Вычислительные аспекты распознавания абстрактных свойств

Âåñòíèê ÑèáÃÓÒÈ. 2014. 4
47
ÓÄÊ 519.688
Âû÷èñëèòåëüíûå àñïåêòû ðàñïîçíàâàíèÿ
àáñòðàêòíûõ ñâîéñòâ
áåñêîíå÷íûõ êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ
Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ
 ñòàòüå ïðèâîäèòñÿ îáçîð ðåçóëüòàòîâ, ñâÿçàííûõ ñ ðåøåíèåì ïðîáëåìû Á¼ðíñàéäà äëÿ
ìàëûõ
n
è ñìåæíûõ âîïðîñîâ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà
: ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà, ïîðÿäîê, ñïåêòð, ýêñïîíåíòà, ïåðèîä.
1. Ââåäåíèå
Íåñêîëüêî ëåò íàçàä îäèí èç àâòîðîâ ýòîé ðàáîòû ïî ïðèãëàøåíèþ Â. Ã. Õîðîøåâñêîãî ÷èòàë còóäåíòàì ÑèáÃÓÒÈ êóðñ ¾Òåîðèÿ àâòîìàòîâ¿. ×òåíèå ýòîãî êóðñà íàòîëêíóëî åãî
íà ìûñëü îá èñïîëüçîâàíèè êîìïüþòåðíûõ âû÷èñëåíèé äëÿ èññëåäîâàíèÿ áåñêîíå÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïï.
Íàøà ðàáîòà ïîñâÿùåíà, â îñíîâíîì, ïåðèîäè÷åñêèì ãðóïïàì, íî ìû íå ñîìíåâàåìcÿ,
÷òî èñïîëüçóåìûå ìåòîäû ïðèìåíèìû ê èññëåäîâàíèþ è äðóãèõ áåñêîíå÷íûõ êîìáèíàòîðíûõ
îáúåêòîâ.
 îêòÿáðå 1900 ã. Óèëüÿì Á¼ðíñàéä íàïèñàë ïèñüìî Ðîáåðòó Ôðèêå, â êîòîðîì, â ÷àñòíîñòè,
ãîâîðèëîñü ñëåäóþùåå:
¾Ïîëüçóÿñü ñëó÷àåì, ñïðàøèâàþ, íå çàäàâàëèñü ëè Âû ñëåäóþùèì âîïðîñîì, à åñëè çàäàâàëèñü, ïðèøëè ëè ê êàêîìó-íèáóäü îòâåòó.
Ìîæåò ëè ãðóïïà, ïîðîæä¼ííàÿ
êîíå÷íûì
êîëè÷åñòâîì îïåðàöèé, òàêàÿ, ÷òî ïîðÿäîê êàæ-
äîé èç ýòèõ îïåðàöèé êîíå÷åí è íå ïðåâîñõîäèò äàííîãî ÷èñëà, ñîñòîÿòü èç áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà
îïåðàöèé?
S1 & S2 îïåðàöèè è Σ , ïðåäñòàâëÿþùàÿ ïî î÷åðåäè âñå êîìáèíàöèè
S2 , òàêèõ êàê S1a S2b S1c ...S2e , òàêîâà, ÷òî Σm = 1 , ãäå m äàííîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî; âåðíî èëè íåò, ÷òî ãðóïïà, ïîðîæä¼ííàÿ S1 & S2 , èìååò êîíå÷íûé ïîðÿäîê?
Êîíå÷íî, åñëè m ðàâíî 2, ãðóïïà èìååò ïîðÿäîê 4, à åñëè m ðàâíî 3, ãðóïïà èìååò ïîðÿäîê
27; íî äëÿ çíà÷åíèé m , áîëüøèõ 3, êàæåòñÿ, ÷òî âîïðîñ ïðåäñòàâëÿåò ñåðü¼çíóþ ñëîæíîñòü
Íàïðèìåð, ïóñòü
ïîâòîðåíèé
S1
&
äëÿ ðàññìîòðåíèÿ.¿ (Öèò. ïî [1].)
 ñëåäóþùåì ïèñüìå Ôðèêå, äàòèðîâàííîì 20 èþíÿ 1901 ã., Á¼ðíñàéä ïèøåò:
¾ß íåäàâíî âåðíóëñÿ ê âîïðîñó, î êîòîðîì ïèñàë Âàì çèìîé, à èìåííî, î äèñêðåòíûõ ãðóïm
ïàõ, îïðåäåë¼ííûõ ðàâåíñòâîì S
= 1 , ãäå S ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëþáóþ è êàæäóþ êîìáèíà-
A1 , A2 , ...An ; ãäå m, n äàííûå íàòóðàëüíûå
m = 3 , äëÿ äàííîãî n ïîðÿäîê ìîæåò áûòü îïðåäåë¼í
12
íåêîòîðîé ðåêóððåíòíîé ôîðìóëîé... Äëÿ m = 4, n = 2 ÿ ïîñ÷èòàë, ÷òî ïîðÿäîê ðàâåí 2 ...
 äàííûé ìîìåíò ÿ çàñòðÿë íà ñëó÷àå n = 2 , m = p ïðîñòîå ÷èñëî, áîëüøåå 3; íî ëåãêî
p+2
ïîêàçàòü, ÷òî ïîðÿäîê íå ìîæåò áûòü ìåíüøèì, ÷åì p
, è ìíå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âåðîÿòíûì,
öèþ èç
n
íåçàâèñèìûõ ïîðîæäàþùèõ îïåðàöèé
÷èñëà. ß îáíàðóæèë, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà
÷òî îí áîëüøå, åñëè âîîáùå êîíå÷åí.¿ (Öèò. ïî [1].)
Èç ýòèõ ïèñåì ìû âèäèì, ÷òî, ãîâîðÿ ñîâðåìåííûì ÿçûêîì, Á¼ðíñàéä èíòåðåñóåòñÿ ñëåäóþùèìè äâóìÿ âîïðîñàìè:
48
Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ
ÂÎÏÐÎÑ 1. Ïóñòü
ýëåìåíòà èç
G
n
ìåíüøå ëèáî ðàâåí
ÂÎÏÐÎÑ 2. Ïóñòü
n
x = 1 . ßâëÿåòñÿ ëè G
n
G ãðóïïà, òàêàÿ, ÷òî
G ëîêàëüíî êîíå÷íîé?
íàòóðàëüíîå ÷èñëî è
n . ßâëÿåòñÿ ëè
íàòóðàëüíîå ÷èñëî è
G
ïîðÿäîê ëþáîãî
ãðóïïà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ òîæäåñòâó
ëîêàëüíî êîíå÷íîé?
Êîíå÷íî, ýòè âîïðîñû ðàçíûå: Âîïðîñ 2 ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì Âîïðîñà 1. Íî, íàïðèìåð, äëÿ
n=6
îòâåò íà Âîïðîñ 2 ïîëîæèòåëåí [2], à Âîïðîñ 1 äî ñèõ ïîð îòêðûò, ïîñêîëüêó
âêëþ÷àåò â ñåáÿ, â ÷àñòíîñòè, Âîïðîñ 2 äëÿ
n = 5.
Âîïðîñ 1 òàêæå âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñëåäóþùèé
ÂÎÏÐÎÑ 3. Ïóñòü
ω
ôèêñèðîâàííîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïðåäïî-
ëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî ïîðÿäêîâ ýëåìåíòîâ ãðóïïû
G
ñîâïàäàåò ñ
ω . ßâëÿåòñÿ ëè G
ëîêàëüíî
êîíå÷íîé?
 1902 ã. Á¼ðíñàéä îïóáëèêîâàë ðàáîòó [3], â êîòîðîé îáñóæäàëñÿ Âîïðîñ 2. Ñ òå÷åíèåì
âðåìåíè åãî ñòàëè íàçûâàòü Ïðîáëåìîé Á¼ðíñàéäà äëÿ ãðóïï ýêñïîíåíòû
n.
Èññëåäîâàíèþ
ýòîé ïðîáëåìû ïîñâÿùåíî îãðîìíîå êîëè÷åñòâî ðàáîò (ñì. ñïèñîê ëèòåðàòóðû â [4]). Âîïðîñ 1
óïîìèíàåòñÿ â êíèãå [5] ñî ññûëêîé íà Á¼ðíñàéäà.
Ìû ñîñðåäîòî÷èìñÿ íà Âîïðîñå 3, êàñàÿñü Âîïðîñà 1 è Âîïðîñà 2 ëèøü â òîé ìåðå, êîòîðàÿ
ñîãëàñóåòñÿ ñ íàøåé îñíîâíîé öåëüþ.
