Формула крюков. Количество заполнений диаграммы равно
advertisement
"$ ÊÂÀÍT$ 2009/¹3 Ôîðìóëà êðþêîâ. Êîëè÷åñòâî çàïîëíåíèé äèàãðàììû ðàâíî ôàêòîðèàëó êîëè÷åñòâà åå êëåòîê, äåëåííîìó íà ïðîèçâåäåíèå äëèí âñåõ åå êðþêîâ. Äîêàçàòåëüñòâî, êîòîðîå âû âñêîðå óçíàåòå, îñíîâàíî íà ñâîéñòâàõ àíòèñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ. Ñíà÷àëà ââåäåì óäîáíûå îáîçíà÷åíèÿ. Óïðàæíåíèÿ 3. Âûâåäèòå èç ôîðìóëû êðþêîâ ôîðìóëû äëÿ: à) ÷èñåë ñî÷åòàíèé; á) ÷èñåë Êàòàëàíà. 4. Ïðè ïîìîùè ôîðìóëû êðþêîâ âû÷èñëèòå, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàññòàâèòü ÷èñëà îò 1 äî: à) 9; á) 16 â âèäå êâàäðàòíîé òàáëèöû òàê, ÷òîáû ÷èñëà âîçðàñòàëè è ïðè äâèæåíèè ñëåâà íàïðàâî, è ïðè äâèæåíèè ñâåðõó âíèç. Îáîçíà÷åíèÿ Îáîçíà÷èì áóêâîé k êîëè÷åñòâî ñòðîê ðàññìàòðèâàåìîé äèàãðàììû; λ1, λ 2 ,K , λ k èõ äëèíû, ïðè÷åì íóìåðóåì ñâåðõó âíèç: ïåðâàÿ ñòðîêà ñàìàÿ äëèííàÿ, âòîðàÿ òîé æå äëèíû èëè êîðî÷å ïåðâîé, è òàê äàëåå, λ1 ³ λ 2 ³ K ³ λ k . Íàïðèìåð, äëÿ äèàãðàììû ðèñóíêà 14 èìååì: λ1 = 13, λ 2 = 10, λ 3 = = 7, λ 4 = 7, λ 5 = 4, λ 6 = 4, λ 7 = 4, λ 8 = 4, λ 9 = 1 è λ10 = 1. Äëèíà êðþêà âåðõíåé ëåâîé (óãëîâîé) êëåòêè ðàâíà λ1 + k 1. Äëèíà êðþêà êëåòêè, ðàñïîëîæåííîé íåïîñðåäñòâåííî ïîä íåé, ðàâíà λ 2 + k 2. Âîîáùå, äëèíà lm êðþêà m-é ñâåðõó êëåòêè ëåâîãî ñòîëáöà ðàâíà lm + k m. Î÷åâèäíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèí êðþêîâ l1, l2,K , lk ñòðîãî óáûÐèñ. 14 âàþùàÿ: l1 > l2 > K > lk . Êðþêè êëåòîê ïåðâîé ñòðîêè è ëåâîãî ñòîëáöà Ñðåäè äëèí êðþêîâ âåðõíåé ñòðîêè ðèñóíêà 14 îòñóòñòâóþò ÷èñëà 4, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 20 è 21. Çàìåòüòå: 22 18 = = 4, 22 14 = 8, 22 13 = 9, 22 9 = 13, 22 8 = 14, 22 7 = 15, 22 6 = 16, 22 2 = 20 è 22 1 = 21. Èíòåðåñíî è íåîæèäàííî, íå ïðàâäà ëè? Ëåììà 1. Ñðåäè äëèí êðþêîâ ÷èñåë âåðõíåé ñòðîêè ïðèñóòñòâóþò âñå ÷èñëà îò 1 äî l1 , êðîìå ðàçíîñòåé l1 - lm , ãäå 1 < m £ k . Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà. Ïðè äâèæåíèè âäîëü âåðõíåé ñòðîêè ðèñóíêà 14 ñïðàâà íàëåâî ñíà÷àëà äëèíû êðþêîâ ïîñëåäîâàòåëüíûå ÷èñëà 1, 2 è 3. Ïåðâîå îòñóòñòâóþùåå ÷èñëî 4. Ðàçíîñòü êîëè÷åñòâ êëåòîê êðþêà äëèíû 22, ñîñòîÿùåãî èç âñåõ êëåòîê âåðõíåé ñòðîêè è ëåâîãî ñòîëáöà, è æåëòîãî êðþêà äëèíû 18 ðàâíà êîëè÷åñòâó çåëåíûõ êëåòîê ÷èñëó 4. Ðàçíîñòü ìåæäó ÷èñëîì 22 è ÷èñëîì 7 êîëè÷åñòâîì êëåòîê æåëòîãî êðþêà ðèñóíêà 15 ðàâíà êîëè÷åñòâó çåëåíûõ êëåòîê ýòîãî ðèñóíêà. Íàäåþñü, áîëüøå íè÷åãî îáúÿñíÿòü íå íóæíî âû óæå âñå ïîíÿëè. Óïðàæíåíèå 5. Ïîðèñóéòå, ïîäóìàéòå è çàâåðøèòå äîêàçàòåëüñòâî. Ðèñ. 15 37-53.p65 46 Íîâûé âèä ôîðìóëû êðþêîâ Âñëåäñòâèå ëåììû 1, ïðîèçâåäåíèå äëèí êðþêîâ ïåðâîé ñòðîêè äèàãðàììû ðàâíî ÷èñëó l1 !, äåëåííîìó íà ïðîèçâåäåíèå l1 - l2 l1 - l3 K l1 - lk . Îòáðîñèâ âåðõíþþ ñòðîêó, ìû ïîëó÷àåì äèàãðàììó, ê âåðõíåé ñòðîêå êîòîðîé âòîðîé ñòðîêå èñõîäíîé äèàãðàììû ïðèìåíèìà òà æå ëåììà. Òàêèì îáðàçîì, äëèíû êðþêîâ âòîðîé ñòðîêè ÷èñëà îò 1 äî l2 , êðîìå ðàçíîñòåé l2 - l3 ,K ..., l2 - lk . Ðàññóæäàÿ òàê æå äëÿ òðåòüåé, ÷åòâåðòîé è âñåõ ñëåäóþùèõ ñòðîê, ïðèõîäèì ê âûâîäó: ïðîèçâåäåíèå äëèí êðþêîâ âñåõ êëåòîê äèàãðàììû ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ôàêòîðèàëîâ l1 ! l2 !K lk ! , äåëåííîìó íà ïðîèçâåäåíèå âñåâîçìîæíûõ ðàçíîñòåé lj - lm , ãäå 1 £ j < m £ k . Ïîýòîìó ôîðìóëà êðþêîâ îçíà÷àåò, ÷òî èíòåðåñóþùåå íàñ êîëè÷åñòâî ðàññòàíîâîê ðàâíî âåëè÷èíå n ! Õ lj - lm F l1, l2,K, lk = 1£ j < m £ k l1 ! l2 !K lk ! ãäå , n = λ1 + λ 2 + K + λ k -1 + λ k = = l1 + l2 + K + lk -1 + lk - k - 1 - k - 2 - K - 2 - 1 . Îáðàòèòå âíèìàíèå íà ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî: îíî áóäåò èñïîëüçîâàíî â êîíöå äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëû êðþêîâ. Óìíîæåíèå íà íîëü Êàê ÷àñòî ïðåäñêàçûâàþò êîíåö ñâåòà! è âåäü íè ðàçó íå ñáûëîñü  ÷èñëèòåëå äðîáè F ïðèñóòñòâóþò âñå ðàçíîñòè âèäà lj - lm . Ïîýòîìó âåëè÷èíà F l1, l2 ,K, lk ðàâíà íóëþ, åñëè â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè l1, l2,K , lk åñòü ñîâïàäàþùèå ÷èñëà: lj = lm ïðè j ¹ m . Âû ïîìíèòå, ÷òî l1 > l2 > K > lk . Òåì íå ìåíåå, âûøåñêàçàííîå èñòèíà, õîòÿ íàâåðíÿêà ïîêà êàæåòñÿ, ÷òî îíà íå êî äâîðó. Ñôîðìóëèðóåì ýòî ñâîéñòâî ôóíêöèè F ÷óòü èíà÷å. Ïîìåíÿåì ìåñòàìè l1 è l2 . Ðàçíîñòü l1 - l2 çàìåíèòñÿ íà l2 - l1 = - l1 - l2 , à äðóãèå ìíîæèòåëè ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ ïîìåíÿþòñÿ äðóã ñ äðóãîì ìåñòàìè èëè îñòàíóòñÿ íåèçìåííûìè. Çíà÷èò, F l1, l2,K, lk = - F l2, l1, l3 ,K , lk . Íåìíîãî ïîäóìàâ, âû ïîéìåòå, ÷òî âåëè÷èíà F ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíóþ íå òîëüêî ïðè çàìåíå l1 íà l2 è l2 íà l1 , íî è ïðè ïåðåñòàíîâêå ëþáûõ äâóõ àðãóìåíòîâ òàê íàçûâàåìîé òðàíñïîçèöèè. Òàêèå ôóíêöèè F íàçûâàþò àíòèñèììåòðè÷åñêèìè. Ñèììåòðè÷åñêèìè íàçûâàþò ôóíêöèè, íå ìåíÿþùèå ñâîå çíà÷åíèå íè ïðè êàêîé ïåðåñòàíîâêå àðãóìåíòîâ.  çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàê ïåðåñòàíîâêà äåéñòâóåò íà àíòèñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ìåíÿåò åãî çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé èëè ñîõðàíÿåò ìíîãî÷ëåí íåèçìåííûì, ïåðåñòàíîâêó íàçûâàþò, ñîîòâåòñòâåííî, íå÷åòíîé èëè ÷åòíîé. Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî Sk âñåõ ïåðåñòàíîâîê ìíîæåñòâà ïåðâûõ k íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìîæíî ðàçáèòü íà äâå ðàâíûå ïîëîâèíû. Âñå ïåðåñòàíîâêè σ îäíîé èç íèõ íå÷åòíûå ïåðåñòàíîâêè îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî F lσ 1 , lσ 2 ,K, lσ k = - F l1, l2, l3 ,K, lk . Ïåðåñòàíîâêè èç äðóãîé ïîëîâèíû ÷åòíûå óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâó F lσ 1 , lσ 2 ,K, lσ k = F l1, l2 , l3 ,K , lk . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëû êðþêîâ íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùèå äâå ëåììû. 29.05.09, 14:35 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ Ëåììà 2. Åñëè ìíîãî÷ëåí g x, y àíòèñèììåòðè÷åí, òî g x, x = 0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ìåíÿÿ ìåñòàìè áóêâó x ñ áóêâîé x (äà, ýòî íå îïå÷àòêà, ìû ìåíÿåì áóêâó ñ òàêîé æå â òî÷íîñòè áóêâîé!), ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî g x, x = - g x, x , îòêóäà è ñëåäóåò ðàâåíñòâî g x, x = 0 . Ëåììà 3. Åñëè ìíîãî÷ëåí g x, y àíòèñèììåòðè÷åí, òî ñóùåñòâóåò òàêîé ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí h x, y , ÷òî g x, y = x - y h x, y . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäåëèâ óãîëêîì1 ìíîãî÷ëåí g x, y íà ðàçíîñòü x y, ïîëó÷àåì íåêîòîðîå ÷àñòíîå h x, y è íåêîòîðûé îñòàòîê f y . Ýòî çíà÷èò, ÷òî âåðíî òîæäåñòâî ñàìîì äåëå ñëåäóåò îòáðàñûâàòü ñàìûå ïðàâûå êëåòêè íå âñå ïîäðÿä, à òîëüêî òå, ïîä êîòîðûìè íåò êëåòîê òàáëèöû, «ëèøíèå» ñëàãàåìûå âñå ðàâíî íóëåâûå). Ëåììà 4. Åñëè ôóíêöèÿ F àíòèñèììåòðè÷íà, òî àíòèñèììåòðè÷íà è ôóíêöèÿ F l1 - 1, l2 ,K , lk -1, lk + F l1, l2 - 1,K , lk -1, lk + K ...+ F l1, l2,K, lk -1 - 1, lk + F l1, l2 ,K , lk -1, lk - 1 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ìåíÿÿ ìåñòàìè l1 è l2 , ïîëó÷àåì F l2 - 1, l1,K , lk + F l2 , l1 - 1,K , lk + K ...+ F l2, l1,K, lk -1 - 1, lk + F l2 , l1,K, lk - 1 . Î÷åâèäíî, g x, y = x - y h x, y + f y . g x, x = x - x h x, x + f x . Âû÷èòàíèå íóëÿ Ðîáêèé ÷åëîâåê ÷óòü áûëî íå ïðîñëûë ðåøèòåëüíûì. Õàðàêòåðà íå õâàòèëî. Ñ.Ëóçàí Ïóñòü lk = 0. (Âû ïîìíèòå, ÷òî òàêîãî íå áûâàåò. Íî ÿ õî÷ó ðàññìîòðåòü ýòó ñèòóàöèþ êàê íè ñòðàííî, îíà íàì ïðèãîäèòñÿ!) Ïîñêîëüêó l1 - 0 = l1 , l2 - 0 = l2 ,K , lk -1 - 0 = lk -1 è n = l1 + l2 + K + lk -1 + 0 - k - 1 - k - 2 K - 2 - 1 = = l1 - 1 + l2 - 1 + K + lk -1 - 1 - k - 2 - K - 2 - 1 , òî F l1, l2 ,K, lk -1,0 = F l1 - 1, l2 - 1,K , lk -1 - 1 . Èíäóêöèîííûé ïåðåõîä 1! . 1! Ïðèìåíèì èíäóêöèþ. Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî ôîðìóëà êðþêîâ âåðíà äëÿ âñåõ äèàãðàìì, ñîñòîÿùèõ èç n 1 êëåòîê, äîêàæåì åå äëÿ n-êëåòî÷íîé äèàãðàììû. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðèåìîì, êîòîðûé ìû óæå îáñóæäàëè, îòáðàñûâàíèåì êëåòîê. Ïåðåõîä îò äèàãðàìì ðèñóíêà 7 ê äèàãðàììàì ðèñóíêà 8 ñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëå Äëÿ k = 1 è λ1 = 1 ôîðìóëà êðþêîâ òðèâèàëüíà: 1 = F 7,4,3,1 = F 6,3,2 + F 7, 4,2,1 + F 6,4,3,1 . Ïîñêîëüêó F 6,3,2 = F 7, 4,3,0 è F 7,3,3,1 = 0 , åå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå F 7,4,3,1 = F 6, 4,3,1 + F 7,3,3,1 + F 7,4,2,1 + F 7, 4,3,0. Ïî î÷åðåäè êàæäûé àðãóìåíò óìåíüøàåì íà 1.  îáùåì âèäå ôîðìóëà òàêîâà: F l1, l2,K, lk = F l1 - 1, l2 ,K, lk + + F l1, l2 - 1,K , lk + K + F l1, l2 ,K , lk - 1 . ( * )  ïðàâîé ÷àñòè k ñëàãàåìûõ: ìû êàê áû ïî î÷åðåäè îòáðàñûâàåì èç êàæäîé ñòðîêè åå ñàìóþ ïðàâóþ êëåòêó (õîòÿ íà 1 Ïðè äåëåíèè g x, y ðàññìàòðèâàåì êàê ìíîãî÷ëåí îò õ, êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî ìíîãî÷ëåíû îò ó. 37-53.p65 47 F l2 - 1, l1,K , lk = - F l1, l2 - 1,K , lk , F l2, l1 - 1,K , lk = - F l1 - 1, l2 ,K , lk , Ïîäñòàâèâ â ýòî òîæäåñòâî y = x, ïîëó÷àåì  ñèëó ëåììû 2 èìååì g x, x = 0 ; ñëåäîâàòåëüíî, f x = 0 ; ëåììà 3 äîêàçàíà. Ìíîãîêðàòíî ïðèìåíÿÿ ëåììó 3, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó óòâåðæäåíèþ. Ñëåäñòâèå èç ëåììû 3. Âñÿêèé àíòèñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí g l1, l2,K, lk ïðåäñòàâèì â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ âñåâîçìîæíûõ ðàçíîñòåé âèäà lj - lm , ãäå 1 £ j < m £ k , è íåêîòîðîãî ñèììåòðè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà. "% ÊÐÓÆÎÊ F l2, l1,K, lk -1 - 1, lk = - F l1, l2 ,K, lk -1 - 1, lk , F l2 , l1,K, lk - 1 = - F l1, l2 ,K , lk - 1 . Ïðè ëþáîé äðóãîé òðàíñïîçèöèè ñèòóàöèÿ àíàëîãè÷íà. Ëåììà äîêàçàíà. Íè ïðàâàÿ, íè ëåâàÿ ÷àñòè ðàâåíñòâà ( * ) íå ìíîãî÷ëåíû: «ìåøàþòñÿ» ôàêòîðèàëû. Îäíàêî, ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè íà (n 1)! è äîìíîæèâ íà l1 ! l2 !K lk ! , ïðèõîäèì ê íåîáõîäèìîñòè äîêàçàòü òîæäåñòâî n Õ lj - lm = l1 Õ l1 - 1 - lm Õ lj - lm + 1£ j < m £ k + l2 l1 - l2 - 1 1< m £ k 2£ j < m £k Õ l1 - lm Õ l2 - 1 - lm Õ lj - lm + K 2< m £k 2< m £k K + lk 3£ j <m £k Õ lj - lm Õ lj - lk - 1 . ( * * ) 1£ j < m < k 1£ j < k Âûïèñàíî îíî øèêà ðàäè. À ïðèíöèïèàëüíî òî, ÷òî âñëåäñòâèå ëåììû 4 ïðàâàÿ ÷àñòü (**) àíòèñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îò l1, l2,K , lk , òàê ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü äåëèòñÿ íà âñåâîçìîæíûå ðàçíîñòè ýòèõ ïåðåìåííûõ, à ÷àñòíîå îò äåëåíèÿ ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí h l1, l2,K, lk ïåðâîé ñòåïåíè. (Ïåðâîé ïîñêîëüêó ñòåïåíü ïðàâîé ÷àñòè íà åäèíèöó áîëüøå ñòåïåíè ëåâîé ÷àñòè âñëåäñòâèå íàëè÷èÿ ìíîæèòåëåé l1, l2,K , lk , ñîîòâåòñòâåííî, â êàæäîì èç k ñëàãàåìûõ ïðàâîé ÷àñòè.) Ëþáîé ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ïåðâîé ñòåïåíè îò l1, l2,K , lk èìååò âèä a l1 + l2 + K + lk - b , ãäå à è b ÷èñëà. Îñòàëîñü èõ íàéòè. Êîýôôèöèåíò ïðè l1k â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû ( * * ) ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ Õ lj - lm , à êîýôôèöèåíò ïðè l1k -1 â 2£ j < m £k ìíîãî÷ëåíå Õ lj - lm ðîâíî òàêîé æå. Ñëåäîâàòåëüíî, 1£ j < m £ k à = 1 è h l1, l2,K, lk = l1 + l2 + K + lk - b , ãäå âåëè÷èíà b çàâèñèò òîëüêî îò k, à íå îò l1, l2,K , lk . Ïîñëåäíèé óäàð Êîãäà õîðîøî ïîäóìàåøü è ãîâîðèòü íå î ÷åì. Îñòàëîñü ñäåëàòü ïîñëåäíèé øàã îáîñíîâàòü ðàâåíñòâî b = 1 + 2 + K + k - 1 . Óäèâèòåëüíûì îáðàçîì íèêàêèõ âû÷èñëåíèé íå òðåáóåòñÿ! Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî k ôîðìóëà êðþêîâ âåðíà äëÿ ñòîëáèêà âûñîòîé k, òî äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ïðàâèëüíîãî ïåðåõîäà îò ñòîëáèêà âûñîòîé k 1 ê ñòîëáèêó âûñîòîé k âåëè÷èíà b èìåííî òàêàÿ, êàê íàäî! 29.05.09, 14:35 ÅÑÒÜ ÈÄÅß?! Ïðåäëàãàåìàÿ ñòàòüÿ íàïèñàíà îäíèì èç ñàìûõ äàâíèõ è ëþáèìûõ àâòîðîâ íàøåãî æóðíàëà ïðîôåññîðîì Ìîñêîâñêîãî ôèçèêî-òåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà À.Ë.Ñòàñåíêî. Ìíîãî ëåò îí ÿâëÿåòñÿ âåäóùèì ðàçäåëà «Øêîëà â «Êâàíòå» è ÷àùå âñåãî ïèøåò íåáîëüøèå çàìåòêè-ýññå èìåííî äëÿ ýòîé ðóáðèêè. Ïî÷åìó æå íà ýòîò ðàç ðåäêîëëåãèÿ ðåøèëà îïóáëèêîâàòü ñòàòüþ À.Ë.Ñòàñåíêî â ðàçäåëå «Åñòü èäåÿ?!»? Äåëî â òîì, ÷òî ýòà ñòàòüÿ íåîáû÷íà êàê äëÿ ñàìîãî àâòîðà, òàê è äëÿ æóðíàëà. Êàê ïðàâèëî, ìû ïóáëèêóåì ìàòåðèàëû, ïîñâÿùåííûå ïîïóëÿðíîìó èçëîæåíèþ âîïðîñîâ, ïðîøåäøèõ ðàíåå àïðîáàöèþ íà ñòðàíèöàõ íàó÷íûõ æóðíàëîâ è êíèã è ïðèçíàííûõ íàó÷íûõ ñîîáùåñòâîì.  ïðåäëàãàåìîé æå ñòàòüå àâòîðó çàõîòåëîñü ïîôàíòàçèðîâàòü íà òåìó î òîì, êàê íà îñíîâå íàó÷íûõ ñîîáðàæåíèé è àðãóìåíòîâ ìîæíî ïðèäóìàòü, «ñêîíñòðóèðîâàòü» ôîðìóëó äëÿ êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ. Íàì êàæåòñÿ, ÷òî ÷èòàòåëÿì áóäåò èíòåðåñíî ïîçíàêîìèòüñÿ ñî ñâîáîäíûì íàó÷íûì ôàíòàçèðîâàíèåì, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì çâåíîì â ïîèñêå íîâûõ èñòèí. Ìû ïðåäëàãàåì âàì ïîðàçìûøëÿòü íàä ïîëó÷åííîé àâòîðîì ñòàòüè ôîðìóëîé, ñðàâíèòü åå ñ ëþáûìè äîñòóïíûìè âàì äàííûìè è, ìîæåò áûòü, ïðåäëîæèòü ñâîþ (âîçìîæíî, áîëåå óäà÷íóþ) ôîðìóëó èëè òåîðèþ. Óïðóãîñòü, òåêó÷åñòü, òðåíèå... À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ ...â ìåõàíèêå òâåðäûõ òåë ïðèìåíÿåòñÿ ...òåõíè÷åñêè íåîáõîäèìîå, íî ôèçè÷åñêè ïëîõî ðàñïîçíàâàåìîå ïîíÿòèå î âíåøíåì òðåíèè. Ð. Ïîëü Ý ÒÎ ÑËÅÃÊÀ ÏÅÑÑÈÌÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÂÛÑÊÀÇÛÂÀÍÈÅ ÏÐÈ- íàäëåæèò èçâåñòíîìó íåìåöêîìó äåìîíñòðàòîðó ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ïîïðîáóåì âíåñòè ñâîþ ëåïòó â ïîíèìàíèå ñòîëü ïîâñåìåñòíîãî ïðîöåññà, êàê òðåíèå. Ïðåäñòàâèì ñåáå áðóñîê âåñîì Ð, ëåæàùèé íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëèòå èç òîãî æå ìàòåðèàëà (ðèñ.1).  ðåàëüíîñòè îáà òåëà øåðîõîâàòû, òàê ÷òî îíè ñîïðèêàñàþòñÿ â íåêîòîðîì ÷èñëå êîíòàêòíûõ îáëàñòåé (â ïðèíöèïå, äëÿ ðàâíîâåñèÿ Ðèñ. 1 Ðèñ. 2 äîñòàòî÷íî òðåõ), ñóììàðíàÿ ïëîùàäü êîòîðûõ ìíîãî ìåíüøå âèäèìîé. Ïðåæäå âñåãî ðàññìîòðèì âîçìîæíûå òèïû äåôîðìàöèè, êîòîðîé ïîäâåðæåíû êîíòàêòíûå âûñòóïû («áóãîðêè» øåðîõîâàòîñòè), ñ÷èòàÿ èõ â íåäåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè âåðòèêàëüíûìè öèëèíäðèêàìè èëè áðóñêàìè. Ïðè îñåâîì ñæàòèè ñòåðæíÿ íà÷àëüíîé âûñîòû l è ñå÷åíèÿ S ïîä äåéñòâèåì ñèëû N íàáëþäàåòñÿ åãî óêîðî÷åíèå íà 37-53.p65 48 âåëè÷èíó x (ðèñ.2,à), êîòîðîå âûðàæàåòñÿ â âèäå õîðîøî èçâåñòíîãî çàêîíà Ãóêà l N x= . E S Çäåñü âåëè÷èíà E íàçûâàåòñÿ ìîäóëåì ïðîäîëüíîé óïðóãîñòè, èëè ìîäóëåì óïðóãîñòè ïåðâîãî ðîäà, èëè (ñîêðàùåííî) ìîäóëåì óïðóãîñòè, èëè ìîäóëåì Þíãà. Ïðèâåäåííîå âûðàæåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå, ïðèâû÷íîì äëÿ øêîëüíèêà è õàðàêòåðèçóþùåì ïðóæèíó: ES x = kx . l Òàêèì îáðàçîì, ìû óïîäîáèëè óïðóãèé ñòåðæåíü ïðóæèíå æåñòêîñòüþ k = ES l . Çàêîí Ãóêà óòâåðæäàåò ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü îòíîñèòåëüíîé äåôîðìàöèè ñòåðæíÿ x/l îò ìåõàíè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ (íîðìàëüíîé ñèëû, ïðèõîäÿùåéñÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè) σ = = N/S. È ñåðüåçíûå èññëåäîâàòåëè, è øêîëüíèêè î÷åíü ëþáÿò òàêèå çàâèñèìîñòè çà èõ ïðîñòîòó. Íàïðèìåð, çàêîí Îìà äàåò ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó ñèëîé òîêà I è ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ U íà êîíöàõ ïðîâîäíèêà äëèíîé l è ñå÷åíèåì S: l U= I. λS Ñðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ñ çàêîíîì Ãóêà, âèäèì, ÷òî ýëåêòðîïðîâîäíîñòü ïðîâîäíèêà λ ôîðìàëüíî àíàëîãè÷íà ìîäóëþ Þíãà Å. Îäíàêî, ïðè óâåëè÷åíèè ìåõàíè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ ïðîñòàÿ ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ïåðåñòàåò áûòü ñïðàâåäëèâîé: ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè σò = Nmax S íàñòóïàþò íåîáðàòèìûå äåôîðìàöèè ñæàòàÿ ïðóæèíà-ñòåðæåíü íå ðàñïðÿìèòñÿ ïîñëå ñíÿòèÿ íàãðóçêè. Çíà÷åíèå σò íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì òåêó÷åñòè. Ñ ïîìîùüþ ýòîé âåëè÷èíû ìîæíî îïðåäåëèòü, íàïðèìåð, íàèáîëüøóþ âûñîòó h ãîð íà Çåìëå.  ñàìîì äåëå, ñ÷èòàÿ ãîðó êîíóñîì è ïðèðàâíèâàÿ äàâëåíèå ïîðîäû åå ïðåäåëó òåêó÷åñòè: 1 ρgh Ù σò , 3 ïîëó÷èì 3 σò 3 × 108 : hÙ ì = 104 ì = 10 êì. ρg 3 × 103 × 10 N= Çäåñü ïëîòíîñòü áàçàëüòîâîé ïîðîäû ïðèíÿòà ðàâíîé 3000 êã/ì 3 , à åå ïðåäåë òåêó÷åñòè ïîðÿäêà 108 Ïà . Êàê èçâåñòíî, ñàìàÿ âûñîêàÿ ãîðà íà Çåìëå èìååò âûñîòó 8,848 êì. Îòñþäà æå ìîæíî çàêëþ÷èòü, ê ïðèìåðó, ÷òî íà Ëóíå ìîãëè áû ñóùåñòâîâàòü ãîðû â 6 ðàçà âûøå. Íî ëèíåéíîå ñæàòèå è ðàñòÿæåíèå íå åäèíñòâåííûé âèä äåôîðìàöèè. Ñóùåñòâóåò åùå äåôîðìàöèÿ ñäâèãà. Ïðåäñòàâèì ñåáå óïðóãèé áðóñîê ABDC, íèæíÿÿ ãðàíü êîòîðîãî AB ïðèêëååíà ê àáñîëþòíî æåñòêîé ïîâåðõíîñòè (ðèñ.2,á). 