Большие нильпотентные подгруппы конечных простых групп.

ÓÄÊ 512.542.5
Áîëüøèå íèëüïîòåíòíûå ïîäãðóïïû êîíå÷íûõ ïðîñòûõ
ãðóïï.
Å. Ï. Âäîâèí
 äàííîé ðàáîòå íàéäåíû ïîðÿäêè è ñòðîåíèå áîëüøèõ íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï âî âñåõ
êîíå÷íûõ ïðîñòûõ ãðóïïàõ.  ÷àñòíîñòè äîêàçàíî, ÷òî åñëè G êîíå÷íàÿ íåàáåëåâà ïðîñòàÿ
ãðóïïà, N åå íåêîòîðàÿ íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà, òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |N |2 < |G|.
ÓÄÊ 512.542.5
Áîëüøèå íèëüïîòåíòíûå ïîäãðóïïû êîíå÷íûõ ïðîñòûõ
1
ãðóïï.
Å. Ï. Âäîâèí
Ââåäåíèå
 äàííîé ðàáîòå èçó÷àþòñÿ ñòðîåíèå è ïîðÿäêè áîëüøèõ íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï â êîíå÷íûõ ïðîñòûõ ãðóïïàõ è êîíå÷íûõ ãðóïïàõ, áëèçêèõ ê ïðîñòûì êîíå÷íûõ ãðóïïàõ ëèåâà
òèïà è ñèììåòðè÷åñêèõ ãðóïïàõ. Îöåíêè ïîðÿäêîâ áîëüøèõ íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï â êîíå÷íûõ ïðîñòûõ è áëèçêèõ ê ïðîñòûì ãðóïïàì ïðèâåäåíû â òàáëèöàõ 1 è 3.  ÷àñòíîñòè
äîêàçàíî, ÷òî åñëè G íåêîòîðàÿ êîíå÷íàÿ íåàáåëåâà ïðîñòàÿ ãðóïïà, N åå íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà, òî |N |2 < |G| (òåîðåìà 1).
Îñíîâíûì èñòðóìåíòîì äëÿ èçó÷åíèÿ íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï â êîíå÷íûõ ãðóïïàõ ëèåâà òèïà ÿâëÿåòñÿ ñòðîåíèå öåíòðàëèçàòîðîâ ïîëóïðîñòûõ ýëåìåíòîâ, ïîëó÷åííîå Êàðòåðîì
â ðàáîòàõ ([1] è [2]). Êðîìå òîãî, â áîëüøèíñòâå êîíå÷íûõ ïðîñòûõ ãðóïï áîëüøàÿ íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà ñîâïàäàåò ñ íåêîòîðîé ñèëîâñêîé ïîäãðóïïîé. Ïîýòîìó íàì ïîòðåáóþòñÿ
äîïîëíèòåëüíûå ñâåäåíèÿ î ñòðîåíèè ñèëîâñêèõ ïîäãðóïï â êîíå÷íûõ ïðîñòûõ ãðóïïàõ.
Ñòðîåíèå ñèëîâñêèõ ïîäãðóïï â ñèììåòðè÷åñêèõ è çíàêîïåðåìåííûõ ãðóïïàõ èçâåñòíî
äîâîëüíî äàâíî. Ñòðîåíèå ñèëîâñêèõ ïîäãðóïï â êîíå÷íûõ ãðóïïàõ Øåâàëëå èçó÷àëîñü ðÿäîì àâòîðîâ, ñì., íàïðèìåð, [4], [5] è [6]. Êðîìå òîãî, Êàáàíîâ è Êîíäðàòüåâ â ñâîåé îáçîðíîé
ðàáîòå [7] óêàçàëè ñòðîåíèå è ïîðÿäêè ñèëîâñêèõ 2-ïîäãðóïï âî âñåõ êîíå÷íûõ ïðîñòûõ ãðóïïàõ, êðîìå ñïîðàäè÷åñêèõ.  íåäàâíåé ðàáîòå [8] Çåíêîâ è Ìàçóðîâ äîêàçàëè, ÷òî â êàæäîé
êîíå÷íîé ïðîñòîé íåàáåëåâîé ãðóïïå äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p íàéäóòñÿ äâå ñèëîâñêèå
p-ïîäãðóïïû, èìåþùèå òðèâèàëüíîå ïåðåñå÷åíèå.
Îòìåòèì, ÷òî ïîðÿäêè è ñòðîåíèå áîëüøèõ ðàçðåøèìûõ ïîäãðóïï â êîíå÷íûõ ïðîñòûõ è
áëèçêèõ ê ïðîñòûì ãðóïïàì ãðóïïàõ èçâåñòíû.  ñòàòüå [9] Ìàíí èçó÷èë ñòðîåíèå è ïîðÿäêè
áîëüøèõ ðàçðåøèìûõ ïîäãðóïï â ñèììåòðè÷åñêèõ è ëèíåéíûõ ãðóïïàõ, à âî âñåõ ãðóïïàõ
ëèåâà òèïà ïîðÿäîê è ñòðîåíèå áîëüøèõ ðàçðåøèìûõ ïîäãðóïï ïîëó÷èë Ñåãåâ [10].
Îáîçíà÷åíèÿ è îïðåäåëåíèÿ, èñïîëüçóåìûå â äàííîé ðàáîòå ìîæíî íàéòè â [11], [12] è [13].
Åñëè G ãðóïïà, òî çàïèñü H 6 G îçíà÷àåò, ÷òî H ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé ãðóïïû G, H G
îçíà÷àåò, ÷òî H ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé ïîäãðóïïîé ãðóïïû G. ×åðåç |G : H| îáîçíà÷àåòñÿ
èíäåêñ ïîäãðóïïû H â ãðóïïå G, NG (H) íîðìàëèçàòîð ïîäãðóïïû H â ãðóïïå G. Åñëè
ïîäãðóïïà H íîðìàëüíà â G, òî ÷åðåç G/H îáîçíà÷àåòñÿ ôàêòîðãðóïïà ãðóïïû G ïî H . Åñëè
M ïîäìíîæåñòâî ãðóïïû G, òî ÷åðåç hM i îáîçíà÷àåòñÿ ïîäãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ ìíîæåñòâîì M , |M | ìîùíîñòü ìíîæåñòâà M (èëè ïîðÿäîê ýëåìåíòà, åñëè âìåñòî ìíîæåñòâà
ñòîèò îäèí ýëåìåíò). ×åðåç CG (M ) îáîçíà÷àåòñÿ öåíòðàëèçàòîð ìíîæåñòâà M â ãðóïïå G,
CG (G) = ζ(G) öåíòð ãðóïïû G. Ñîïðÿæåíèå ýëåìåíòà x ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòà y â ãðóïïå G
çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì xy = y −1 xy . Ïîäãðóïïà Ôèòòèíãà ãðóïïû G îáîçíà÷àåòñÿ
÷åðåç F (G), ïîäãðóïïà Ôðàòòèíè ãðóïïû G îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Φ(G). Åñëè x, y äâà ýëåìåíòà ãðóïïû G, òî [x, y] = x−1 y −1 xy êîììóòàòîð ýëåìåíòîâ x è y , [G, G] = G0 êîììóòàíò
ãðóïïû G. Ïåðèîä ãðóïïû G îáîçíà÷àåòñÿ exp(G). A × B îáîçíà÷àåò ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå
ãðóïï A è B , A ∗ B öåíòðàëüíîå ïðîèçâåäåíèå ãðóïï A è B .
1 Ðàáîòà
âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÔÖÏ "Èíòåãðàöèÿ"ïðîåêò 274, ÐÔÔÈ, ãðàíò 990100550 è ìåæäóíàðîäíîé ñîðîñîâñêîé ïðîãðàììû îáðàçîâàíèÿ â îáëàñòè òî÷íûõ íàóê, ãðàíò s99-56.
1
Ïóñòü π íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà ïðîñòûõ ÷èñåë. Òîãäà äëÿ êîíå÷íîé ãðóïïû G ÷åðåç Oπ (G) îáîçíà÷àåòñÿ íàèáîëüøàÿ íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû G, ïîðÿäîê êîòîðîé äåëèòñÿ òîëüêî íà ÷èñëà èç π , Oπ (G) íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ ýëåìåíòàìè,
ïîðÿäîê êîòîðûõ íå äåëèòñÿ íà ïðîñòûå ÷èñëà èç π . Ïîä áîëüøîé íèëüïîòåíòíîé ïîäãðóïïîé
êîíå÷íîé ãðóïïû G âñåãäà ïîíèìàåòñÿ íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà íàèáîëüøåãî ïîðÿäêà.
Åñëè ϕ ãîìîìîðôèçì ãðóïïû G, g ýëåìåíò ãðóïïû G, òî Gϕ , g ϕ îáðàçû ãðóïïû G
è ýëåìåíòà g îòíîñèòåëüíî ãîìîìîðôèçìà ϕ, ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè ϕ íåêîòîðûé àâòîìîðôèçì ãðóïïû G, òî ÷åðåç Gϕ îáîçíà÷åíî ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê àâòîìîðôèçìà ϕ.
Îáîçíà÷åíèÿ, ñâÿçàííûå ñ êîíå÷íûìè ãðóïïàìè ëèåâà òèïà, âûáðàíû òàêæå, êàê â [12].