2. Ïðîáëåìà Á¼ðíñàéäà äëÿ ãðóïï äàííîé ýêñïîíåíòû
Ãðóïïà
G
(çàâèñÿùåå îò
äëÿ âñåõ
íåíòîé
íàçûâàåòñÿ
g ),
ïåðèîäè÷åñêîé
g ∈G
g =1
n
ïåðèîäîì
G
G ëîêàëüíî êîíå÷íà
òàêîå, ÷òî
, åñëè äëÿ ëþáîãî
n
; åñëè ñóùåñòâóåò
g ∈ G , òî n íàçûâàåòñÿ
G . Ãîâîðÿò, ÷òî ãðóïïà
ãðóïïû
ãðóïïû
ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíîå
n
, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ g =
, à íàèìåíüøåå òàêîå
n
íàçûâàåòñÿ
n
1
ýêñïî-
, åñëè ëþáîå êîíå÷íî ìíîæåñòâî å¼
ýëåìåíòîâ ñîäåðæèòñÿ â êîíå÷íîé ïîäãðóïïå. Ãðóïïà
G
íàçûâàåòñÿ
íèëüïîòåíòíîé
ñòóïåíè
íèëüïîòåíòíîñòè, íå ïðåâîñõîäÿùåé n , åñëè äëÿ âñåõ x1 , . . . , xn ∈ G âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
−1
[x1 , x2 , . . . , xn ] = 1 , ãäå [x1 , x2 ] = x−1
1 x2 x1 x2 è [x1 , x2 , . . . , xn ] = [[x1 , . . . , xn−1 ], xn ] äëÿ n > 3 .
Êëàññ Cn ãðóïï ïåðèîäà n ÿâëÿåòñÿ
, ò. å. îí çàìêíóò îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ
ìíîãîîáðàçèå
ïîäãðóïï, ôàêòîðãðóïï è äåêàðòîâûõ ïðîèçâåäåíèé. Ïóñòü
ñ
d
B(d, n)
ñâîáîäíàÿ ãðóïïà èç
Cn
ïîðîæäàþùèìè.
2.1. Ãðóïïû ýêñïîíåíòû 2 è 3
 ðàáîòå [3] Á¼ðíñàéä îòìåòèë î÷åâèäíûé ôàêò ëîêàëüíîé êîíå÷íîñòè ãðóïï ïåðèîäà 2
è ïîêàçàë, ÷òî ýòî âåðíî è äëÿ ãðóïï ïåðèîäà 3. Êðîìå òîãî, îí çàìåòèë, ÷òî â ãðóïïàõ ïåðèîäà 3 ëþáûå äâà ñîïðÿæ¼ííûõ ýëåìåíòà ïåðåñòàíîâî÷íû, ò. å. â ýòèõ ãðóïïàõ âûïîëíÿåòñÿ
2-ýíãåëåâî òîæäåñòâî
[[y, x], x] = 1 .
 ïðîäîëæåíèè [6] ðàáîòû [3], âûøåäøåì ãîäîì ïîçæå,
Á¼ðíñàéä ïîêàçàë, ÷òî ëþáàÿ 2-ýíãåëåâà ãðóïïà óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâàì [[x, y], z] = [[y, z], x]
3
è [[x, y], z] = 1 , ïîýòîìó îíà äâóñòóïåííî íèëüïîòåíòíà, åñëè â íåé íåò ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 3.
Ïî-âèäèìîìó, Ê. Õîïêèíñ [7] ïåðâûì ïîêàçàë, ÷òî 2-ýíãåëåâû ãðóïïû òð¼õñòóïåííî íèëüïîòåíòíû, â ÷àñòíîñòè, òàêîâû âñå ãðóïïû ïåðèîäà 3. Ýòîò ðåçóëüòàò îáû÷íî ïðèïèñûâàþò
Ô. Ëåâè [8], õîòÿ îí îïóáëèêîâàë ñâîþ ðàáîòó íà 13 ëåò ïîçæå Õîïêèíñà.
 1932 ãîäó Ëåâè è Á. Âàí äåð Âàðäåí [9] ïîâòîðèëè ðåçóëüòàò Á¼ðíñàéäà î 2-ýíãåëåâîñòè
ãðóïï ïåðèîäà 3. Îíè òàêæå äàëè îöåíêó ïîðÿäêà ãðóïïû ýêñïîíåíòû 3 ñ
Îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
d
ïîðîæäàþùèìè.
Âû÷èñëèòåëüíûå àñïåêòû ðàñïîçíàâàíèÿ
àáñòðàêòíûõ ñâîéñòâ
áåñêîíå÷íûõ
êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ
49
ÒÅÎÐÅÌÀ 2.1.
1. Ãðóïïà ýêñïîíåíòû 2 ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà, è ñëåäîâàòåëüíî, ëîêàëüíî êîíå÷íà
|B(d, 2)| = 2 .
2. Ïóñòü G ãðóïïà ýêñïîíåíòû 3 . Òîãäà
(a) G 2 -ýíãåëåâà è èìååò ñòóïåíü íèëüïîòåíòíîñòè íå âûøå 3
(b) B(2, 3) äâóñòóïåííî íèëüïîòåíòíàÿ è |B(2, 3)| = 27
(c) äëÿ d > 3 ñòóïåíü íèëüïîòåíòíîñòè B(d, 3) â òî÷íîñòè ðàâíà 3 , è |B(d, 3)| = 3 ,
ãäå
6d + 3d(d − 1) + d(d − 1)(d − 2)
;
d
;
;
k
k=
.
6
2.2. Ãðóïïû ýêñïîíåíòû 4
|B(2, 4)| 6 212 .
 ðàáîòå [3] Á¼ðíñàéä ïîêàçàë, ÷òî
È. Ñàíîâ [10] äîêàçàë, ÷òî ãðóïïû
ýêñïîíåíòû 4 ëîêàëüíî êîíå÷íû è äàë (ãðóáóþ) îöåíêó äëÿ
ðîæäàþùèõ ñòóïåíü ðàçðåøèìîñòè
B(d, 4)
|B(d, 4)| .
Ñ ðîñòîì ÷èñëà
d
ïî-
íåîãðàíè÷åííî ðàñò¼ò [11].
Áîëüøå èíôîðìàöèè î ãðóïïàõ ýêñïîíåíòû 4 ìîæíî ïî÷åðïíóòü èç êîììåíòàðèåâ â êíèãå
À. È. Êîñòðèêèíà [12].
2.3. Ãðóïïû ýêñïîíåíòû 5
Âîïðîñ î ëîêàëüíîé êîíå÷íîñòè ãðóïï ýêñïîíåíòû 5 äî ñèõ ïîð íå ðåø¼í.
ÃÈÏÎÒÅÇÀ 2.2.
B(2, 5)
áåñêîíå÷íà.
Èíôîðìàöèþ î êîíå÷íûõ ãðóïïàõ ýêñïîíåíòû 5 ñì. â [12].
2.4. Ãðóïïû ýêñïîíåíòû 6
 1956 ãîäó âûøëà çíàìåíèòàÿ ñòàòüÿ Ô. Õîëëà è Ã. Õèãìàíà [13], âîîðóæèâøàÿ ìàòåìàòèêîâ íîâûìè ìîùíûìè ñðåäñòâàìè èññëåäîâàíèÿ êîíå÷íûõ ãðóïï.  ÷àñòíîñòè, îíà ïîäâèãëà
Ì. Õîëëà íà íàïèñàíèå ðàáîòû [2], â êîòîðîé îí äîêàçàë ëîêàëüíóþ êîíå÷íîñòü ãðóïï ïåðèîäà 6. Èç ýòîãî ðåçóëüòàòà, à òàêæå èç ðåçóëüòàòà ðàáîòû Õîëëà è Õèãìàíà, ñëåäóåò
Ïóñòü G ãðóïïà ýêñïîíåíòû 6 . Òîãäà
1. Ñèëîâñêàÿ 2 -ïîäãðóïïà ãðóïïû G/O (G) íîðìàëüíà â G/O (G) .
2. Ñèëîâñêàÿ 3 -ïîäãðóïïà ãðóïïû G/O (G) íîðìàëüíà â G/O (G) .
3. Ñòóïåíü ðàçðåøèìîñòè ãðóïïû G íå ïðåâîñõîäèò 4 .
4. Åñëè G ïîðîæäåíà d ýëåìåíòàìè, òî
ÒÅÎÐÅÌÀ 2.3.
3
3
2
2
|G| 6 2a 3b+b(b−1)/2+b(b−1)(b−2)/6 ,
ãäå
è ýòà ãðàíèöà òî÷íàÿ.
a = 1 + (d − 1)3d+d(d−1)/2+d(d−1)(d−2)/6 ,
b = 1 + (d − 1)2d ,
Çàìåòèì, ÷òî ïîçäíåå Ì. Íüþìàí [14] ñóùåñòâåííî óïðîñòèë äîêàçàòåëüñòâî Õîëëà, ñâåäÿ
åãî ê íåêîòîðîìó óòâåðæäåíèþ, êîòîðîå îí ïðîâåðèë ïðè ïîìîùè êîìïüþòåðíàõ âû÷èëñåíèé.
È. Ã. Ëûñ¼íîê [15] â 1987 ã. îñâîáîäèë äîêàçàòåëüñòâî Íüþìàíà îò ìàøèííûõ âû÷èñëåíèé.
