Лекция 7. Обогащённые категории.

Ëåêöèÿ 7. Îáîãàù¼ííûå êàòåãîðèè.
À. Þ. Ôåòèñîâ
24 àïðåëÿ 2012 ã.
Ñîäåðæàíèå
1
Ìîíîèäàëüíî çàìêíóòûå êàòåãîðèè.
1
2
Âíóòðåííèé hom.
3
3
Îáîãàù¼ííûå êàòåãîðèè.
5
4
Íåîáû÷íàÿ åñòåñòâåííîñòü.
9
 ïðîøëûé ðàç ìû ââåëè êàòåãîðèþ êîìïàêòíî ïîðîæä¼ííûõ òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ. ż ïðåèìóùåñòâî, ïî ñðàâíåíèþ ñ îáû÷íûìè òîïîëîãè÷åñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè, â òîì, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ äåêàðòîâî çàìêíóòîé, è ëþáîå ìíîæåñòâî îòîáðàæåíèé ñàìî ïðèîáðåòàåò åñòåñòâåííóþ ñòðóêòóðó òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà.  ýòîò ðàç ìû ðàññìîòðèì ýëåìåíòû îáùåé òåîðèè êàòåãîðèé ñ äîïîëíèòåëüíîé
ñòðóêòóðîé íà ìíîæåñòâàõ ìîðôèçìîâ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íà ýòîò ñëó÷àé ìîæíî ïåðåíåñòè ôàêòè÷åñêè
âñå ñòðóêòóðû îáû÷íûõ êàòåãîðèé.
1
Ìîíîèäàëüíî çàìêíóòûå êàòåãîðèè.
Ìîíîèäàëüíàÿ êàòåãîðèÿ ýòî êàòåãîðèÿ V , ñíàáæ¼ííàÿ áèôóíêòîðîì ⊗ : V ×V → V
(òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå), òàê ÷òî
Îïðåäåëåíèå 1.
1. ⊗ àññîöèàòèâåí ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà, ò. å. çàäàí åñòåñòâåííûé èçîìîðôèçì αA,B,C : (A ⊗ B)⊗
C ' A ⊗ (B ⊗ C);
2. çàäàí îáúåêò I ∈ V (ìîíîèäàëüíàÿ åäèíèöà ) è åñòåñòâåííûå ïî X èçîìîðôèçìû lX : I ⊗ X ' X ,
rX : X ⊗ I ' X ;
3. ñëåäóþùèå äèàãðàììû êîììóòàòèâíû:
(a) òîæäåñòâî ïÿòèóãîëüíèêà:
((W ⊗ X) ⊗ Y ) ⊗ Z
/ (W ⊗ X) ⊗ (Y ⊗ Z)
α
α
/ W ⊗ (X ⊗ (Y ⊗ Z))
O
α⊗1
1⊗α
(W ⊗ (X ⊗ Y )) ⊗ Z
/ W ⊗ ((X ⊗ Y ) ⊗ Z)
α
(b)
α
(X ⊗ I) ⊗ Y
&
x
X ⊗Y
r⊗1
/ X ⊗ (I ⊗ Y )
1⊗l
Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ[1, ãëàâà 7], ÷òî ëþáîå ïðîèçâåäåíèå íå çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê è
äîáàâëåíèÿ åäèíèö ñ òî÷íîñòüþ äî êàíîíè÷åñêîãî èçîìîðôèçìà.
1
Ïðèìåð 1.
1. Ëþáàÿ êàòåãîðèÿ ñ êîíå÷íûìè ïðîèçâåäåíèÿìè ÿâëÿåòñÿ ìîíîèäàëüíîé, ⊗ = ×, I = 1.
`
2. Àíàëîãè÷íî äëÿ ëþáîé êàòåãîðèè ñ êîïðîèçâåäåíèÿìè: ⊗ = , I = 0.
3. Êàòåãîðèÿ R-ìîäóëåé ìîíîèäàëüíà, äëÿ ëþáîãî êîëüöà R. Ïðè ýòîì ⊗ åñòü òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ìîäóëåé, à I = R.
4. Êàòåãîðèÿ íåîòðèöàòåëüíûõ öåïíûõ êîìïëåêñîâ àáåëåâûõ ãðóïï èìååò ìîíîèäàëüíóþ ñòðóêòóðó,
â êîòîðîé ⊗ åñòü òîòàëüíûé êîìïëåêñ áèêîìïëåêñà, ïîëó÷àþùåãîñÿ èç ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ
êîìïëåêñîâ, à ìîíîèäàëüíàÿ åäèíèöà åñòü êîìïëåêñ ñ åäèíñòâåííîé íåíóëåâîé ãðóïïîé Z â íóëåâîé
êîìïîíåíòå.
Êàòåãîðèÿ íàçûâàåòñÿ ìîíîèäàëüíî çàìêíóòîé, åñëè äëÿ ëþáîãî Y ôóíêòîð · ⊗ Y
èìååò ïðàâûé ñîïðÿæ¼ííûé [Y, ·], åñòåñòâåííûé ïî Y , ò. å. èìååòñÿ åñòåñòâåííûé èçîìîðôèçì
Îïðåäåëåíèå 2.
V (X ⊗ Y, Z) ' V (X, [Y, Z])
Èíîãäà äëÿ êðàòêîñòè ìû áóäåì ïèñàòü Z Y âìåñòî [Y, Z]. Òàêæå áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî [·, ·] ñîïðÿæ¼í
ñïðàâà ê ⊗, ïîäðàçóìåâàÿ óêàçàííûé âûøå èçîìîðôèçì (à íå ñîïðÿæ¼ííîñòü êàê ôóíêòîðîâ A×A → A
è A → A × A).
Ïðèìåð 2.
1. Ìîíîèäàëüíî çàìêíóòàÿ êàòåãîðèÿ ñ êîíå÷íûìè ïðîèçâåäåíèÿìè è ⊗ = × íàçûâàåòñÿ äåêàðòîâî
çàìêíóòîé. Ïðèìåðàìè ÿâëÿþòñÿ Set è CGHaus.
`
2. Ìîíîèäàëüíàÿ êàòåãîðèÿ ⊗ =
îáû÷íî íå ÿâëÿåòñÿ ìîíîèäàëüíî çàìêíóòîé.
3. Äëÿ ëþáîãî êîëüöà R êàòåãîðèÿ R − mod ìîíîèäàëüíî çàìêíóòà. Ìíîæåñòâî ãîìîìîðôèçìîâ
R-ìîäóëåé Hom (M, N ) ñàìî èìååò åñòåñòâåííóþ ñòðóêòóðó R-ìîäóëÿ, ïîýòîìó [·, ·] åñòü ìîäóëü
ãîìîìîðôèçìîâ.
4. Êàòåãîðèÿ íåîòðèöàòåëüíûõ öåïíûõ êîìïëåêñîâ ñ óêàçàííîé âûøå ñòðóêòóðîé ÿâëÿåòñÿ ìîíîèäàëüíî çàìêíóòîé.