Ïîä ãðóïïîé Øåâàëëå, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ïîíèìàåòñÿ êàê óíèâåðñàëüíàÿ ãðóïïà Øåâàëëå, òàê è ëþáàÿ åå ôàêòîðãðóïïà ïî ïîäãðóïïå èç öåíòðà. Ïðè èçó÷åíèè ãðóïï
Øåâàëëå GF (q) áóäåò îáîçíà÷àòü ïîëå ïîðÿäêà q , p åãî õàðàêòåðèñòèêó, GF (q)∗ ìóëüòèïëèêàòèâíóþ ãðóïïó ïîëÿ GF (q). Ãðóïïà Øåâàëëå, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîðíåâîé ñèñòåìå
Φ íàä ïîëåì GF (q), îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Φ(q). Ãðóïïà Âåéëÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîðíåâîé ñèñòåìå Φ, îáîçíà÷àåòñÿ W (Φ). Ñêðó÷åííûå ãðóïïû áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ ñèìâîëàìè 2 An (q 2 ),
2
Dn (q 2 ), 2 En (q 2 ), 3 D4 (q 3 ), 2 B2 (q), 2 G2 (q) è 2 F2 (q). Φ+ îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíûõ
êîðíåé êîðíåâîé ñèñòåìû Φ, ∆ = {r1 , . . . , rk } ìíîæåñòâî ôóíäàìåíòàëüíûõ êîðíåé, ïðè÷åì íóìåðàöèÿ âûáèðàåòñÿ êàê â [12, (3.4)]. Ýëåìåíò x èç ãðóïïû Øåâàëëå Φ(q) íàçûâàåòñÿ
ïîëóïðîñòûì, åñëè åãî ïîðÿäîê âçàèìíî ïðîñò ñ p, è îí íàçûâàåòñÿ óíèïîòåíòíûì, åñëè åãî
ïîðÿäîê ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíüþ p. Àíàëîãè÷íî, ïîëóïðîñòàÿ è óíèïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïû ãðóïïû
Φ(q) îïðåäåëÿþòñÿ êàê ïîäãðóïïû, ïîðÿäîê êîòîðûõ âçàèìíî ïðîñò ñ p (p0 -ïîäãðóïïû) è ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíüþ p, ñîîòâåòñòâåííî. Ðàñøèðåííîé äèàãðàììîé Äûíêèíà ãðóïïû Øåâàëëå G
íàçûâàåòñÿ äèàãðàììà, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïîñëå äîáàâëåíèÿ ê èñõîäíîé äèàãðàììå Äûíêèíà êîðíÿ −r0 (çäåñü r0 êîðåíü ìàêñèìàëüíîãî âåñà) è ïðèñîåäèíåíèÿ åãî ê îñòàëüíûì
âåðøèíàì ïî îáû÷íîìó ïðàâèëó.
Àâòîð âûðàæàåò èñêðåííþþ áëàãîäàðíîñòü Ìàçóðîâó Âèêòîðó Äàíèëîâè÷ó çà ïîëåçíûå
êîíñóëüòàöèè è öåííûå çàìå÷àíèÿ. Àâòîð òàêæå áëàãîäàðåí Âàñèëüåâó Àíäðåþ Âèêòîðîâè÷ó
çà ÷òåíèå è îáñóæäåíèå ðóêîïèñè, êîòîðîå ïîçâîëèëî èñïðàâèòü ìíîãèå îøèáêè è íåòî÷íîñòè
ïåðâîíà÷àëüíîãî âàðèàíòà.
1
Âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû äëÿ àëãåáðàè÷åñêèõ
ãðóïï
 ýòîì ðàçäåëå áóäóò ïðèâåäåíû íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ î ñòðîåíèè ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ãðóïï (â äàëüíåéøåì, äëÿ êðàòêîñòè ñëîâî ¾ëèíåéíûõ¿ ìû áóäåì îïóñêàòü), à òàêæå
áóäóò ïîëó÷åíû âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ, êîòîðûå ìû èñïîëüçóåì äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíîê ïîðÿäêîâ íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ðåçóëüòàòû î ñòðîåíèè è
ñâîéñòâàõ àëãåáðàè÷åñêèõ ãðóïï ìîæíî íàéòè â [13]. Åñëè G àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðóïïà, òî
÷åðåç G0 îáîçíà÷åíà êîìïîíåíòà åäèíèöû ãðóïïû G. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðóïïà íàçûâàåòñÿ ïîëóïðîñòîé, åñëè åå ðàäèêàë òðèâèàëåí è àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðóïïà íàçûâàåòñÿ ðåäóêòèâíîé,
åñëè åå óíèïîòåíòíûé ðàäèêàë òðèâèàëåí (â îáîèõ ñëó÷àÿõ íå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðóïïà ñâÿçíà). Õîðîøî èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð [13]), ÷òî ñâÿçíàÿ ïîëóïðîñòàÿ
àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðóïïà ýòî öåíòðàëüíîå ïðîèçâåäåíèå ñâÿçíûõ ïðîñòûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
ãðóïï, à ñâÿçíàÿ ðåäóêòèâíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðóïïà G ýòî ïðîèçâåäåíèå òîðà S è ïîëóïðîñòîé ãðóïïû M , ïðè÷åì S = ζ(G)0 , M = [R, R] è ãðóïïà S ∩ M êîíå÷íà.
Åñëè G ñâÿçíàÿ ðåäóêòèâíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðóïïà, òî ïóñòü T åå ìàêñèìàëüíûé òîð
2
(ïîä òîðîì âñåãäà ïîíèìàåòñÿ ñâÿçíàÿ äèàãîíàëèçèðóåìàÿ ãðóïïà), B ïîäãðóïïà Áîðåëÿ,
ñîäåðæàùàÿ òîð T . Êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò òàêàÿ áîðåëåâñêàÿ ïîäãðóïïà B − , ÷òî B∩B − = T .
Ïóñòü Φ êîðíåâàÿ ñèñòåìà îòíîñèòåëüíî òîðà T , ϕ : NG (T ) → NG (T )/T = W êàíîíè÷åñêèé ãîìîìîðôèçì íà ãðóïïó Âåéëÿ W ãðóïïû G, Xα êîðíåâûå ïîäãðóïïû îòíîñèòåëüíî
òîðà T (îäíîìåðíûå T -èíâàðèàíòíûå óíèïîòåíòíûå ïîäãðóïïû ãðóïï B è B − ). Äåéñòâèå
ãðóïïû Âåéëÿ W íà êîðíåâîé ñèñòåìå Φ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì ([13, 24.1]). Ïóñòü
äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà w èç W âçÿò íåêîòîðûé åãî ïðåäñòàâèòåëü nw èç ãðóïïû G. Òîãäà ãðóïïà Âåéëÿ äåéñòâóåò íà êîðíÿõ êîðíåâîé ñèñòåìû Φ ïî ïðàâèëó αw (t) = α(tnw ) äëÿ âñåõ α ∈ Φ,
t ∈ T . Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ãðóïïà Âåéëÿ äåéñòâóåò íà âåñàõ ïðåäñòàâëåíèÿ π ãðóïïû G.
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî B = T U , ãäå U = hXα : α ∈ Φ+ i ìàêñèìàëüíàÿ óíèïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû G, à B − = T U − , ãäå ÷åðåç U − îáîçíà÷åíà, ãðóïïà hXα : α ∈ Φ− i. Åñëè íà
ïîëîæèòåëüíûõ êîðíÿõ êîðíåâîé ñèñòåìû Φ çàäàòü ïîðÿäîê, òî ëþáîé ýëåìåíò èç U åäèíñòâåííûì îáðàçîì çàïèñûâàåòñÿ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ èç êîðíåâûõ ïîäãðóïï Xα
(âçÿòûõ â çàäàííîì ïîðÿäêå).
Ïóñòü G ñâÿçíàÿ ðåäóêòèâíàÿ ãðóïïà. Çàôèêñèðóåì äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà èç ãðóïïû
Âåéëÿ W åãî ïðåäñòàâèòåëÿ nw èç ãðóïïû G. Òîãäà ëþáîé ýëåìåíò ãðóïïû G åäèíñòâåííûì
îáðàçîì ïðåäñòàâèì â âèäå unw tv , ãäå v ∈ U , t ∈ T , u ∈ U ∩ nw U − n−1
w (ñì., íàïðèìåð, [13,
òåîðåìà 28.3]). Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ýëåìåíòîâ ãðóïïû G íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì Áðþà.
Êðîìå òîãî, â ëþáîé ñâÿçíîé ðåäóêòèâíîé ãðóïïå êàæäûé ïîëóïðîñòîé ýëåìåíò ñîäåðæèòñÿ
â íåêîòîðîì ìàêñèìàëüíîì òîðå, à êàæäûé óíèïîòåíòíûé ýëåìåíò ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîé
ìàêñèìàëüíîé (è ñâÿçíîé) óíèïîòåíòíîé ïîäãðóïïå.
Ïóñòü G ñâÿçíàÿ ïðîñòàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðóïïà, π åå íåêîòîðîå ðàöèîíàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå, Γπ ðåøåòêà, ïîðîæäåííàÿ âåñàìè ïðåäñòàâëåíèÿ π . ×åðåç Γad îáîçíà÷àåòñÿ
ðåøåòêà, ïîðîæäåííàÿ êîðíÿìè ñèñòåìû Φ, ÷åðåç Γsc ðåøåòêà, ïîðîæäåííàÿ ôóíäàìåíòàëüíûìè âåñàìè. Èçâåñòíî, ÷òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå âêëþ÷åíèÿ Γad 6 Γπ 6 Γsc .
Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ êîðíåâîé ñèñòåìû äàííîãî òèïà ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ãðóïï, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ èçîãåíèÿìè. Îíè ðàçëè÷àþòñÿ ñòðîåíèåì
ãðóïïû Γπ è ïîðÿäêîì êîíå÷íîãî öåíòðà.  òîì ñëó÷àå, êîãäà ðåøåòêà Γπ ñîâïàäàåò ñ Γsc ,
ãîâîðÿò, ÷òî ãðóïïà G îäíîñâÿçíà è îíà îáîçíà÷àåòñÿ Gsc . Åñëè ðåøåòêà Γπ ñîâïàäàåò ñ Γad ,
òî ãîâîðÿò, ÷òî ãðóïïà G èìååò ïðèñîåäèíåííûé òèï è îíà îáîçíà÷àåòñÿ Gad . Ëþáàÿ ãðóïïà ñ
êîðíåâîé ñèñòåìîé äàííîãî òèïà ïîëó÷àåòñÿ èç ãðóïïû Gsc êàê ôàêòîðãðóïïà ïî ïîäãðóïïå
èç öåíòðà. Öåíòð ãðóïïû Gad òðèâèàëåí è îíà ïðîñòà êàê àáñòðàêòíàÿ ãðóïïà.
