Решение уравнения деления круга без периодов Гаусса

4
2010
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
ÓÄÊ 512.57
Ë. Â. Àêîïÿí, Â. Ñ. Àêîïÿí
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äåëåíèÿ êðóãà áåç ïåðèîäîâ Ãàóññà
(Ïðåäñòàâëåíî àêàäåìèêîì Â.Ñ. Çàõàðÿíîì 14/VI 2010)
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ëèàíèòîâûå êîðíè, ïåðåõîäíîé ìíîãî÷ëåí, ïåðèîäû Ãàóññà,
óñëîâíûå èíäåêñû, ïîáî÷íûå êîðíè
Ñî âðåìåí Ãàóññà òåîðèÿ óðàâíåíèÿ äåëåíèÿ êðóãà è îáùàÿ êîíöåïöèÿ
íåïîñðåäñòâåííîãî âû÷èñëåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè è åäèíñòâåííûìè.  ñòàòüå ïðåäëàãàåòñÿ èíîé ïîäõîä ê ðåøåíèþ
óðàâíåíèÿ äåëåíèÿ êðóãà ïðè ëþáûõ ïðîñòûõ ïîêàçàòåëÿõ n. Äåòàëüíî áóäóò
âû÷èñëåíû ïåðâîîáðàçíûå êîðíè â òðåõ âàæíåéøèõ ñëó÷àÿõ: n = 1 1 ; 1 3 ; 1 7 .
Ïóñòü çàäàíî ìíîæåñòâî äâóõýëåìåíòíûõ ëèàíèòîâ, ñóùåñòâóþùèõ â
ïðåäåëàõ àëãåáðû:
8
< ¾1 + ¾2 = ( x1 ; x2 ) + ( y1; y2 ) = ( x1 + y1; x2 + y2 ) = ¾2 + ¾1 ;
( 1 :1 )
: ¾ ¾ = ( x ; x ) ( y ; y ) = [x ( y + y ) ; x y ] e = ( 1 ; 0 ) ; 0 = ( 0 ; 0 ) :
1 2
1
2
1 2
1 1
2
2 1
Àëãåáðà (1.1) íåêîììóòàòèâíàÿ è íåàññîöèàòèâíàÿ ïî óìíîæåíèþ, îäíàêî
äèñòðèáóòèâíàÿ ñëåâà íàïðàâî, ò.å. ¾1 ( ¾2 + ¾3 ) = ( ¾1¾2 + ¾1 ¾3 ) . Ïðàâèëî
ñîñòàâëåíèÿ ñòåïåíè îïðåäåëÿåòñÿ êàê ¾ n = ¾[¾¢( ¾¾) ]. e = ( 1 ; 0 ) ïðàâàÿ åäèíèöà.
Òåîðåìà. Ïóñòü ó ìíîãî÷ëåíîâ f n ( x) = xn + a1 xn¡1 + ¢ + an¡1x + an è f 2 ( x) =
x2 +px+g åñòü õîòÿ áû îäèí îáùèé ÷èñëîâîé êîðåíü x02 , ïðè÷åì ëèàíèò ¾( x1 ; x2 )
ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì íå÷èñëîâûì êîðíåì f 2( x) â ïðåäåëàõ àëãåáðû (1.1). Òîãäà
ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåí 'n¡1 ( p; g) òàêîé, ÷òî
g
f n ( ¾) = [x01 ¢ 'n¡1 ( p; g) ; 'n¡1 ( p; g) ]:
p
( 1 :2 )
 ôîðìóëå (1.2) x01 íåñîâïàäàþùèé ÷èñëîâîé êîðåíü ìåæäó ìíîãî÷ëåíàìè
f n ( x) è f 2( x) .
3 4 8
Ýëåìåíòû ëèàíèòîâ, à òàêæå ìíîãî÷ëåíû çàäàíû íàä ìíîæåñòâîì
êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ïðè÷åì ëþáîå ÷èñëî èìååò ëèàíèòîâûé àíàëîã: k ¢ e =
( k; 0 ) .
Ïóñòü çàäàíî f 11 ( x) = x11 ¡ 1 = 0 è ¾( x1; x2 ) – èñêîìûé ëèàíèò â ïðåäåëàõ
àëãåáðû (1.1). Âîçâåäÿ â ñòåïåíü n = 1 1 , ïîëó÷èì
¾11 = ( x1 ; x2 )
11
10
9 2
8 3
7 4
6 5
= [x11
1 + 1 0 x1 x2 + 3 6 x1 x2 + 5 6 x1 x2 + 3 5 x1 x2 + 6 x1 x2 ;
( 1 :3 )
9 2
8 3
7 4
6 5
5 6
x10
1 x2 + 9 x1 x2 + 2 8 x1 x2 + 3 5 x1 x2 + 1 5 x1 x2 + x1 x2 ]:
Ïîäñòàâëÿÿ (1.3) â f 11 ( ¾) = ¾ 11 ¡ ( 1 ; 0 ) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî x1 = ¡p; x2 =
òîæäåñòâåííîãî ñîïîñòàâëåíèÿ ñ ôîðìóëîé (1.2) ïîëó÷èì
g
, ïîñëå
p
'10 ( p; g) = p10 ¡ 9 p8g + 2 8 p6 g 2 ¡ 3 5 p4g 3 + 1 5 p2g 4 ¡ g 5 :
( 1 :4 )
À èç ñîïîñòàâëåíèÿ ïåðâûõ ýëåìåíòîâ f n ( ¾) = f 11 ( ¾) = ¾11 ¡ ( 1 ; 0 ) = ( x1; x2 )
( 1 ; 0 ) ñ (1.2), ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî x02 = ¡p ¡ x01 , ïîëó÷èì
x02
¡p9 g + 8 p7 g 2 ¡ 2 1 p5 g 3 + 2 0 p3g 4 ¡ 5 pg 5 + 1
= 10
:
p ¡ 9 p8 g + 2 8 p6 g 2 ¡ 3 5 p4 g 3 + 1 5 p2g 4 ¡ g 5
11
¡
( 1 :5 )
Ïîäñòàâëÿÿ x02 â f 2( x) = x2 + px + g = 0 , ïîëó÷àåì îáùåå ïàðàìåòðè÷åñêîå
óðàâíåíèå
p11 ¡ 1 1 p9g + 4 4 p7 g 2 ¡ 7 7 p5g 3 + 5 5 p3 g 4 ¡ 1 1 pg 5 + g 11 + 1 = 0 :
( 1 :6 )
Äëÿ ëþáîãî n ôîðìóëû òèïà (1.4), (1.5), (1.6) ïîëó÷àþòñÿ ñòàíäàðòíî ïî ýòîé
æå ñõåìå äåéñòâèé. Ïàðàìåòðè÷åñêîå óñëîâèå (1.6) îçíà÷àåò, ÷òî ëþáîé ïàðå
( p; g) , óäîâëåòâîðÿþùåé (1.6), ñîîòâåòñòâóåò êâàäðàòíîå óðàâíåíèå f 2 ( x) =
x2 + px + g = 0 , èìåþùåå õîòÿ áû îäèí îáùèé ÷èñëîâîé êîðåíü ñ óðàâíåíèåì
x11 ¡ 1 = 0 . Îäíàêî ñóùåñòâóåò îñîáûé ñëó÷àé: g = 1 , ïðè êîòîðîì äëÿ
ëþáîãî íå÷åòíîãî n âûðàæåíèÿ òèïà (1.4), (1.6), à òàêæå ÷èñëèòåëè ôîðìóë
n¡1
òèïà (1.5) îáëàäàþò îáùèì ìíîæèòåëåì â âèäå ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè
.