50
Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ
2.5. Îòðèöàòåëüíîå ðåøåíèå
 1959 ã. Ï. Ñ. Íîâèêîâ [16] àíîíñèðîâàë ñóùåñòâîâàíèå áåñêîíå÷íûõ êîíå÷íî ïîðîæä¼ííûõ ãðóïï êîíå÷íîãî ïåðèîäà. Íà îñíîâå èäåé ýòîé çàìåòêè Íîâèêîâ è C. È. Àäÿí â 1968 ã.
m -ïîðîæä¼ííîé
íàïèñàëè áîëüøóþ ñòàòüþ [17, 18, 19] ñ äîêàçàòåëüñòâîì ñóùåñòâîâàíèÿ
ãðóïïû ïåðèîäà
n
äëÿ ëþáîãî
âûøåäøåé â 1975 ãîäó, ãðàíèöà
m > 2 è ëþáîãî íå÷¼òíîãî n > 4381 .
n > 4381 áûëà ñíèæåíà äî n > 665 .
 êíèãå Àäÿíà [20],
Ñóùåñòâîâàíèå íå ëîêàëüíî êîíå÷íûõ 2-ãðóïï êîíå÷íîãî ïåðèîäà àíîíñèðîâàëè â 1992 ãîäó íåçàâèñèìî C. Â. Èâàíîâ è Ëûñ¼íîê. Ðàáîòû [21] è [22] ýòèõ àâòîðîâ, ñîäåðæàùèå ïîëíûå
äîêàçàòåëüñòâà, âûøëè â 1994 è 1996 ãîäàõ ñîîòâåòñòâåííî.  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòå Ëûñ¼íêà
äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå áåñêîíå÷íûõ
è
m -ïîðîæäåííûõ
ãðóïï ïåðèîäà
n
äëÿ ëþáûõ
m > 2
n > 8000 .
3. Ãðóïïû ñ çàäàííûì ìíîæåñòâîì ïîðÿäêîâ ýëåìåíòîâ
Ïóñòü
ìåíòîâ èç
ñòâî
ω(G)
G ïåðèîäè÷åñêàÿ
G , íàçûâàåòñÿ
ω(G) ,
ãðóïïà. Ìíîæåñòâî
ñïåêòðîì ïîðÿäêîâ
ñîñòîÿùå èç ïîðÿäêîâ âñåõ ýëå-
ñïåêòðîì
èëè ïðîñòî
êîíå÷íî, òî îíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì ïîäìíîæåñòâîì
èç ìàêñèìàëüíûõ ïî äåëèìîñòè ýëåìåíòîâ èç
3.1. Ãðóïïû ñ
G . Åñëè ìíîæåµ(G) , ñîñòîÿùèì
ãðóïïû
ω(G) .
ω(G) = {1, 2, 3}
Á. Õ. Íîéìàí [23] áûë ïåðâûì, êòî îáðàòèë âíèìàíèå íà Âîïðîñ 3. Îí ïîëó÷èë ñëåäóþùèé
ðåçóëüòàò.
Ïóñòü ω(G) = {1, 2, 3} . Òîãäà G ëîêàëüíî êîíå÷íà è âûïîëíÿåòñÿ îäíî
èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé
1. G ÿâëÿåòñÿ ïîëóïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì íîðìàëüíîé ýëåìåíòàðíîé àáåëåâîé
2 -ïîäãðóïïû V è ãðóïïû ïîðÿäêà 3 , äåéñòâóþùåãî ñâîáîäíî íà V
2. G ÿâëÿåòñÿ ïîëóïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì íîðìàëüíîé ýëåìåíòàðíîé àáåëåâîé
3 -ïîäãðóïïû V è ãðóïïû ïîðÿäêà 2 , èíâåðòèðóþùåé ëþáîé ýëåìåíò èç V ïðè ñîïðÿæåíèè â G .
ÒÅÎÐÅÌÀ 3.1.
:
;
Íàïîìíèì, ÷òî åñëè ãðóïïà
äåéñòâèå ÿâëÿåòñÿ
íûõ
g∈G
è
èíâåðòèðóåò
ñâîáîäíûì
v∈V
îáðàç
ãðóïïó
V
vg
G
(èëè
äåéñòâóåò íà íåòðèâèàëüíîé ãðóïïå
G
äåéñòâóåò
ýëåìåíòà
v
ñâîáîäíî
íà
V
V
, òî ãîâîðÿò, ÷òî ýòî
), åñëè äëÿ ëþáûõ íåòðèâèàëü-
g íå ðàâåí v . Ãðóïïà hti
v = v −1 äëÿ ëþáîãî v ∈ V
ïîä äåéñòâèåì
, íà êîòîðîé îíà äåéñòâóåò, åñëè
t
ïîðÿäêà 2
.
Ïóñòü G ãðóïïà, â êîòîðîé ïîðÿäîê
ëþáîãî ýëåìåíòà íå ïðåâîñõîäèò 3 . Òîãäà G ëîêàëüíî êîíå÷íà.
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 3.2 (Îòâåò íà Âîïðîñ 1 äëÿ
n = 3 ).
 ñàìîì äåëå, ýòî ñëåäóåò èç òåîðåì 1.1, 1.3 è 2.1.
3.2. Ãðóïïû, ïîðÿäêè ýëåìåíòîâ êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäÿò 4
Â
ñ
ñâîåé
ðàáîòå
ω(G) = {1, 2, 3, 4}
òàêèõ ãðóïï.
î
ãðóïïàõ
ýêñïîíåíòû
4
Ñàíîâ
[10]
äîêàçàë,
÷òî
ãðóïïà
G
ëîêàëüíî êîíå÷íà. Ïîçäíåå Ä. Â. Ëûòêèíà [24] îïðåäåëèëà ñòðóêòóðó
Âû÷èñëèòåëüíûå àñïåêòû ðàñïîçíàâàíèÿ
àáñòðàêòíûõ ñâîéñòâ
áåñêîíå÷íûõ
êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ
51
Ïóñòü G ãðóïïà ñ µ(G) = {3, 4} . Òîãäà G ðàçðåøèìà ñòóïåíè
íå âûøå 3 è âîçìîæåí îäèí èç ñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ
1. G = V Q , ãäå V íåòðèâèàëüíàÿ íîðìàëüíàÿ ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà 3 -ïîäãðóïïà,
Q 2 -ãðóïïà, äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà V , è èçîìîðôíà ëèáî öèêëè÷åñêîé ãðóïïå ïîðÿäêà 4 , ëèáî êâàòåðíèîííîé ãðóïïå ïîðÿäêà 8
2. G = T hai , ãäå T íîðìàëüíàÿ íèëüïîòåíòíàÿ äâóñòóïåííî íèëüïîòåíòíàÿ 2 -ïîäãðóïïà
è ïîðÿäîê a ðàâåí 3
3. G = T S , ãäå T ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà íîðìàëüíàÿ 2 -ïîäãðóïïà è S èçîìîðôíà ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïå ñòåïåíè 3 .
ÒÅÎÐÅÌÀ 3.3.
:
;
;
3.3. Ñâîáîäíîå äåéñòâèå
ãðóïïà àâòîìîðôèçìîâ íåòðèâèëüíîé ãðóïïû V . Àâòîìîðôèçì a ∈ G ïîðÿäêà
a
an−1
n íàçûâàåòñÿ
, åñëè vv · · · v
= 1 äëÿ ëþáîãî v ∈ V . Äðóãèìè ñëîâàìè, a −1 n
ðàñùåïëÿåìûé àâòîìîðôèçì ãðóïïû V , åñëè (va ) = 1 äëÿ ëþáîãî v ∈ V â åñòåñòâåííîì
Ïóñòü
G
ðàñùåïëÿåìûì
ïîëóïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè
V G.
 ýòîì ïóíêòå ìû ñîáðàëè ðåçóëüòàòû î ãðóïïàõ, êîòîðûå äîïóñêàþò ðàñùåïëÿåìûé àâòîìîðôèçì íåáîëüøîãî ïîðÿäêà èëè ñîäåðæàò òàêîé àâòîìîðôèçì.
Ïóñòü V ãðóïïà, äîïóñêàþùàÿ àâòîìîðôèçì a ïîðÿäêà 3 .
1. Åñëè hai äåéñòâóåò ñâîáîäíî íà V è V = {v v | v ∈ V } , òî V íèëüïîòåíòíà
ñòóïåíè íèëüïîòåíòíîñòè íå âûøå 2
2. Åñëè a ðàñùåïëÿåìûé àâòîìîðôèçì, òî V íèëüïîòåíòíà ñòóïåíè íèëüïîòåíòíîñòè
íå âûøå 3
.
Ïóñòü G íåòðèâèàëüíàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà, äåéñòâóþùàÿ
ñâîáîäíî íà àáåëåâîé ãðóïïå, è x ∈ G ýëåìåíò ïîðÿäêà 3 . Òîãäà ëèáî x ëåæèò â öåíòðå G
èëè hx i èçîìîðôíà SL (3) èëè SL (5) .  ëþáîì ñëó÷àå öåíòð G íåòðèâèàëåí.