Ïóñòü ci êîýôôèöèåíò, ñ êîòîðûì ôóíäàìåíòàëüíûé êîðåíü ri âõîäèò â ðàçëîæåíèå
êîðíÿ r0 . Ïðîñòûå ÷èñëà, äåëÿùèå êîýôôèöèåíòû ci , íàçûâàþòñÿ
ïðîñòûìè ÷èñëàìè.
Äàëåå íàïîìíèì íåñêîëüêî ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ î ñòðîåíèè àëãåáðàè÷åñêèõ
ãðóïï.
ïëîõèìè
[13, òåîðåìà 15.3]. Ïóñòü G àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðóïïà. Òîãäà äëÿ ëþáîãî x ∈ G
ñóùåñòâóþò òàêèå ýëåìåíòû s, u ∈ G, ÷òî x = su = us, ýëåìåíò s ïîëóïðîñò (è íàçûâàåòñÿ ïîëóïðîñòîé ÷àñòüþ ýëåìåíòà x, â äàëüíåéøåì îí áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ÷åðåç xs),
ýëåìåíò u óíèïîòåíòåí (è íàçûâàåòñÿ óíèïîòåíòíîé ÷àñòüþ ýëåìåíòà x, â äàëüíåéøåì
îí áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ xu) è òàêèå ýëåìåíòû s è u åäèíñòâåííû. Ðàçëîæåíèå ýëåìåíòà x
â âèäå xsxu íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì Æîðäàíà.
[13, òåîðåìà 21.3 è òåîðåìà 22.2]. Ïóñòü G ñâÿçíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðóïïà. Òîãäà âñå ïîäãðóïïû Áîðåëÿ ãðóïïû G ñîïðÿæåíû. Áîëåå òîãî, ìàêñèìàëüíûå òîðû è
ìàêñèìàëüíûå ñâÿçíûå óíèïîòåíòíûå ïîäãðóïïû ýòî â òî÷íîñòè ìàêñèìàëüíûå òîðû
Ëåììà 1.1.
Ëåììà 1.2.
3
è ìàêñèìàëüíûå ñâÿçíûå óíèïîòåíòíûå ïîäãðóïïû ãðóïï Áîðåëÿ. Êðîìå òîãî, âñå ìàêñèìàëüíûå òîðû è ìàêñèìàëüíûå ñâÿçíûå óíèïîòåíòíûå ãðóïïû ñîïðÿæåíû è ëþáîé ïîëóïðîñòîé (óíèïîòåíòíûé) ýëåìåíò ëåæèò â íåêîòîðîì ìàêñèìàëüíîì òîðå (ìàêñèìàëüíîé ñâÿçíîé óíèïîòåíòíîé ïîäãðóïïå).
Òåïåðü íàïîìíèì, êàêèì îáðàçîì ñâÿçàíû êîíå÷íûå ãðóïïû ëèåâà òèïà è ïðîñòûå àëãåáðàè÷åñêèå ãðóïïû. Ïóñòü G ïðîñòàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðóïïà, îïðåäåëåííàÿ íàä àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì õàðàêòåðèñòèêè p > 0, σ ýíäîìîðôèçì ãðóïïû G òàêîé, ÷òî ìíîæåñòâî åãî íåïîäâèæíûõ òî÷åê Gσ êîíå÷íî. Ýíäîìîðôèçì σ ñ òàêèì óñëîâèåì â äàëüíåéøåì
áóäåò íàçûâàòüñÿ àâòîìîðôèçìîì Ôðîáåíèóñà, õîòÿ îí ìîæåò è íå ñîâïàäàòü ñ êëàññè÷åñêèì
àâòîìîðôèçìîì Ôðîáåíèóñà. Îòìåòèì, ÷òî σ ÿâëÿåòñÿ àâòîìîðôèçìîì, åñëè ãðóïïà G ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê àáñòðàêòíàÿ ãðóïïà è σ ÿâëÿåòñÿ ýíäîìîðôèçìîì, åñëè G ðàññìàòðèâàåòñÿ
êàê àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðóïïà.  îáùåì ñëó÷àå σ èìååò âèä qσ0 , ãäå q = pα âîçâåäåíèå â q -óþ
0
ñòåïåíü, à σ0 ãðàôîâûé àâòîìîðôèçì ïîðÿäêà 1, 2 èëè 3. Òîãäà Op (Gσ ) ãðóïïà ëèåâà
òèïà íàä êîíå÷íûì ïîëåì õàðàêòåðèñòèêè p è ëþáóþ ãðóïïó ëèåâà òèïà (íîðìàëüíóþ èëè
ñêðó÷åííóþ) ìîæíî ïîëó÷èòü òàêèì îáðàçîì.
Ïóñòü T ìàêñèìàëüíûé σ -èíâàðèàíòíûé òîð ñâÿçíîé ïðîñòîé àëãåáðàè÷åñêîé ãðóïïû
0
G. Â äàëüíåéøåì
ãðóïïû Gσ (ñîîòâåòñòâåííî Op (Gσ )) áóäåì íàçûâàòü
0
ãðóïïó Tσ (ñîîòâåòñòâåííî Tσ ∩ Op (Gσ )).
Äàëåå ìû äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíûé ðåçóëüòàò, êîòîðûé áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè èçó÷åíèè íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï â êîíå÷íûõ ãðóïïàõ Øåâàëëå.
ìàêñèìàëüíûì òîðîì
Ïóñòü G ñâÿçíàÿ ðåäóêòèâíàÿ ëèíåéíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðóïïà íàä àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì õàðàêòåðèñòèêè p, R åå ðåäóêòèâíàÿ (íå îáÿçàòåëüíî ñâÿçíàÿ)
ïîäãðóïïà ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà, ïðè÷åì (|R : R0|, p) = 1, s ∈ R0 íåêîòîðûé ïîëóïðîñòîé
ýëåìåíò, è T ïðîèçâîëüíûé ìàêñèìàëüíûé òîð â R0, ñîäåðæàùèé ýëåìåíò s. Òîãäà
ãðóïïà CR(s) ðåäóêòèâíà (õîòÿ íå îáÿçàòåëüíî ñâÿçíà). Îíà ïîðîæäàåòñÿ òîðîì T âìåñòå ñ òåìè êîðíåâûìè ïîäãðóïïàìè Uα, äëÿ êîòîðûõ α(s) = 1, è òåìè ïðåäñòàâèòåëÿìè
ýëåìåíòîâ ãðóïïû Âåéëÿ nw ∈ NR(T ), êîòîðûå êîììóòèðóþò ñ s. Êîìïîíåíòà åäèíèöû
CR (s)0 ïîðîæäàåòñÿ òîðîì T è òåìè Uα , äëÿ êîòîðûõ α(s) = 1.  ÷àñòíîñòè, ãðóïïà
CR (s)/CR (s)0 èçîìîðôíà íåêîòîðîé ñåêöèè ãðóïïû Âåéëÿ äëÿ G. Áîëåå òîãî, âñå óíèïîòåíòíûå ýëåìåíòû èç CR(s) ëåæàò â CR(s)0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì ïîäãðóïïó Áîðåëÿ B ãðóïïû R0, ñîäåðæàùóþ T . ßñíî, ÷òî
Ëåììà 1.3.
âñå óêàçàííûå â ëåììå ïîðîæäàþùèå ëåæàò â CR (s). Äîêàæåì, ÷òî CR (x) ïîðîæäàåòñÿ óêàçàííûìè â ëåììå ýëåìåíòàìè. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî â ãðóïïå R (êîòîðàÿ íå îáÿçàòåëüíî
ñâÿçíà) èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå Áðþà. Ïóñòü x ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò èç R. Òîãäà B x íåêîòîðàÿ ïîäãðóïïà Áîðåëÿ ãðóïïû R0 . Â ñèëó ëåììû 1.2 ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò s ∈ R0 ,
−1
÷òî B x = B s . Òîãäà ýëåìåíò xs−1 íîðìàëèçóåò ïîäãðóïïó B . Òîð T xs ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì òîðîì ãðóïïû B . Ïîñêîëüêó âñå ìàêñèìàëüíûå òîðû â B ñîïðÿæåíû (ëåììà 1.2),
−1
ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò g èç B , ÷òî T xs = T g . Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî xs−1 íîðìàëèçóåò òîð T . Òîãäà xs−1 = nw t äëÿ íåêîòîðîãî nw ∈ NR (T ), t ∈ T . Ïîñêîëüêó t íîðìàëèçóåò
B è xs−1 íîðìàëèçóåò B , ýëåìåíò nw òàêæå íîðìàëèçóåò B , çíà÷èò, îí íîðìàëèçóåò U ìàêñèìàëüíóþ (ñâÿçíóþ) óíèïîòåíòíóþ ïîäãðóïïó ãðóïïû B . Ïîñêîëüêó s ëåæèò â R0 , äëÿ íåãî
ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå Áðþà, ò. å. îí ïðåäñòàâèì â âèäå u1 nw1 t1 v1 , ãäå u1 ∈ U ∩ nw1 U − n−1
w1 ,
nw1 ∈ NR0 (T ), t ∈ T è v1 ∈ U . Ïîýòîìó ýëåìåíò x ïðåäñòàâèì â âèäå x = nw tu1 nw1 t1 v1 .
Ïîñêîëüêó ýëåìåíòû t è nw íîðìàëèçóþò U , ìû ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå ýëåìåíòà x â âèäå
x = u2 nw2 t2 v2 , ïðè÷åì u2 ∈ U ∩ nw2 U − n−1
w2 , nw2 ∈ NR (T ), t2 ∈ T è v2 ∈ U . Ïîñêîëüêó ýòî
4
ðàçëîæåíèå Áðþà ñîâïàäàåò ñ ðàçëîæåíèåì Áðþà ýëåìåíòà x â ãðóïïå G, òàêîå ðàçëîæåíèå
åäèíñòâåííî.