5. Êàòåãîðèÿ 2 = {0 → 1} ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ìîíîèäàëüíî çàìêíóòîé. Îíà ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîðÿäêîì, ñîîòâåòñòâóþùåå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî åñòü {0, 1} ñ 0 < 1.  íåé ⊗ = ∧ ìèíèìóì äâóõ
ýëåìåíòîâ, à ïðàâûé ñîïðÿæ¼ííûé îïåðàöèÿ èìïëèêàöèè ⇒, ïðè ýòîì a ∧ b 6 c ⇐⇒ a 6 b ⇒ c.
6. Ðàññìîòðèì êàòåãîðèþ R+ . Ýòî ïðåäïîðÿäîê, îáúåêòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà 0 6 x 6 +∞, à
ìîðôèçì a → b ñóùåñòâóåò òîëüêî òîãäà, êîãäà a > b. Íà íåé çàäàí áèôóíêòîð + : R+ × R+ → R+ ,
íà îáúåêòàõ ÿâëÿþùèéñÿ ñëîæåíèåì ÷èñåë. Îí èìååò ïðàâûé ñîïðÿæ¼ííûé [·, ·], çàäàííûé ïî
ïðàâèëó [t, s] = max (s − t, 0). Óñëîâèå ñîïðÿæ¼ííîñòè ñïðàâà ïðè ýòîì ïðèíèìàåò âèä
r + t > s ⇐⇒ r > [t, s]
Êàòåãîðèÿ íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ìîíîèäàëüíîé, åñëè èìååòñÿ åñòåñòâåííûé èçîσ
ìîðôèçì X ⊗ Y ' Y ⊗ X , òàêîé ÷òî êîììóòàòèâíû äèàãðàììû
Îïðåäåëåíèå 3.
X ⊗Y
σ
/ Y ⊗X
σ
X ⊗Y
(X ⊗ Y ) ⊗ Z
α
/ X ⊗ (Y ⊗ Z)
σ
α
σ⊗1
(Y ⊗ X) ⊗ Z
/ (Y ⊗ Z) ⊗ X
α
/ Y ⊗ (X ⊗ Z)
2
1⊗σ
/ Y ⊗ (Z ⊗ X)
/ X ⊗I
σ
I ⊗X
l
#
X
{
r
Ïðèìåð 3.
1. Âñå ïðèâåä¼ííûå âûøå ïðèìåðû ìîíîèäàëüíûõ êàòåãîðèé ÿâëÿþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè.
2. Ïðèìåð íåñèììåòðè÷íîé êàòåãîðèè: êàòåãîðèÿ ýíäîôóíêòîðîâ C C , ìîíîèäàëüíîé îïåðàöèåé íà
êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ îïåðàöèÿ êîìïîçèöèè.
F ⊗G=F ◦G
Åñëè C ïîëíà, òî êàòåãîðèÿ ýíäîôóíêòîðîâ îêàçûâàåòñÿ ìîíîèäàëüíî çàìêíóòîé.  ñëó÷àå C =
Set ïðàâûé ñîïðÿæ¼ííûé îïèñûâàåòñÿ îñîáåííî ëåãêî. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôîðìóëà äîêàçàíà â
ñëåäóþùåé ëåêöèè. Ïðàâûé ñîïðÿæ¼ííûé îáîçíà÷àåòñÿ RanG è çàäà¼òñÿ íà îáúåêòàõ ïî ïðàâèëó
(RanG T ) (x) = [Hom (x, G) , T ]
3. Ïðèìåð êàòåãîðèè ñ íåòðèâèàëüíûì èçîìîðôèçìîì ñèììåòðèè σ : êàòåãîðèÿ ñóïåðàëãåáð SAlg.
ż îáúåêòû Z/2-ãðàäóèðîâàííûå àëãåáðû ñ ãðàäóèðîâàííî êîììóòàòèâíûì óìíîæåíèåì
ab = (−1)
|a||b|
ba
Çäåñü |a| = deg a. Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ñòðîèòñÿ êàê îáû÷íî, íî óìíîæåíèå â í¼ì äà¼òñÿ ôîðìóëîé
|a ||b |
(a1 ⊗ b1 ) (a2 ⊗ b2 ) = (−1) 2 1 a1 a2 ⊗ b1 b2
Èçîìîðôèçì σ äà¼òñÿ ôîðìóëîé
a ⊗ b = (−1)
|a||b|
b⊗a
|a||b|
Êîýôôèöèåíò (−1)
åäèíñòâåííûé, ñîâìåñòèìûé ñ óìíîæåíèåì â òåíçîðíîì ïðîèçâåäåíèè è ñ
óñëîâèåì ñóïåðêîììóòàòèâíîñòè.
Äàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñèììåòðè÷íóþ ìîíîèäàëüíî çàìêíóòóþ êàòåãîðèþ V .
2
Âíóòðåííèé hom.
Áèôóíêòîð [·, ·], ñîïðÿæ¼ííûé ñïðàâà ê ⊗, íàçûâàþò ÷àñòî âíóòðåííèì hom-ôóíêòîðîì. Ýòî íàçâàíèå îáúÿñíÿåòñÿ åãî ñâîéñòâàìè, ôîðìàëüíî ñëåäóþùèìè èç óñëîâèé ñîïðÿæ¼ííîñòè è àíàëîãè÷íûìè
ñâîéñòâàì ìíîæåñòâ îòîáðàæåíèé X Y . Äîêàæåì íåêîòîðûå èç íèõ.
Ïðåäëîæåíèå 1.
[A ⊗ B, C] ' [A, [B, C]], ò. å. åñëè ⊗ è [·, ·] ñîïðÿæåíû êàê ôóíêòîðû, òî îíè ñîV -ôóíêòîðû.
ïðÿæåíû è ¾â îáîãàù¼ííîì ñìûñëå¿ êàê
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâûé, òðåòèé è ÷åòâ¼ðòûé èçîìîðôèçìû ïî îïðåäåëåíèþ. Âòîðîé èçîìîðôèçì àññîöèàòèâíîñòè äëÿ ⊗.
1
V (D, [A ⊗ B, C]) '
V (D ⊗ (A ⊗ B) , C)
2
'
V ((D ⊗ A) ⊗ B, C)
3
'
V (D ⊗ A, [B, C])
4
'
Ïðåäëîæåíèå 2.
Ôóíêòîð
V (D, [A, [B, C]])
[·, ·] ñîõðàíÿåò ïðåäåëû ïî êàæäîìó àðãóìåíòó, ò. å. [X, Lim F ] ' Lim [X, F ],
[Colim F, Y ] ' Lim [F, Y ].
3
Ïî âòîðîìó àðãóìåíòó óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ñîïðÿæ¼ííîñòè ñïðàâà. Ïî ïåðâîìó
àðãóìåíòó äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåå:
Äîêàçàòåëüñòâî.
V (X, [Colim F, Y ])
1
'
2
'
3
'
4
'
V (X ⊗ Colim F, Y )
V ((Colim F ) ⊗ X, Y )
V (Colim (F ⊗ X) , Y )
V (Colim X ⊗ F, Y )
5
' Lim V (X ⊗ F, Y )
6
' Lim V (X, [F, Y ])
7
'
V (X, Lim [F, Y ])
Èçîìîðôèçìû 1, 6 ñîïðÿæ¼ííîñòü. Èçîìîðôèçìû 2, 4 ñëåäóþò èç ñèììåòðè÷íîñòè ⊗. Èçîìîðôèçì
3 ñëåäóåò èç ñîõðàíåíèÿ êîïðåäåëîâ ëåâûì ñîïðÿæ¼ííûì ôóíêòîðîì. Èçîìîðôèçìû 5, 7 ñëåäóþò èç
ñîõðàíåíèÿ ïðåäåëîâ ïðåäñòàâèìûìè ôóíêòîðàìè.