Ïóñòü G ãðóïïà ýêñïîíåíòû 5 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî
íà àáåëåâîé ãðóïïå. Òîãäà G öèêëè÷åñêàÿ.
ÒÅÎÐÅÌÀ 3.4 ([25, 26]).
a −1
([25]);
([26])
ÒÅÎÐÅÌÀ 3.5 ([26]).
G
2
2
ÒÅÎÐÅÌÀ 3.6 ([27, 28]).
3.4.
{2, 3} -ãðóïïû, äåéñòâóþùèå ñâîáîäíî íà àáåëåâîé ãðóïïå
 ýòîì ïàðàãðàôå ìû ïåðå÷èñëèì ðåçóëüòàòû èç [29]. Èíòåðåñ ê ýòîé òåìå áûë ñòèìóëèðî-
âàí
ðàáîòîé
Ý. ßáàðû
{2, 3} -ãðóïïû G
è
Ï. Ìàéðà [30], êîòîðûå äîêàçàëè ëîêàëüíóþ êîíå÷íîñòü
m 2
êîíå÷íîãî ïåðèîäà 2 3 , äåéñòâóþùåé ñâîáîäíî íà àáåëåâîé ãðóïïå. Ïîçä-
íåå Ëûòêèíà [31] ïîêàçàëà, ÷òî ýòîò ðåçóëüòàò îñòà¼òñÿ âåðíûì è áåç ïðåäïîëîæåíèÿ î êîíå÷íîñòè ïåðèîäà ñèëîâñêîé 2-ïîäãðóïïû ãðóïïû
ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé
ïðèìàðíàÿ
Ïîä
G.
ãðóïïîé â äàëüíåéøåì ïîíèìàåòñÿ ãðóïïà, ëþáîå êîíå÷íîå ïîä-
ìíîæåñòâî êîòîðîé ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîé öèêëè÷åñêîé ïîäãðóïïå.
ãðóïïà ëèáî ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé öèêëè÷åñêîé
∞
÷èñëà p , ëèáî èçîìîðôíà ãðóïïå òèïà p , ò. å. ãðóïïå
p -ãðóïïîé
C(p) = ha0 , a1 , . . . | ap0 = 1, api+1 = ai
Êâàòåðíèîííîé
äëÿ
Ëîêàëüíî öèêëè÷åñêàÿ
äëÿ íåêîòîðîãî ïðîñòîãî
i ≥ 0i.
ãðóïïîé ìû íàçûâàåì ãðóïïó êâàòåðíèîíîâ ïîðÿäêà 8 èëè îáîáù¼ííóþ
ãðóïïó êâàòåðíèîíîâ, ò. å. ãðóïïó, èçîìîðôíóþ ãðóïïå
m
m−1
Q2m+1 = ha, b | a2 = b4 = 1, ab = a−1 , b2 = a2
i,
m ≥ 3.
52
Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ
Ëîêàëüíî êâàòåðíèîííîé
òîðîé
ñîäåðæèòñÿ
â
ãðóïïîé íàçûâàåòñÿ 2-ãðóïïà
íåêîòîðîé
êâàòåðíèîííîé
G , ëþáîå êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî êî-
ïîäãðóïïå.
Ïî
èçâåñòíîìó
ðåçóëüòàòó
Â. Ï. Øóíêîâà (ñì. [32]) ëîêàëüíî êâàòåðíèîííàÿ ãðóïïà ëèáî ÿâëÿåòñÿ êâàòåðíèîííîé ãðóï−1
2
b
ïîé, ëèáî èçîìîðôíà ãðóïïå Q(2) = hC(2), b | b = a0 , ai = ai äëÿ i ≥ 1i . Ëîêàëüíî êâàòåðíèîííàÿ ãðóïïà ñîäåðæèò ðîâíî îäíó èíâîëþöèþ (ò. å. ýëåìåíò ïîðÿäêà 2), êîòîðàÿ ïîðîæäàåò
öåíòð ýòîé ãðóïïû.
Ãðóïïà êâàòåðíèîíîâ ïîðÿäêà 8 îáëàäàåò àâòîìîðôèçìîì ïîðÿäêà 3. Ñîîòâåòñòâóþùåå ïîëóïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ïîðÿäêà 24 èçîìîðôíî ãðóïïå
ïîðÿäêà 3 ñ îïðåäåëèòåëåì, ðàâíûì åäèíèöå. ×åðåç
ðÿäêà 2 ïîñðåäñòâîì ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû
S4
S̃4
SL2 (3)
äâóìåðíûõ ìàòðèö íàä ïîëåì
ìû îáîçíà÷àåì ðàñøèðåíèå ãðóïïû ïî-
ñòåïåíè 4 ñ êâàòåðíèîííîé ñèëîâñêîé 2-ïîä-
ãðóïïîé. Èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [33]), ÷òî ãðóïïà
S̃4
ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà ñ òî÷íîñòüþ
äî èçîìîðôèçìà. Îòìåòèì, ÷òî âñå ýëåìåíòû ïðîñòîãî ïîðÿäêà èç
èíäåêñà 2, èçîìîðôíóþ
Ãðóïïà
G
öåíòðàëüíûì ïðîèçâåäåíèåì
C
G = AB [A, B] = 1 C = A ∩ B
íåòðèâèàëüíûì
A 6= G 6= B
íàçûâàåòñÿ
åì ïî ïîäãðóïïå
AB
íàçûâàåòñÿ
p
ïîðîæäàþò ïîäãðóïïó
ñâîèõ ïîäãðóïï
, åñëè
,
è
, åñëè
ïðîñòîå íå÷¼òíîå ÷èñëî,
A
è
B
ñ îáúåäèíåíè-
. Öåíòðàëüíîå ïðîèçâåäåíèå
C ≤ Z(G) è öåíòðàëüôàêòîðãðóïïå A × B ïî ïîäãðóïïå
. Î÷åâèäíî, ÷òî
íîå ïðîèçâåäåíèå AB ñ îáúåäèíåíèåì ïî
C1 = {(c, c−1 ) | c ∈ C} .
Ïóñòü
S̃4
SL2 (3) .
a
C
èçîìîðôíî
íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Íàçîâ¼ì
ãðóïïîé òèïà Q(p )
a
p -ãðóïïó P , îáëàäàþùóþ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
P öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà pa ;
2. ëþáàÿ êîíå÷íàÿ ïîäãðóïïà èç P ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé.
a
Îòìåòèì, ÷òî ëþáàÿ ãðóïïà òèïà Q(p ) íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî êîíå÷íîé.
Ïóñòü p ïðîñòîå íå÷¼òíîå ÷èñëî, a íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Íàçîâ¼ì
a
Q(p , d) {2, p} -ãðóïïó H ñ èíâîëþöèÿìè, îáëàäàþùóþ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1. öåíòð ãðóïïû H ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé ãðóïïîé;
d
2. âñå 2-ýëåìåíòû èç H ñîäåðæàòñÿ â Z(H) è îáðàçóþò ãðóïïó T ïîðÿäêà 2
d = ∞ íå èñêëþ÷àåòñÿ);
a
3. H/T ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé òèïà Q(p ) äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a .
áåñêîíå÷íóþ
1. öåíòð ãðóïïû
ãðóïïîé òèïà
(ñëó÷àé
ËÅÌÌÀ.
1. Äëÿ ëþáîãî íå÷¼òíîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p è ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a ñóùåñòâóåò
ãðóïïà òèïà Q(p ) .
2. Äëÿ ëþáîãî íå÷¼òíîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p è ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a è d ñóùåñòâóåò
ãðóïïà òèïà Q(p , d) .
3. Äëÿ ëþáîãî íå÷¼òíîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p è ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a ñóùåñòâóåò
ãðóïïà òèïà Q(p , ∞) .
a
a
a
n = ps > 665 , m ≥ 2 è G = A(m, n) ãðóïïà, îïðåäåë¼ííàÿ â [20, ãë. VII, Ÿ1]. Êàê ïîêàçàíî â ýòîé ãëàâå, Z(G) = hzi áåñêîíå÷íàÿ öèêëè÷åñêàÿ
0
ãðóïïà, Z(G) ≤ G , G/Z(G) ' B(m, n) è ëþáûå äâå öèêëè÷åñêèå ïîäãðóïïû èç G ïåðåñåêàÄ î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î . Ïóñòü
þòñÿ íåòðèâèàëüíî.
1. Ïóñòü
a
P = G/hz p i .
