Расчет вероятностей предельных состояний сложных графов

ÓÄÊ 519.710.39 <62>
Ðàñ÷åò âåðîÿòíîñòåé ïðåäåëüíûõ ñîñòîÿíèé ñëîæíûõ ãðàôîâ
Ä.Â. Çàéöåâ
zaitsev_dv@mail.ru
12 ÖÍÈÈ Ìèíîáîðîíû Ðîññèè
 ðÿäå ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé òåîðèè ìàðêîâñêèõ öåïåé äîâîëüíî ÷àñòî âîçíèêàþò çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì, ÷èñëî âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé êîòîðûõ ìîæåò ñîñòàâëÿòü íåñêîëüêî äåñÿòêîâ. Èñïîëüçîâàíèå ñòàíäàðòíûõ ìåòîäîâ
äëÿ ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé òàêèõ ñèñòåì èìåþò ðÿä íåäîñòàòêîâ (ñëîæíîñòü ðàñ÷åòíûõ àëãîðèòìîâ è íàêîïëåíèå îøèáîê). Ïðèìåíåíèå ìåòîäà äèíàìèêè
ñðåäíèõ îãðàíè÷åííî òåì, ÷òî èç-çà îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîãî ÷èñëà âîçìîæíûõ
ñîñòîÿíèé èññëåäóåìîé ñèñòåìû èìååò ìåñòî ñëàáàÿ êîððåëÿöèÿ îöåíîê è íàáëþäàåìûõ âåëè÷èí. Ïîýòîìó äëÿ ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé ïðåäåëüíûõ ñîñòîÿíèé òàêèõ
ñèñòåì ïðåäëîæåí ðÿä ìåòîäîâ.
Ìåòîä ¾âîëíû âåðîÿòíîñòè¿
ëåãêî ðåàëèçóåì äëÿ ãðàôîâ, îïèñûâàþùèõ ñîñòî-
ÿíèÿ èññëåäóåìûõ ñèñòåì, ¾áåç ïåòåëü¿ (ðèñ.1). Ìåòîä çàêëþ÷àåòñÿ â ðàññìîòðåíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ â äàííîì ãðàôå ¾âîëíû âåðîÿòíîñòè¿, âîëíîâîé ôðîíò êîòîðîé ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà, àíàëîãè÷íîãî ïðèíöèïó ÃþéãåíñàÔðåíåëÿ äëÿ ðàñ÷åòà äèôðàêöèè îïòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ. Äëÿ ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòè
Ðij ñîñòîÿíèÿ Sij íåîáõîäèìî ïðîñóììèðîâàòü âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ ðij −1 è (1 ði−1j ) èç ñîñåäíèõ ñîñòîÿíèé Si−1j è Sij −1 c ñîîòâåòñòâóþùèìè âåñàìè Ðij −1 è Ði−1j .
Pij = Pij−1 · pij−1 + Pi−1j · (1 − pi−1j ).
(1)
Äîêàçàòåëüñòâî îáîñíîâàííîñòè ðàñ÷åòîâ êîíå÷íûõ âåðîÿòíîñòåé ïî ôîðìóëå (1)
ìîæíî ïðîâåñòè íà îñíîâå ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
Ìîäèôèêàöèÿ ìåòîäà ¾âîëíû âåðîÿòíîñòè¿ äëÿ ãðàôîâ ñ ïåòëÿìè (ðèñ. 2). Äëÿ
òîãî ÷òîáû ¾èçáàâèòüñÿ¿ îò ïåòåëü â ãðàôå ðèñ. 2 ñëåäóåò ïîñòðîèòü ýêâèâàëåíòíûé
äàííîìó ãðàôó 4-õ ìåðíûé ãðàô, êàæäîå èçìåðåíèå êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó èç ÷åòûðåõ íàïðàâëåíèé ïåðåõîäîâ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè 2-õ ìåðíîãî ãðàôà. Íî
ïðè ýòîì 4-õ ìåðíûé ãðàô óæå íå áóäåò ñîäåðæàòü ïåòåëü, òîãäà äëÿ íåãî ìîæíî
ïðèìåíèòü ìåòîä ¾âîëíû âåðîÿòíîñòè¿.
¾Ñóììèðîâàíèå ïî òðàåêòîðèÿì¿.
 ðÿäå çàäà÷ íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü òðåáóå-
ìûå óðîâíè âåðîÿòíîñòè êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé ïðè âîçìîæíîñòè âàðüèðîâàíèÿ âåðîÿòíîñòÿìè ïåðåõîäîâ (ðèñ.3). Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà ¾âîëíû âåðîÿòíîñòè¿ òðåáóåò
âû÷èñëåíèå ñóììû áåñêîíå÷íûõ ðÿäîâ (ñîäåðæàùèõ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ), ñîîòâåòñòâóþùèõ áåñêîíå÷íîìó ÷èñëó âîçìîæíûõ òðàåêòîðèé èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ
S 000
â êîíå÷íûå
S 010 , S 011
è
S 101
ñîîòâåòñòâåííî. Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî íàéòè àíà-
ëèòè÷åñêîå ðåøåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòåé êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé ãðàôà ðèñ. 3 íåðåàëüíî.
Íî àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî áåñêîíå÷íûå ðÿäû ñõîäÿòñÿ è ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ âåðîÿòíîñòåé
P010 =
Ð 010
è
Ð 011
qµ
+
qµ + pν + p= ν= + gξ
1
+
gξ
·
qµ + pν + p= ν= + gξ
q1 µ1
·
q1 µ1 + p1 ν1 + p1= ν=1 + η
·
P011 = (
·
·
1
1−
gξη
1 +η)
(qµ+pν+p= ν= +gξ)(q1 µ1 +p1 ν1 +p1= ν=
;
p1= ν=1
gξ
·
·
qµ + pν + p= ν= + gξ q1 µ1 + p1 ν1 + p1= ν=1 + η
η
qµ
q1 µ1
+
·
q1 µ1 + p1 ν1 + η q1 µ1 + p1 ν1 + η qµ + pν
+
·
+
p = ν=
qµ
·
)·
qµ + pν + p= ν= + gξ qµ + pν
1
1−
gξη
1 +η)
(qµ+pν+p= ν= +gξ)(q1 µ1 +p1 ν1 +p1= ν=
;
(2)
P101 = 1 − P010 − P011 .
Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè íàëè÷èè àíàëèòè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé (2) çàäà÷à ïî îáåñïå÷åíèþ òðåáóåìûõ óðîâíåé âåðîÿòíîñòåé êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé ïðè âàðüèðîâàíèè âåðîÿòíîñòÿìè ïåðåõîäîâ ëåãêî ðàçðåøèìà.
Ðèñ. 1
2
Ðèñ. 2
Ðèñ. 3
3