2
g
1
 ýòîì ÷àñòíîì ñëó÷àå g = 1 èñêîìûé ëèàíèò ¾( x1 ; x2 ) = ( ¡p; ) = ¡( p; )
p
p
ïðåâðàùàåòñÿ â ïîáî÷íûé êîðåíü óðàâíåíèÿ xn ¡ 1 = 0 , ò.å. ¾n ¡ 1 = ( 0 ; 0 )
[1, 2]. Ñëåäîâàòåëüíî, äâà ÷èñëîâûõ êîðíÿ x2 + px + 1 = 0 ñîâïàäàþò ñ äâóìÿ
ïåðâîîáðàçíûìè êîðíÿìè óðàâíåíèÿ xn ¡ 1 = 0 . Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ñëó÷àÿ
Âàíäåðìîíäà ( n = 1 1 ) , ïîäîáðàâ g = 1 , äëÿ îäíîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà p
ïîëó÷èì p = ¡2 , èáî x11 ¡1 = 0 èìååò åäèíè÷íûé êîðåíü. Èç ïàðàìåòðè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ (1.6) ïðè óñëîâèè, ÷òî g = 1 , ñëåäóåò
p11 ¡ 1 1 p9 +4 4 p7 ¡ 7 7 p5 + 5 5 p3 ¡ 1 1 p +2 = ( p + 2 ) ( p5 ¡ p4 ¡ 4 p3 +3 p2 +3 p ¡ 1 )
3 4 9
2
= 0 : ( 1 :7 )
Ïðè g = 1 , '( p; g) èç (1.4), à òàêæå ÷èñëèòåëü èç (1.5) ñîîòâåòñòâåííî
ðàçëàãàþòñÿ ïî ìíîãî÷ëåíàì
'( p; 1 ) = p10 ¡ 9 p8 + 2 8 p6 ¡ 3 5 p4 + 1 5 p2 ¡ 1 =
= ( p5 ¡ p4 ¡ 4 p3 + 3 p2 + 3 p ¡ 1 ) ( p5 + p4 ¡ 4 p3 ¡ 3 p2 + 3 p + 1 ) ;
¡p9 + 8 p7 ¡ 2 1 p5 + 2 0 p3 ¡ 5 p + 1 =
= ( p5 ¡ p4 ¡ 4 p3 + 3 p2 + 3 p ¡ 1 ) ( ¡p4 ¡ p3 + 3 p2 + 2 p ¡ 1 ) :
( 1 :8 )
( 1 :9 )
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âû÷èñëåíèÿ 10 ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ x11 ¡1 = 0
( x 6= 1 ) íåîáõîäèìî íàéòè ÷èñëîâûå êîðíè óðàâíåíèÿ âèäà
p5 ¡ p4 ¡ 4 p3 + 3 p2 + 3 p ¡ 1 = 0 :
( 1 :1 0 )
Òîãäà 10 êîðíåé êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé x2 + px + 1
= 0 çàâåäîìî ÿâëÿþòñÿ
1
ïåðâîîáðàçíûìè êîðíÿìè óðàâíåíèÿ x11 ¡ 1 = 0 , èáî ¾( ¡p; ) åñòü ïîáî÷íûé
p
ëèàíèòîâûé êîðåíü äëÿ f 11 ( x) = x11 ¡ 1 = 0 .
Äëÿ ëþáîãî íå÷åòíîãî n ïî ýòîé æå ñõåìå ìîæíî íàéòè ïåðåõîäíîå
n¡1
óðàâíåíèå ñòåïåíè
. Òîãäà ïåðâîîáðàçíûå êîðíè xn ¡ 1 = 0 âû÷èñëÿþòñÿ
2
êàê êîðíè x2 + px + 1 = 0 , ãäå p ìíîæåñòâî êîðíåé ïåðåõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Äëÿ
ñëó÷àåâ n = 5 ; 7 ; 9 ; 1 1 ; 1 3 ; 1 7 ; 1 9 èìååì
8
>
f ( p) = p2 ¡ p ¡ 1 ;
n=5 ;
>
>
>
>
3
2
>
f ( p) = p ¡ p ¡ 2 p + 1 ;
n=7 ;
>
>
>
4
3
2
>
>
n = 9 ; ( p1 = 1 ) ;
< f ( p) = p ¡ p ¡ 3 p + 2 p + 1 ;
5
4
3
2
f ( p) = p ¡ p ¡ 4 p + 3 p + 3 p ¡ 1 ;
n = 1 1 ; ( 1 :1 1 )
>
>
6
5
4
3
2
>
f ( p) = p ¡ p ¡ 5 p + 4 p + 6 p ¡ 3 p ¡ 1 ;
n=1 3 ;
>
>
>
>
8
7
6
5
4
3
2
>
f ( p) = p ¡ p ¡ 7 p + 6 p + 1 5 p ¡ 1 0 p ¡ 1 0 p + 4 p + 1 ;
n=1 7 ;
>
>
>
: f ( p) = p9 ¡ p8 ¡ 8 p7 + 7 p6 + 2 1 p5 ¡ 1 5 p4 ¡ 2 0 p3 + 1 0 p2 + 5 p ¡ 1 ; n = 1 9 :
 íàáîðå (1.11) òîëüêî ñëó÷àé n = 1 1 òðåáóåò ñåðüåçíûõ óñèëèé äëÿ íàõîæäåíèÿ
êîðíåé ïåðåõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Âñå îíè ïðèíàäëåæàò êëàññó óðàâíåíèé,
ó êîòîðûõ ìíîæåñòâî çíà÷åíèé âñåâîçìîæíûõ ñóìì ïî äâóì ðàçëè÷íûì
÷èñëîâûì êîðíÿì ñî çíàêîì ìèíóñ ¡( pi + pj ) è âñåâîçìîæíûõ ïðîèçâåäåíèé
pl pk ( l 6= k) ñîâïàäàþò, ïðè÷åì çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ n = 5 , äëÿ êîòîðîãî
p1p2 = ¡( p1 + p2 ) = ¡1 , âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ èìååì ¡( pi + pj 6= pi pj ) .