ðåìà 1.8] êîíå÷íûå ïîäãðóïïû ãðóïïû
ñâîáîäíîé ãðóïïû ïåðèîäà
n ≥ 665
ÿâëÿþòñÿ êîíå÷íûìè öèêëè÷åñêèìè ãðóïïàìè. Ñëå-
P , òî å¼ ïîëíûé ïðîîáðàç
z è ïîäõîäÿùèì ýëåìåíòîì x ∈ G \ Z(G) . Â ñèëó ñâîéñòâ
ãðóïïû A(m, n) ïîäãðóïïà A = hz, xi ÿâëÿåòñÿ àáåëåâîé ãðóïïîé áåç êðó÷åíèÿ, è ïîñêîëüêó
êàæäàÿ íååäèíè÷íàÿ ïîäãðóïïà èç A èìååò íåòðèâèàëüíîå ïåðåñå÷åíèå ñ hzi , òî ïî îñíîâíîé
pa
òåîðåìå î êîíå÷íî ïîðîæä¼ííûõ àáåëåâûõ ãðóïïàõ ãðóïïà A öèêëè÷åñêàÿ. Çíà÷èò, A/hz i
äîâàòåëüíî, åñëè
A
â
G
K
P ãðóïïà òèïà Q(pa ) . Ïî [20, ãë. VII, Ÿ 1, òåîB(m, n) íå ëîêàëüíî êîíå÷íîé m -ïîðîæä¼ííîé
Ïîêàæåì, ÷òî
íåòðèâèàëüíàÿ êîíå÷íàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû
ïîðîæäàåòñÿ ýëåìåíòîì
Âû÷èñëèòåëüíûå àñïåêòû ðàñïîçíàâàíèÿ
àáñòðàêòíûõ ñâîéñòâ
áåñêîíå÷íûõ
êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ
53
r
pa
öèêëè÷åñêàÿ p -ãðóïïà ïîðÿäêà p , ãäå a < r ≤ a + s , à ïîäãðóïïà A/hz i ïîðîæäåíà
pa
pa
ýëåìåíòîì xhz i è ñîäåðæèò ïîäãðóïïó hzi/hz i . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî öåíòð Z(P ) ãðóïïû
a
P öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà hzi/hz p i ïîðÿäêà pa è ëþáàÿ êîíå÷íàÿ ïîäãðóïïà èç P ÿâëÿåòñÿ
a
öèêëè÷åñêîé, ò. å. P ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé òèïà Q(p ) .
pa 2d
2. Åñëè â äîêàçàòåëüñòâå ï. 1 ëåììû ïîëîæèòü P = G/hz
i , òî òå æå ðàññóæäåíèÿ
a
ïîêàçûâàþò, ÷òî P ãðóïïà òèïà Q(p , d) .
t
10
3. Ïóñòü n = p > 10 , m ≥ 2 è H ñâîáîäíàÿ ãðóïïà ðàíãà m ìíîãîîáðàçèÿ, çàäàín
n
íîãî òîæäåñòâîì x y = yx . Êàê âûòåêàåò èç [34, ñëåäñòâèå 31.1 è òåîðåìà 31.2], ñóùåñòâóåò
G ãðóïïû H , îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.
Z(G) ≤ G0 è Z(G) ñâîáîäíàÿ àáåëåâà ãðóïïà ñ÷¼òíîãî ðàíãà.
2. G/Z(G) ' B(m, n) .
3. Â Z(G) íàéä¼òñÿ ïîäãðóïïà A , òàêàÿ, ÷òî G/A ' A(m, n) .
 ñèëó ïîñëåäíåãî ñâîéñòâà â Z(G) íàéä¼òñÿ ïîäãðóïïà N , äëÿ êîòîðîé G/N ãðóïïà
a
òèïà Q(p ) . Äàëåå, êàê ñâîáîäíàÿ àáåëåâà ãðóïïà ñ÷¼òíîãî ðàíãà Z(G) îáëàäàåò ïîäãðóïïîé
M òàêîé, ÷òî ãðóïïà Z(G)/M èçîìîðôíà êâàçèöèêëè÷åñêîé 2-ãðóïïå C(2) . Ïîíÿòíî, ÷òî
G/N ∩ M ãðóïïà òèïà Q(pa , ∞) .
t
u
ôàêòîðãðóïïà
1.
Ïóñòü G {2, 3} -ãðóïïà, äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà àáåëåâîé ãðóïïå.
Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé
1. G ëîêàëüíî êîíå÷íà è èçîìîðôíà ëèáî ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé ãðóïïå, ëèáî ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé 3 -ãðóïïû íà ëîêàëüíî êâàòåðíèîííóþ ãðóïïó, ëèáî ïîëóïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé 3 -ãðóïïû R íà öèêëè÷åñêóþ 2 -ãðóïïó hbi ,
ãäå b 6= 1 è a = a äëÿ ëþáîãî a ∈ R , ëèáî ïîëóïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé 3 -ãðóïïû R íà ëîêàëüíî êâàòåðíèîííóþ ãðóïïó Q , â êîòîðîì |Q : C (R)| = 2 ,
ëèáî ïîëóïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ ãðóïïû êâàòåðíèîíîâ Q = hx, yi ïîðÿäêà 8 íà öèêëè÷åñêóþ 3 -ãðóïïó hai , â êîòîðîì x = y , y = xy , ëèáî ãðóïïå S̃ .
2. G íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî êîíå÷íîé ãðóïïîé, è âñå ýëåìåíòû ïðîñòûõ ïîðÿäêîâ èç G ïîðîæäàþò öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó.
Îáðàòíî, ëþáàÿ èç ïåðå÷èñëåííûõ ãðóïï ìîæåò äåéñòâîâàòü ñâîáîäíî íà ïîäõîäÿùåé àáåëåâîé ãðóïïå.
ÒÅÎÐÅÌÀ 3.7.
:
2
−1
b
Q
8
a
a
4
Ïîäðîáíîå îïèñàíèå ãðóïï èç ïóíêòà 2 òåîðåìû 2.7 äà¼ò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Ïóñòü G íå ëîêàëüíî êîíå÷íàÿ {2, p} -ãðóïïà, ãäå p ïðîñòîå íå÷¼òíîå ÷èñëî. Òîãäà è òîëüêî òîãäà âñå ýëåìåíòû ïðîñòûõ ïîðÿäêîâ èç G ïîðîæäàþò öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó, êîãäà âñå 2 -ýëåìåíòû èç G ïîðîæäàþò 2 -ïîäãðóïïó S , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ
ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé èëè ëîêàëüíî êâàòåðíèîííîé ãðóïïîé, è âûïîëíåíî îäíî èç óñëîâèé
1. G = P × S , ãäå P ãðóïïà òèïà Q(p ) äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a ñëó÷àé
S = 1 íå èñêëþ÷àåòñÿ ;
2. S íåòðèâèàëüíàÿ ëîêàëüíî öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà, è G ãðóïïà òèïà Q(p , d) äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a ;
3. S ëîêàëüíî öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà, è G íåòðèâèàëüíîå öåíòðàëüíîå ïðîèçâåäåíèå
ãðóïïû S è ãðóïïû òèïà Q(p , d) äëÿ íåêîòîðûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a è d ñ îáúåäèíåíèåì ïî ïîäãðóïïå ïîðÿäêà 2 ;
4. S ëîêàëüíî êâàòåðíèîííàÿ ãðóïïà, è G öåíòðàëüíîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïïû S è
ãðóïïû òèïà Q(p , 1) äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a ñ îáúåäèíåíèåì ïî ïîäãðóïïå ïîðÿäêà 2 ;
5. S ãðóïïà êâàòåðíèîíîâ ïîðÿäêà 8 , p = 3 , |G : C (S)| = 3 è G/S ãðóïïà òèïà Q(p ) äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a . Ïðè ýòîì C (S) ëèáî ãðóïïà òèïà Q(p , 1) , ëèáî ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïïû òèïà Q(p ) íà ãðóïïó ïîðÿäêà 2 .
ÒÅÎÐÅÌÀ 3.8.
:
a
(
)
a
a
d
a
G
a
a
G
a
54
4.
Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ
{2, 3} -ãðóïïû áåç ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6
{2, 3} -ãðóïïó áåç ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6.
π
íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ
ãðóïïà, êàæäûé ýëåìåíò êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ π -ýëåìåíòîì, ò. å. ýëåìåíòîì, ïîðÿäîê êîòîðîãî ìîæåò äåëèòüñÿ òîëüêî íà ïðîñòûå ÷èñëà èç π .
ïîäãðóïïîé ãðóïïû G íàçîâ¼ì å¼ ïîäãðóïïó H , îáëàäàþùóþ ñëåäóþùèìè
 ýòîì ïàðàãðàôå
Åñëè
π
G
îáîçíà÷àåò
íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë, òî
-ãðóïïîé
Çàïðåù¼ííîé
ñâîéñòâàìè:
H ïîðîæäàåòñÿ èíâîëþöèåé, ò. å. ýëåìåíòîì ïîðÿäêà 2, è ýëåìåíòîì ïîðÿäêà 3 è ÿâëÿåòñÿ {2, 3} -ãðóïïîé;
(á) H íå ñîäåðæèò ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6;
(â) ëþáàÿ ìàêñèìàëüíàÿ 2-ïîäãðóïïà èç H ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîé ëîêàëüíî öèêëè÷åñêîé
(à)
ãðóïïîé.