Èìååòñÿ åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå (îòîáðàæåíèå îöåíêè) evA : [A, B] ⊗ A → B . Ýòî êîåäèíèöà
ñîïðÿæåíèÿ · ⊗ A a [A, ·].  ñëó÷àå ôóíêòîðà × íà Set èëè òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìîäóëåé ýòî
îòîáðàæåíèå çàêëþ÷àåòñÿ â âû÷èñëåíèè êàæäîé ôóíêöèè èç [A, B] â êàæäîé òî÷êå èç A.
Èìååòñÿ åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå (êîìïîçèöèÿ) ◦ : [B, C] ⊗ [A, B] → [A, C]. Îíà ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì
ïîä äåéñòâèåì èçîìîðôèçìà ñîïðÿæåíèÿ ñëåäóþùåé ñòðåëêè:
1⊗ev
ev
A
B
[B, C] ⊗ [A, B] ⊗ A −−−−→
[B, C] ⊗ B −−→
C
evB ◦ (1 ⊗ evA ) ∈
◦
∈
V ([B, C] ⊗ [A, B] ⊗ A, C)
V ([B, C] ⊗ [A, B] , [A, C])
Äâîéñòâåííîé ê íåé îòíîñèòåëüíî ñîïðÿæåíèÿ · ⊗ [A, B] a [[A, B] , ·] ÿâëÿåòñÿ ñòðåëêà [A, ·] : [B, C] →
[[A, B] , [A, C]], àíàëîãè÷íî ïî ïåðâîìó ñîìíîæèòåëþ ïîëó÷àåì ñòðåëêó [·, C] : [A, B] → [[B, C] , [A, C]].
Ýòî âûðàæàåò V -ôóíêòîðèàëüíîñòü ôóíêòîðà [·, ·] ïî ïåðâîìó (êîíòðàâàðèàíòíî) è ïî âòîðîìó (êîâàðèàíòíî) àðãóìåíòó. Ñìûñë ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòåí, åñëè ðàññìîòðåòü V = Set è [·, ·] = Set (·, ·). Â ýòîì
ñëó÷àå óêàçàííûå ñòðåëêè ñòàíîâÿòñÿ õîðîøî çíàêîìûìè îïåðàöèÿìè êîìïîçèöèè è ïðåäêîìïîçèöèè
ìîðôèçìîâ, çàäàþùèìè ñòðóêòóðó áèôóíêòîðà íà Set (·, ·).
 ñëó÷àå V = Set ìîíîèäàëüíàÿ åäèíèöà åñòü îäíîòî÷å÷íîå ìíîæåñòâî I = ∗, ïðè ýòîì ôóíêòîð
Set (∗, ·) ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì äëÿ òîæäåñòâåííîãî ôóíêòîðà 1 : Set → Set è èìååò ñìûñë ôóíêòîðà
ýëåìåíòîâ îáúåêòà. Äëÿ V = Cat ôóíêòîð Cat (∗, ·) åñòü ôóíêòîð îáúåêòîâ êàòåãîðèè, ò. å. çàáûâàþùèé
ôóíêòîð Cat → Set. Àíàëîãè÷íûé ñìûñë èìååò, ñêàæåì, ôóíêòîð T op (∗, ·) ýòî ïðåäñòàâëåíèå äëÿ
def
çàáûâàþùåãî ôóíêòîðà T op → Set, èëè ôóíêòîð Ab (Z, ·). Ïî àíàëîãèè, ìû íàçûâàåì ôóíêòîð V =
V (I, ·) : V → Set ôóíêòîðîì ýëåìåíòîâ íà êàòåãîðèè V , èëè çàáûâàþùèì ôóíêòîðîì. Çàìåòèì, ÷òî
èç ïîýëåìåíòíîãî ñîâïàäåíèÿ îáúåêòîâ A, B ∈ V íå ñëåäóåò èõ èçîìîðôèçì. Ýòî âèäíî óæå íà ïðèìåðå
T op, ò. ê. íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå ìîæåò áûòü çàäàíà ðàçíàÿ òîïîëîãèÿ.
Ïðåäëîæåíèå 3.
V ([X, Y ]) = V (X, Y ).
Äîêàçàòåëüñòâî.
V ([X, Y ])
= V (I, [X, Y ])
1
'
2
'
V (I ⊗ X, Y )
V (X, Y )
Èçîìîðôèçì 1 ñëåäóåò èç ñîïðÿæ¼ííîñòè, 2 èç èçîìîðôèçìà X ' I ⊗ X .
Òàêèì îáðàçîì, ýëåìåíòû [X, Y ] äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿþòñÿ ìîðôèçìàìè X → Y . Çàìåòèì, ÷òî [X, Y ]
íåñ¼ò ãîðàçäî áîëüøå èíôîðìàöèè, ÷åì ïðîñòî ìíîæåñòâî ìîðôèçìîâ V (X, Y ) è íå âîññòàíàâëèâàåòñÿ
ïî íåìó. Ìîæíî ââåñòè òàêæå ¾îáîãàù¼ííûé îáúåêò ýëåìåíòîâ¿ ïî ïðàâèëó Ξ (X) = [I, X]. Ýòî åñòü
îáîãàù¼ííîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ òîæäåñòâåííîãî ôóíêòîðà â ñèëó ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ:
4
Ïðåäëîæåíèå 4.
[I, X] ' X .
Äîêàçàòåëüñòâî.
V (Y, [I, X])
'
V (Y ⊗ I, X)
'
V (Y, X)
Ìû âèäèì, ÷òî â îòëè÷èå îò òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîãî ôóíêòîðà ýëåìåíòîâ V , ôóíêòîð V -ýëåìåíòîâ
Ξ ïîìíèò âñþ èíôîðìàöèþ îá îáúåêòå.
Ïîëåçíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ÷àñòíûõ ïðèìåðàõ êàòåãîðèé Cat, CGHaus, Ab óêàçàííûå ñòðåëêè è
èçîìîðôèçìû äåéñòâèòåëüíî èìåþò ñìûñë êîìïîçèöèé ìîðôèçìîâ.
3
Îáîãàù¼ííûå êàòåãîðèè.