29.05.09, 14:35 ÅÑÒÜ Ïîä äåéñòâèåì êàñàòåëüíîé ñèëû Fτ åãî âåðõíÿÿ ãðàíü CD ïðèìåò ïîëîæåíèå C ¢D¢ , à âåðòèêàëüíûå ãðàíè íàêëîíÿòñÿ íà óãîë γ . (Íà ðèñóíêå ðàññòàâëåíû ñèëû òàê, ÷òîáû äåôîðìèðîâàííûé áðóñîê îñòàëñÿ â ðàâíîâåñèè.) Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ñæàòèÿ, çàêîí Ãóêà ïðè ñäâèãå âûðàæàåòñÿ â âèäå στ , G ãäå σ τ íàïðÿæåíèå ñäâèãà, èëè êàñàòåëüíàÿ ñèëà â ðàñ÷åòå íà åäèíèöó ïëîùàäè, à âåëè÷èíà G íàçûâàåòñÿ ìîäóëåì ñäâèãà èëè ìîäóëåì óïðóãîñòè âòîðîãî ðîäà è, åñòåñòâåííî, èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü, ÷òî è ìîäóëü Þíãà, è ìåõàíè÷åñêîå 2 íàïðÿæåíèå ( [G] = Í ì ). Íî ïðè ÷åì çäåñü òðåíèå? Íåñîìíåííî, åùå ïåðâîáûòíûé ÷åëîâåê, òàùà òóøó ìàìîíòà èëè áðåâíî ê êîñòðó, óáåäèëñÿ, ÷òî åãî óñèëèÿì ïðîòèâîäåéñòâóåò òàíãåíöèàëüíàÿ ñèëà F òåì áóëüøàÿ, ÷åì áîëüøå âåñ P ìàìîíòà èëè áðåâíà. Ïðîøëî íåìàëî âðåìåíè, ïðåæäå ÷åì Àìîíòîí îòâàæèëñÿ çàïèñàòü (1699 ã.) ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó ýòèìè ñèëàìè: γ= F = µP , à êîýôôèöèåíò µ íàçâàòü êîýôôèöèåíòîì òðåíèÿ. È ïðîøëî åùå íåìàëî ëåò, ïîêà ôèçèêè îñîçíàëè, ÷òî ìàêðîñêîïè÷åñêèé ýôôåêò, íàçûâàåìûé òðåíèåì, åñòü ðåçóëüòàò ìíîæåñòâà ìèêðîñêîïè÷åñêèõ âçàèìîäåéñòâèé ìîëåêóë, àòîìîâ, ýëåêòðîíîâ ñîïðèêàñàþùèõñÿ òåë. Áûëè íàïèñàíû ñîòíè (à ìîæåò áûòü, è òûñÿ÷è) äèññåðòàöèé, â êîòîðûõ èññëåäîâàëèñü ðàçëè÷íûå àñïåêòû ïðîáëåìû òðåíèÿ. È òåì íå ìåíåå, äàæå â ýíöèêëîïåäèþ âîøëè ïåññèìèñòè÷åñêèå íîòêè: «...êîýôôèöèåíòû òðåíèÿ ÷àñòî ÿâëÿþòñÿ ëèøü ãðóáîé è óñëîâíîé õàðàêòåðèñòèêîé ñèë òðåíèÿ. Êðîìå òîãî, âåëè÷èíà êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ ñóùåñòâåííî èçìåíÿåòñÿ ïðè èçìåíåíèÿõ (÷àñòî ñ òðóäîì ïîääàþùèõñÿ êîíòðîëþ) ôèçè÷åñêèõ óñëîâèé íà ïîâåðõíîñòè ñîïðèêîñíîâåíèÿ». Çäåñü èìååòñÿ â âèäó íàëè÷èå ïëåíîê îêèñëîâ, àäñîðáèðîâàííûõ ñëîåâ ãàçîâ, ïàðîâ è æèäêîñòåé; êðîìå òîãî, ëîêàëüíàÿ òåìïåðàòóðà â ìåñòàõ êîíòàêòîâ ïðè ñêîëüæåíèè îäíîãî òåëà ïî äðóãîìó ìîæåò áûòü ãîðàçäî áîëåå âûñîêîé (íàïðèìåð, íåñêîëüêî ñîò ãðàäóñîâ), ÷åì ñðåäíÿÿ òåìïåðàòóðà îáîèõ òåë. À åùå êðóïíûå áóãîðêè, ñòàëêèâàÿñü äðóã ñ äðóãîì, ïðîñòî ïðåïÿòñòâóþò äâèæåíèþ è äîëæíû áûòü ñðåçàíû àêòèâíîé ñèëîé F (íà ðèñóíêå 1 ñïðàâà è íà ðèñóíêå 2,â èçîáðàæåíû äâà òàêèõ áóãîðêà, êîòîðûå ãîòîâÿòñÿ âñòðåòèòüñÿ äðóã ñ äðóãîì).  ðåçóëüòàòå êîýôôèöèåíò òðåíèÿ çàâèñèò åùå è îò êà÷åñòâà îáðàáîòêè ïîâåðõíîñòåé íå íàïðàñíî âåäü â ìàøèíîñòðîåíèè òùàòåëüíî øëèôóþò òðóùèåñÿ äåòàëè. Âñåìè ýòèìè ôàêòîðàìè îáúÿñíÿåòñÿ ðàçáðîñ çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ òðåíèÿ, ïðèâîäèìûõ â ðàçëè÷íûõ ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêàõ. Íàïðèìåð, çíà÷åíèå µ = 0,18 äëÿ ñëó÷àÿ òðåíèÿ ìåòàëëà ïî ìåòàëëó ïðèâåäåíî â ó÷åáíèêå ïîçàïðîøëîãî âåêà ñ ïûøíûì íàçâàíèåì «Íà÷àëüíàÿ ôèçèêà âú îáúåì ãèìíàçè÷åñêîãî ïðåïîäàâàíiÿ ñ 766-þ ïîëèòèïàæàìè â òåêñò, çàäà÷àìè, ðåïåòèòîðióìîìú è âîïðîñàìè äëÿ óïðàæíåíié» Í. Ëþáèìîâà (Ìîñêâà, 1876. Ëèöåé Öåñàðåâè÷à Íèêîëàÿ).  «Ìåõàíèêå, àêóñòèêå è ó÷åíèè î òåïëîòå» óïîìÿíóòîãî âûøå Ðîáåðòà Âèõàðäà Ïîëÿ óêàçàíî, ÷òî ÷èñëåííîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ ïîêîÿ ëåæèò áîëüøåé ÷àñòüþ ìåæäó 0,2 è 0,7, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ëåæèò ìåæäó 0,2 è 0,5, à ñ âîçðàñòàíèåì ñêîðîñòè îí ìîæåò ñíèçèòüñÿ íà 20% îò íà÷àëüíîé âåëè÷èíû, èìåþùåéñÿ ïðè ìàëîé ñêîðîñòè.  äðóãèõ èñòî÷íèêàõ ìîæíî íàéòè òàêèå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ: äëÿ ñàíîê ïî òâåðäîìó ñíåãó µ = 0,05 ; ìåæäó äåðåâîì è ëüäîì µ = 0,09 ; äëÿ ñòàëè ïî ÷óãóíó µ = 0,15 - 0,18 , 37-53.p65 49 "' ÈÄÅß?! à äëÿ ñòàëè ïî ñòàëè µ = 0, 44 ; äëÿ êîëåñ òîðìîçÿùåãî òðàìâàÿ µ = 0,2 è ò.ä.  ýòèõ óñëîâèÿõ âïîëíå îïðàâäàíî ïðåäëîæèòü êàêóþëèáî ïðîñòóþ çàâèñèìîñòü, îïèñûâàþùóþ ñòîëü ñëîæíîå è íåîïðåäåëåííîå ÿâëåíèå. Äëÿ ýòîãî è âîñïîëüçóåìñÿ ââåäåííûìè âûøå ïîíÿòèÿìè ìîäóëåé óïðóãîñòè è ïðåäåëà òåêó÷åñòè. Êàðòèíà, èçîáðàæàþùàÿ âçàèìîäåéñòâèå ïîâåðõíîñòåé äâóõ ñîïðèêàñàþùèõñÿ òåë (ñì. ðèñ.1), íàãëÿäíî èëëþñòðèðóåò êàê óïðóãóþ äåôîðìàöèþ îäíèõ «áóãîðêîâ» øåðîõîâàòîñòåé, òàê è íåóïðóãóþ äðóãèõ, êàê èõ ëèíåéíîå ñæàòèå (ñì. ðèñ.2,à), òàê è ñäâèãîâóþ äåôîðìàöèþ (ñì. ðèñ.2,á), êîòîðàÿ â êîíöå êîíöîâ ïðèâîäèò ê ðàçðûâó «ñïàåê» â îáëàñòè íåóïðóãîé äåôîðìàöèè (ñ ïîñëåäóþùèì îáðàçîâàíèåì íîâûõ ñïàåê â ïðîöåññå äâèæåíèÿ). Çíà÷èò, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ äîëæåí, â ïðèíöèïå, çàâèñåòü îò âñåõ ðàññìîòðåííûõ íàìè ìàêðîñêîïè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê âåùåñòâà: E, G, σò . Ïðåæäå âñåãî âûïèøåì â òàáëèöó (â ïåðâûå òðè ñòîëáöà) õàðàêòåðíûå çíà÷åíèÿ âñåõ íóæíûõ íàì âåëè÷èí äëÿ íåêîòîðûõ ìåòàëëîâ è ñïëàâîâ. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ìîäóëè óïðóãîñòè E è G äàíû â ãèãàïàñêàëÿõ ( 1ÃÏà = 10 9 Ïà ), à ïðåäåëû òåêó÷åñòè σò â åäèíèöàõ, â 6 òûñÿ÷ó ðàç ìåíüøèõ, ò.