Èç ñêàçàííîãî âûòåêàåò, ÷òî åñëè ðàçëîæèòü äàííîå ïåðåõîäíîå óðàâíåíèå
n¡1
ïî íåîïðåäåëåííûì êîýôôèöèåíòàì, ãäå îäèí èç ìíîæèòåëåé
ñòåïåíè
2
ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì òðåõ÷ëåíîì
f
n¡1
2
( p) = ( p2 + a1p + a2) ( p
n¡1
¡2
2
+ b1 p
n¡1
¡3
2
3 5 0
+ : : : + b n¡1 ¡3p + b n¡1 ¡2 ) = 0 ;
2
2
( 1 :1 2 )
òî ìíîæåñòâà çíà÷åíèé a1 = ¡( pi + pj ) ; a2 = pl pk äîëæíû áûòüµ÷èñëîâûìè
¶
n¡1
!
2
¶.
êîðíÿìè îäíîãî è òîãî æå àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñòåïåíè µ
n¡1
2 !
¡2 !
2
Ýòî ñâîéñòâî êîðíåé îáåñïå÷èâàåò âîçìîæíîñòü ðåøåíèÿ ëþáûõ ïåðåõîäíûõ
óðàâíåíèé â ðàäèêàëàõ.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àè n = 1 1 ; 1 3 ; 1 7 , êîòîðûå âìåñòå ñ n = 1 9 ñ÷èòàþòñÿ
êëàññè÷åñêèìè.
1. Óðàâíåíèþ x11 ¡ 1 = 0 ñîîòâåòñòâóåò ïåðåõîäíîå óðàâíåíèå âèäà
f 5 ( p) = p5 ¡ p4 ¡ 4 p3 + 3 p2 + 3 p ¡ 1 = 0 :
Ðàçëîæèì f 5 ( p) ïî íåîïðåäåëåííûì êîýôôèöèåíòàì:
f 5 ( p) = ( p2 + a1 p + a2) ( p3 + b1 p2 + b2 p + b3 ) :
( 1 :1 3 )
Ïîñëå âûïîëíåíèÿ ñòàíäàðòíûõ äåéñòâèé ïîëó÷àåì çàðàíåå îæèäàåìûé
ðåçóëüòàò: êîýôôèöèåíòû a1 , a2 ñóòü êîðíè îäíîãî è òîãî æå óðàâíåíèÿ 10-é
ñòåïåíè
9
8
7
6
5
4
3
2
a10
1;2 +4 a1;2 ¡ 6 a1;2 ¡ 3 5 a1;2 ¡8 a a1;2 +6 7 a1;2 +3 7 a1;2 ¡2 8 a1;2 ¡1 3 a1;2 +3 a1;2 +1 = 0 : ( 1 :1 4 )
 (1.14) èìååì a1 = ¡( pi + pj ) , à ìíîæåñòâî çíà÷åíèé a2 = pl pk ( l 6=
k) . Ñëåäîâàòåëüíî, (1.14) íå ìîæåò èìåòü äåëèòåëåé â âèäå ìíîãî÷ëåíîâ ñ
öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè íèæå ïÿòîé ñòåïåíè. Äåéñòâèòåëüíî, òîëüêî èç
ïÿòè âûðàæåíèé ¡( pi + pj ) ìîæíî ïîëó÷èòü ñóììó ñ öåëûì çíà÷åíèåì. Â
êà÷åñòâå ïðèìåðà âîçüìåì îäèí èç âîçìîæíûõ íàáîðîâ êàê ïîäìíîæåñòâî
êîðíåé (1.14): ¡( p1 + p5 ) , ¡( p2 + p3 ) , ¡( p2 + p4 ) , ¡( p1 + p4 ) , ¡( p3 + p5) . Èõ
ñóììà äàåò ¡2 ( p1 + p2 + p3 + p4 + p5 ) = ¡2 . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ âîçìîæíîãî
äåëèòåëÿ a51 + k1 a41 + : : : + k5 èìååì k1 = 2 . Î÷åâèäíî, ÷òî k5 = ¡1 , èáî
òî÷íî òàêîé æå ìíîãî÷ëåí ïÿòîé ñòåïåíè â êà÷åñòâå äåëèòåëÿ äîëæíî èìåòü
óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî a2 , ó êîòîðîãî êîðíè ñóòü p1 p5 , p2 p3 , p2p4 , p1 p4, p3 p5 , à
âåäü èõ ïðîèçâåäåíèÿ åñòü ñâîáîäíûé ÷ëåí k5 ñî çíàêîì ( ¡ ) , ñëåäîâàòåëüíî,
k5 = ¡p21 : : : p25 = ¡1 . Âòîðîé ÷ëåí ìíîãî÷ëåíà f 5 ( a1 ) åñòü ñóììà âñåâîçìîæíûõ
ïîïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé âûøåóêàçàííûõ ïàð. Èç ñîðîêà ñëàãàåìûõ ïÿòü
îáðàçóþò ñóììó p21 + : : : + p25 = 9 . Îñòàëüíûå 35 ÷ëåíîâ êàê ïðîèçâåäåíèÿ
âèäà pl pk äàþò 70 ñëàãàåìûõ â âèäå ñâîáîäíûõ p1 , p2, p3 , p4 , p5 ñî çíàêîì ( ¡ ) ,
ñëåäîâàòåëüíî, èõ ñóììà äàñò ¡1 4 ( p1 + p2 + : : : + p5 ) = ¡1 4 , èç ÷åãî ñëåäóåò
k2 = 9 ¡ 1 4 = ¡5 .