Åñëè x ∈ CR (s), òî ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ Áðþà ìîæíî çàïèñàòü x = unw tv , ãäå v ∈ U ,
−
t ∈ T , u ∈ U ∩nw U − n−1
w . Ïîñêîëüêó s íîðìàëèçóåò U , N (T ), U è êîììóòèðóåò ñ x åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ âëå÷åò, ÷òî êàæäûé èç u, nw , v êîììóòèðóåò ñ s. Áîëåå òîãî, ïîñêîëüêó s
íîðìàëèçóåò êàæäóþ êîðíåâóþ ïîäãðóïïó Uα , åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ ãðóïïû U â ïðîèçâåäåíèå êîðíåâûõ ïîäãðóïï Uα (α > 0) âëå÷åò, ÷òî α(s) = 1 êàê òîëüêî u èëè v ñîäåðæèò
íåòðèâèàëüíûé ìíîæèòåëü èç Uα . Òàêèì îáðàçîì, x ëåæèò â ãðóïïå, ïîðîæäåííîé òîðîì T
è òåìè Uα , nw , êîòîðûå ïåðåñòàíîâî÷íû ñ s.
Ïîñêîëüêó T è âñå Uα ñ α(s) = 1 ñâÿçíû, òî ïîäãðóïïà H , ïîðîæäåííàÿ èìè, çàìêíóòà,
ñâÿçíà è íîðìàëüíà â CR (s). Òàê êàê ãðóïïà Âåéëÿ êîíå÷íà, |GR (s) : H| < ∞, çíà÷èò,
H = CR (s)0 .
Òàê êàê êîðíè ãðóïïû CR (s) îòíîñèòåëüíî òîðà T âîçíèêàþò ïàðàìè (ò. å. åñëè α(s) = 1,
òî è −α(s) = 1), ãðóïïà CR (s) ðåäóêòèâíà. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè CR (s) èìååò íåòðèâèàëüíûé óíèïîòåíòíûé ðàäèêàë V , òî îí íîðìàëèçóåòñÿ òîðîì T , çíà÷èò, ñîäåðæèò íåêîòîðóþ
êîðíåâóþ ïîäãðóïïó Uα . V íîðìàëèçóåòñÿ êîðíåâîé ãðóïïîé U−α , ÷òî äàåò íåóíèïîòåíòíûé
ýëåìåíò â V , ïðîòèâîðå÷èå.
Ïîñêîëüêó (|R : R0 |, p) = 1, âñå óíèïîòåíòíûå ýëåìåíòû èç ãðóïïû R ëåæàò â R0 , ïîýòîìó
âñå óíèïîòåíòíûå ýëåìåíòû èç CR (s) ëåæàò â CR0 (s). Òîò ôàêò, ÷òî â ñâÿçíîé ðåäóêòèâíîé
ãðóïïå R0 ëþáîé óíèïîòåíòíûé ýëåìåíò èç CR0 (s) ëåæèò â CR0 (s)0 õîðîøî èçâåñòåí, ñì.
íàïðèìåð [14, òåîðåìà 2.2].
Ïóñòü x ∈ G ïîëóïðîñòîé ýëåìåíò. Òîãäà, â ñèëó ïðåäûäóùåé ëåììû, CG0 (x) ñâÿçíàÿ ðåäóêòèâíàÿ ïîäãðóïïà ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà è [CG0 (x), CG0 (x)] ïîëóïðîñòàÿ ãðóïïà,
êîðíåâàÿ ñèñòåìà êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíî çàìêíóòîé ïîäñèñòåìîé êîðíåâîé ñèñòåìû
ãðóïïû G. Òàêèå ïîäãðóïïû â äàëüíåéøåì áóäóò íàçûâàòüñÿ
ïîäãðóïïàìè. Ïîñêîëüêó â äàííîé ðàáîòå èçó÷àþòñÿ êîíå÷íûå ãðóïïû, îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò
ýëåìåíòû ïðîñòîãî ïîðÿäêà r 6= p. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ ëåììà.
ïîäñèñòåìíûìè
[15, 14.1]. Ïóñòü G ïðîñòàÿ ñâÿçíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ãðóïïà è ýëåìåíò x ∈ G
èìååò ïðîñòîé ïîðÿäîê r 6= p. Ïóñòü C 0 = [CG0 (x), CG0 (x)] ïîäñèñòåìíàÿ ïîäãðóïïà. Åñëè
∆ äèàãðàììà Äûíêèíà êîðíåâîé ñèñòåìû ãðóïïû C 0 , òî ñïðàâåäëèâî îäíî èç ñëåäóþùèõ
óòâåðæäåíèé:
1. ∆ ïîëó÷àåòñÿ óäàëåíèåì âåðøèí èç äèàãðàììû Äûíêèíà ãðóïïû G;
2. ∆ ïîëó÷àåòñÿ èç ðàñøèðåííîé äèàãðàììû Äûíêèíà ãðóïïû G óäàëåíèåì îäíîé âåðøèíû ri, ãäå r = ci êîýôôèöèåíò êîðíÿ ri â ñàìîì äëèííîì êîðíå r0.
 ÷àñòíîñòè, åñëè r íå ÿâëÿåòñÿ ïëîõèì ïðîñòûì äëÿ ãðóïïû G, òî dim(ζ 0(CG0 (x))) > 1.
Ëåììà 1.4.
2
Áîëüøèå íèëüïîòåíòíûå ïîäãðóïïû
 äàííîì ðàçäåëå èçó÷àþòñÿ áîëüøèå íèëüïîòåíòíûå ïîäãðóïïû â êîíå÷íûõ ïðîñòûõ ãðóïïàõ è ãðóïïàõ áëèçêèõ ê ïðîñòûì. Äàííûé ðàçäåë ðàçáèò íà ÷åòûðå ÷àñòè.  ïåðâîé èçó÷àþòñÿ áîëüøèå íèëüïîòåíòíûå ïîäãðóïïû â ñèììåòðè÷åñêèõ è çíàêîïåðåìåííûõ ãðóïïàõ.
Âî âòîðîé è òðåòüåé èçó÷àþòñÿ êîíå÷íûå ãðóïïû ëèåâà òèïà, â ÷åòâåðòîé ñïîðàäè÷åñêèå
ãðóïïû.  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ áîëüøàÿ íèëüïîòåíòíàÿ ãðóïïà ñîâïàäàåò ñ íåêîòîðîé ñèëîâñêîé ïîäãðóïïîé. Åñëè G êîíå÷íàÿ ãðóïïà, òî ÷åðåç Sylp (G) îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî
5
ñèëîâñêèõ p-ïîäãðóïï ãðóïïû G. ×åðåç N (G) îáîçíà÷åíî ìíîæåñòâî áîëüøèõ íèëüïîòåíòíûõ
ïîäãðóïï êîíå÷íîé ãðóïïû G, ÷åðåç n(G) ïîðÿäîê ïðîèçâîëüíîãî ýëåìåíòà èç N (G).
2.1
Áîëüøèå íèëüïîòåíòíûå ïîäãðóïïû ñèììåòðè÷åñêèõ è çíàêîïåðåìåííûõ ãðóïï
Ïóñòü G íåêîòîðàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû Sn . Òîãäà ìíîæåñòâî {1, . . . , n} îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ãðóïïû G ðàçáèâàåòñÿ íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà (îðáèòû), íà êàæäîì èç
êîòîðûõ ãðóïïà G äåéñòâóåò òðàíçèòèâíî.
Äîêàæåì ñíà÷àëà ñëåäóþùóþ òåõíè÷åñêóþ ëåììó.
Ïóñòü N íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû Sn è I1, I2, . . . ìíîæåñòâî
îðáèò öåíòðà ζ(N ) ãðóïïû N íà ìíîæåñòâå {1, . . . , n} Ïóñòü JS1 íàáîð ìíîæåñòâ
Im
ïîðÿäêà 1, J2 íàáîð ìíîæåñòâ Im ïîðÿäêà 2 è ò. ä. Ïóñòü K1 = |I |=1 Im, K2 = S|I |=2 Im
è ò. ä. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1. Ãðóïïà N/ζ(N ) ïåðåñòàâëÿåò ìíîæåñòâà îäíîãî ïîðÿäêà è, ñëåäîâàòåëüíî, N 6 N1 ×
N2 × . . ., ãäå N1 6 SK , N2 6 SK è ò. ä.
2. Åñëè ki êîëè÷åñòâî îðáèò îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ãðóïïû N/ζ(N ) íà ìíîæåñòâå
Ji , òî |ζ(N ) ∩ Ni | = ik .
3. Åñëè p1, . . . , ps âñå ïðîñòûå ÷èñëà, íà êîòîðûå äåëèòñÿ i, òî ïîðÿäîê ãðóïïû Ni
äåëèòñÿ òîëüêî íà ïðîñòûå ÷èñëà p1, . . . , ps.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü σ íåêîòîðûé ýëåìåíò èç ãðóïïû N , êîòîðûé ïåðåâîäèò íåêîòîðûé
Ëåììà 2.1.
m
1
m
2
i
ýëåìåíò i èç ìíîæåñòâà I1 â ýëåìåíò èç íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà Ik . Òîãäà äëÿ ëþáîãî τ ∈ ζ(N )
ñïðàâåäëèâî iστ = iτ σ ∈ Ik . Ïîñêîëüêó ζ(N ) íà ìíîæåñòâå I1 äåéñòâóåò òðàíçèòèâíî, ìû
èìååì {iτ : τ ∈ ζ(N )} = I1 , ñëåäîâàòåëüíî, I1σ ⊆ Ik , ò. å. |I1 | 6 |Ik |. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýëåìåíò
σ −1 ïåðåâîäèò íåêîòîðûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Ik â ýëåìåíò i èç ìíîæåñòâà I1 , ñëåäîâàòåëüíî,
−1
Ikσ ⊆ I1 , ò. å. |Ik | 6 |I1 |. Îáúåäèíÿÿ ïîëó÷åííûå íåðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì, ÷òî |I1 | = |Ik |.