 îïðåäåëåíèè êàòåãîðèè ÷ðåçâû÷àéíî áîëüøîå ìåñòî çàíèìàåò êàòåãîðèÿ ìíîæåñòâ, ò. ê. âñå homôóíêòîðû ïðèíèìàþò â íåé çíà÷åíèÿ. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò îáùåé ôèëîñîôèè òåîðèè êàòåãîðèé, ò. ê. ñ
å¼ òî÷êè çðåíèÿ êàòåãîðèÿ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ íå ôóíäàìåíòàëüíûì îáúåêòîì, à âñåãî ëèøü îäíîé
èç ìíîãèõ êàòåãîðèé, õîòÿ è ÷ðåçâû÷àéíî õîðîøî óñòðîåííîé.  ÷àñòíîñòè, ñàìà êàòåãîðèÿ ìíîæåñòâ
îïðåäåëåíà íå îäíîçíà÷íî, òàê æå, êàê âîçìîæíû ðàçíûå àêñèîìàòèêè òåîðèè ìíîæåñòâ, ïîòåíöèàëüíî ñ ðàçëè÷íûìè ñëåäñòâèÿìè. Òåì íå ìåíåå ÿñíî, ÷òî ïîäîáíûå òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå òîíêîñòè
íå äîëæíû âëèÿòü íà íàøè ýëåìåíòàðíûå ðåçóëüòàòû. Ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî îò âñåé êàòåãîðèè
ìíîæåñòâ íàì íóæíà ëèøü íåçíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ñòðóêòóðû, à èìåííî äåêàðòîâà çàìêíóòîñòü. Â
áîëåå ïðàâèëüíîì ïîäõîäå ê òåîðèè êàòåãîðèé äîëæíà áûòü âîçìîæíà ëþáàÿ (äîñòàòî÷íî õîðîøàÿ)
êàòåãîðèÿ çíà÷åíèé äëÿ Hom-ôóíêòîðà. Òàêàÿ òåîðèÿ èçó÷àåòñÿ â îáîãàù¼ííîé òåîðèè êàòåãîðèé. Ïîìèìî ëîãè÷åñêîé ñòðîéíîñòè, ïðåèìóùåñòâîì ÿâëÿåòñÿ ÿâíîå ýëåìåíòàðíîå îïèñàíèå äîïîëíèòåëüíîé
ñòðóêòóðû, êîòîðóþ âîçìîæíî èñïîëüçîâàòü. Èìåííî ýòî ìû èñïîëüçîâàëè â ëåêöèè 6 ïðè ïîñòðîåíèè
òåîðèè ãîìîòîïèé.
Ïîäðîáíîå èçëîæåíèå îáîãàù¼ííîé òåîðèè êàòåãîðèé ìîæíî íàéòè â êíèãå [2]. Îáðàùàþ âíèìàíèå,
÷òî íàøè îáîçíà÷åíèÿ íåñêîëüêî îòëè÷àþòñÿ.
Ïóñòü V ìîíîèäàëüíî çàìêíóòàÿ êàòåãîðèÿ. Êàòåãîðèÿ C íàçûâàåòñÿ îáîãàù¼ííîé
V (èëè ïðîñòî V -êàòåãîðèåé ), åñëè çàäàí áèôóíêòîð C [·, ·] : C op × C → V , îïåðàöèÿ êîìïîçèöèè
M : C [B, C] ⊗ C [A, B] → C [A, C], àññîöèàòèâíàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî åñòåñòâåííîãî èçîìîðôèçìà, è äëÿ
êàæäîãî îáúåêòà A ∈ C ìîðôèçì jA : I → C [A, A] (åäèíè÷íàÿ ñòðåëêà ), ÿâëÿþùàÿñÿ åäèíèöåé
îòíîñèòåëüíî êîìïîçèöèè M ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî êîììóòàòèâíû ñëåäóþùèå
äèàãðàììû:
Îïðåäåëåíèå 4.
íàä
/ C [C, D] ⊗ (C [B, C] ⊗ C [A, B])
α
(C [C, D] ⊗ C [B, C]) ⊗ C [A, B]
M ⊗1
1⊗M
C [B, D] ⊗ C [A, B]
C [C, D] ⊗ C [A, C]
M
)
M
C [B, B] ⊗ C [A, B]
O
j⊗1
l
I ⊗ C [A, B]
C [A, D]
M
u
/ C [A, B] o
6
h
M
C [A, B] ⊗ C [A, A]
O
r
1⊗j
C [A, B] ⊗ I
Åñëè ÿñíî, î êàêîé êàòåãîðèè èä¼ò ðå÷ü, òî ìû áóäåì äëÿ êðàòêîñòè ïèñàòü [A, B] âìåñòî C [A, B].
Ïðèìåð 4.
1. Ëþáàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìîíîèäàëüíî çàìêíóòàÿ êàòåãîðèÿ V ÿâëÿåòñÿ V -êàòåãîðèåé.
5
2. Êàòåãîðèè, îáîãàù¼ííûå íàä êàòåãîðèåé àáåëåâûõ ãðóïï Ab, íàçûâàþò àääèòèâíûìè. Òàêæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàòåãîðèè, îáîãàù¼ííûå íàä ëþáîé êàòåãîðèåé ìîäóëåé R-M od. Î íèõ òàêæå
çà÷àñòóþ ãîâîðÿò êàê îá àääèòèâíûõ, ìîë÷àëèâî ïîäðàçóìåâàÿ ñòðóêòóðó R-ìîäóëåé íà îáúåêòàõ
ìîðôèçìîâ çàäàííîé.
3. Òîïîëîãè÷åñêàÿ êàòåãîðèÿ ýòî êàòåãîðèÿ, îáîãàù¼ííàÿ íàä CGHaus. Òàêèå êàòåãîðèè ÿâëÿþòñÿ îáùèì êîíòåêñòîì äëÿ êëàññè÷åñêîé òåîðèè ãîìîòîïèé. Çàìåòèì, ÷òî îíè íå ìîäåëèðóþò
íåêîòîðûå òîíêèå ãîìîòîïè÷åñêèå ýôôåêòû, ïîýòîìó â ñîâðåìåííîé òåîðèè ãîìîòîïèé èõ ñòðåìÿòñÿ çàìåíèòü ïîíÿòèåì ∞-êàòåãîðèé, êîòîðûå ìû çäåñü íå ðàññìàòðèâàåì.
4. Ëþáîé ïðåäïîðÿäîê èìååò åñòåñòâåííóþ ñòðóêòóðó êàòåãîðèè, îáîãàù¼ííîé íàä êàòåãîðèåé 2 =
{0 → 1}. Ïóñòûì hom-ìíîæåñòâàì ñîîòâåòñòâóåò îáúåêò 0 ∈ 2, à íåïóñòûì îáúåêò 1 ∈ 2. Íàëè÷èå îïåðàöèé êîìïîçèöèè ñâîäèòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó ôàêòó 0 ⇒ 1, 1 ⇒ 1, 0 ⇒ 0, 1 6⇒ 0.
5. Êàòåãîðèÿ M, îáîãàù¼ííàÿ íàä R+ , ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóòè, ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. Ðàññòîÿíèå
îò òî÷êè a äî òî÷êè b ïðè ýòîì åñòü M (a, b). Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà
M (a, b) + M (b, c) > M (a, c)
ïðè ýòîì åñòü â òî÷íîñòè óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ êîìïîçèöèè.  îòëè÷èå îò îáû÷íûõ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ, äëÿ òàêèõ êàòåãîðèé íå îáÿçàòåëüíà ñèììåòðè÷íîñòü ìåòðèêè, à ðàññòîÿíèå
ìåæäó ðàçëè÷íûìè òî÷êàìè ìîæåò áûòü ðàâíî íóëþ. Îäíàêî äëÿ òåîðèè êàòåãîðèé â ýòîì íåò
íè÷åãî ïëîõîãî: ðàçíûå îáúåêòû âïîëíå ìîãóò áûòü èçîìîðôíû, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò îáùåé ôèëîñîôèè. Íåñèììåòðè÷íîñòü ìåòðèêè æå íåñ¼ò ñóùåñòâåííóþ ÷àñòü èíôîðìàöèè î êàòåãîðèè.