å. â ìåãàïàñêàëÿõ ( 1 ÌÏà = 10 Ïà ): Àëþìèíèé è ñïëàâû Ìåäü è ñïëàâû Ñâèíåö Ñòàëü Å, ÃÏà G, ÃÏà σò, ÌÏà µ = σò 7080 100130 16 190210 2630 4047 5,6 230 20500 30700 510 7580 EG 13 0,080,22 0,080,21 0,080,1 0,12 Èç ýòîé òàáëèöû âèäåí ðàçáðîñ äàííûõ, ïðèâåäåííûõ â ðàçëè÷íûõ ñïðàâî÷íèêàõ. Òåì íå ìåíåå, çíà÷åíèÿ ïðåäåëà òåêó÷åñòè äëÿ âñåõ âåùåñòâ îêàçûâàþòñÿ íà äâà-òðè ïîðÿäêà ìåíüøå çíà÷åíèé ìîäóëåé óïðóãîñòè  ñëîæíûõ âîïðîñàõ ôèçèêè ÷àñòî ïðèáåãàþò ê ïîìîùè òåîðèè ðàçìåðíîñòåé è ïîäîáèÿ. Íî â äàííîì ñëó÷àå èç ïåðå÷èñëåííûõ õàðàêòåðèñòèê ìàòåðèàëîâ σò , E, G, èìåþùèõ îäíó è òó æå ðàçìåðíîñòü ( Í ì2 ), ìîæíî ñîñòàâèòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî áåçðàçìåðíûõ êîìáèíàöèé. Êàê òóò áûòü? Âîñïîëüçóåìñÿ äîïîëíèòåëüíûìè ðàçóìíûìè ñîîáðàæåíèÿìè. Âî-ïåðâûõ, ïîñêîëüêó ïðè äåôîðìàöèè áóãîðêîâ èìååò ìåñòî êàê èõ ñæàòèå, òàê è ñäâèã, öåëåñîîáðàçíî ââåñòè E G âìåñòî Å èëè G â îòäåëüíîñòè. Ðàçóìååòñÿ, ýòîò êîðåíü èìååò òîò æå ïîðÿäîê âåëè÷èíû, ÷òî è ñòîÿùèå ïîä íèì ñîìíîæèòåëè. Âî-âòîðûõ, σò , êàê óæå áûëî îòìå÷åíî, íà äâà-òðè ïîðÿäêà ìåíüøå E G , à âåëè÷èíà µ íàõîäèòñÿ ãäåòî âáëèçè 0,1. Îòñþäà ðàçóìíî ïðåäëîæèòü òàêóþ çàâèñèìîñòü äëÿ êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ: æ σ ö µ:ç ò ÷ è EG ø 13 . Êîíå÷íî, ýòî íå âûâîä è íå äîêàçàòåëüñòâî, è ïðåäëàãàåìàÿ ôîðìóëà íîñèò îòïå÷àòîê ïðîèçâîëà. Íî âåäü îíà äàåò ðàçóìíûå çíà÷åíèÿ µ ! Êàê òóò íå âñïîìíèòü àíãëèéñêîãî ôèçèêà è ìàòåìàòèêà Îëèâåðà Õåâèñàéäà, êîòîðûé ñêàçàë, ÷òî íå ìîæåò îòêàçàòüñÿ îò âêóñíîãî îáåäà òîëüêî ïîòîìó, ÷òî íå çíàåò, êàê òîò ïðèãîòîâëåí. Èëè Ìàðêà Áëîêà, èñòîðèêà: « åñëè áû ôèçèêè íå áûëè òàê äåðçêè â ñâîåé ïðîôåññèè, ìíîãîãî ëè äîñòèãëà áû ôèçèêà?» Íàøè âäóì÷èâûå ÷èòàòåëè ìîãóò «èñïûòàòü» ýòó ôîðìóëó è äëÿ äðóãèõ âåùåñòâ, âûïèñàâ èç ñïðàâî÷íèêîâ èõ ôèçèêîìåõàíè÷åñêèå äàííûå, à òàêæå íàéäÿ â ëèòåðàòóðå (èëè èçìåðèâ) ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû òðåíèÿ. Ïðàâäà, òîíêèå ýêñïåðèìåíòû ïîêàçàëè, ÷òî ñèëà òðåíèÿ ñóùåñòâóåò è â ñëó÷àå, êîãäà íå ïðîèñõîäèò óïðóãî-ïëàñòè÷åñêèõ èçìå- 29.05.09, 14:35 # ÊÂÀÍT$ 2009/¹3 íåíèé ïîâåðõíîñòè. Ýòà ñèëà ñâÿçàíà ñ òàê íàçûâàåìîé àäãåçèåé (îò ëàò. adhaesio ïðèëèïàíèå). Èìåííî äëÿ îïèñàíèÿ ýòîãî ÿâëåíèÿ Êóëîí «ïîäïðàâèë» çàêîí Àìîíòîíà è ââåë äîïîëíèòåëüíîå ñëàãàåìîå, ñâÿçàííîå íå ñ ïðèæèìàþùåé ñèëîé, à ñ âçàèìîäåéñòâèåì ïðèïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ è ìîëåêóë (ñì. ñòàòüþ À.Ñòàñåíêî «Íå ïðåíåáðåæåì òðåíèåì êà÷åíèÿ...» â Êâàíòå ¹1 çà 2008 ã. Ïðèì. ðåä.). Çäåñü ìû íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýòó íåæíóþ äîáàâêó, à âåðíåìñÿ ê íàøåé òàáëèöå.  ïîñëåäíåì ñòîëáöå òàáëèöû ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ µ , ðàññ÷èòàííûå ïî ïðåäëàãàåìîé ôîðìóëå. Ïðè ýòîì áðàëèñü êðàéíèå ëåâûå èëè êðàéíèå ïðàâûå çíà÷åíèÿ èç èíòåðâàëîâ äëÿ E, G è σò (ò.å. ïðèíèìàëîñü, ÷òî áîëåå æåñòêèå òåëà îáëàäàþò è áîëåå âûñîêèì ïðåäåëîì òåêó÷åñòè). Òàêèì îáðàçîì, ïðåäëàãàåìàÿ ïðîñòàÿ ñâÿçü ìåæäó ìàêðîñêîïè÷åñêèìè ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè ìàòåðèàëîâ, íåñìîòðÿ íà ãðîìàäíûé ðàçáðîñ òàáëè÷íûõ äàííûõ, äàåò ïðàâäîïîäîáíîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ ìåæäó äâóìÿ òåëàìè (ïî êðàéíåé ìåðå, èç îäíîãî è òîãî æå ìàòåðèàëà).  îäíîì àìåðèêàíñêîì ó÷åáíèêå ïî ôèçèêå ãîâîðèòñÿ: «... ó÷åò òðåíèÿ ýòî, â ñóùíîñòè, áóõãàëòåðñêèé ó÷åò: åñëè êàêàÿ-òî ÷àñòü ýíåðãèè óõîäèò â áåñïîëåçíîé äëÿ íàñ ôîðìå, òî ìû ìîæåì íàçâàòü ýòî òðåíèåì». Êîíå÷íî, ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî îêîí÷àòåëüíî ðàçîáðàòüñÿ ñ òðåíèåì ìîæíî ïîñëå ìåñÿ÷íûõ áóõãàëòåðñêèõ êóðñîâ. Ïîæàëóé, äëÿ ýòîãî íåïëîõî ïîñòóïèòü â Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò, ÷åãî âàì è æåëàåì. ÍÀØÈ ÍÀÁËÞÄÅÍÈß Èç ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâî Ìîæåò áûòü, âû óæå ïèñàëè ÅÃÝ, à ìîæåò, åùå íåò, íî â ëþáîì ñëó÷àå ñëåäóåò çíàòü, ÷òî ýòî òÿæåëàÿ ðàáîòà. Ñêàæåì, ïî ôèçèêå çà 3,5 ÷àñà íóæíî ðåøèòü 36 çàäà÷. Ôàêòè- âçãëÿäîì íà ðîçîâûé áëàíê îòâåòîâ ÅÃÝ (ðèñ.1). Ïîñìîòðåë òóäà, ãäå ðàñïîëîæåíû êâàäðàòèêè, â êîòîðûõ íóæíî îòìå÷àòü íîìåðà ïðàâèëüíûõ îòâåòîâ. Ìíå ïîêàçàëîñü, ÷òî áëàíê ïðèîáðåë ãëóáèíó ñàíòèìåòðà 23, íå ìåíüøå. Ïîçæå, óæå ïîñëå ýêçàìåíà, ÿ ïîíÿë, ÷òî ýòî áûëî ïðîÿâëåíèåì ñòåðåîñêîïè÷åñêîãî ýôôåêòà. Âîò â ÷åì òóò äåëî (ðèñ.2). Åñëè ìû ñìîòðèì îáîèìè ãëàçàìè íà îäèí è òîò æå êâàäðàò, òî óãîë ìåæäó ëó÷àìè çðåíèÿ âåëèê. Åñëè æå ìû Ðèñ. 1 ÷åñêè íåâîçìîæíî ïðîðàáîòàòü òàêîé áîëüøîé îòðåçîê âðåìåíè áåç ïåðåäûøêè, áåç âîëüíûõ èëè íåâîëüíûõ îòâëå÷åíèé.  îäèí èç òàêèõ ìîìåíòîâ ÿ è ïîñìîòðåë ðàññåÿííûì ñìîòðèì íà äâà ñîñåäíèõ êâàäðàòà ëåâûì ãëàçîì íà ëåâûé è ïðàâûì íà ïðàâûé, òî óãîë ìåæäó ëó÷àìè çðåíèÿ ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå. È åñëè âñå-òàêè íàì óäàñòñÿ óáåäèòü ñåáÿ, ÷òî îáà ãëàçà âèäÿò îäèí è òîò æå êâàäðàò, òî ýòîò êâàäðàò áóäåò êàçàòüñÿ áîëåå óäàëåííûì. Ñóùåñòâóþò îïðåäåëåííûå ìåòîäèêè äîñòèæåíèÿ òàêîãî ñàìîîáìàíà. Âîò îäíà èç íèõ. Ïðèáëèçüòå ðèñóíîê 1 ê ñåáå è ðàññëàáüòå ãëàçà ðàñôîêóñèðóéòå ñâîå çðåíèå, íå ïûòàÿñü ðàçãëÿäåòü êàêèå-ëèáî ìåëêèå äåòàëè ðèñóíêà. Òåïåðü íà÷íèòå ìåäëåííî óäàëÿòü ðèñóíîê, âñå òàê æå íå ïûòàÿñü ñôîêóñèðîâàòü çðåíèå.  íåêîòîðûé ìîìåíò äîëæíà âîçíèêíóòü èëëþçèÿ îáúåìà. Íàäååìñÿ, âû ëèøíèé ðàç óáåäèëèñü â òîì, ÷òî ãëóáèíó ìîæíî èñêàòü âåçäå äàæå òàì, ãäå åå íåò. À.Ïàíîâ Ðèñ. 2 37-53.p65 50 29.05.09, 14:35 ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Ïîòîê ìàãíèòíîé èíäóêöèè Ê.