Ïóíêò 1 ëåììû äîêàçàí.
Äîêàæåì òåïåðü ïóíêò 2. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Ki = {1, . . . , n} è ãðóïïà N/ζ(N ) äåéñòâóåò òðàíçèòèâíî íà îðáèòàõ (îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ öåíòðà ζ(N )) ìíîæåñòâà Ji . Ïóñòü
{I1 , . . . , Ik } ìíîæåñòâî âñåõ îðáèò ìíîæåñòâà Ji îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ãðóïïû ζ(N ).
Òîãäà ïîðÿäîê êàæäîé èç íèõ ðàâåí i è i · k = n. Ïóñòü l ∈ I1 íåêîòîðûé ýëåìåíò
èç îðáèòû I1 . Ðàññìîòðèì ñòàáèëèçàòîð ýëåìåíòà l â öåíòðå ζ(N ) Stζ(N ) (l) è ïðåäïîëîæèì, ÷òî τ ∈ Stζ(N ) (l). Ïóñòü m ∈ Ki íåêîòîðûé ýëåìåíò, ëåæàùèé â íåêîòîðîé îðáèòå Ij . Ïîcêîëüêó ãðóïïà N/ζ(N ) äåéñòâóåò òðàíçèòèâíî íà îðáèòàõ I1 , . . . , Ik , ñóùåñòâóåò
òàêîé ýëåìåíò σ ∈ N , ÷òî Ijσ = I1 . Äàëåå, ãðóïïà ζ(N ) äåéñòâóåò òðàíçèòèâíî íà ìíîæåñòâå I1 , ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò ϕ ∈ ζ(N ), äëÿ êîòîðîãî (mσ )ϕ = l. Òîãäà
−1
−1
−1
−1
mτ = ((lϕ )σ )τ = ((lτ )ϕ )σ = m, ñëåäîâàòåëüíî, τ = ε è Stζ(N ) (l) = {ε}. Â ñèëó òåîðåìû
Ëàãðàíæà |ζ(N )| = |ζ(N ) : Stζ(N ) (l)| · |Stζ(N ) (l)| = i.
Äàëåå, ïî îïðåäåëåíèþ, ìíîæåñòâî Ji ðàâíî {Ik : |Ik | = i}. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò
òàêîå ïðîñòîå ÷èñëî q ∈
/ {p1 , . . . , ps }, êîòîðîå äåëèò ïîðÿäîê ãðóïïû Ni . Ïîñêîëüêó Ni íèëüïîòåíòíàÿ ãðóïïà, ñóùåñòâóåò öåíòðàëüíûé ýëåìåíò τ ïîðÿäêà q . Ïîñêîëüêó ãðóïïà N
ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ãðóïï N1 , N2 , . . ., ýëåìåíò τ ëåæèò â ζ(N ). Èç ïóíêòà 2
ñëåäóåò, ÷òî |ζ(N ) ∩ Ni | = ik , ãäå k > 1. Íî òîãäà τ ëåæèò â ζ(N ) ∩ Ni , íî |τ | íå äåëèò
|ζ(N ) ∩ Ni |, ïðîòèâîðå÷èå.
6
Îòìåòèì, ÷òî ãðóïïà N1 , îïðåäåëåííàÿ â ëåììå, òðèâèàëüíà.
Òåïåðü ìû ìîæåì îïðåäåëèòü ñòðîåíèå áîëüøèõ íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï â ñèììåòðè÷åñêèõ è çíàêîïåðåìåííûõ ãðóïïàõ.
Áîëüøàÿ íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà â çíàêîïåðåìåííîé ãðóïïå ñîïðÿæåíà ñ
îäíîé èç ñëåäóþùèõ ãðóïï:
1. h(1, 2, 3)i åñëè n = 3.
2. h(1, 2, 3, 4, 5)i åñëè n = 5.
3. h(1, 2, 3)i × h(4, 5, 6)i åñëè n = 6.
4. Syl2(An) åñëè n 6= 2(2k + 1) + 1 äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî k.
5. Syl2(An−3) × h(n − 2, n − 1, n)i åñëè n = 2(2k + 1) + 1, k > 1.
Áîëüøàÿ íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà â ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïå ñîïðÿæåíà ñ îäíîé èç ñëåäóþùèõ ãðóïï.
1. Syl2(Sn) åñëè n 6= 2(2k + 1) + 1 äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî k.
2. Syl2(Sn−3) × h(n − 2, n − 1, n)i åñëè n = 2(2k + 1) + 1 äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî k.
Âî âñåõ ãðóïïàõ áîëüøàÿ íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà åäèíñòâåííà ñ òî÷íîñòüþ äî ñîïðÿæåíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû íåâåðíî è n ìèíèìàëüíîå íà-
Òåîðåìà 2.1.
òóðàëüíîå ÷èñëî, äàþùåå êîíòðïðèìåð ê óòâåðæäåíèþ òåîðåìû. Îáîçíà÷èì çà P ïîäãðóïïó
ãðóïïû Sn , ñòðîåíèå êîòîðîé ñîâïàäàåò ñî ñòðîåíèåì íèëüïîòåíòíîé ïîäãðóïïû, óêàçàííîé
â ëåììå è ïóñòü N ∈ N (Sn ) íåêîòîðàÿ áîëüøàÿ íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà, íåñîïðÿæåííàÿ
ñp
Îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ζ(N )) ìíîæåñòâî {1, . . . , n} ðàçáèâàåòñÿ íà îðáèòû. Âîçìîæíû
ñëåäóþùèå äâà ñëó÷àÿ.
1. Ñðåäè îðáèò öåíòðà ζ(N ) åñòü ïîäìíîæåñòâà ðàçíîãî ïîðÿäêà. Òîãäà ïî ëåììå 2.1 ãðóïïà N (Sn ) ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé â ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè ãðóïï N1 6 Sn1 è N2 6 Sn2 , ïðè÷åì
n1 + n2 = n. Ïîñêîëüêó n ìèíèìàëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî íå âûïîëíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå òåîðåìû, ãðóïïû èç N (Sn1 ) è N (Sn2 ) èìåþò òàêîå ñòðîåíèå, êàê óêàçàíî â
ëåììå.
Ïóñòü n1 6= 2(2k + 1) + 1, òîãäà |N1 | 6 |S|, ãäå S ∈ Syl2 (Sn1 ).  çàâèñèìîñòè îò òîãî, ïðåäñòàâèìî ëè ÷èñëî n2 â âèäå 2(2k + 1) + 1 èëè íåò, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå îöåíêè ïîðÿäêà
ãðóïïû N2 : |N2 | 6 3|S1 |, ëèáî |N2 | 6 |S2 |, ãäå S1 ∈ Syl2 (Sn2 −3 , à S2 ∈ Syl2 (Sn2 ). Â ïåðâîì
ñëó÷àå ìû èìååì |N | 6 |N1 | · |N2 | 6 |Syl2 (Sn1 )| · 3|Syl2 (Sn2 −3 )| 6 3|Syl2 (Sn−3 )| 6 |P |, ïðè÷åì
ðàâåíñòâî ìîæåò äîñòèãàòüñÿ ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà N1 ∈ Syl2 (Sn1 ), N2 = S1 ×h(k1 , k2 , k3 )i,
ò. å. êîãäà ñ òî÷íîñòüþ äî ñîïðÿæåíèÿ âûïîëíåíî ðàâåíñòâî N = P . Ïîñêîëüêó n ìèíèìàëüíîå ÷èñëî, äàþùåå êîíòðïðèìåð, òàêîãî áûòü íå ìîæåò. Àíàëîãè÷íî ðàçáèðàåòñÿ ñëó÷àé,
êîãäà N2 ∈ Syl2 (Sn2 ).
Ïóñòü n1 = 2(2k1 + 1) + 1, n2 = 2(2k2 + 1) + 1. Òîãäà |N (G)| 6 3|S3 | · 3|S1 | < |Syl2 (Sn )| = |P |,
ãäå S3 ∈ Syl2 (Sn1 −3 ), ñëåäîâàòåëüíî, è â ýòîì ñëó÷àå ìû ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ. Òàêèì îáðàçîì, ïåðâûé ñëó÷àé, êîãäà ñðåäè îðáèò ñóùåñòâóþò ïîäìíîæåñòâà ðàçíîãî ïîðÿäêà
íåâîçìîæåí.
7
2. Âñå îðáèòû îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ãðóïïû ζ(N ) îäèíàêîâîãî ïîðÿäêà k . Ïóñòü I1 , . . .,
I nk âñå îðáèòû ìíîæåñòâà {1, . . . , n} îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ãðóïïû ζ(N ).  òîì ñëó÷àå,
êîãäà äåéñòâèå ãðóïïû N/ζ(N ) íà ìíîæåñòâå îðáèò I1 , . . . , I nk íå ÿâëÿåòñÿ òðàíçèòèâíûì,
ãðóïïà N ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ãðóïï N1 è N2 , êàæäàÿ èç êîòîðûõ
ÿâëÿåòñÿ íèëüïîòåíòíîé ïîäãðóïïîé â ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïå ìåíüøåé ñòåïåíè. Òàêæå êàê
â ïåðâîì ñëó÷àå ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî òîãäà N íå ÿâëÿåòñÿ êîíòðïðèìåðîì.
Ïóñòü ãðóïïà N íà îðáèòàõ I1 , . . . , I nk äåéñòâóåò òðàíçèòèâíî. Â ñèëó ëåììû 2.1(2) ïîðÿäîê
öåíòðà ζ(N ) ðàâåí k , ãðóïïó N/ζ(N ) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íèëüïîòåíòíóþ ïîäãðóïïó
ãðóïïû S nk , ïîýòîìó |N | 6 k · |N3 |, ãäå N3 ∈ N (S nk ). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå
|N | 6 |Syl2 (Sn )|, êðîìå n = k = 3. Òåîðåìà äëÿ ñèììåòðè÷åñêèõ ãðóïï äîêàçàíà.