Êðîìå òîãî, áîëüøèíñòâî ñòàíäàðòíûõ êîíñòðóêöèé ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ èçíà÷àëüíî äàþò
íåñèììåòðè÷íóþ ìåòðèêó, êîòîðóþ ïîòîì äîïîëíèòåëüíî ñèììåòðèçóþò. Ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè
êàòåãîðèé, òàêèå ïðîñòðàíñòâà êàê ìèíèìóì ñòîëü æå õîðîøè, êàê è êëàññè÷åñêèå. Îíè íàçûâàþòñÿ ìåòðè÷åñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè Ëîâåðà (F. W. Lawvere, [3]).
6. 2-êàòåãîðèÿ ýòî êàòåãîðèÿ A, îáîãàù¼ííàÿ íàä Cat. Ìîðôèçìû â îáúåêòàõ A (X, Y ) íàçûâàþòñÿ
2-ìîðôèçìàìè ìåæäó X è Y , à îáúåêòû 1-ìîðôèçìàìè. Òàê êàê â A èìåþòñÿ íå òîæäåñòâåííûå
èçîìîðôèçìû ìåæäó ìîðôèçìàìè, òî â íåé èìåþò ñìûñë ïîíÿòèÿ ñîïðÿæ¼ííîñòè 1-ìîðôèçìîâ
è ýêâèâàëåíòíîñòè îáúåêòîâ A, òàê æå êàê è äëÿ êàòåãîðèé. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ òåîðèÿ ñîïðÿæ¼ííûõ ôóíêòîðîâ èñïîëüçóåò åñòåñòâåííóþ 2-êàòåãîðíóþ ñòðóêòóðó íà Cat. 2-êàòåãîðèè òàêæå
èãðàþò ðîëü â òåîðèè ãîìîòîïèé, ãäå 2-ìîðôèçìû èíòåðïðåòèðóþòñÿ êàê ãîìîòîïèè ìåæäó 1ìîðôèçìàìè.
Çàìå÷àíèå 1. Ìîæíî ðàññìîòðåòü òàêæå ñëàáóþ âåðñèþ ïîíÿòèÿ 2-êàòåãîðèè, íàçûâàåìóþ îáû÷íî áèêàòåãîðèÿ. Ïðè ýòîì òðåáóåòñÿ, ÷òîáû äèàãðàììû, âõîäÿùèå â îïðåäåëåíèå îáîãàù¼ííîé
êàòåãîðèè, áûëè êîììóòàòèâíû ëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè êàòåãîðèé, èëè â íåêîòîðîì äðóãîì ñëàáîì ñìûñëå. Òàêîé ïîäõîä áîëüøå ñîîòâåòñòâóåò äóõó òåîðèè êàòåãîðèé, â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì áèêàòåãîðèè èãðàþò áî ëüøóþ ðîëü, ÷åì 2-êàòåãîðèè. Ýòîò ïðîöåññ ìîæíî ïðîäîëæèòü: ðàññìîòðåòü 3-êàòåãîðèè, ò. å. êàòåãîðèè, îáîãàù¼ííûå íàä 2-êàòåãîðèÿìè, è â îáùåì
ñëó÷àå n-êàòåãîðèè è äàæå ∞-êàòåãîðèè, êàê ïðåäåë ïðè n → ∞. Òàê êàê ïðè ýòîì îñíîâíóþ
ðîëü íà÷èíàåò èãðàòü êîììóòàòèâíîñòü äèàãðàìì ñ òî÷íîñòüþ äî íåêîòîðîãî èçîìîðôèçìà, òî â
íåêîòîðûõ èñòî÷íèêàõ ãîâîðÿ î 2-êàòåãîðèÿõ ïîäðàçóìåâàþò òî, ÷òî ìû íàçâàëè áèêàòåãîðèÿìè.
Îïðåäåëåíèå 5. V -ôóíêòîð T : A → B ìåæäó äâóìÿ V -êàòåãîðèÿìè ñîñòîèò èç îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâ
îáúåêòîâ T : Ob A → Ob B è îáúåêòîâ ìîðôèçìîâ
TA,B : A [A, B] → B [T A, T B]
òàê ÷òî êîììóòàòèâíû ñëåäóþùèå äèàãðàììû:
A [B, C] ⊗ A [A, B]
M
T ⊗T
B [T B, T C] ⊗ B [T A, T B]
6
/ A [A, C]
T
M
/ B [T A, T C]
A [A, B]
:
j
I
T
j
$ B [T A, T B]
Ñìûñë ýòèõ äèàãðàìì ñòàíîâèòñÿ ÿñåí ïîñëå ïðèìåíåíèÿ ê íèì ôóíêòîðà V . Íà ìîðôèçìàõ ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêòîð ïåðåâîäèò êîìïîçèöèþ ìîðôèçìîâ â êîìïîçèöèþ è ñîõðàíÿåò åäèíè÷íûå ñòðåëêè. Åù¼ ðàç ïîä÷åðêíó, ÷òî óñëîâèå V -ôóíêòîðèàëüíîñòè ãîðàçäî ñèëüíåå, ÷åì ïðîñòî ôóíêòîðèàëüíîñòü, è ìîæíî ïðèäóìàòü ðàçíûå V -ôóíêòîðû, êîòîðûå áóäóò ñîâïàäàòü ïîòî÷å÷íî íà ìîðôèçìàõ.
Íàïðèìåð, äëÿ ìîíîèäàëüíî çàìêíóòîé êàòåãîðèè Cat ëþáîé Catýíäîôóíêòîð ñîñòîèò èç ôóíêòîðîâ
ìåæäó ðàçëè÷íûìè êàòåãîðèÿìè ìîðôèçìîâ, íî äâà ðàçëè÷íûõ ôóíêòîðà ìîãóò ñîâïàäàòü íà îáúåêòàõ
êàòåãîðèé Cat (A, B).
Ïðèìåð 5.
1. V -ôóíêòîð ìåæäó 2-îáîãàù¼ííûìè êàòåãîðèÿìè òî æå ñàìîå, ÷òî è ôóíêòîð ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè ïðåäïîðÿäêàìè.
2. V -ôóíêòîð ìåæäó àääèòèâíûìè êàòåãîðèÿìè íàçûâàåòñÿ àääèòèâíûì ôóíêòîðîì.
3. V -ôóíêòîð ìåæäó R+ -îáîãàù¼ííûìè êàòåãîðèÿìè ñîîòâåòñòâóåò îòîáðàæåíèþ ìåòðè÷åñêèõ ïðîop
ñòðàíñòâ, íå óâåëè÷èâàþùåìó ðàññòîÿíèå. Êàòåãîðèÿ V -ôóíêòîðîâ V M äëÿ R+ -êàòåãîðèé ýòî êàòåãîðèÿ ôóíêöèé, íå óâåëè÷èâàþùèõ ðàññòîÿíèå. Îáúåêòû V -åñòåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàop
íèé íàäåëÿþò V M ñòðóêòóðîé ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìåòðèêà åñòü sup
ìåòðèêà íà ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé:
op
V M [F, G] = sup V [F x, Gx] , F, G : M → V
x∈M
Äëÿ îáîãàù¼ííûõ êàòåãîðèé âåðåí îáîãàù¼ííûé âàðèàíò ëåììû Éîíåäû. Îäíî èç å¼ ñëåäñòâèé:
op
ôóíêòîð M → V M , a 7→ [·, a] ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ïîëíûì âëîæåíèåì. Äëÿ V = R+ ýòî çíà÷èò,
op
÷òî ëþáîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî M èçîìåòðè÷åñêè âêëàäûâàåòñÿ â êàòåãîðèþ V M . Áîëåå
op
òîãî, áèôóíêòîðû +, × : R+ × R+ → R+ íàäåëÿþò V M ñòðóêòóðîé ïîëóêîëüöà (íåò îáðàòíîãî
ïî ñëîæåíèþ).