Èòàê, (1.14) ðàçëàãàåòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèå äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ ïÿòîé
ñòåïåíè:
( a51 + 2 a41 ¡ 5 a31 ¡ 2 a21 + 4 a1 ¡ 1 ) ( a51 + 2 a41 ¡ 5 a31 ¡ 1 3 a21 ¡ 7 a1 ¡ 1 ) :
3 5 1
( 1 :1 5 )
Èìåííî ýòèì îáóñëîâëåíà òðóäíîñòü ñëó÷àÿ n = 1 1 , íî íèæå áóäåò ïîêàçàíî,
÷òî óñëîâèå (1.15) äîñòàòî÷íî äëÿ äîñòèæåíèÿ öåëè.
Äëÿ ïåðåõîäíîãî
5
4
3
2
óðàâíåíèÿ p ¡ p ¡ 4 p + 3 p + 3 p ¡ 1 = 0 ñèñòåìà ðåçîëüâåíò Ëàãðàíæà äàåò
8
>
5 p1 ¡ 1 = ®1 + ®2 + ®3 + ®4 ;
>
>
>
>
>
< 5 p2 ¡ 1 = A®1 + D®2 + C®3 + B®4 ;
( 1 :1 6 )
5 p3 ¡ 1 = B®1 + C®2 + D®3 + A®4 ;
>
>
>
5 p4 ¡ 1 = C®1 + A®2 + B®3 + D®4 ;
>
>
>
: 5 p ¡ 1 = D® + B® + A® + C® :
5
1
2
3
4
 (1.16) A, B, C, D – ïåðâîîáðàçíûå êîðíè óðàâíåíèÿ x5 ¡ 1 = 0 , êîòîðûå
ìîæíî íàéòè êàê êîðíè óðàâíåíèÿ x2 + px + 1 = 0 , ãäå p ñóòü êîðíè óðàâíåíèÿ
p2 ¡ p ¡ 1 = 0 èç (1.11):
p
p
p
p
p
p
¡1 ¡ 5 + ¡1 0 + 2 5
¡1 ¡ 5 ¡ ¡1 0 + 2 5
; B=
;
A=
4
4
p
p
p
p
p
p
( 1 :1 7 )
¡1 + 5 ¡ ¡1 0 ¡ 2 5
¡1 + 5 + ¡1 0 ¡ 2 5
C=
; B=
;
4
4
®1 ; ®2 ; ®3 ; ®4 – ðåçîëüâåíòû Ëàãðàíæà, à èìåííî:
®1 = p1 + Dp4 + Cp5 + Bp2 + Ap3;
®3 = p1 + Dp2 + Cp3 + Bp5 + Ap4;
®2 = p1 + Dp3 + Cp2 + Bp4 + Ap5 ;
®4 = p1 + Dp5 + Cp4 + Bp3 + Ap2 :
( 1 :1 8 )
Âîçâåäÿ óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1.16) â ñòåïåíü 2, 3, 4, 5 è ó÷èòûâàÿ òåîðåìó Âèåòà,
ïîëó÷èì ñèñòåìó
8
®1®4 + ®2 ®3 = 2 2 ; ( ®1®4 = ®2®3 )
>
>
>
< ®2 ® + ®2® + ®2® + ®2 ® + 1 1 = 0 ;
1 3
2 1
3 4
4 2
( 1 :1 9 )
3
3
3
3
>
®
®
+
®
®
+
®
®
+
®
®
+
3
1
¢
1
1
=
0
;
2
4
1
3
>
1
2
3
4
>
: 5
®1 + ®52 + ®53 + ®54 ¡ 1 1 ¢ 8 9 = 0 :
Äåéñòâèòåëüíî, èç (1.18) ïîëó÷èì
®1 ®4 = p21 + ¢ ¢ ¢ + p25 + ( C + D) ( p1p5 + p2 p3 + p2p4 + p1 p4 + p3 p5) +
+ ( A + B) ( p1 p2 + p1p3 + p4 p5 + p3p4 + p2 p5 ) ;
®2 ®3 = p21 + ¢ ¢ ¢ + p25 + ( C + D) ( p1p2 + p1 p3 + p4p5 + p3 p4 + p2 p5) +
+ ( A + B) ( p1 p5 + p2p3 + p2 p4 + p1p4 + p3 p5 ) :
p
p
¡1 + 5
¡1 ¡ 5
Èìååì C +D =
, A+B =
, p21 +¢ ¢ ¢ + p25 = 9 . Èç (1.15) íåìåäëåííî
2
2
ñëåäóåò, ÷òî
p1 p5 + p2 p3 + p2 p4 + p1 p4 + p3p5 = p1p2 + p1 p3 + p4p5 + p3 p4 + p2p5 = ¡2
( 1 :2 0 )
[a1 è a2 ïîä÷èíÿþòñÿ îäèíàêîâûì óðàâíåíèÿì òèïà (1.15)]. Ñëåäîâàòåëüíî,
®1 ®4 = ®2 ®3 = 1 1 :
3 5 2
( 1 :2 1 )
Ââåäåì íîâûå îáîçíà÷åíèÿ: y = ®13®2 , z = ®12®3 . Òàê êàê ®2 ®3 = 1 1 , èìååì:
yz = 1 1 ®51 . Òîãäà âòîðîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ ïðè íîâûõ îáîçíà÷åíèÿõ îáðàçóþò
ñèñòåìó
8
¶
µ 2
z +1 1 z+1 1 3
>
2
>
>
+ 1 1 z2 = 0 ;
< y +y
1 1
( 1 :2 2 )
¶
µ
2
>
3
1
¢
1
1
z
>
2
2
>
+1 1 z =0 :
: y +y
z2 + 1 1 3
Óðàâíåíèÿ
z2 + 1 1 z + 1 1
1 1
3
ñèñòåìû (1.22) òîæäåñòâåííî
3 1 ¢ 1 1 z2
= 2
, èëè æå
z +1 1 3
ñîâïàäàþò
z4 + 1 1 z3 ¡ 9 ¢ 1 1 2z2 + 1 1 4z + 1 1
6
ïðè