Ðàññìîòðèì òåïåðü çíàêîïåðåìåííûå ãðóïïû. Ïóñòü n ìèíèìàëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî,
ïðè êîòîðîì ñóùåñòâóåò êîíòðïðèìåð ê óòâåðæäåíèþ òåîðåìû è ïóñòü N ∈ N (An ) ýòîò
êîíòðïðèìåð. Ïóñòü R îáîçíà÷àåò íèëüïîòåíòíóþ ïîäãðóïïó ãðóïïû An , êîòîðàÿ ñîâïàäàåò
ñ áîëüøåé íèëüïîòåíòíîé ãðóïïîé, óêàçàííîé â òåîðåìå. Êàê è â ñëó÷àå ñèììåòðè÷åñêèõ
ãðóïï âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ.
1. Äåéñòâèå ãðóïïû N/ζ(N ) íà ìíîæåñòâå îðáèò öåíòðà ζ(N ) íå ÿâëÿåòñÿ òðàíçèòèâíûì.
Òîãäà ëèáî ãðóïïà N ñîäåðæèòñÿ â ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè íèëüïîòåíòíûõ ãðóïï N1 è N2 ,
êàæäàÿ èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ íèëüïîòåíòíîé ïîäãðóïïîé â çíàêîïåðåìåííîé ãðóïïå ìåíüøåé
ðàçìåðíîñòè, ëèáî îíà ëåæèò â ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè äâóõ íèëüïîòåíòíûõ ãðóïï N1 è N2 ,
êàæäàÿ èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ íèëüïîòåíòíîé ïîäãðóïïîé â ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïå ìåíüøåé
ðàçìåðíîñòè, íî íå ñîâïàäàåò ñ ýòèì ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, èñïîëüçóÿ
èçâåñòíûå ïîðÿäêè áîëüøèõ íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï â ñèììåòðè÷åñêèõ ãðóïïàõ, ÷òî â ýòîì
ñëó÷àå N íå ÿâëÿåòñÿ êîíòðïðèìåðîì.
2. Ãðóïïà N/ζ(N ) íà ìíîæåñòâå îðáèò äåéñòâóåò òðàíçèòèâíî. Ïóñòü ïîðÿäîê êàæäîé èç
îðáèò ðàâåí k . Òîãäà â ñèëó ëåììû 2.1 |ζ(N )| = k è ãðóïïó N/ζ(N ) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü
êàê íèëüïîòåíòíóþ ïîäãðóïïó ãðóïïû S nk . Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè n > 7 ñïðàâåäëèâî
íåðàâåíñòâî k|N4 | 6 12 |S| 6 |R|, ãäå N4 ∈ N (A nk ) è S ∈ Syl2 (Sn ).
Òàáëèöà 1.
Ãðóïïà G
n(G)
Ñòðîåíèå
A3
3
h(1, 2, 3)i
A5
5
h(1, 2, 3, 4, 5)i
A6
9
h(1, 2, 3)i × h(4, 5, 6)i
An , n 6= 2(2k + 1) + 1
1 [n/2]+[n/22 ]+...
2
2
S , ãäå S ∈ Syl2 (An )
An , n = 2(2k + 1) + 1
3 [(n−3)/2]+[(n−3)/22 ]+...
2
2
S × h(n − 2, n − 1, n)i, S ∈ Syl2 (An−3 )
2 ]+...
Sn , n 6= 2(k + 1) + 1
2[n/2]+[n/2
Sn , n = 2(2k + 1) + 1
3 · 2[(n−3)/2]+[(n−3)/2
S , S ∈ Syl2 (Sn )
2 ]+...
8
S × h(n − 2, n − 1, n)i, S ∈ Syl2 (Sn−3 )
2.2
Îáùåå ñòðîåíèå íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï â ïðîñòûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ãðóïïàõ
Ïóñòü N çàìêíóòàÿ íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà ñâÿçíîé ïðîñòîé àëãåáðàè÷åñêîé ãðóïïû G. Òîãäà ñóùåñòâóåò ðåäóêòèâíàÿ ïîäãðóïïà R ãðóïïû G ìàêñèìàëüíîãî
ðàíãà, ñîäåðæàùàÿ ãðóïïó N . Ïóñòü W1 ãðóïïà Âåéëÿ ãðóïïû R0. Òîãäà ñïðàâåäëèâû
ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
1. N = Ns ×Nu, ò. å. ãðóïïà N ïðåäñòàâèìà â âèäå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñâîèõ ïîäãðóïï,
ñîñòîÿùèõ èç ïîëóïðîñòûõ è óíèïîòåíòíûõ ýëåìåíòîâ.
2. Nu 6 R0 è ζ(Ns) ∩ R0 6 ζ(R0).
3. Åñëè N0 = N ∩ R0, òî òîãäà N/N0 èçîìîðôíî âêëàäûâàåòñÿ â ãðóïïó NW (W1)/W1.
Åñëè ãðóïïà N ñîñòîèò èç σ-íåïîäâèæíûõ ýëåìåíòîâ îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî àâòîìîðôèçìà Ôðîáåíèóñà σ, òî ãðóïïà R ÿâëÿåòñÿ σ-èíâàðèàíòíîé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü N íåêîòîðàÿ çàìêíóòàÿ íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà ñâÿçíîé ïðîËåììà 2.2.
ñòîé àëãåáðàè÷åñêîé ãðóïïû, îïðåäåëåííîé íàä àëãåáðàè÷åñêèì çàìûêàíèåì ïîëÿ GF (q).
Òîãäà ãðóïïà N ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ïîðÿäêà è, â ñèëó ([11, òåîðåìà 12.1.1])
ïðåäñòàâèìà â âèäå ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñâîèõ p-ïîäãðóïï.  ÷àñòíîñòè, ãðóïïà N ïðåäñòàâèìà â âèäå Ns × Nu ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñâîåé ïîëóïðîñòîé è óíèïîòåíòíîé ÷àñòåé,
ñîîòâåòñòâåííî.
Åñëè ãðóïïà Ns íåòðèâèàëüíà, òî òîãäà åå öåíòð òàêæå íåòðèâèàëåí. ßñíî, ÷òî ζ(Ns ) =
(ζ(N ))s . Ïóñòü x íåêîòîðûé ýëåìåíò èç ζ(Ns ). Òîãäà ãðóïïà N ëåæèò â CG (x), ïðè÷åì
Nu ëåæèò â R0 . Îáîçíà÷èì ãðóïïó CG (x) çà R.  ñèëó ëåììû 1.3 R ÿâëÿåòñÿ ðåäóêòèâíîé ïîäãðóïïîé ãðóïïû G ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ýëåìåíò s
èç ζ(Ns ) ∩ R0 , íå ëåæàùèé â ζ(R0 ). Òîãäà ðàññìîòðèì ãðóïïó CR (s). ßñíî, ÷òî N 6 CR (s)
è Nu 6 R0 . Êðîìå òîãî, CR (s) ðåäóêòèâíàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû G ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà.
Ïîñêîëüêó ðàçìåðíîñòü ãðóïïû R íà êàæäîì øàãå ïîíèæàåòñÿ, äàííûé ïðîöåññ êîíå÷åí,
òàê êàê ðàçìåðíîñòü ãðóïïû G êîíå÷íà. Ïîâòîðÿÿ óêàçàííûé âûøå ïðîöåññ, ïîëó÷èì ðåäóêòèâíóþ ïîäãðóïïó R ãðóïïû G ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà, ñîäåðæàùóþ N . Çàìåòèì, ÷òî â
òîì ñëó÷àå, êîãäà N ñîñòîèò èç íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî àâòîìîðôèçìà
Ôðîáåíèóñà σ , ãðóïïà R σ -èíâàðèàíòíà. Ïóíêòû 1 è 2 ëåììû äîêàçàíû.
Äîêàæåì ïóíêò 3. Èìååì N/N0 = N R0 /N0 R0 6 R/R0 . Èç äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 1.3
ñëåäóåò, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò èç R ïðåäñòàâèì â âèäå nx, ãäå n ∈ NR (T ) äëÿ íåêîòîðîãî
ìàêñèìàëüíîãî òîðà T ãðóïïû R0 , à x ∈ R0 . Ïîñêîëüêó R0 íîðìàëüíà â R, ãðóïïà NR (T )/T
ñîäåðæèòñÿ â ãðóïïå NW (W1 ). Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî R/R0 ∼
= NR (T )/NR0 (T ) 6 NW (W1 )/W1
Èç ëåììû 2.2 ñëåäóåò, ÷òî ãðóïïà N0 /ζ(N0 ) ÿâëÿåòñÿ íèëüïîòåíòíîé ïîäãðóïïîé â ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè ïðîñòûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ãðóïï ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè ãðóïïå
R0 /ζ(R0 ). Òàêèì îáðàçîì, äàííàÿ ëåììà îáîáùàåò ðåçóëüòàò [16] î ñòðîåíèè ïîëóïðîñòûõ
íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï â îáîáùåííûõ ëèíåéíûõ ãðóïïàõ íàä êîíå÷íûìè ïîëÿìè.
Ñòðîåíèå ñâÿçíûõ ðåäóêòèâíûõ ïîäãðóïï R ãðóïïû G ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà, à òàêæå
ïîäãðóïï Rσ èçâåñòíî, ñì. [1], [2] è [3], ïîýòîìó äëÿ èçó÷åíèÿ íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï â êîíå÷íûõ ãðóïïàõ ëèåâà òèïà íàì îñòàëîñü íàéòè ïîðÿäêè áîëüøèõ íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï
â ãðóïïàõ Âåéëÿ. Ãðóïïû Âåéëÿ äëÿ òèïîâ Bn , Cn è Dn ÿâëÿþòñÿ ñïëåòåíèåì 2-ãðóïïû è
Çàìå÷àíèå.