ÐÛÁ Î ÏÈÑÀÍÈÅ ÐÀÇËÈ×ÍÛÕ ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÐÎ- öåññîâ îñíîâàíî íà äâóõ îñíîâíûõ çàêîíàõ íà çàêîíå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè è òåîðåìå Ãàóññà. Îáà çàêîíà èñïîëüçóþò îäíó è òó æå ôèçè÷åñêóþ âåëè÷èíó ïîòîê ìàãíèòíîé èíäóêöèè, èëè ïðîñòî ur ìàãíèòíûé ïîòîê. Ïîòîê âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè B ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ïëîùàäüþ S ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ìîäóëÿ âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêur öèè íà ýòó ïëîùàäü è íà êîñèíóñ óãëà α ìåæäó âåêòîðîì B è íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè: Φ = BS cos α . Ñîãëàñíî çàêîíó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè, ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà èíäóêöèè â çàìêíóòîì êîíòóðå ðàâíà ïî ìîäóëþ ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÷åðåç ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííóþ êîíòóðîì: ∆Φ -i = . ∆t Òåîðåìà Ãàóññà äëÿ ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè âûðàæàåò îäíî èç ôóíäàìåíòàëüíûõ ñâîéñòâ ìàãíèòíîãî ïîëÿ åãî âèõðåâîé õàðàêòåð. Îíà ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ïîòîêîâ ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ðàâíà íóëþ. Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî âûõîäÿùèå èç ïîâåðõíîñòè ìàãíèòíûå ëèíèè äàþò ïîëîæèòåëüíûé ïîòîê, à âõîäÿùèå îòðèöàòåëüíûé. Îáðàòèìñÿ ê ïðèìåðàì êîíêðåòíûõ çàäà÷, ïðåäëàãàâøèõñÿ íà êîíêóðñíûõ ýêçàìåíàõ è íà îëèìïèàäàõ. Çàäà÷à 1.  íåîäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, ñèììåòðè÷íîì îòíîñèòåëüíî îñè OZ, îñåâàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ Bz ìåíÿåòñÿ ïî ëèíåéíîìó çàêîíó: æ 1 ö Bz = B0 ç1 + z . Îïðåäåëèòå óãîë, êîòîðûé îáðàçóåò H0 ÷ø è âåêòîð èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ íàïðàâëåíèåì îñè OZ â òî÷êå À, íàõîäÿùåéñÿ íà ðàññòîÿíèè R îò îñè è íà ðàññòîÿíèè H A îò ïëîñêîñòè XOY. Ðåøåíèå. Îêðóæèì îñü OZ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ ðàäèóñîì R è øèðèíîé ∆z . Ïîâåðõíîñòü âêëþ÷àåò òî÷êó À. Ñóììàðíûé ìàãíèòíûé ïîòîê ïðåäñòàâèì êàê ñóììó ïîòîêîâ ÷åðåç òîðöû è ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà. Òàê êàê ïî òåîðåìå Ãàóññà ñóììàðíûé ïîòîê âåêòîðà èíäóêöèè ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí íóëþ, òî B ∆Bz × Sòîð = Br × Sáîê , èëè - 0 ∆z × πR2 = Br × 2πR ∆z . H0 Îòñþäà ïîëó÷àåì BR Br = - 0 . 2H0 Òåïåðü î÷åâèäíî, ÷òî èñêîìûé óãîë ðàâåí B R γ = arctg r = arctg . 2 H0 + HÀ Bz 37-53.p65 51 Çàäà÷à 2. Âáëèçè ñåâåðíîãî ïîëþñà âåðòèêàëüíî ðàñïîëîæåííîãî íàìàãíè÷åííîãî ñòåðæíÿ íàõîäèòñÿ òîíêàÿ êîëüöåâàÿ êàòóøêà ìàññîé m = 10 ã. Êàòóøêà ìîæåò ñâîáîäíî ïåðåìåùàòüñÿ âäîëü âåðòèêàëüíîé îñè OZ. Êàòóøêó çàñòàâëÿþò êîëåáàòüñÿ îêîëî ïîëþñà ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ àìïëèòóäîé A = 5 ìì è ÷àñòîòîé ν = 50 Ãö. Ïðè ýòîì íà åå ðàçîìêíóòûõ êîíöàõ ïîÿâëÿåòñÿ ïåðåìåííàÿ ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà ñ àìïëèòóäîé - 0 = 1 Â. Êàêîé ïîñòîÿííûé òîê I0 íóæíî ïðîïóñòèòü ÷åðåç êàòóøêó, ÷òîáû îíà çàâèñëà â èñõîäíîì ïîëîæåíèè? Ðåøåíèå. Òðåáóåìîå óñëîâèå çàâèñàíèÿ êàòóøêè îáåñïå÷èâàåòñÿ êîìïåíñàöèåé ñèëû òÿæåñòè âåðòèêàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñèëû Àìïåðà, êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, îïðåäåëÿåòñÿ ðàäèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ: mg = FAy , FAy = I0 × 2πRN × Br , ãäå R è N ðàäèóñ è ÷èñëî âèòêîâ êàòóøêè. Ïðè êîëåáàíèÿõ êàòóøêè åå ñìåùåíèå âäîëü îñè ÎZ èçìåíÿåò ïîòîê ìàãíèòíîé èíäóêöèè è ñîçäàåò ÝÄÑ èíäóêöèè, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñêîðîñòüþ èçìåíåíèÿ ïîòîêà: - = ∆Bz ∆Bz ∆Φ = N πR2 = N πR2 v. ∆t ∆t ∆z Ïðè àìïëèòóäíîì çíà÷åíèè ñêîðîñòè v êîëåáàíèé êàòóøêè ìàêñèìàëüíà è ÝÄÑ: ∆Bz v0 = 2πνA , - 0 = N πR2 × 2πνA . ∆z Òåîðåìà Ãàóññà ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ñâÿçü ìåæäó ðàäèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ìàãíèòíîé èíäóêöèè è áûñòðîòîé èçìåíåíèÿ èíäóêöèè âäîëü âåðòèêàëüíîé îñè. Êàòóøêà ïðè êîëåáàíèÿõ «âûðåçàåò» â ïðîñòðàíñòâå öèëèíäð ðàäèóñîì R è âûñîòîé ∆z . Ïî òåîðåìå Ãàóññà ïîòîêè ÷åðåç òîðöû è ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ýòîãî öèëèíäðà ðàâíû: ∆Bz × ∆z × πR2 = Br × 2πR × ∆z , ∆z îòêóäà ∆Bz 2Br = . R ∆z Òåïåðü èç âûðàæåíèÿ äëÿ ìàêñèìàëüíîé ÝÄÑ èíäóêöèè ïîëó÷èì -0 Br = , 4π2 RN νA à èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ êàòóøêè íàéäåì 2πmgνA mg = = 0,15 A . I0 = -0 2πRNBr Âàæíûì ïðèìåðîì ïðèìåíåíèÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÿâëÿåòñÿ îöåíêà èíäóêöèîííîãî òîêà, íàâîäèìîãî âíåøíèì ìàãíèòíûì ïîëåì â ñâåðõïðîâîäÿùåì êîíòóðå. Çäåñü íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü èçìåíåíèÿ ïîòîêîâ ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç ïëîùàäü ñâåðõïðîâîäÿùåãî êîíòóðà êàê âíåøíåãî ïîëÿ, òàê è ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî èíäóêöèîííûì òîêîì. Äåéñòâèòåëüíî, èçìåíåíèå ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç ïëîùàäü êîíòóðà ïîðîæäàåò â íåì ÝÄÑ èíäóêöèè. À åñëè êîíòóð ñâåðõïðîâîäÿùèé, òî ÷åì îãðàíè÷èâàåòñÿ âîçíèêàþùèé â íåì èíäóêöèîííûé òîê? Îêàçûâàåòñÿ, â òàêîì ñëó÷àå íåëüçÿ ïðåíåáðåãàòü ìàãíèòíûì ïîòîêîì ïîëÿ, ñîçäàííîãî ýòèì èíäóêöèîííûì òîêîì.  ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Ãàóññà, àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ïîòîêîâ ìàãíèòíîé èíäóêöèè âíåøíåãî ïîëÿ è ïîëÿ èíäóêöèîííîãî òîêà ÷åðåç ïëîùàäü ñâåðõïðîâîäÿùåãî êîíòóðà îñòàåòñÿ íåèçìåííîé. Èíà÷å ãîâîðÿ, èçìåíåíèå ïîòîêà âíåøíåãî ïîëÿ âûçûâàåò 29.05.09, 14:35 # ÊÂÀÍT$ 2009/¹3 òàêîå èçìåíåíèå òîêà â ñâåðõïðîâîäÿùåì êîíòóðå, ÷òî ñîçäàâàåìûé èíäóêöèîííûì òîêîì ïîòîê ìàãíèòíîé èíäóêöèè êîìïåíñèðóåò ýòî èçìåíåíèå. Çàäà÷à 3. Ñâåðõïðîâîäÿùåå êîëüöî èíäóêòèâíîñòüþ L, â êîòîðîì òå÷åò òîê I0 , âíîñÿò â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé B0 . Íàéäèòå òîê, êîòîðûé áóäåò ïðîòåêàòü ïî êîëüöó. Íîðìàëü ê ïëîñêîñòè êîëüöà ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëåíèåì ïîëÿ óãîë α . Ðàäèóñ êîëüöà R. Ðåøåíèå. Èçìåíåíèå âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÷åðåç ïëîùàäü êîëüöà êîìïåíñèðóåòñÿ ïîòîêîì èíäóêöèîííîãî òîêà, ò.å. èçìåíåíèåì ñîáñòâåííîãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà êîëüöà: ∆Φ âí + ∆Φ ñîá = 0 . Èçìåíåíèå âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà ðàâíî ∆Φ âí = B0 πR2 cos α . Òîê â êîíòóðå è ñîçäàííûé èì ìàãíèòíûé ïîòîê ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì ÷åðåç èíäóêòèâíîñòü êîíòóðà L: Φ = LI .  íàøåì ñëó÷àå èçìåíåíèå ñîáñòâåííîãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà áóäåò ðàâíî ∆Φ ñîá = L∆I = L I - I0 , Òîãäà óðàâíåíèå êîëåáàíèé ðàìêè ïðèìåò âèä x t = îòêóäà íàõîäèì B0 πR2 cos α . L Çàäà÷à 4. Êâàäðàòíàÿ ñâåðõïðîâîäÿùàÿ ðàìêà ïîêîèòñÿ íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Ìàññà ðàìêè m, äëèíà ñòîðîíû d, èíäóêòèâíîñòü L. Âñÿ ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â íåîäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ êîòîðîãî çàâèñèò îò êîîðäèíàòû õ ñëåäóþùèì îáðàçîì: Bz = B0 1 + αx . Ðàìêå òîë÷êîì ñîîáùàþò ñêîðîñòü v0 âäîëü îñè ÎÕ. Óñòàíîâèòå çàêîí äâèæåíèÿ ðàìêè. Ðåøåíèå. Ïðè ïåðåìåùåíèè ðàìêè ìàãíèòíûé ïîòîê âíåøíåãî ïîëÿ ÷åðåç êîíòóð ðàìêè èçìåíÿåòñÿ. Âîçíèêàþùèé èíäóêöèîííûé òîê ñîçäàåò ñâîé ìàãíèòíûé ïîòîê, êîìïåíñèðóþùèé èçìåíåíèå ïîòîêà âíåøíåãî ïîëÿ, òàê êàê ñóììàðíûé ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç êîíòóð ñâåðõïðîâîäíèêà èçìåíèòüñÿ íå ìîæåò: I = I0 - ∆Φ âí + ∆Φ ñîá = 0 , èëè B0 d2 α∆x + Li = 0 . Îòñþäà äëÿ èíäóêöèîííîãî òîêà ïîëó÷àåì B d2 α ∆x . i=- 0 L Íà âñå ñòîðîíû ðàìêè ñ èíäóêöèîííûì òîêîì äåéñòâóþò ñèëû Àìïåðà. Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ýòèõ ñèë, íàïðàâëåííàÿ ïî îñè ÎÕ, ðàâíà B2d4 α2 ∆x . F = iB0 dα x + d + ∆x - x + ∆x = iB0 d α = - 0 L Ýòî êâàçèóïðóãàÿ ñèëà. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàìêà áóäåò ñîâåðøàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòîé 2 ω= B0 d2 α . Lm Òàê êàê íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü v0 àìïëèòóäíàÿ, äëÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé ïîëó÷èì v x0 = 0 . ω 37-53.p65 52 B0 d2 α sin B0 d2 α t. Lm Èíòåðåñíûì ïðîÿâëåíèåì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÿâëÿåòñÿ ñîãëàñîâàííîå èçìåíåíèå òîêîâ â êàòóøêàõ èíäóêòèâíîñòè ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëûì àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì ïðè èõ ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè. Èçìåíåíèÿ òîêîâ ìîãóò áûòü âûçâàíû, ñêàæåì, ðàçðÿäêîé êîíäåíñàòîðà, âêëþ÷åííîãî ïàðàëëåëüíî êàòóøêàì. Ðàññìîòðèì ýòîò ïðèìåð ïîäðîáíåå. Ïóñòü ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûå êàòóøêè èìåþò èíäóêòèâíîñòè L1 è L2 . Ñîçäàâàåìûå òîêàìè ïîòîêè ìàãíèòíîé èíäóêöèè â êàòóøêàõ ðàâíû Φ1 = L1i1 è Φ 2 = L2 i2 . Äîïóñòèì, ÷òî â ìîìåíò çàìûêàíèÿ êëþ÷à êîíäåíñàòîð çàðÿæåí, à òîêà â êàòóøêàõ íåò. ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, âîçíèêàþùàÿ ïðè ðàçðÿäêå, ïðåïÿòñòâóåò íàðàñòàíèþ òîêîâ. Âûäåëèì êîíòóð, ñîäåðæàùèé äâå êàòóøêè ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëûì àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì. Ïî âòîðîìó ïðàâèëó Êèðõãîôà äëÿ ýòîãî êîíòóðà ìîæíî çàïèñàòü ∆i ∆i L1 1 - L2 2 = 0 , èëè L1 i1 - i01 = L2 i2 - i02 . ∆t ∆t Ïåðåãðóïïèðóåì ñëàãàåìûå è ïîëó÷èì ãäå I èñêîìûé òîê. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì B0 πR2 cos α = L I0 - I , v0 Lm L1i1 - L2 i2 = L1i01 - L2 i02 = const . Åñëè ïîòîêó ñ òîêîì, òåêóùèì ïðîòèâ íàïðàâëåíèÿ îáõîäà êîíòóðà, ïðèïèñûâàòü îòðèöàòåëüíûé çíàê, òî ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: ïðè èçìåíåíèÿõ òîêîâ â ïàðàëëåëüíûõ èäåàëüíûõ êàòóøêàõ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ïîòîêîâ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â êîíòóðå îñòàåòñÿ íåèçìåííîé. Ïðîâåðèì ýòîò âûâîä íà äðóãèõ ñèòóàöèÿõ. Ïóñòü êëþ÷ ïîäêëþ÷àåò êàòóøêó èíäóêòèâíîñòüþ L2 â ìîìåíò, êîãäà òîê â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòüþ L1 äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ I1 . Òîãäà ïî âòîðîìó ïðàâèëó Êèðõãîôà ïîëó÷èì L1 ∆i1 ∆i - L2 2 = 0 , èëè L1i1 - L2 i2 = L1i0 = const . ∆t ∆t Ïðåæíÿÿ ôîðìóëèðîâêà ñïðàâåäëèâà. Óñëîæíèì ñèòóàöèþ: äîïóñòèì, êëþ÷ çàìûêàþò â ìîìåíò ïîëíîé ðàçðÿäêè êîíäåíñàòîðà, êîãäà òîê â ïåðâîé êàòóøêå i01 ìàêñèìàëåí. Âîçíèêàþùàÿ ÝÄÑ ïðîòèâîïîëîæíîé ïîëÿðíîñòè ïðèâåäåò ê óáûëè òîêà i1 â ïåðâîé êàòóøêå è ðîñòó òîêà i2 ïðîòèâîïîëîæíîãî íàïðàâëåíèÿ âî âòîðîé êàòóøêå. ÝÄÑ â êàòóøêàõ ïî-ïðåæíåìó ðàçíÿòñÿ çíàêàìè, íî òåïåðü ∆i1 óæå ñàìà âåëè÷èíà îòðèöàòåëüíà. Ïîýòîìó âòîðîå ïðà∆t âèëî Êèðõãîôà ïðèìåò âèä - L1 ∆i1 ∆i - L2 2 = 0 . ∆t ∆t Îòñþäà ñëåäóåò - L1i1 - L1i01 = L2i2 , èëè L2 i2 + L1i1 = L1i01 = const . Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ïî îòíîøåíèþ ê íàïðàâëåíèþ îáõîäà îáà ïîòîêà ïîëîæèòåëüíû ôîðìóëèðîâêà çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ïîòîêà âûïîëíÿåòñÿ. Åå ìîæíî ïðèìåíèòü, íàïðèìåð, äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ìãíîâåííûìè çíà÷åíèÿìè òîêîâ â êàòóøêàõ. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî. Çàäà÷à 5. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ C, çàðÿæåííûé äî íàïðÿæåíèÿ U0 , ðàçðÿæàåòñÿ ÷åðåç êàòóøêó èíäóêòèâíîñòüþ L1 (ðèñ.1). Êàêîé ìàêñèìàëüíûé òîê ìîæíî ïîëó÷èòü â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòüþ L2 , åñëè çàìêíóòü êëþ÷ K â ìîìåíò, êîãäà òîê â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòüþ L1 ìàêñèìàëåí? 29.05.09, 14:35 ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ Ðåøåíèå. Ìîìåíòó çàìûêàíèÿ êëþ÷à ñîîòâåòñòâóåò ìàêñèìóì òîêà â ïåðâîé êàòóøêå, çíà÷èò, êîíäåíñàòîð â ýòîò ìîìåíò ïîëíîñòüþ ðàçðÿæåí. Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïîëó÷àåì Ðèñ. 1 îòêóäà 2 CU02 L1I1max , = 2 2 I1max = C U0 . L1 Ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à êîíäåíñàòîð ïåðåçàðÿæàåòñÿ, òîê ÷åðåç ïåðâóþ êàòóøêó óáûâàåò, à òîê ÷åðåç âòîðóþ êàòóøêó âîçðàñòàåò, íî íàïðàâëåí ïî-äðóãîìó. Ïîýòîìó çàïèøåì ∆i ∆i - L1 1 = L2 2 . ∆t ∆t Ó÷èòûâàÿ èçìåíåíèÿ òîêîâ â êàòóøêàõ, ïîëó÷èì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà â âèäå L1 I1max - i1 = L2 i2 , èëè L1i1 + L2 i2 = L1I1max = const . Ñîãëàñíî ïåðâîìó ïðàâèëó Êèðõãîôà, êîíäåíñàòîð áóäåò çàðÿæàòüñÿ äî âûðàâíèâàÿ òîêîâ â êàòóøêàõ. Ïðè ðàâåíñòâå òîêîâ i1 = i2 = I3 êîíäåíñàòîð áóäåò ìàêñèìàëüíî çàðÿæåí, çíà÷èò, L1I1max = L1 + L2 I3 , îòêóäà L1I1max . L1 + L2  ïîñëåäóþùóþ ÷åòâåðòü ïåðèîäà òîê ÷åðåç âòîðóþ êàòóøêó áóäåò ïðîäîëæàòü óâåëè÷èâàòüñÿ äî ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, ðàâíîãî 2 L1C I2 max = 2I3 = U0 . L1 + L2 I3 = Çàäà÷à 6.  ìîìåíò, êîãäà òîê â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòüþ L1 (ðèñ.2) áûë I1 , êëþ÷ K çàìêíóëè. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ â ðåçèñòîðå R ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à? Èíäóêòèâíîñòü L2 âòîðîé êàòóøêè ñ÷èòàòü èçâåñòíîé. Ðåøåíèå. Òîê ÷åðåç ðåçèñòîð áóäåò ïðîõîäèòü äî âûðàâíèâàíèÿ Ðèñ. 2 òîêîâ â êàòóøêàõ (ïî ïåðâîìó ïðàâèëó Êèðõãîôà). Ýòîìó ìîìåíòó ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîå ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà ðåçèñòîðå, à çíà÷èò, è íóëåâàÿ ÝÄÑ èíäóêöèè. Äàëüøå òîêè â êàòóøêàõ îñòàíóòñÿ íåèçìåííûìè. Ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè, L1 + L2 I2 îòêóäà = L1I1 , L1 I1 . L1 + L2 Òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ, âûäåëèâøàÿñÿ â ðåçèñòîðå, îïðåäåëÿåòñÿ óáûëüþ ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðè ïåðåõîäå èç íà÷àëüíî- #! ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ ãî ñîñòîÿíèÿ â ñîñòîÿíèå ñ îäèíàêîâûìè òîêàìè â êàòóøêàõ: L1I12 L1 + L2 2 I2 = Q . 2 2 Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèå äëÿ I2 , ïîëó÷èì Q= Çàäà÷à 7.  ñõåìå íà ðèñóíêå 3 âåëè÷èíû - , L1 , L2 è R çàäàíû. Ñíà÷àëà çàìûêàþò êëþ÷ K1 , à ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ, êîãäà òîê ÷åðåç ðåçèñòîð äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ I0 , çàìûêàþò êëþ÷ K2 . Îïðåäåëèòå óñòàíîâèâøèåñÿ çíà÷åíèÿ òîêîâ ÷åðåç êàòóøêè. Âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà ïðåíåáðåæèìî ìàëî. Ðåøåíèå. Òîê ÷åðåç ðåçèñòîð áóäåò íàðàñòàòü äî .  ñîîòçíà÷åíèÿ I = R Ðèñ. 3 âåòñòâèè ñ ïåðâûì ïðàâèëîì Êèðõãîôà, îí áóäåò ñêëàäûâàòüñÿ èç òîêîâ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç êàòóøêè: = I1 + I2 . R Èç îäèíàêîâîñòè ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé ÝÄÑ èíäóêöèè íà ïàðàëëåëüíûõ êàòóøêàõ ñëåäóåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà: L1I1 - L2 I2 = L1I0 . Ðåøàÿ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, íàéäåì èñêîìûå òîêè: L I + L2 - R L1 æ ö I1 = 1 0 , I2 = L + L èç R - I0 ø÷ . L1 + L2 1 2 Óïðàæíåíèÿ 1*. Ðàâíîìåðíî çàðÿæåííîå êîëüöî ðàäèóñîì R ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ çàðÿäà ρ äâèæåòñÿ ñîîñíî àêñèàëüíî-ñèììåòðè÷íîìó ìàãíèòíîìó ïîëþ ñî ñêîðîñòüþ v. Ðàäèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ðàññòîÿíèè r îò îñè ðàâíà Br . Îïðåäåëèòå ìîìåíò ñèë, äåéñòâóþùèõ íà êîëüöî. Äîêàæèòå, ÷òî ïðèðàùåíèå ìîìåíòà èìïóëüñà êîëüöà ïðîïîðöèîíàëüíî ïðèðàùåíèþ ïîòîêà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç íåãî. 2. Ñâåðõïðîâîäÿùèé âèòîê ðàäèóñîì R = 3 ñì âíîñÿò â íåîäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñîëåíîèäà. Ïðè ýòîì â íåêîòîðîé òî÷êå À ñèëà òîêà â âèòêå îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé IA = 10À. Ïðè ñìåùåíèè âèòêà íà ðàññòîÿíèå l = 1 ñì òîê â íåì óìåíüøàåòñÿ íà 1%. Ñ êàêîé ñèëîé äåéñòâîâàëî íà âèòîê ìàãíèòíîå ïîëå ñîëåíîèäà â òî÷êå À? Èíäóêòèâíîñòü âèòêà ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå L = µ0 πR 2 , ãäå µ0 ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. 3. Ïðè çàìêíóòîì êëþ÷å K (ðèñ.4) òîê â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòüþ L1 Ðèñ. 4 ðàâåí I1 , à òîê â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòüþ L2 ðàâåí I2 . Îïðåäåëèòå, â êàêèõ ïðåäåëàõ áóäóò ìåíÿòüñÿ òîêè â êàòóøêàõ ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à. I2 = 37-53.p65 53 L1L2 I12 . 2 L1 + L2 29.05.09, 14:35