Àâòîðàì íå èçâåñòíû ïðèìåðû ãðóïï, ñîäåðæàùèõ çàïðåù¼ííóþ ïîäãðóïïó.
Îñíîâíîé öåëüþ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ïîëó÷åíèå ñëåäóþùåãî ðåçóëüòàòà.
Ïóñòü G {2, 3} -ãðóïïà, íå ñîäåðæàùàÿ ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6 è çàïðåù¼ííûõ ïîäãðóïï. Åñëè ïîðÿäîê ïðîèçâåäåíèÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ èç G , ïîðÿäêè êîòîðûõ
íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 4 , íå ïðåâîñõîäèò ÷èñëà 9 , òî âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé:
1. G = O (G)T , ãäå O (G) àáåëåâà, à T ëèáî ëîêàëüíî öèêëè÷åñêàÿ 2 -ãðóïïà, ëèáî
êâàòåðíèîííàÿ ãðóïïà ïîðÿäêà 8 èëè 16 ;
2. G = O (G)R , ãäå O (G) íèëüïîòåíòíà ñòóïåíè íèëüïîòåíòíîñòè, íå ïðåâîñõîäÿùåé
äâóõ, à R 3 -ãðóïïà ñ åäèíñòâåííîé ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà 3 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà
O (G) ;
3. G = O (G)D , ãäå D ñîäåðæèò ëîêàëüíî öèêëè÷åñêóþ ïîäãðóïïó R èíäåêñà 2 è O (G)R
óäîâëåòâîðÿåò ïóíêòó ;
4. G ÿâëÿåòñÿ 2 -ãðóïïîé èëè 3 -ãðóïïîé.
ÒÅÎÐÅÌÀ 4.1.
3
3
2
2
2
2
2
(2)
Op (G)
G.
Çäåñü
ãðóïïû
äëÿ ïðîñòîãî ÷èñëà
p
îáîçíà÷àåò íàèáîëüøóþ íîðìàëüíóþ
p -ïîäãðóïïó
Îòìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò ïðèìåðû íå ëîêàëüíî êîíå÷íûõ ãðóïï, óäîâëåòâîðÿþùèõ ïóíêòó (2) òåîðåìû (ñì., íàïð., [29]).
Ïóñòü G {2, 3} -ãðóïïà áåç ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6 , ñîäåðæàùàÿ ýëåìåíòû ïîðÿäêîâ 2 è 3 . Åñëè äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x, y ∈ G , ïîðÿäêè êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäÿò
÷èñëà 4 , ïåðèîä hx, yi äåëèò ÷èñëî 72 , òî ëèáî G ëîêàëüíî êîíå÷íà, ëèáî äëÿ íå¼ âûïîëíåí
ïóíêò 2 òåîðåìû 3.1 .
Ïóñòü G {2, 3} -ãðóïïà áåç ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6 , â êîòîðîé ïîðÿäîê
ïðîèçâåäåíèÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ ïîðÿäêîâ, íå ïðåâîñõîäÿùèõ 4 , íå ïðåâîñõîäèò 9 . Åñëè
ïîðÿäêè 2 -ýëåìåíòîâ èç G îãðàíè÷åíû â ñîâîêóïíîñòè, òî ëèáî G ëîêàëüíî êîíå÷íà, ëèáî äëÿ
íå¼ âûïîëíåí îäèí èç ïóíêòîâ 2 èëè 4 òåîðåìû 3.1 .
Ãðóïïà ïåðèîäà 72 áåç ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6
ÿâëÿåòñÿ ëèáî ëîêàëüíî êîíå÷íîé, ëèáî ïðèìàðíîé.
Ïóñòü G áåñêîíå÷íàÿ íåïðèìàðíàÿ {2, 3} -ãðóïïà áåç ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 6 . Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû
1. O (G)O (G) 6= 1 .
2. Ñóùåñòâóåò íåïóñòîå G -èíâàðèàíòíîå ïîäìíîæåñòâî Λ ⊆ G ýëåìåíòîâ ïîðÿäêà 3 ,
òàêîå, ÷òî ãðóïïà hx, yi êîíå÷íà äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Λ .
3. G óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé (a) , (b) , (c) :
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 4.2.
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 4.3.
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 4.4 ([23, 10, 24, 35, 36, 37]).
ÒÅÎÐÅÌÀ 4.5.
:
2
3
Âû÷èñëèòåëüíûå àñïåêòû ðàñïîçíàâàíèÿ
àáñòðàêòíûõ ñâîéñòâ
áåñêîíå÷íûõ
êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ
55
, ãäå O (G) 6= 1 àáåëåâà ãðóïïà, T ëîêàëüíî öèêëè÷åñêàÿ èëè
ëîêàëüíî êâàòåðíèîííàÿ 2 -ãðóïïà, äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà O (G) .
(b) G = O (G) · R , ãäå O (G) 6= 1 íèëüïîòåíòíàÿ 2 -ãðóïïà, ñòóïåíü íèëüïîòåíòíîñòè êîòîðîé íå ïðåâîñõîäèò äâóõ, R 3 -ãðóïïà ñ åäèíñòâåííîé ïîäãðóïïîé ïîðÿäêà
3 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà O (G) .
(c) G = O (G) · (R · hti) , ãäå O (G) 6= 1 íèëüïîòåíòíàÿ 2 -ãðóïïà, ñòóïåíü íèëüïîòåíòíîñòè êîòîðîé íå ïðåâîñõîäèò äâóõ, R ëîêàëüíî öèêëè÷åñêàÿ 3 -ãðóïïà, äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà O (G) , t ýëåìåíò ïîðÿäêà 2 , ïåðåâîäÿùèé ïðè ñîïðÿæåíèè
êàæäûé ýëåìåíò èç R â îáðàòíûé.
(a) G = O3 (G) · T
3
3
2
2
2
2
2
2
5.
2 -èçîëèðîâàííûå ãðóïïû
p ïðîñòîå ÷èñëî. Ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà H
ω(G) = {p} ∪ w0 , ãäå ÷èñëà èç w0 íå äåëÿòñÿ íà p .
Ïóñòü
åñëè
íàçûâàåòñÿ
p -èçîëèðîâàííîé,
Ïóñòü G ïåðèîäè÷åñêàÿ 2 -èçîëèðîâàííàÿ ãðóïïà,
ò.å. ω(G) = {2} ∪ ω è ω ñîäåðæèò òîëüêî íå÷¼òíûå ýëåìåíòû. Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé
1. G ñîäåðæèò àáåëåâó ïîäãðóïïó A èíäåêñà 2 , ω(A) = ω , è a = a äëÿ âñåõ a ∈ A è
x ∈ G \ A;
2. G ñîäåðæèò ýëåìåíòàðíóþ àáåëåâó íîðìàëüíóþ 2 -ïîäãðóïïó A è G/A äåéñòâóåò ñâîáîäíî íà A ïðè ñîïðÿæåíèè â G ;
3. G ' L (P ) , ãäå P ëîêàëüíî êîíå÷íîå ïîëå õàðàêòåðèñòèêè äâà.
Îáðàòíî, ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïóíêòàì 1 , 2 èëè 3 , ÿâëÿåòñÿ 2 -èçîëèðîâàííîé.
ÒÅÎÐÅÌÀ
5.1
0
([38]).
0
:
0
x
−1
2
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 5.2.
1. Ïóñòü µ(G) = {2, m} , ãäå m = 5 èëè 9 . Òîãäà G ëîêàëüíî êîíå÷íà è ëèáî G ñîäåðæèò
àáåëåâó ïîäãðóïïó èíäåêñà 2 è ýêñïîíåíòû m , èëè G ÿâëÿåòñÿ ïîëóïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ýëåìåíòàðíîé àáåëåâîé íîðìàëüíîé 2 -ïîäãðóïïû A è öèêëè÷åñêîé ãðóïïû ïîðÿäêà m ,
äåéñòâóþùåé ñâîáîäíî íà A .
2. Åñëè µ(G) = {2, 2 − 1, 2 + 1} , òî G ' L (2 ) .
m
m
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î .  ëþáîì ñëó÷àå
2
G
m
ÿâëÿåòñÿ
2 -èçîëèðîâàííîé
è, ñëåäîâàòåëüíî,
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ òåîåðìû 5.1. Òåïåðü çàêëþ÷åíèå ñëåäñâòâèÿ ñëåäóåò èç òåîðåì 2.1, 3.5
t
u
è 3.6.
Çàìåòèì, ÷òî ñòðîåíèå ãðóïï ñî ñïåêòðîì
{1, 2, 5}
îïèñàíî â [14].
6. Ãðóïïû, ïîðÿäêè ýëåìåíòîâ êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 5
Ïóñòü
G
ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà.
Åñëè µ(G) = {3, 5} , òî âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
1. G = F T , ãäå F íîðìàëüíàÿ 5 -ïîäãðóïïà ýêñïîíåíòû 5 è ñòóïåíè íèëüïîòåíòíîñòè
íå âûøå 2 , à T ãðóïïà ïîðÿäêà 3 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà F .
