óêàçàíèå: ×òîáû ïîêàçàòü ÷òî êîìïëåêñ P äîëæåí áûòü òî÷åí è
ðàñùåïèì, ðàññìîòðèòå ñþðúåêöèþ èç cone(idP ) → P â P [−1].
2. Ïîëüçóÿñü ïðåäûäóùèì óïðàæíåíèåì ïîêàçàòü, ÷òî åñëè â êàòåãîðèè
äîñòàòî÷íî ïðîåêòèâíûõ îáúåêòîâ, òî èõ äîñòàòî÷íî è â êàòåãîðèè
êîìïëåêñîâ.
3. Ðåøèòü äâà ïðåäûäóùèõ óïðàæíåíèÿ, çàìåíèâ ïðîåêòèâíûé íà èíúåêòèâíûé.
4. Äëÿ àáåëåâîé ãðóïïû A îáîçíà÷èì ÷åðåç I(A) ïðîèçâåäåíèå êîïèé
ãðóïï Q/Z â êîëè÷åñòâå Hom(A, Q/Z). Ïîêàçàòü, ÷òî êàíîíè÷åñêîå
îòîáðàæåíèå eA : A → I(A) âëîæåíèå.
5. (êðèòåðèé Áàåðà) Ïîêàçàòü, ÷òî ïðàâûé R-ìîäóëü E èíúåêòèâåí åñëè,
è òîëüêî åñëè äëÿ ëþáîãî ïðàâîãî èäåëà J ⊂ R, ëþáîå îòîáðàæåíèå
J → E ïîäíèìàåòñÿ äî R → E .
6
6
Ïðîèçâîäíûå ôóíêòîðû. ([Wei, Ch. 2])
Ôóíêòîð, èìåþùèé ïðàâûé (ëåâûé) ñîïðÿæåííûé òî÷åí ñïðàâà (ñëåâà).
δ -ôóíêòîð. Óíèâåðñàëüíûé δ -ôóíêòîð. Ïðàâûé è ëåâûé ïðîèçâîäíûé
ôóíêòîð.
Óïðàæíåíèÿ
1. Çàôèêñèðóåì òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è òî÷êó â íåì. Ïîêàçàòü,
÷òî ôóíêòîðû ìåæäó êàòåãîðèåé ïó÷êîâ àáåëåâûõ ãðóïï è êàòåãîðèåé
àáåëåâûõ ãðóïï, ñîïîñòàâëÿþùèå ïó÷êó ñëîé â òî÷êå è ãðóïïå ïó÷îê-íåáîñêðåá â òî÷êå, ñîïðÿæåíû.
2. Ïóñòü F òî÷íûé ñïðàâà ôóíêòîð è U òî÷íûé ôóíêòîð. Ïîêàçàòü, ÷òî
U (Li F ) = Li (U F ).
3. Ïîêàçàòü, ÷òî δ -ôóíêòîð, ñîïîñòàâëÿþùèé íåîòðèöàòåëüíîìó êîìïëåêñó åãî ãîìîëîãèè óíèâåðñàëåí. Óêàçàíèå: Ðàññìîòðåòü äëèííóþ
òî÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, àññîöèèðîâàííóþ ñ òî÷íîé ïîñëåäîâàòåëü/C
/ cone(C)
/ C[−1]
/ 0 , ãäå cone(C) åñòü êîíîñòüþ 0
íóñ idC .
7
7
Tor è Ext ([Wei, Ch. 2, 3])
Ext è T or. Èõ ñáàëàíñèðîâàííîñòü. Ïëîñêèå ìîäóëè. Ðàñøèðåíèÿ è Ext.
Êîìïëåêñ Êîøóëÿ.
Óïðàæíåíèÿ
1. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè â òî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
0
/A
/B
/C
/0
ìîäóëè B è C ïëîñêèå, òî A òîæå ïëîñêèé.
2. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ R-ìîäóëÿ B ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòû:
• B ïëîñêèé.
• T orR
n (A, B) = 0 äëÿ n > 0 è ëþáîãî A.
• T orR
1 (A, B) = 0 äëÿ ëþáîãî A.
3. Ïîêàçàòü íàïðÿìóþ, áåç èñïîëüçîâàíèÿ Ext'îâ, ÷òî èìååòñÿ ðîâíî p
êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ðàñøèðåíèé Zp ñ ïîìîùüþ Zp .