9
ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïû Sn . Èñïîëüçóÿ èíôîðìàöèþ, ïîëó÷åííóþ ðàíåå î ñòðîåíèè íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï â ñèììåòðè÷åñêèõ ãðóïïàõ, ìîæíî ëåãêî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî áîëüøàÿ
íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà â ãðóïïå Âåéëÿ äëÿ ýòèõ òèïîâ ýòî â òî÷íîñòè ñèëîâñêàÿ 2ãðóïïà.  òàáëèöå 2 íèæå áóäóò óêàçàíû îöåíêè ïîðÿäêîâ áîëüøèõ íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï
â ãðóïïàõ Âåéëÿ äëÿ âñåõ êëàññè÷åñêèõ ãðóïï è èõ ñòðîåíèå
Òàáëèöà 2.
2.3
Òèï ñèñòåìû Φ
Ñòðîåíèå ãðóïï N (W (Φ))
Îöåíêà äëÿ n(W (Φ))
An
ñì. òàáë. 1
2n+1
Bn è Cn
ëåæàò â Syl2 (W )
22n
Dn
ëåæàò â Syl2 (W )
22n−1
Áîëüøèå íèëüïîòåíòíûå ïîäãðóïïû êîíå÷íûõ ãðóïï ëèåâà òèïà
 ýòîé ÷àñòè ìû ïðèìåíèì îáùèå ñâîéñòâà íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï, ïîëó÷åííûå ðàíåå, ê
êîíå÷íûì ãðóïïàì ëèåâà òèïà.  ÷àñòíîñòè áóäåò äîêàçàíî, ÷òî áîëüøàÿ íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ñîâïàäàåò ñ ìàêñèìàëüíîé óíèïîòåíòíîé ïîäãðóïïîé. Áîëüøèå íèëüïîòåíòíûå ïîäãðóïïû â êîíå÷íûõ ãðóïïàõ Øåâàëëå íàõîäÿòñÿ îäíîòèïíî, ïîýòîìó
â êà÷åñòâå ïðèìåðà áóäåò ðàçîáðàíà ãðóïïà An (q).
Ïóñòü N íåêîòîðàÿ íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû An (q), ïîêàæåì, ÷òî åå ïîðÿäîê
íå ïðåâîñõîäèò ïîðÿäêà íàèáîëüøåé íèëüïîòåíòíîé ãðóïïû, óêàçàííîãî â òàáëèöå 3. Ìîæíî
ñ÷èòàòü, ÷òî öåíòð ãðóïïû An (q) òðèâèàëåí. Òîãäà â ñèëó ëåììû 2.2 ãðóïïà N ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîé ñîáñòâåííîé ðåäóêòèâíîé ïîäãðóïïå ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà ñâÿçíîé ïðîñòîé
àëãåáðàè÷åñêîé ãðóïïû òèïà An .
Íàïîìíèì ñíà÷àëà êàêîå ñòðîåíèå èìåþò ðåäóêòèâíûå ïîäãðóïïû ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà
â ïðîñòîé ñâÿçíîé àëãåáðàè÷åñêîé ãðóïïå òèïà An è êàê óñòðîåíû èõ íåïîäâèæíûå òî÷êè
îòíîñèòåëüíî àâòîìîðôèçìà Ôðîáåíèóñà σ (ñì. [2]). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãðóïïà G èìååò òèï
An . Ýíäîìîðôèçì σ ãðóïïû G èíäóöèðóåò ýíäîìîðôèçì ãðóïïû õàðàêòåðîâ X òîðà T , òàêæå
íàçûâàåìûé σ , êîòîðûé îáëàäàåò ñâîéñòâîì, ÷òî σ = qσ0 , ãäå q ñòåïåíü ÷èñëà p è σ0 èçîìåòðèÿ ãðóïïû X . σ0 èìååò ïîðÿäîê 1 èëè 2 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, áóäåò ëè ãðóïïà Gσ
íîðìàëüíîé èëè ñêðó÷åííîé. X ñîäåðæèò ìíîæåñòâî Φ êîðíåé è Φ óäîáíî çàïèñàòü â âèäå
Φ = {ei − ej : i 6= j, i, j ∈ {0, 1 . . . , n}}, ãäå e0 , e1 , . . . , en îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ
(n + 1)-ìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà. Ãðóïïà Âåéëÿ W äåéñòâóåò íà ýòîì ïðîñòðàíñòâå,
ïåðåñòàâëÿÿ áàçèñíûå ýëåìåíòû, â ñîîòâåòñòâèè ñ ñèììåòðè÷åñêîé ãðóïïîé Sn+1 . σ0 äåéñòâóåò
íà êîðíÿõ ëèáî òîæäåñòâåííî, ëèáî êàê ýëåìåíò ïîðÿäêà 2.
Êîðíåâàÿ ñèñòåìà ëþáîé σ -èíâàðèàíòíîé ðåäóêòèâíîé ïîäãðóïïû ãðóïïû G ýêâèâàëåíòíà îòíîñèòåëüíî W ñèñòåìå Φ1 ñëåäóþùåãî òèïà. Ïóñòü λ = (λ1 , λ2 , . . .) ðàçáèåíèå ÷èñëà
n + 1 è ïóñòü I1 , I2 , . . . íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà {0, 1, . . . , n} ñ óñëîâèåì |I1 | = λ1 , |I2 | = λ2 , . . .. Ïóñòü Φ1 = {ei − ej ∈ Φ : i, j ∈ Iα äëÿ íåêîòîðîãî α}. Òîãäà
Φ1 ïîäñèñòåìà ñèñòåìû Φ òèïà Aλ1 −1 × Aλ2 −1 × . . ., è îíà áóäåò σ -èíâàðèàíòíîé ïðè óñëîâèè, ÷òî, êîãäà σ0 èìååò ïîðÿäîê 2, Φ1 íåïîäâèæíà îòíîñèòåëüíî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ,
10
îïðåäåëåííîãî ïðàâèëîì ei → −en−i .
[2, ïðåäëîæåíèå 7]. Ïóñòü G ãðóïïà òèïà Al è ïóñòü ýíäîìîðôèçì σ òàêîâ,
÷òî ãðóïïà Gσ íîðìàëüíîãî òèïà. Ïóñòü G1 ðåäóêòèâíàÿgïîäãðóïïà ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà â G, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàçáèåíèþ λ ÷èñëà l + 1. Ïóñòü G1 σ-èíâàðèàíòíàÿ ïîäãðóïïà
ãðóïïû G, ïîëó÷àåìàÿ ñêðó÷èâàíèåì ãðóïïû G1 ïîñðåäñòâîì ýëåìåíòà w ∈ W , îïðåäåëåííîãî ïðàâèëîì π(gσ g−1) = w. Ïðåäïîëîæèì, w îòîáðàæàåòñÿ â τ îòíîñèòåëüíî ãîìîìîðôèçìà NW (W1) → AutW (∆1). Ïóñòü ni êîëè÷åñòâî ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ λ, ðàâíûõ i, îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî AutW (∆1) ∼= Sn × Sn × . . .. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî τ äàåò ðàçáèåíèÿ µ(2), µ(3), . . .
÷èñåë n2, n3, . . ., ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ïðîñòûå êîìïîíåíòû ïîëóïðîñòîé ãðóïïû (M g )σ
èìåþò òèï Ai−1(qµ ) â òî÷íîñòè ñ îäíîé êîìïîíåíòîé äëÿ êàæäîãî i = 2, 3, . . . è êàæäîé
÷àñòè µ(i)j ðàçáèåíèÿ µ(i).
Ïîðÿäîê ïîëóïðîñòîé ÷àñòè (S g )σ ãðóïïû (Gg1)σ äàåòñÿ ôîðìóëîé
Ëåììà 2.3.
2
3
(i)
j
(q − 1)|(S g )σ | =
Y (i)
(q µj − 1).
i,j
Ïîñêîëüêó öåíòð ãðóïïû An (q) ïðåäïîëàãàåòñÿ òðèâèàëüíûì, ïîðÿäîê öåíòðàëèçàòîðà,
1
óêàçàííûé â ëåììå 2.3, íåîáõîäèìî óìíîæèòü íà äðîáü (n+1,q−1)
. Äåéñòâèòåëüíî, â òîì ñëó0
÷àå, êîãäà G íå ÿâëÿåòñÿ îäíîñâÿçíîé ãðóïïîé, êîíå÷íàÿ ãðóïïà Op (Gσ ) íå ñîâïàäàåò ñ
Gσ , ïîýòîìó ïîðÿäîê öåíòðàëèçàòîðà ìåíüøå, ÷åì òîò, ÷òî óêàçàí â ëåììå.  ýòîì ñëó÷àå
0
Gσ = ĤOp (Gσ ), ïðè÷åì |Ĥ : H| = dd1 . Çäåñü Ĥ ìàêñèìàëüíûé òîð ãðóïïû Gσ , H ìàêñè0
0
ìàëüíûé òîð ãðóïïû Op (Gσ ), d1 ïîðÿäîê öåíòðà ãðóïïû Op (Gσ ), d ïîðÿäîê öåíòðà ãðóï0
ïû (Gsc )σ . Ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïîðÿäîê öåíòðàëèçàòîðà â ãðóïïå Op (Gσ ), ïîðÿäîê öåíòðàëèçàòîðà, óêàçàííûé â ëåììå, íåîáõîäèìî óìíîæèòü íà äðîáü dd1 . Äåéñòâèòåëüíî, öåíòðàëèçàòîð ëþáîãî ïîëóïðîñòîãî ýëåìåíòà ñîäåðæèò íåêîòîðûé ìàêñèìàëüíûé òîð
ãðóïïû Øåâàëëå, è ïîýòîìó (CG (s)0 )σ = ĤCOp0 (Gσ ) (s). Çíà÷èò, |(CG (s)0 )σ : COp0 (Gσ ) (s)| = dd1 ,
ñëåäîâàòåëüíî, |COp0 (Gσ ) (s)| = dd1 |(CG (s)0 )σ |. Òàêèì îáðàçîì, ïîðÿäîê öåíòðàëèçàòîðà íåîáõîäèìî óìíîæèòü íà dd1 , íî â íàøåì ñëó÷àå d1 = 1, à d = (n + 1, q − 1).