=0 :
Ìíîãî÷ëåí (1.23) ðàçëàãàåòñÿ íà äâà ìíîãî÷ëåíà âòîðîé ñòåïåíè:
·
¸·
¸
p
p
1 1
1 1
2
3
2
3
z + ( 1 +5 5 ) z+1 1
z + ( 1 ¡5 5 ) z+1 1
=0 :
2
2
óñëîâèè
( 1 :2 3 )
( 1 :2 4 )
Âçÿâ, íàïðèìåð, îäèí èç êîðíåé òðåõ÷ëåíà ïåðâîé ñêîáêè
"
p #
p
1 1
5 (1 + 5 )
( ¡1 ¡ 5 5 ) + i p
z=
p ;
4
5 +2 5
( 1 :2 5 )
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî yz = 1 1 ®51 , î÷åâèäíî ïîëó÷èì çíà÷åíèå ®1 :
"
p # 15
p
1 1
5 ( 5 ¡7 5 )
®1 =
( 8 9 +2 5 5 ) +ip
:
p
4
5 +2 5
( 1 :2 6 )
ïîëó÷èì çíà÷åíèå y, à èìåííî:
"
p #
p
1 1
5 ( 1 +3 5 )
y=
( ¡3 1 ¡ 5 5 ) ¡ i p
p :
4
5 +2 5
Îêîí÷àòåëüíî
5 p1 ¡ 1 = ®1 + ®2 + ®3 + ®4 = ®1 +
y
z
1 1
+ 2+ :
2
®1 ®1 ®1
( 1 :2 7 )
2. Äëÿ óðàâíåíèÿ x13 ¡ 1 = 0 , ïåðåõîäíîå óðàâíåíèå èìååò âèä
f 6( p) = p6 ¡ p5 ¡ 5 p4 + 4 p3 + 6 p2 ¡ 3 p ¡ 1 = 0 :
Åãî ðàçëîæåíèå ïî íåîïðåäåëåííûì êîýôôèöèåíòàì:
f 6 ( p) = ( p2 + a1p + a2 ) ( p4 + b1 p3 + b2p2 + b3p + b4) :
( 1 :2 8 )
Îòíîñèòåëüíî a1; a2 (1.28) äàñò ñîâåðøåííî èäåíòè÷íûå óðàâíåíèÿ 15-é
ñòåïåíè (÷èñëî âîçìîæíûõ ñî÷åòàíèé âèäà a1 = ¡( pi + pj ) ; a2 = pl pk ðàâíî
6 !
= 1 5 ).
2 !¢4 !
3 5 3
 îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ n = 1 1 ýòîò ñëó÷àé äîïóñêàåò âîçìîæíîñòü
ñóùåñòâîâàíèÿ äåëèòåëÿ 3-é ñòåïåíè ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè äëÿ óðàâíåíèé f 15 ( a1 ) = 0 , f 15 ( a2 ) = 0 .
Âû÷èñëèì ìíîãî÷ëåí f 3 ( a1) èñõîäÿ èç óæå èçâåñòíûõ íàì ñâîéñòâ
ïåðåõîäíûõ óðàâíåíèé è ëèøü ïîñëå ýòîãî èç (1.28) ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì
âû÷èñëèì f 15 ( a1 ) = 0 è ñîîòâåòñòâåííî f 3( a1 ) = 0 êàê ïîäòâåðæäåíèå
òåîðåòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé. Èç 15 ñî÷åòàíèé ¡( pi + pj ) äëÿ ìíîæåñòâà
çíà÷åíèé a1 èëè æå èç 15 çíà÷åíèé âîçìîæíûõ ïðîèçâåäåíèé pl pk ìîæíî
âûäåëèòü íèæåñëåäóþùèå ñèñòåìû òðîåê:
8
8
>
>
¡(
p
+
p
)
;
¡(
p
+
p
)
;
¡(
p
+
p
)
p1 p2 ; p5p6 ; p3 p4
1
2
3
4
5
6
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
< ¡( p1 + p3) ; ¡( p2 + p5) ; ¡( p4 + p6 )
< p1 p3 ; p2p5 ; p4 p6
( 1 :2 9 )
¡( p1 + p4) ; ¡( p3 + p5) ; ¡( p2 + p6 ) ;
p1 p4 ; p3p5 ; p2 p6 :
>
>
>
>
> ¡( p1 + p5) ; ¡( p2 + p4) ; ¡( p3 + p6 )
> p1 p5 ; p2p4 ; p3 p6
>
>
>
>
>
>
: ¡( p + p ) ; ¡( p + p ) ; ¡( p + p )
: pp; pp ; pp
1
6
4
5
2
3
1 6
4 5
2 3
Ïóñòü èñêîìûé êóáè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí èìååò âèä
f 3 ( a1 ) = a31 + k1 a21 + k2 a1 + k3 :
( 1 :3 0 )
Èç 15 âîçìîæíûõ ñî÷åòàíèé îäíà èç ïðåäñòàâëåííûõ òðîåê äîëæíà îáåñïå÷èâàòü (1.30) ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè k1 , k2 , k3 . Íî ñóììà ýëåìåíòîâ ëþáîé
òðîéêè óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ¡( p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 ) = ¡1 = ¡k1 .