Çàìå÷àíèå 2. Ïðåäûäóùèé ïðèìåð èëëþñòðèðóåò îáùèé ïðèíöèï äâîéñòâåííîñòè ìåæäó ïðîop
ñòðàíñòâàìè (êàòåãîðèÿìè) è êîëüöàìè ôóíêöèé íà íèõ (êàòåãîðèé ôóíêòîðîâ V A ). Ýòà äâîéñòâåííîñòü ëåæèò â îñíîâå ñîâðåìåííîé àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè. ×àñòíîé å¼ ôîðìàëèçàöèåé ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñõåìû â àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Íå âäàâàÿñü â ïîäðîáíîñòè, ïîÿñíèì
op
å¼ äëÿ êàòåãîðèé. Êàòåãîðèÿ  = V A íàçûâàåòñÿ êàòåãîðèåé V -ïðåäïó÷êîâ íà A. Ïóñòü íà
V åñòü êîíå÷íûå êîïðîèçâåäåíèÿ. Òîãäà èìåþòñÿ äâà àññîöèàòèâíûõ ñèììåòðè÷íûõ áèôóíêòîðà + : A ⊗ A → A, ⊗ : A ⊗ A → A. Ò. ê. ⊗ ñîõðàíÿåò êîïðåäåëû, òî âåðíà äèñòðèáóòèâíîñòü
(A + B) ⊗ C ' A ⊗ C + B ⊗ C . Âîîáùå ãîâîðÿ, ôóíêòîð + íå îáÿçàí èìåòü îáðàòíîãî (ñëîæåíèå
íå îáðàòèìî), ïîýòîìó ïîëó÷åííàÿ ñòðóêòóðà íà V íå êîëüöî, à ïîëóêîëüöî. Çàìåòèì, ÷òî âñå
ñòàíäàðòíûå àêñèîìû ïîëóêîëüöà ïðè ýòîì âûïîëíåíû ëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà. Ýòî
åñòåñòâåííîå òåîðåòèêî-êàòåãîðíîå îáîáùåíèå êëàññè÷åñêîé àëãåáðû. + è ⊗ çàäàþò íà êàòåãîðèÿõ ïðåäïó÷êîâ åñòåñòâåííóþ ñòðóêòóðó ïîëóêîëüöà ñ ïîòî÷å÷íûìè îïåðàöèÿìè. Ýòî àíàëîãè÷íî
ïîñòðîåíèþ êîëüöà ôóíêöèé íà ïðîñòðàíñòâå ïî êîëüöó ÷èñåë. Çàìåòèì, ÷òî ðàçíûå êàòåãîðèè
ìîãóò èìåòü îäíó è òó æå êàòåãîðèþ ïðåäïó÷êîâ. Êëàññè÷åñêèì àíàëîãîì ÿâëÿåòñÿ ñîâïàäåíèå
êîëåö íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå è åãî ïîïîëíåíèè. Ñîîòâåòñòâåííî,
ïðî êàòåãîðèè A è B , òàêèå ÷òî Â ' B̂ , ãîâîðÿò, ÷òî îíè èìåþò îäèíàêîâîå ïîïîëíåíèå ïî Êîøè.
 àëãåáðå àíàëîãè÷íûì ïîíÿòèåì ÿâëÿåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ïî Ìîðèòå. Äëÿ ëþáîé V -êàòåãîðèè
A ñóùåñòâóåò òàêàÿ V -êàòåãîðèÿ Ā, ÷òî
 ' B̂ ⇐⇒ Ā ' B̄
Ñîîòâåòñòâåííî, V -êàòåãîðèþ Ā íàçûâàþò ïîïîëíåíèåì ïî Êîøè V -êàòåãîðèè A.  ñëó÷àå V = R+
ýòî â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò êëàññè÷åñêîìó ïîïîëíåíèþ ïî Êîøè ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà.
7
Îïðåäåëåíèå 6.
V -ôóíêòîð T ñòðîãî ïîëíûé, åñëè âñå TA,B ÿâëÿþòñÿ èçîìîðôèçìàìè.
Òàê æå êàê è ìåæäó îáû÷íûìè ôóíêòîðàìè, ìåæäó V -ôóíêòîðàìè èìåþòñÿ V -åñòåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Îáúåêò V -åñòåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìû îïðåäåëèì ïîçäíåå. Ñåé÷àñ îïèøåì åãî ýëåìåíòû.
Îïðåäåëåíèå 7. V -åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå α : T → S ìåæäó V -ôóíêòîðàìè ýòî íàáîð ìîðôèçìîâ αA : T A → SA, òàêîé ÷òî êîììóòàòèâíû âñå äèàãðàììû âèäà
T
A [A, B]
/ B [T A, T B]
B[T A,αB ]
S
B [SA, SB]
/ B [T A, SB]
B[αA ,SB]
Çäåñü A [A, B] åñòü âíóòðåííèé Hom â êàòåãîðèè A, àíàëîãè÷íî äëÿ B . Ñîãëàñíî 3, ìû îòîæäåñòâαB
SB è αB : I → B [T B, SB]. Ñòðåëêè B [T A, αB ] è B [αA , SB] çàäàþòñÿ êàê êîìïîëÿåì ñòðåëêè T B −−→
çèöèè
α
B[T A,·]
α
B[·,SB]
B
B [T B, SB] −−−−−→ B [B [T A, T B] , B [T A, SB]]
B [T A, αB ] : I −−→
A
B [αA , SB] : I −−→
B [T A, SA] −−−−−→ B [B [SA, SB] , B [T A, SB]]
ãäå B [T A, ·] è B [·, SB] îïèñàíû ðàíåå2. Äëÿ ïðîÿñíåíèÿ ñìûñëà îïðåäåëåíèÿ ðàññìîòðèì äèàãðàììó
ïîýëåìåíòíî.  ýòîì ñëó÷àå èìååì äèàãðàììó îáû÷íûõ ôóíêòîðîâ
T
A (A, B)
S
B (SA, SB)
/ B (T A, T B)
B(T A,αB )
/ B (T A, SB)
B(αA ,SB)
Êîììóòàòèâíîñòü ýòîé äèàãðàììû ýêâèâàëåíòíà êîììóòàòèâíîñòè äèàãðàììû
TA
αA
/ SA
αB
/ SB
Tf
TB
Sf
Äåéñòâèòåëüíî, êîìïîçèöèÿ âåðõíèõ ñòðåëîê ïåðåâîäèò ýëåìåíò f ∈ A (A, B) â ýëåìåíò αB ◦ T f ∈
B (T A, SB), à íèæíèõ â ýëåìåíò Sf ◦ αA ∈ B (T A, SB).