2. G = T F , ãäå T íîðìàëüíàÿ 3 -ïîäãðóïïà ñòóïåíè íèëüïîòåíòíîñòè íå âûøå 3 ,
à F ãðóïïà ïîðÿäêà 5 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà T .
 ÷àñòíîñòè, G ëîêàëüíî êîíå÷íà.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.1 ([39], [27]).
56
Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ
Åñëè µ(G) = {4, 5} , òî âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ
1. G = T D , ãäå T íîðìàëüíàÿ íåòðèâèàëüíàÿ ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà 2 -ïîäãðóïïà,
à U íåàáåëåâà ïîäãðóïïà ïîðÿäêà 10 ;
2. G = F T , ãäå F ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà íîðìàëüíàÿ 5 -ïîäãðóïïà ãðóïïû G , T äåéñòâóåò ñâîáîäíî íà F è èçìîðôíà ïîäãðóïïå ãðóïïû êâàòåðíèîíîâ ïîðÿäêà 8 ;
3. G = T F , ãäå T íîðìàëüíàÿ 2 -ïîäãðóïïà ñòóïåíè íèëüïîòåíòíîñòè íå âûøå 6 ,
à F ïîäãðóïïà ïîðÿäêà 5 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà T .
Åñëè µ(G) = {3, 4, 5} , òî ëèáî G ' A , ëèáî G = V C , ãäå C ' A
è V ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà íîðìàëüíàÿ 2 -ïîäãðóïïà, ÿâëÿþùàÿñÿ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì
C -èíâàðèàíòíûõ ãðóïï ïîðÿäêà 16 .
Ïóñòü G ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà, ïîðÿäêè ýëåìåíòîâ êîòîðîé íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 5 . Òîãäà ëèáî G ýòî 5 -ãðóïïà, ëèáî G ëîêàëüíî êîíå÷íà.
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.2. ([39], [27]).
:
ÒÅÎÐÅÌÀ 6.3 ([40]).
6
5
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 6.4.
7. Ãðóïïû, ïîðÿäêè ýëåìåíòîâ êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 6
 ýòîì ïàðàãðàôå
G
îáîçíà÷àåò ïåðèîäè÷åñêóþ ãðóïïó.
Åñëè µ(G) = {5, 6} , òî G ðàçðåøèìàÿ ëîêàëüíî êîíå÷íàÿ ãðóïïà
è âûïîëíåíî îäíî èç ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ
1. G = F C , ãäå F íîðìàëüíàÿ ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà 5 -ãðóïïà, à C öèêëè÷åñêàÿ
ãðóïïà ïîðÿäêà 6 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà F ;
2. G = T D , ãäå T íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà ýêñïîíåíòû 3 , à D íåàáåëåâà ãðóïïà ïîðÿäêà 10 ;
3. G = (T × U )F , ãäå T íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà ýêñïîíåíòû 3 , U íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà ýêñïîíåíòû 2 , à F ãðóïïà ïîðÿäêà 5 , äåéñòâóþùàÿ ñâîáîäíî íà T × U .
Åñëè µ(G) = {4, 6} , òî G ëîêàëüíî êîíå÷íà.
Åñëè µ(G) = {4, 5, 6} , òî G ëîêàëüíî êîíå÷íà è âûïîëíåíî îäíî
èç ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ
1. G = N A , ãäå N íîðìàëüíàÿ íåòðèâèàëüíàÿ ýëåìåíòàðíàÿ àáåëåâà 2 -ïîäãðóïïà,
A äåéñòâóåò ñâîáîäíî íà N ïðè ñîïðÿæåíèè è A èçîìîðôíà SL (3) èëè íåàáåëåâîé
ãðóïïå ïîðÿäêà 12 , ñîäåðæàùåé öèêëè÷åñêóþ ñèëîâñêóþ 2 -ïîäãðóïïó;
2. G ñîäåðæèò íåòðèâèàëüíóþ íîðìàëüíóþ ýëåìåíòàðíóþ àáåëåâó 2 -ïîäãðóïïó V è G/V '
A ;
3. G èçîìîðôíà S èëè S .
Åñëè ïîðÿäêè ýëåìåíòîâ ãðóïïû G íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 6 ,
òî G ëîêàëüíî êîíå÷íàÿ ãðóïïà èëè 5 -ãðóïïà.
ÒÅÎÐÅÌÀ 7.1 ([41]).
:
ÒÅÎÐÅÌÀ 7.2 ([42]).
ÒÅÎÐÅÌÀ 7.3 ([43]).
:
2
5
5
ÑËÅÄÑÒÂÈÅ
6
7.4.
8. Ðàçëè÷íûå ðåçóëüòàòû è ãèïîòåçû
Ïóñòü
G
ïåðèîäè÷åñêàÿ ãðóïïà.
ÒÅÎÐÅÌÀ 8.1 ([44]).
Ïóñòü
M10
Ïóñòü µ(G) = {3, 4, 7} . Òîãäà G ' L (7) .
2
ãðóïïà, èçîìîðôíàÿ ñòàáèëèçàòîðó òî÷êè ñïîðàäè÷åñêîé ãðóïïû Ìàòü¼
â å¼ ïîäñòàíîâî÷íîì ïðåäñòàâëåíèè ñòåïåíè 11.
ÒÅÎÐÅÌÀ 8.2 ([45]).
Åñëè µ(G) = {3, 5, 8} , òî G ' M .
10
Âû÷èñëèòåëüíûå àñïåêòû ðàñïîçíàâàíèÿ
àáñòðàêòíûõ ñâîéñòâ
áåñêîíå÷íûõ
êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ
57
Åñëè G ãðóïïà ýêñïîíåíòû 12 è âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé
(a) , (b) , òî G ëîêàëüíî êîíå÷íà.
(a) Ïîðÿäîê ïðîèçâåäåíèÿ ëþáûõ äâóõ èíâîëþöèé èç G íå ðàâåí 4 .
(b) Ïîðÿäîê ïðîèçâåäåíèÿ ëþáûõ äâóõ èíâîëþöèé èç G íå ðàâåí 6 .
Ãðóïïû ýêñïîíåíòû 12 ëîêàëüíî êîíå÷íû.
ÒÅÎÐÅÌÀ 8.3 ([46, 41]).
ÃÈÏÎÒÅÇÀ 8.4.
ÃÈÏÎÒÅÇÀ 8.5.
1. Åñëè µ(G) = {4, 5, 6, 7} , òî G ' A .
2. Åñëè µ(G) = {5, 6, 11} , òî G ' L (11) .
3. Åñëè µ(G) = {8, 9, 17} , òî G ' L (17) .
4. Åñëè µ(G) = {6, p} , ãäå p ïðîñòîå ÷èñëî, p > 7 , òî G ëîêàëüíî êîíå÷íà.
7
2
2
Ëèòåðàòóðà
1.
Adelmann C., Gerbracht E. H.-A.
Letters from William Burnside to Robert Fricke: automorphic
functions, and the emergence of the Burnside Problem // Arch. Hist. Exact Sci. 2009. Vol. 63,
no. 1. P. 3350.
2.
Hall M.
Burnside W.
Adyan S. I.
Hilton M. A.
Burnside W.
Hopkins C.
Levi F.
Levi F., van der Waerden B.
Ñàíîâ È. Í.
Ðàçìûñëîâ Þ. Ï.
Kostrikin A. I.
Hall P., Higman G.
p
Newman M. F.
Ëûñ¼íîê È. Ã.
Íîâèêîâ Ï. Ñ.
Solution of the Burnside problem for exponent six // Illinois J. Math. 1958. Vol. 2.
P. 764786.
3.
On an unsettled question in the theory of discontinuous groups // Quart. J. Pure
Appl. Math. 1902. Vol. 33. P. 230238.
4.
The Burnside problem and related questions. // Russian Math. Surveys. 2010. Vol. 65, no. 5. P. 805855.
5.
An introduction to the theory of groups of finite order. Oxford : Clarendon Press,
1908.
6.
On groups in which every two conjugate operations are permutable // Proc. London
Math. Soc. 1903. Vol. 35. P. 2837.
7.
Finite groups in which conjugate operations are commutative // Amer. J. Math. 1929. Vol. 51. P. 3541.
8.
Groups in which the commutator operations satisfy certain algebraic conditions //
J. Indian Math. Soc. 1942. Vol. 6. P. 166170.
9.
Uber
eine besondere Klasse von Gruppen // Abh. Math. Semin.,
Hamburg Univ. 1932. Vol. 9. P. 157158.
10.
Ðåøåíèå ïðîáëåìû Á¼ðíñàéäà äëÿ ïîêàçàòåëÿ 4 // Ó÷¼íûå çàïèñêè Ëåíèíãðàä-
ñêîãî ãîñ. óí-òà. Ñåð. ìàòåì. 1940.  55. Ñ. 166170.
11.
Ïðîáëåìà Õîëëà-Õèãìàíà // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì. 1978. Ò. 42,
 4. Ñ. 833847.
12.