Ñëåäîâàòåëüíî, k1 = 1 . Òàê êàê a1, a2 äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü îäèíàêîâûì
óðàâíåíèÿì 15-é ñòåïåíè, èõ äåëèòåëè òàêæå äîëæíû ñîâïàäàòü. Íî èç âòîðîé
êîëîíêè (1.29) ñëåäóåò, ÷òî ñ îäíîé ñòîðîíû ( p1 p2) ¢ ( p3p4) ( p5 p6 ) = ¡k3 , à ñ äðóãîé
[èç (1.39)] p1 p2 p3 p4 p5p6 = ¡1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñâîáîäíûå ÷ëåíû è äëÿ f 3( a1 ) è
f 3( a2 ) ðàâíû k3 = 1 . Çíà÷åíèå k2 òàêæå ìîæíî ëåãêî íàéòè. Èìååì
k2 = ( p1 + p2 ) ( p5 + p6) + ( p1 + p2 ) ( p3 + p4 ) + ( p5 + p6 ) ( p3 + p4 ) :
( 1 :3 1 )
Ó íàñ 12 ñëàãàåìûõ pl pk , ïðè÷åì ñðåäè íèõ íå ìîãóò áûòü p2i , ñëåäîâàòåëüíî,
ñîãëàñíî òîæäåñòâàì pl pk = ¡( pi + pj ) ó íàñ 24 ñâîáîäíûõ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé
êîðíåé p1; p2; : : : ; p6 . Èíà÷å k2 = ¡4 ( p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6) = ¡4 ¢ 1 = ¡4 . Èòàê,
ÿâíûé âèä ìíîãî÷ëåíîâ f 3 ( a1 ) , f 3 ( a2 ) èçâåñòåí:
f 3 ( a1 ) = a31 + a21 ¡ 4 a1 + 1 = 0 ;
f 3 ( a2) = a32 + a22 ¡ 4 a1 + 1 = 0 :
( 1 :3 2 )
Ïóñòü a1 îäèí èç êîðíåé f 3 ( a1 ) . Òîãäà a2 âûáèðàåòñÿ èç äâóõ äðóãèõ êîðíåé:
a1 6= a2 . Äâà êîðíÿ óðàâíåíèÿ p2 +a1p+a2 = 0 äàäóò èñêîìûå êîðíè ïåðåõîäíîãî
óðàâíåíèÿ.
3 5 4
Ïî ìåòîäó íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ èç (1.28) îòíîñèòåëüíî a1
ïîëó÷èì
14
13
12
11
10
9
8
7
f 15( a1 ) = a15
1 + 5 a1 ¡ 1 0 a1 ¡ 7 8 a1 ¡ 1 3 a1 + 3 7 7 a1 + 2 9 9 a1 ¡ 6 7 6 a1 ¡ 7 4 1 a1 +
+ 3 9 0 a61 + 5 8 5 a51 + 1 3 a41 ¡ 1 1 7 a31 ¡ 1 7 a21 + 6 a1 + 1 = 0 :
( 1 :3 3 )
(1.33) äåéñòâèòåëüíî íàöåëî äåëèòñÿ íà f ( a1 ) = + ¡ 4 a1 + 1 .
3. Óðàâíåíèå x17 ¡ 1 = 0 ðåøàåòñÿ òàêæå òðèâèàëüíî, îäíàêî òàê êàê n =
1 7 ÷èñëî Ôåðìà, âû÷èñëåíèå ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé ñòîèò äîâåñòè äî êîíöà.
Åñëè ïåðåõîäíîå óðàâíåíèå p8 ¡ p7 ¡ 7 p6 + 6 p5 + 1 5 p4 ¡ 1 0 p3 ¡ 1 0 p2 + 4 p + 1 = 0
ïðåäñòàâèòü â âèäå
3
a31
a21
f 8 ( p) = ( p4 + a1p3 + a2 p2 + a3p + a4) ( p4 + b1 p3 + b2 p2 + b3p + b4 ) ;
( 1 :3 4 )
òî a1 ìîæåò ïðèíèìàòü 70 çíà÷åíèé, èáî a1 ïðåäñòàâëÿåò ìíîæåñòâî
âîçìîæíûõ ñóìì ¡( pi + pj + pl + pk ) [2]. Ñëåäîâàòåëüíî, èç (1.34) îòíîñèòåëüíî
a1 ñëåäóåò óðàâíåíèå ñòåïåíè 70. Îäíàêî ýòîò ìíîãî÷ëåí äîëæåí îáëàäàòü
äåëèòåëåì 2-é ñòåïåíè ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Äåéñòâèòåëüíî, èç
âîñüìè êîðíåé p1 ; p2 ; : : : ; p8 ìîæíî ñîñòàâèòü äâå ãðóïïû êîðíåé ñ óñëîâíûìè
èíäåêñàìè ´1 = ¡( p1 + p2 + p3 + p4 ) ; ´2 = ¡( p5 + p6 + p7 + p8 ) .
Ïóñòü èñêîìûé òðåõ÷ëåí èìååò âèä a21 + k1a1 + k2. Òîãäà î÷åâèäíî,
÷òî k1 = ( p1 + : : : + p4) + ( p5 + : : : + p8 ) = 1 . Òàê êàê pl pk = ¡( pi + pj ) ,
òî ´1 ´2 = k2 ñîäåðæèò 16 çíà÷åíèé pl pk èëè æå 32 ñâîáîäíûõ çíà÷åíèÿ pi
(i = 1 ; 2 ; : : : ; 8 ) ñî çíàêîì ( ¡ ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî k2 = ¡( 4 p1 + 4 p2 + : : : + 4 p8 ) =
¡4 ( p1 + : : : + p8 ) = ¡4 . Ïîëó÷åíî ïåðâîå çâåíî öåïè ðàçðåøàþùèõ óðàâíåíèé
Ãàóññà: f 2 ( a1 ) = a21 + a1 ¡ 4 = 0 .  (1.34) î÷åâèäíî, ÷òî êîýôôèöèåíòû a1 ,
a2 ïîä÷èíÿþòñÿ ðàçëè÷íûì óðàâíåíèÿì. Åñëè æå ðàçëîæåíèå ïåðåõîäíîãî
óðàâíåíèÿ îñóùåñòâèòü ñòàíäàðòíûì ïîäõîäîì ýòîé ñòàòüè, à èìåííî:
f 8 ( p) = ( p2 + a1 p + a2 ) ( p6 + b1 p5 + b2p4 + b3 p2 + b4 p2 + b5 p + b6 ) ;
( 1 :3 5 )
òî êîýôôèöèåíòû a1 ; a2 áóäóò êîðíÿìè îäíîãî è òîãî æå óðàâíåíèÿ 28-é
8 !