Êîíòðàâàðèàíòíûå ôóíêòîðû ââîäÿòñÿ ñòàíäàðòíûì îáðàçîì, êàê ôóíêòîðû íà äâîéñòâåííîé êàòåãîðèè.
V -êàòåãîðèÿ Aop , äâîéñòâåííàÿ ê V -êàòåãîðèè A, îïðåäåëÿåòñÿ êàê êàòåãîðèÿ ñ òåìè
æå îáúåêòàìè è ïðîñòðàíñòâàìè ìîðôèçìîâ
Îïðåäåëåíèå 8.
def
Aop [X, Y ] = A [Y, X]
Äëÿ ðàññìîòðåíèÿ ôóíêòîðîâ îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ íàì ïîòðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ïðîèçâåäåíèå
V -êàòåãîðèé, ïîäîáíî òîìó, êàê îáû÷íûé ôóíêòîð îò äâóõ ïåðåìåííûõ åñòü ôóíêòîð íà ïðîèçâåäåíèè
êàòåãîðèé A × B . Â êîíòåêñòå V -êàòåãîðèé îïðåäåëåíèå äîëæíî áûòü ñôîðìóëèðîâàíî â òåðìèíàõ
ìîíîèäàëüíîé ñòðóêòóðû íà A è B .
Ïðîèçâåäåíèå V -êàòåãîðèé A ⊗ B ýòî V -êàòåãîðèÿ, ìíîæåñòâîì îáúåêòîâ êîòîðîé
ÿâëÿåòñÿ Ob A ⊗ B = (Ob A) ⊗ (Ob B), à hom-îáúåêòû äàþòñÿ ïî ïðàâèëó
Îïðåäåëåíèå 9.
[(A, B) , (A0 , B 0 )] = [A, A0 ] ⊗ [B, B 0 ]
j(A,B)
r
jA ⊗jB
Åäèíè÷íûé ìîðôèçì I −−−−→ [(A, B) , (A, B)] åñòü êîìïîçèöèÿ I ' I ⊗ I −−−−→ [A, A] ⊗ [B, B].
8
Åñëè êàòåãîðèè A è B ñèììåòðè÷íû, òî èõ ïðîèçâåäåíèå òîæå ñèììåòðè÷íî. Ñòàíäàðòíûå áèôóíêòîðû ⊗ è [·, ·] íà îáîãàù¼ííûõ êàòåãîðèÿõ ÿâëÿþòñÿ V -áèôóíêòîðàìè. Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ⊗ ÿâëÿåòñÿ V -áèôóíêòîðîì íà êàòåãîðèè A.
Ïðåäëîæåíèå 5.
Èìååòñÿ åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå
[X, Y ] ⊗ [X 0 , Y 0 ] → [X ⊗ X 0 , Y ⊗ Y 0 ]
Ïîä äåéñòâèåì èçîìîðôèçìà ñîïðÿæåíèÿ ýòî åñòü ñòðåëêà
evX ⊗ev
0
X
→Y ⊗Y0
([X, Y ] ⊗ [X 0 , Y 0 ]) ⊗ [X ⊗ X 0 ] ' ([X, Y ] ⊗ X) ⊗ ([X 0 , Y 0 ] ⊗ X 0 ) −−−−−−−
Äëÿ [·, ·] äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî, ñ èñïîëüçîâàíèåì îïðåäåë¼ííûõ ðàíåå 2 ìîðôèçìîâ [A, ·] è
[·, A].
4
Íåîáû÷íàÿ åñòåñòâåííîñòü.
Ñòàíäàðòíîå ïîíÿòèå åñòåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ µ : F → G, F, G : A → B îõâàòûâàåò íå âñå èíòåðåñíûå ñëó÷àè. Îíî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü êîâàðèàíòíûå ôóíêòîðû (A → B ) è êîíòðàâàðèàíòíûå
ôóíêòîðû (Aop → B ), íî ïëîõî ïîäõîäèò äëÿ ðàáîòû ñ ôóíêòîðàìè, èìåþùèìè êàê êîâàðèàíòíûå, òàê
è êîíòðàâàðèàíòíûå ïåðåìåííûå. Íàïðèìåð, õîòåëîñü áû, ÷òîáû åäèíèöà è êîåäèíèöà ñîïðÿæåíèÿ âñåãäà áûëè åñòåñòâåííûìè ïî âñåì âõîäÿùèì â îïðåäåëåíèå ïåðåìåííûì. Äëÿ ñîïðÿæåíèÿ ·⊗A a [A, ·] ýòî
âûðàæàëîñü áû â åñòåñòâåííîñòè îòîáðàæåíèÿ îöåíêè ev : [A, B] ⊗ A → B ïî ïåðåìåííûì A è B . Îáû÷íîå ïîíÿòèå åñòåñòâåííîñòè íå ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ïîäîáíîå óòâåðæäåíèå. Äëÿ ýòîãî íàì ïîòðåáóåòñÿ
íîâîå îïðåäåëåíèå.  êíèãå [2] ýòî íàçûâàåòñÿ íåîáû÷íîé ( extraordinary ) åñòåñòâåííîñòüþ.  êíèãå
[1] àíàëîãîì ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíàÿ åñòåñòâåííîñòü. Ôîðìàëüíî ýòî áîëåå îáùåå ïîíÿòèå, îäíàêî íà
ïðàêòèêå ýòà äîïîëíèòåëüíàÿ îáùíîñòü îáû÷íî íå îêóïàåòñÿ.
Ïóñòü F : A ⊗ B → C V -ôóíêòîð. Îïðåäåëèì äåéñòâèå íà hom-îáúåêòàõ ñîîòâåòñòâóþùèõ V ôóíêòîðîâ ïðè ôèêñèðîâàííûõ àðãóìåíòàõ êàê ñëåäóþùèå êîìïîçèöèè:
jA ⊗1
T
1⊗jB
T
T (A, ·) : [B, B 0 ] ' I ⊗ [B, B 0 ] −−−→ [A, A] ⊗ [B, B 0 ] −
→ [T (A, B) , T (A, B 0 )]
T (·, B) : [A, A0 ] ' [B, B 0 ] ⊗ I −−−→ [A, A0 ] ⊗ [B, B] −
→ [T (A, B) , T (A0 , B)]
Ïóñòü K ∈ B , T : Aop ⊗ A → B áèôóíêòîð. Åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå èç K â
T ýòî ñåìåéñòâî ìîðôèçìîâ βA : K → T (A, A), òàêîå ÷òî êîììóòàòèâíû âñå äèàãðàììû âèäà
Îïðåäåëåíèå 10.
A [A, B]
T (A,·)
/ B [T (A, A) , T (A, B)]
T (·,B)
B [T (B, B) , T (A, B)]
B[βB ,1]
(4.1)
B[βA ,1]
/ B [K, T (A, B)]
Äâîéñòâåííî, åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå èç T â K ýòî ñåìåéñòâî ìîðôèçìîâ γA : T (A, A) → K ,
äåëàþùåå êîììóòàòèâíîé âñå äèàãðàììû âèäà
A [A, B]
T (B,·)
/ B [T (B, A) , T (B, B)]
B[1,γB ]
T (A,·)
B [T (B, A) , T (A, A)]
B[1,γA ]
/ B [T (B, A) , K]
Äëÿ ñðàâíåíèÿ, íàïîìíèì äèàãðàììó äëÿ åñòåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ α : P → S .