 ñèëó ëåììû 2.3, ñóùåñòâóåò ïîäãðóïïà N0 ãðóïïû N , ëåæàùàÿ â íåêîòîðîé σ -èíâàðèàíòíîé ñâÿçíîé ðåäóêòèâíîé ïîäãðóïïå R ãðóïïû G ìàêñèìàëüíîãî ðàíãà. Êðîìå òîãî, |N :
N0 | 6 2n+1 (ñì. òàáëèöó 2). Ïîñêîëüêó ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî öåíòð ãðóïïû An (q) òðèâèàëåí,
ãðóïïà R ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé ïîäãðóïïîé ãðóïïû G. Òàêèì îáðàçîì, ãðóïïà N0 ïðåäñòàâèìà â âèäå öåíòðàëüíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï èç ãðóïï ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè è ãðóïïû, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé íåïîäâèæíûõ òî÷åê íåêîòîðîãî òîðà. Ïîýòîìó
ïîðÿäîê ãðóïïû N îöåíèâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì
(q − 1)|N | 6 n(Sn+1 )
Y (i)
Y
(i)
(i)
1
(q µj − 1) (i, q µj − 1)n(Ai−1 (q µj )).
(n + 1, q − 1) i,j
i,j
(1)
(i)
Çäåñü â êà÷åñòâå Ai−1 (q µj ) ðàññìàòðèâàåòñÿ ãðóïïà ñ òðèâèàëüíûì öåíòðîì.
Èñïîëüçóÿ èíäóêöèþ ïî ëèåâó ðàíãó ãðóïïû ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
(q k − 1)(i, q k − 1)n(Ai−1 (q k )) 6 (q − 1)(ik, q − 1)n(Aik−1 (q)),
(2)
(q − 1)(i, q − 1)n(Ai−1 (q))(q − 1)(k, q − 1)n(Ak−1 (q)) 6 (q − 1)(ik, q − 1)n(Aik−1 (q).
(3)
11
Ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ (2) è (3) ïðàâóþ ÷àñòü âûðàæåíèÿ (1) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó
(4)
(q − 1)2 n(Sn+1 )(n1 , q − 1)n(An1 −1 (q))(n2 , q − 1)n(An2 −1 (q)),
ãäå n1 + n2 = n + 1, ëèáî
(5)
(q 2 − 1)n(Sn+1 )((n + 1)/2, q 2 − 1)n(A(n+1)/2−1 (q 2 )).
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî âûðàæåíèÿ (4) è (5) íå ïðåâîñõîäÿò çíà÷åíèé, óêàçàííûõ â
òàáëèöå 3. Îñòàëüíûå êîíå÷íûå ãðóïïû ëèåâà òèïà èçó÷àþòñÿ òàêèì æå îáðàçîì.
 ïðèâåäåííîé íèæå òàáëèöå 3 óêàçàíî ñòðîåíèå áîëüøèõ óíèïîòåíòíûõ ïîäãðóïï â òîì
ñëó÷àå, êîãäà êîíå÷íàÿ ãðóïïà G äàííîãî òèïà èìååò òðèâèàëüíûé öåíòð. Äëÿ ãðóïï ñ ïðîèçâîëüíûì öåíòðîì áîëüøàÿ íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà ýòî ïðîîáðàç áîëüøîé íèëüïîòåíòíîé
ïîäãðóïïû â ãðóïïå ñ òðèâèàëüíûì öåíòðîì îòíîñèòåëüíî åñòåñòâåííîãî ãîìîìîðôèçìà.
Òàáëèöà 3.
2.4
Ãðóïïà G
Ñòðîåíèå ãðóïï èç N (G)
n(G)
A1 (2n )
öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà
2n + 1
A1 (q), q − 1 = 2n
ëåæèò â Syl2 (A1 (q))
2n
2
A2 (22 )
ëåæèò â Syl3 (2 A2 (22 ))
27
2
A2 (32 )
ëåæèò âSyl2 (2 A2 (32 ))
32
äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ ãðóïï G
áîëüøàÿ óíèïîòåíòíàÿ ãðóïïà
Áîëüøèå íèëüïîòåíòíûå ïîäãðóïïû ñïîðàäè÷åñêèõ ãðóïï
Ïðè èçó÷åíèè áîëüøèõ íèëüïîòåíòíûõ ïîäãðóïï áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ [17]. Âî âñåõ ñïîðàäè÷åñêèõ ãðóïïàõ áîëüøàÿ íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà ýòî íåêîòîðàÿ ñèëîâñêàÿ ïîäãðóïïà,
ïîýòîìó ðàññóæäåíèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ áîëüøèå íèëüïîòåíòíûå ãðóïïû îäíîòèïíû. Ìû îïèøåì ëèøü èäåþ.
Åñëè N íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû G, p1 , . . . , pk âñå ïðîñòûå ÷èñëà, äåëÿùèå
ïîðÿäîê ãðóïïû N , òî â N ñóùåñòâóåò öåíòðàëüíûé ýëåìåíò ïîðÿäêà p1 · . . . · pk . Èçó÷åíèå
ïîðÿäêîâ öåíòðàëèçàòîðîâ òàêèõ ýëåìåíòîâ ñ ïîìîùüþ [17] ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîðÿäîê N â
ýòîì ñëó÷àå ìåíüøå, ÷åì ïîðÿäîê íåêîòîðîé ñèëîâñêîé ïîäãðóïïû.
 êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Ïóñòü G íåàáåëåâà êîíå÷íàÿ ïðîñòàÿ ãðóïïà, N åå íèëüïîòåíòíàÿ ïîäãðóïïà. Òîãäà ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |N |2 < |G|.
Äîêàçàòåëüñòâî.  òîì ñëó÷àå, êîãäà N (G) ñîâïàäàåò ñ Sylp(G) äëÿ íåêîòîðîãî ïðîñòîãî
Òåîðåìà 1.
÷èñëà p, óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò èç [8, òåîðåìà 2].  òîì ñëó÷àå, êîãäà G = An , n =
2(2k + 1) + 1 äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî k ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî |N (G)|2 < 22(n−1) < |G|.
12
Åñëè, íàêîíåö, ãðóïïà G ñîâïàäàåò ñ A1 (2n ), òî ãðóïïà N (G) àáåëåâà è (ñì. [18]) ñïðàâåäëèâî
íåðàâåíñòâî |N (G)|2 < |G|.
13
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1]
[2]
[3]
Centralizers of semisimple elements in nite groups of Lie type Proc. London
R. W. Carter
Math. Soc. (3), 37(1978), 3, 491507.
R. W. Carter
Centralizers of semisimple elements in the nite classical groups
London Math. Soc. (3), 42(1981), 1, 141.
D. Deriziotis
Proc.
The Brauer complex and its application to the Chevalley groups, Ph. D. thesis,
University of Warwick, 1977.
[4]
R. W. Carter, P. Fong
[5]
A. J. Weir
1(1964), 2, 139151.
The Sylow 2-subgroups of the nite classical groups, J. Algebra,
Sylow p-subgroups of the classical groups over nite elds with characteristic
prime to p, Proc. Amer. Math. Soc., 6(1955), 4, 529533.
[6]
Twisted wreath product and Sylow 2-subgroups of classical simple groups, Math.
W. J. Wong
Z., 97(1967), 5, 406424.
Ñèëîâñêèå 2-ïîäãðóïïû êîíå÷íûõ ãðóïï (îáçîð),
[7]
Â. Â. Êàáàíîâ, À. Ñ. Êîíäðàòüåâ
[8]
Â. È. Çåíêîâ, Â. Ä. Ìàçóðîâ
[9]
A. Mann
[10]
Y. Segev
[11]
D. J. S. Robinson
[12]
R. W. Carter
[13]
Äæ. Õàìôðè
[14]
J.
[15]
D. Gorenstein, R. Lyons
[16]
Ð. Ô. Àïàòåíîê, Ä. À. Ñóïðóíåíêî
Ñâåðäëîâñê: Èí-ò ìàò. è ìåõ. ÓÍÖ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1979.
Î ïåðåñå÷åíèè ñèëîâñêèõ ïîäãðóïï â êîíå÷íûõ ãðóïïàõ,
Àëãåáðà è ëîãèêà, 35(1996), 4, 424432.
162172.
E.
Soluble subgroups of symmetric and linear groups, Israel J. Math. 55(1986), 2,
Ph. D. thesis, The Hebrew University of Jerusalem, 1985.
A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag New York, 1996.
Simple Groups of Lie Type, Wiley, London, 1972.
Ëèíåéíûå àëãåáðàè÷åñêèå ãðóïïû Ìîñêâà, ¾Íàóêà¿, 1980.
Conjugacy Classes in Semisimple ALgebraic Groups, American
Humphreys
Mathematical Society, Providence, Rhode Island, Mathematical Survey and Monographs,
v. 43.
The local structure of nite groups of characteristic 2 type,
Memoirs Amer. Math. Soc. 276(1983).
Î íèëüïîòåíòíûõ íåïðèâîäèìûõ ëèíåéíûõ
ãðóïïàõ íàä êîíå÷íûì ïîëåì, ÄÀÍ ÁÑÑÐ, 3(1959), 12, 475478.
[17]
Atlas of nite groups, Oxford, Clarendon Press, 1985.
[18]
A Measuring Argument for Finite Groups, Proc. Amer. Math. Soc.,
J. H. Conway
A. Chermak, A. Delgado
107(1989), 4, 907914.
14
Àäðåñ àâòîðà
Âäîâèí Åâãåíèé Ïåòðîâè÷,
630090 Íîâîñèáèðñê,
ïð. Êîïòþãà 4
e-mail [email protected]
15