ñòåïåíè, èáî
= 2 8 , ïðè÷åì a1 óæå ïðåäñòàâëÿåò âñå ìíîæåñòâî
2 !¢6 !
âîçìîæíûõ ñóìì âèäà a1 = ¡( pi + pj ) , a2 ïðåäñòàâëÿåò ìíîæåñòâî çíà÷åíèé
âñåâîçìîæíûõ ïðîèçâåäåíèé a2 = pl pk . Ìíîãî÷ëåí 28-é ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî
a1 è a2 äîïóñêàåò âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ äåëèòåëÿ 4-é ñòåïåíè ñ öåëûìè
êîýôôèöèåíòàìè. Ïóñòü èñêîìûé ìíîãî÷ëåí èìååò âèä f 4 ( a1) = a41 + k1 a31 +
k2a21 + k3a1 + k4. Ðàññìîòðèì íèæåñëåäóþùèå ñî÷åòàíèÿ ïî óñëîâíûì èíäåêñàì
´1 = ¡( p1 + p2 ) ; ´2 = ¡( p3 + p4 ) ; ´3 = ¡( p5 + p6 ) ; ´4 = ¡( p7 + p8 ) ;
±1 = p1 p2 ;
±2 = p3 p4;
±3 = p5 p6 ;
3 5 5
±4 = p 7 p 8 :
( 1 :3 6 )
Äëÿ k1 è k4 âîçìîæíûå ðåçóëüòàòû î÷åâèäíû:
k1 = ¡( ´1 + ´2 + ´3 + ´4 ) = p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 + p7 + p8 = 1 :
Òàê êàê f 4 ( a1 ) ´ f 4 ( a2 ) , òî è ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû äîëæíû
áûòü îäèíàêîâûå. Ñëåäîâàòåëüíî, k4 = p1p2 ¢ p3p4 ¢ p5p6 ¢ p7 p8 = 1 . Â
ñîñòàâ k2 = ´1´2 + ´1 ´3 + ´1 ´4 + ´2 ´3 + ´2´4 + ´3 ´4 âõîäÿò 24 ñëàãàåìûõ pl pk
(l 6= k), è, ó÷èòûâàÿ òîæäåñòâî pl pk = ¡( pi + pj ) , ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî
âûðàæåíèå äëÿ k2 ñîäåðæèò 48 ñëàãàåìûõ îòäåëüíûõ pi â ñèììåòðè÷åñêîé
ôîðìå. Ñëåäîâàòåëüíî, k2 = ¡6 ( p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 + p7 + p8) = ¡6 .
Êîýôôèöèåíò æå k3 îáðàçóåòñÿ êàê ¡k3 = ´1´2 ´3 + ´1´2 ´4 + ´1´3 ´4 + ´2´3 ´4 .
Êàæäîå ñëàãàåìîå äîëæíî íåñòè îäèíàêîâóþ èíôîðìàöèþ. Íàïðèìåð, ´1´2´3
î÷åâèäíî îáðàçóåòñÿ êàê ðåçóëüòàò ïðîèçâåäåíèÿ ´1 ´3 ¢ ´2 èëè æå ´1 ´2 ¢ ´3 ,
ñëåäîâàòåëüíî, ðåçóëüòàò îò ïðîèçâåäåíèÿ ëþáûõ äâóõ ïàð èç òðåõ äàåò 8
çíà÷åíèé pi è óìíîæåíèå íà òðåòèé ýëåìåíò (ñêàæåì ´2 ) äàåò 16 ïðîèçâåäåíèé
òèïà pl pk . Î÷åâèäíî, ÷òî òîãäà äîëæíû áûòü è ñîâïàäàþùèå èíäåêñû. Òàê
êàê k3 ñîäåðæèò ðîâíî 4 ñëàãàåìûõ, òî âêëàä ïî ñîâïàäàþùèì èíäåêñàì ó
êàæäîãî ñëàãàåìîãî ïî äâà ýëåìåíòà. Èç ýòîãî íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî 14
çíà÷åíèé (1 6 ¡ 2 ) pl pk ñîãëàñíî òîæäåñòâó pl pk = ¡( pi + pj ) äàþò 28 çíà÷åíèé
ñâîáîäíûõ pi , îáùåå ÷èñëî êîòîðûõ äëÿ k3 áóäåò 2 8 ¢ 4 = 1 1 2 . Îêîí÷àòåëüíî
·
¸
1 1 2
2
2
2
2
¡k3 = ( p1 + p2 + p3 + : : : + p8 ) ¡
( p1 + p2 + p3 + : : : + p8 ) = 1 5 ¡ 1 4 = 1
8
[âåäü ñâîáîäíûå pi âõîäÿò ñî çíàêîì ( ¡ )]. Òàêèì îáðàçîì, ðàçëîæåíèå (1.35)
îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå äåëèòåëåé 4-é ñòåïåíè âèäà
"
#"
#
p
p
1
+
1
7
1
¡
1
7
a41 + a31 ¡ 6 a21 ¡ a1 + 1 = a21 +
a1 ¡ 1
a21 +
a1 ¡ 1 :
( 1 :3 7 )
2
2
Ðàçëîæåíèå ïåðåõîäíîãî óðàâíåíèÿ ÷åðåç êâàäðàòíûå òðåõ÷ëåíû èìååò âèä
f 8 ( p) = p8 ¡ p7 ¡ 7 p6 + 6 p5 + 1 5 p4 ¡ 1 0 p3 ¡ 1 0 p2 + 4 p + 1
q
q
2
p
p
p
¡1 + 1 7 + 2
¡1 ¡ 1 7 ¡ 2 ( 1 7 + 1 7 )
= 4p2 +
p+
4
4
q
q
2
p
p
p
¡1 ¡ 1 7 + 2 ( 1 7 + 1 7 )
¡1 + 1 7 ¡ 2
£ 4p2 +
p+
4
4
q
q
2
p
p
p
¡1 + 1 7 ¡ 2 ( 1 7 ¡ 1 7 )
¡1 ¡ 1 7 ¡ 2
£ 4p2 +
p+
4
4
q
q
2
p
p
p
¡1 + 1 7 + 2 ( 1 7 ¡ 1 7 )
¡1 ¡ 1 7 + 2
£ 4p2 +
p+
4
4
3 5 6
=
(1 7 ¡
(1 7 ¡
(1 7 +
(1 7 +
p
1 7 )
3
5£
p 3
1 7 )
5£
p
1 7 )
3
5£
p 3
1 7 )
5:
( 1 :3 8 )
Åñëè êîðíè êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé ïîäîáðàòü êàê ( p1 ; p2 ) ; ( p3; p4 ) ; ( p5 ; p6 ) ;
( p7; p8) ñîîòâåòñòâåííî, òî ïóòåì íåïîñðåäñòâåííîãî âû÷èñëåíèÿ ëåãêî ìîæíî
óáåäèòüñÿ, ÷òî äåéñòâèòåëüíî
p1 p2 = ¡( p7 + p8 ) ;
p3 p4 = ¡( p5 + p6 ) ;
p5p6 = ¡( p1 + p2) ;
p7p8 = ¡( p3 + p4) :
Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ ïåðåõîäíîãî ìíîãî÷ëåíà äëÿ óðàâíåíèÿ xn ¡ 1 = 0 , ãäå
n ëþáîå íå÷åòíîå ÷èñëî, òàêîé:
à) àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ´1; ´2 ; : : : ; ´l ïåðåõîäíîãî ìíîãî÷ëåíà
n¡1
f 2 ( p) = f l ( p) = pl + ´1 pl¡1 +µ´k pl¡k¶+ : : : + ´l îïðåäåëÿþòñÿ ïî ïðàâèëó: åñëè
k
!