4. Äëÿ êîëüöà ìíîãî÷ëåíîâ A = k[x1 , . . . , xn ] âû÷èñëèòü T orA⊗A
(A, A)
∗
Ext∗A⊗A (A, A), ãäå äåéñòâèå A ⊗ A íà A ñîîòâåòñòâóåò óìíîæåíèþ ïîëèíîìèàëüíûõ ôóíêöèé íà êâàäðàòå ïðîñòðàíñòâà íà ïîëèíîìèàëüíûå
ôóíêöèè íà äèàãîíàëè.
8
8
Ñïåêòðàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ([Wei, Ch. 5])
Áèêîìïëåêñ. Ñïåêòðàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, àññîöèèðîâàííàÿ ñ áèêîìïëåêñîì.
Ñïåêòðàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, àññîöèèðîâàííàÿ ñ êîìïëåêñîì ñ ôèëüòðàöèåé.
Óñëîâèå ñõîäèìîñòè ñïåêòðàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ôîðìóëà óíèâåðñàëüíûõ
êîýôôèöèåíòîâ.
Óïðàæíåíèÿ
2
1. Ïóñòü ñïåêòðàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê H∗ è Epq
= 0, åñëè
p 6= 0, 1. Ïîñòðîèòü òî÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
/ Hn
2
/ E1,n−1
0
/ E2
/0
0n
2
2. Ïóñòü ñïåêòðàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê H∗ è Epq
= 0, åñëè
q 6= 0, 1. Ïîñòðîèòü äëèííóþ òî÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
...
2
/ Ep+1,0
d
2
/ Ep−1,1
/ Hp
2
/ Ep0
d
2
/ Ep−2,1
/ Hp−1
3. (Decalage) Äëÿ êîìïëåêñà C ñ ôèëüòðàöèåé F îïðåäåëèì äâå íîâûå
ôèëüòðàöèè F̃ è Dec F íà C ñëåäóþùèì îáðàçîì: F̃p Cn = Fp−n Cn è
(Dec F )p Cn = {x ∈ Fp+n Cn : dx ∈ Fp+n−1 Cn−1 }.
Ïîêàçàòü, ÷òî ñïåêòðàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, àññîöèèðîâàííûå ñ
ýòèìè òðåìÿ ôèëüòðàöèÿìè ñòàíîâÿòñÿ èçîìîðôíûìè ïîñëå çàìåíû
r+1
r−1
r
r
èíäåêñîâ : Epq
(F ) = Ep+n,q−n
(F̃ ), äëÿ r > 0 è Epq
(F ) = Ep−n,q+n
(Dec F ),
äëÿ r ≥ 2.
9
/ ...
9
Ñïåêòðàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ãðîòåíäèêà
([Wei, Ch. 5])
Ðåçîëüâåíòà Êàðòàíà-Ýéëåíáåðãà. Ãèïåðïðîèçâîäíûé ôóíêòîð. Ïðèìåíåíèå: F -àöèêëè÷íûé îáúåêò è ðåçîëüâåíòà. Ñïåêòðàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ãðîòåíäèêà. Ñïåêòðàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ëåðå.
Óïðàæíåíèÿ
f
1. Ïóñòü F òî÷íûé ñïðàâà ôóíêòîð è A äâó÷ëåííûé êîìïëåêñ A1 → A0 .
Ïîñòðîèòü äëèííóþ òî÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
...
/ Li F (A1 )
f
/ Li F (A0 )
/ Li F (A)
/ Li−1 F (A1 ) f
/ ...
ãäå LF∗ ãèïåðïðîèçâîäíûé ôóíêòîð F .
2. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ó ïðîåêòèâíîãî êîìïëåêñà ãîìîëîãèè ïðîåêòèâíû,
òî âçÿòèå ãîìîëîãèé êîììóòèðóåò ñ ïðèìåíåíèåì òî÷íîãî ñïðàâà ôóíêòîðà.
3. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè òî÷íûé ñëåâà ôóíêòîð R : B → A ïðèñîåäèíåí
ñïðàâà ê òî÷íîìó ôóíêòîðó L : A → B , òî äëÿ èíúåêòèâíîãî I èç B
îáúåêò R(I) èíúåêòèâåí.
10