Around Burnside. Springer-Verlag, New York, Berlin, and Heidelberg, 1990. Vol. 20 of Ergeb. Math. Grenzgeb. (3).
13.
On the
-length of
p -soluble groups and reduction theorems for Burnside's
problem // Proc. London Math. Soc. 1956. Vol. 6, no. 3. P. 142.
14.
Groups of exponent six // Computational group theory (Durham, 1982), London:
Academic Press. 1984. P. 3941.
15.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ì. Õîëëà î êîíå÷íîñòè ãðóïï
B(m, 6)
// Ìàòåì.
çàìåòêè. 1987. Ò. 41,  3. Ñ. 422428.
16.
Î ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïïàõ // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. 1959. Ò. 127. Ñ. 749752.
58
17.
Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ
Íîâèêîâ Ï. Ñ., Àäÿí Ñ. È.
Íîâèêîâ Ï. Ñ., Àäÿí Ñ. È.
Íîâèêîâ Ï. Ñ., Àäÿí Ñ. È.
Àäÿí Ñ. È.
Ivanov S. V.
Ëûñ¼íîê È. Ã.
Neumann B. H.
Ëûòêèíà Ä. Â.
Neumann B. H.
Æóðòîâ À. Õ.
Jabara E.
Jabara E.
Î áåñêîíå÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïïàõ. I // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ, Ñåð.
ìàòåì. 1968. Ò. 32,  1. Ñ. 212244.
18.
Î áåñêîíå÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïïàõ. II // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ, Ñåð.
ìàòåì. 1968. Ò. 32,  2. Ñ. 251524.
19.
Î áåñêîíå÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïïàõ. III // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ,
Ñåð. ìàòåì. 1968. Ò. 32,  3. Ñ. 709731.
20.
21.
Ïðîáëåìà Á¼ðíñàéäà è òîæäåñòâà â ãðóïïàõ. Ìîñêâà : Íàóêà, 1975.
The free Burnside groups of sufficiently large exponents // Internat. J. Algebra
Comput. 1994. Vol. 4. P. 3308.
22.
Áåñêîíå÷íûå á¼ðíñàéäîâû ãðóïïû ÷¼òíîãî ïåðèîäà // Èçâ. ÐÀÍ, Ñåð. ìàòåì.
1996. Ò. 60,  3. Ñ. 3224.
23.
Groups whose elements have bounded orders // J. London Math. Soc. 1937. Vol. 12. P. 195198.
24.
Ñòðîåíèå ãðóïïû, ïîðÿäêè ýëåìåíòîâ êîòîðîé íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 4 //
Ñèáèðñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. 2007. Ò. 48,  2. Ñ. 353358.
25.
Groups with automorphisms that leave only the neutral element fixed // Arch.
Math. 1956. Vol. 7. P. 15.
26.
Î ðåãóëÿðíûõ àâòîìîðôèçìàõ ïîðÿäêà 3 è ïàðàõ Ôðîáåíèóñà // Ñèáèðñêèé
ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. 2000. Ò. 41,  2. Ñ. 329338.
27.
Fixed point free action of groups of exponent 5 // J. Austral. Math. Soc. 2004. Vol. 77. P. 297304.
28.
Free actions of groups of exponent 5 // Algebra and Logic. 2011. Vol. 50, no. 5.
P. 466469.
29. Î ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïïàõ, ñâîáîäíî äåéñòâóþùèõ íà àáåëåâûõ ãðóïïàõ / À. Õ. Æóðòîâ,
Ä. Â. Ëûòêèíà, Â. Ä. Ìàçóðîâ, À. È. Ñîçóòîâ // Òð. ÈÌÌ ÓðÎ ÐÀÍ. 2013. Ò. 19,  3.
Ñ. 136143.
30.
Jabara E., Mayr P.
Ëûòêèíà Ä. Â.
Øóíêîâ Â. Ï.
p
Áóñàðêèí Â. Ì., Ãîð÷àêîâ Þ. Ì.
Îëüøàíñêèé À. Þ.
Ìàçóðîâ Â. Ä.
Äæàáàðà Ý., Ëûòêèíà Ä. Â.
Jabara E., Lytkina D. V., Mazurov V. D.
Mazurov V. D.
Gupta N. D., Mazurov V. D.
Ìàçóðîâ Â. Ä.
Ìàçóðîâ Â. Ä., Ìàìîíòîâ À. Ñ.
Frobenius complements of exponent dividing
2m ·9
// Forum Mathematicum.
2009. Vol. 21, no. 1. P. 217220.
31.
Î ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïïàõ, äåéñòâóþùèõ ñâîáîäíî íà àáåëåâîé ãðóïïå //
Àëãåáðà è ëîãèêà. 2010. Ò. 49,  3. Ñ. 379387.
32.
Îá îäíîì êëàññå
-ãðóïï // Àëãåáðà è Ëîãèêà. 1970. Ò. 9,  4. Ñ. 484496.
33.
34.
Êîíå÷íûå ðàñùåïëÿåìûå ãðóïïû. Ìîñêâà : Íàóêà, 1968.
Ãåîìåòðèÿ îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé â ãðóïïàõ. Ìîñêâà : Íàóêà,
1989.
35.
36.
Î ãðóïïàõ ïåðèîäà 24 // Àëãåáðà è ëîãèêà. 2010. Ò. 49,  6. Ñ. 766781.
Î ãðóïïàõ ïåðèîäà 36 // Ñèá. ìàòåì. æ. 2013. Ò. 54,  1.
Ñ. 4448.
37.
Some groups of exponent 72 // J. Group Theory. 2014.
Vol. 17, no. 5. P. 1.
38.
Infinite groups with Abelian centralizers of involutions // Algebra and Logic. 2000. Ò. 39,  1. Ñ. 4249.
39.
On groups with small orders of elements // Bull. Austral. Math. Soc.
1999. Vol. 60. P. 197205.
40.
Î ãðóïïàõ ïåðèîäà 60 ñ çàäàííûìè ïîðÿäêàìè ýëåìåíòîâ // Àëãåáðà è ëîãè-
êà. 2000. Ò. 39,  3. Ñ. 329346.
41.
Î ïåðèîäè÷åñêèõ ãðóïïàõ ñ ýëåìåíòàìè ìàëûõ ïîðÿäêîâ //
Âû÷èñëèòåëüíûå àñïåêòû ðàñïîçíàâàíèÿ
àáñòðàêòíûõ ñâîéñòâ
áåñêîíå÷íûõ
êîìáèíàòîðíûõ îáúåêòîâ
59
Ñèá. ìàòåì. æ. 2009. Ò. 50,  2. Ñ. 397404.
42.
Mamontov A. S.
Groups of exponent 12 without elements of order 12 // Siberian Mathematical
Journal. 2013. Vol. 54, no. 1. P. 114118.
43. Groups of period 60 / E. Jabara, D. V. Lytkina, A. S. Mamontov, V. D. Mazurov // in preparation.
44.
Lytkina D. V., Kuznetsov A. A.
Recognizability by spectrum of the group
of all groups // Sib. Electronic Math. Reports. http://semr.math.nsc.ru.
45.
Jabara E., Lytkina D. V., Mamontov A. S.
Ëûòêèíà Ä. Â., Ìàçóðîâ Â. Ä., Ìàìîíòîâ À. Ñ.
2007. Recognizing
Vol. 4. M10
L2 (7)
in the class
P. 300303. URL:
by spectrum in the class of all
groups // Int. J. Algebra Comput. Vol. 24, no. 2. P. 113119.
46.
Ëîêàëüíàÿ êîíå÷íîñòü íåêîòîðûõ ãðóïï
ïåðèîäà 12 // Ñèáèðñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. 2012. Ò. 53,  6. Ñ. 13731378.
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 01.09.2014.
Äàðüÿ Âèêòîðîâíà Ëûòêèíà
ä.ô.-ì.í., äîöåíò, ïðîôåññîð êàôåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêè ÑèáÃÓÒÈ (630102, ã. Íîâîñèáèðñê, óë. Êèðîâà, ä. 86) òåë. (383) 286-80-38, e-mail:
daria.lytkin@gmail.com
Âèêòîð Äàíèëîâè÷ Ìàçóðîâ
÷ëåí-êîððåñïîíäåíò ÐÀÍ, ä.ô.-ì.í., ñîâåòíèê Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê ïðè Èíñòèòóòå
ìàòåìàòèêè èì. Ñ.Ë.Ñîáîëåâà Ñèáèðñêîãî îòäåëåíèÿ ÐÀÍ (630090, ã. Íîâîñèáèðñê, ïð. Àê. Êîïòþãà, ä. 4) òåë. (383) 363-45-83, e-mail:
mazurov@math.nsc.ru
Computing aspects of recognition of abstract properties of infinite combinatoric
objects
Daria V. Lytkina, Victor D. Mazurov
This paper is a survey of some results and open problems about the structure of (mostly
infinite) periodic groups with a given set of element orders.
Keywords
: spectrum, exponent, periodic group, locally finite group.