A [A, B]
/ B [P A, P B]
P
B[P A,αB ]
S
B [SA, SB]
B[αA ,SB]
9
/ B [P A, SB]
Âèäíî, ÷òî äèàãðàììà 4.1 ôîðìàëüíî àíàëîãè÷íà. ż ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ¾ñåìåéñòâî åñòåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé èç êîâàðèàíòíîãî ôóíêòîðà T (A, ·) â êîíòðàâàðèàíòíûé ôóíêòîð T (·, B),
åñòåñòâåííîå ïî A è B ¿. Îñîáî ïðîñòîé âèä îíà ïðèíèìàåò â ñëó÷àå B = V . Èñïîëüçóÿ èçîìîðôèçì
hom-ìíîæåñòâ
V (X, [Y, Z]) ' V (X ⊗ Y, Z) ' V (Y, [X, Z])
è ïðîâîäÿ ñòàíäàðòíûå ðàññóæäåíèÿ ñ êîìïîçèöèÿìè ìîðôèçìîâ, ìîæíî ïðèâåñòè äèàãðàììó åñòåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ èç K â T ê ýêâèâàëåíòíîìó âèäó
βB
/ T (A, A)
βA
K
T (B, B)
ρAB
/ [A (A, B) , T (A, B)]
σAB
Çäåñü ρAB îáðàç ìîðôèçìà T (A, ·) : A (A, B) → [T (A, A) , T (A, B)] ïîä äåéñòâèåì èçîìîðôèçìà
V (A (A, B) , [T (A, A) , T (A, B)]) ' V (T (A, A) , [A (A, B) , T (A, B)])
Àíàëîãè÷íî, σAB îáðàç ìîðôèçìà T (·, B) : A (A, B) → [T (B, B) , T (A, B)]. Èìåííî ýòà äèàãðàììà
áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ íàìè â äàëüíåéøåì.
Çàìå÷àíèå 3. Ïðîèçâîëüíûé ôóíêòîð îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü, êàê ôóíêòîð
T : Aop ⊗ A ⊗ B ⊗ C op → D. Çäåñü â êàòåãîðèè A ëåæàò ïåðåìåííûå, âõîäÿùèå îäíîâðåìåííî êîâàðèàíòíî è êîíòðàâàðèàíòíî, â êàòåãîðèÿõ B è C op òîëüêî êîâàðèàíòíûå è êîíòðàâàðèàíòíûå ïåðåìåííûå,
ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ýòîì ïðîèçâîëüíóþ êîìïîçèöèþ åñòåñòâåííûõ è íåîáû÷íî åñòåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü êàê îäíî ïðåîáðàçîâàíèå, åñòåñòâåííîå â îáîáù¼ííîì ñìûñëå.
Èìåííî ýòî ìû áóäåì èìåòü ââèäó, ãîâîðÿ î åñòåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ â äàëüíåéøåì.
Íåîáû÷íàÿ åñòåñòâåííîñòü ÿâëÿåòñÿ ñîäåðæàòåëüíûì ïîíÿòèåì íå òîëüêî äëÿ îáîãàù¼ííûõ, íî è
äëÿ îáû÷íûõ êàòåãîðèé. Ãîðàçäî áîëåå êðàòêîå ââåäåíèå ýòîãî ïîíÿòèÿ ñì. â [1, ãë. 9]. ß èçëîæèë åãî
â áîëåå îáùåì êîíòåêñòå ñ öåëüþ ýëåìåíòàðíîãî ââåäåíèÿ â òåîðèþ îáîãàù¼ííûõ êàòåãîðèé. Êðîìå
òîãî, ïðè èñïîëüçîâàííîì âûøå ôîðìàëèçìå ðàññìîòðåíèå îáîãàù¼ííûõ êàòåãîðèé íè÷óòü íå ñëîæíåå,
÷åì îáû÷íûõ, à åãî ïðèìåíåíèå ïðîÿñíÿåò ñòðóêòóðó êàòåãîðèé, ïîýòîìó íåò ïðè÷èí äîïîëíèòåëüíî
îãðàíè÷èâàòü ñåáÿ.
Çàìåòèì, ÷òî îïðåäåëåíèå åñòåñòâåííîñòè, äàííîå âûøå, ÿâíî ïîçâîëÿåò óìåíüøåíèå è óâåëè÷åíèå
÷èñëà ïåðåìåííûõ â ôóíêòîðå. Ïðèâåä¼ì íåêîòîðûå ïðèìåðû.
Ïðèìåð 6.
1. Ëþáîå åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå åñòåñòâåííî è â íîâîì ñìûñëå.
2. Âñå êàíîíè÷åñêèå ìîðôèçìû, âõîäÿùèå â îïðåäåëåíèå îáîãàù¼ííûõ êàòåãîðèé, åñòåñòâåííû ïî
âñåì ïåðåìåííûì. Íàïðèìåð, åñòåñòâåííû ñëåäóþùèå ìîðôèçìû:
αA,B,C : (A ⊗ B) ⊗ C ' A ⊗ (B ⊗ C)
V (X ⊗ Y, Z) ' V (X, [Y, Z])
ev : [A, B] ⊗ A → B
◦ : [B, C] ⊗ [A, B] → [A, C]
[A, ·] : [B, C] → [[A, B] , [A, C]]
jA : I → A [A, A]
3. Ñåìåéñòâî ìîðôèçìîâ βA : I → B (T A, SA) åñòåñòâåííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå ñòðåëêè βA : T A → SA îïðåäåëÿþò åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå β : T → S .
T
4. T ÿâëÿåòñÿ V -ôóíêòîðîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå ñòðåëêè A [A, B] −
→ B [T A, T B]
îïðåäåëÿþò åñòåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå.
10
5. Ïóñòü A, B êàòåãîðèè. Êîâàðèàíòíûé ôóíêòîð F : A → B ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê áèôóíêòîð
F : A × Aop → B , ïîñòîÿííûé, ïî êîíòðàâàðèàíòíîé ïåðåìåííîé. Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë F , òî
êàíîíè÷åñêîå îòîáðàæåíèå Lim F → F ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì èç êîíñòàíòû
Lim F â áèôóíêòîð F . Äâîéñòâåííîå óòâåðæäåíèå äëÿ êîïðåäåëà òàêæå âåðíî. Îáîáùåíèåì ýòîé
êîíñòðóêöèè íà áèôóíêòîð, ñóùåñòâåííî çàâèñÿùèõ îò îáîèõ ïåðåìåííûõ, íàçûâàåòñÿ êîíöîì
ôóíêòîðà è áóäåò ðàññìîòðåíî â ñëåäóþùåé ëåêöèè.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Ñ. Ìàêëåéí. Êàòåãîðèè äëÿ ðàáîòàþùåãî ìàòåìàòèêà. ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2å edition, 2004.
[2] G.M. Kelly. Basic concepts of enriched category theory. Reprints in Theory and Applications of Categories,
2005.
[3] F.W. Lawvere. Metric spaces, generalized logic, and closed categories. Reprints in TAC, 1:137, 2002.
11