l¡
2
µ ¶ , åñëè æå k íå÷åòíîå ÷èñëî, òî ´k =
k ÷åòíîå ÷èñëî, òî ´k =
k
!
( l ¡ k) !
2
µ
¶
k+1
l¡
!
2
µ
¶;
k¡1
( l ¡ k) !
!
2
á) çíàêè êîýôôèöèåíòîâ ´k ( k = 1 ; 2 ; : : : ; l) îïðåäåëÿþòñÿ ïî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( ¡; ¡; +; +; ¡; ¡; +; +; : : : ) .
Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
Ë. Â. Àêîïÿí, Â. Ñ. Àêîïÿí
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äåëåíèÿ êðóãà áåç ïåðèîäîâ Ãàóññà
Ïðåäëîæåí è òåîðåòè÷åñêè îáîñíîâàí èíîé ïîäõîä äëÿ íàõîæäåíèÿ ïåðâîîáðàçíûõ ÷èñëîâûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ äåëåíèÿ êðóãà â ðàäèêàëàõ ïðè ëþáîé ñòåïåíè n.
Îòïðàâíîé òî÷êîé â ïðåäëàãàåìîé òåîðèè ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà îá îñíîâíûõ ëèàíèòîâûõ
êîðíÿõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
Ïðèâîäÿòñÿ ïîäðîáíûé àíàëèç è êîíêðåòíîå
âû÷èñëåíèå ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ xn ¡ 1 = 0 , äëÿ ñëó÷àåâ n = 1 1 ; 1 3 ; 1 7 ,
áåç èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäîâ òåîðèè ãðóïï.
È. ì. гÏáµÛ³Ý, ì. ê. гÏáµÛ³Ý
Þñç³ÝÇ µ³Å³ÝÙ³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý ÉáõÍáõÙÁ ³é³Ýó ¶³áõëÇ å³ñµ»ñáõÃÛáõÝÝ»ñÇ
²é³ç³ñÏí³Í »õ ï»ë³Ï³Ýáñ»Ý ÑÇÙݳíáñí³Í ¿ Ýáñ Ùáï»óáõÙ‘ ßñç³ÝÇ Ñ³í³ë³ñ Ù³ë»ñÇ
µ³Å³ÝÙ³Ý Ñ³í³ë³ñÙ³Ý Ý³Ë³Ï»ñå³ÛÇÝ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ³ñÙ³ï³Ýß³ÝÝ»ñáí ·ïÝ»Éáõ ѳٳñ:
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²é³ç³ñÏíáÕ ï»ëáõÃÛ³Ý Ñ³Ù³ñ »É³Ï»ï³ÛÇÝ ¿ ѳÝñ³Ñ³ßí³Ï³Ý ѳí³ë³ñáõÙÝ»ñÇ ÑÇÙݳϳÝ
ÉdzÝÇï³ÛÇÝ ³ñÙ³ïÝ»ñÇ Ù³ëÇÝ Ã»áñ»ÙÁ: سÝñ³Ù³ëÝ í»ñÉáõÍáõÃÛáõÝ »õ ÏáÝÏñ»ï ѳßí³ñÏ ¿
Ý»ñϳ۳óí³Í xn ¡ 1 = 0 , ѳí³ë³ñÙ³Ý Ñ³Ù³ñ n = 1 1 ; 1 3 ; 1 7 ¹»åù»ñáõÙ‘ ³é³Ýó ËÙµ»ñÇ
ï»ëáõÃÛ³Ý Ù»Ãá¹Ý»ñÇ û·ï³·áñÍÙ³Ý:
L. V. Hakobyan, V. S. Hakobyan
Sollution of Cyclotomic Equations without Gauss Periouds
A new approach for seeking the numeric roots to the cyclotomic equations in radicals
at arbitrary degrees n is suggested. The starting point in the suggested approach was the
theorem of principal lianit roots of algebraic equations published in our earlier works. An
in-depth and complete analysis and analytic calculation of the roots of the unity for cases
of n = 1 1 ; 1 3 ; 1 7 is provided.
Ëèòåðàòóðà
1. Àêîïÿí Ë.Â. - Ó÷åíûå çàïèñêè ÅÃÓ. 2007. N2. Ñ. 23-34; 2007. N3. Ñ. 33-43.
2. Àêîïÿí Ë.Â. - ÄÍÀÍ ÐÀ. 2008. Ò. 108. N2. Ñ. 133-141.
3. Ïîñòíèêîâ Ì.Ì. Òåîðèÿ Ãàëóà. Ôèçìàòãèç. Ì. 1963.
4. Âàí Äåð Âàðäåí Á.Ë. Àëãåáðà. Ì. Íàóêà. 1979.
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