ÓÄÊ 519.710.39 <62> Ðàñ÷åò âåðîÿòíîñòåé ïðåäåëüíûõ ñîñòîÿíèé ñëîæíûõ ãðàôîâ Ä.Â. Çàéöåâ [email protected] 12 ÖÍÈÈ Ìèíîáîðîíû Ðîññèè  ðÿäå ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé òåîðèè ìàðêîâñêèõ öåïåé äîâîëüíî ÷àñòî âîçíèêàþò çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì, ÷èñëî âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé êîòîðûõ ìîæåò ñîñòàâëÿòü íåñêîëüêî äåñÿòêîâ. Èñïîëüçîâàíèå ñòàíäàðòíûõ ìåòîäîâ äëÿ ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé òàêèõ ñèñòåì èìåþò ðÿä íåäîñòàòêîâ (ñëîæíîñòü ðàñ÷åòíûõ àëãîðèòìîâ è íàêîïëåíèå îøèáîê). Ïðèìåíåíèå ìåòîäà äèíàìèêè ñðåäíèõ îãðàíè÷åííî òåì, ÷òî èç-çà îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîãî ÷èñëà âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé èññëåäóåìîé ñèñòåìû èìååò ìåñòî ñëàáàÿ êîððåëÿöèÿ îöåíîê è íàáëþäàåìûõ âåëè÷èí. Ïîýòîìó äëÿ ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé ïðåäåëüíûõ ñîñòîÿíèé òàêèõ ñèñòåì ïðåäëîæåí ðÿä ìåòîäîâ. Ìåòîä ¾âîëíû âåðîÿòíîñòè¿ ëåãêî ðåàëèçóåì äëÿ ãðàôîâ, îïèñûâàþùèõ ñîñòî- ÿíèÿ èññëåäóåìûõ ñèñòåì, ¾áåç ïåòåëü¿ (ðèñ.1). Ìåòîä çàêëþ÷àåòñÿ â ðàññìîòðåíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ â äàííîì ãðàôå ¾âîëíû âåðîÿòíîñòè¿, âîëíîâîé ôðîíò êîòîðîé ìîæíî ðàññ÷èòàòü ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà, àíàëîãè÷íîãî ïðèíöèïó ÃþéãåíñàÔðåíåëÿ äëÿ ðàñ÷åòà äèôðàêöèè îïòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ. Äëÿ ðàñ÷åòà âåðîÿòíîñòè Ðij ñîñòîÿíèÿ Sij íåîáõîäèìî ïðîñóììèðîâàòü âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ ðij −1 è (1 ði−1j ) èç ñîñåäíèõ ñîñòîÿíèé Si−1j è Sij −1 c ñîîòâåòñòâóþùèìè âåñàìè Ðij −1 è Ði−1j . Pij = Pij−1 · pij−1 + Pi−1j · (1 − pi−1j ). (1) Äîêàçàòåëüñòâî îáîñíîâàííîñòè ðàñ÷åòîâ êîíå÷íûõ âåðîÿòíîñòåé ïî ôîðìóëå (1) ìîæíî ïðîâåñòè íà îñíîâå ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ìîäèôèêàöèÿ ìåòîäà ¾âîëíû âåðîÿòíîñòè¿ äëÿ ãðàôîâ ñ ïåòëÿìè (ðèñ. 2). Äëÿ òîãî ÷òîáû ¾èçáàâèòüñÿ¿ îò ïåòåëü â ãðàôå ðèñ. 2 ñëåäóåò ïîñòðîèòü ýêâèâàëåíòíûé äàííîìó ãðàôó 4-õ ìåðíûé ãðàô, êàæäîå èçìåðåíèå êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó èç ÷åòûðåõ íàïðàâëåíèé ïåðåõîäîâ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè 2-õ ìåðíîãî ãðàôà. Íî ïðè ýòîì 4-õ ìåðíûé ãðàô óæå íå áóäåò ñîäåðæàòü ïåòåëü, òîãäà äëÿ íåãî ìîæíî ïðèìåíèòü ìåòîä ¾âîëíû âåðîÿòíîñòè¿. ¾Ñóììèðîâàíèå ïî òðàåêòîðèÿì¿.  ðÿäå çàäà÷ íåîáõîäèìî îáåñïå÷èòü òðåáóå- ìûå óðîâíè âåðîÿòíîñòè êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé ïðè âîçìîæíîñòè âàðüèðîâàíèÿ âåðîÿòíîñòÿìè ïåðåõîäîâ (ðèñ.3). Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà ¾âîëíû âåðîÿòíîñòè¿ òðåáóåò âû÷èñëåíèå ñóììû áåñêîíå÷íûõ ðÿäîâ (ñîäåðæàùèõ âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ), ñîîòâåòñòâóþùèõ áåñêîíå÷íîìó ÷èñëó âîçìîæíûõ òðàåêòîðèé èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ S 000 â êîíå÷íûå S 010 , S 011 è S 101 ñîîòâåòñòâåííî. Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî íàéòè àíà- ëèòè÷åñêîå ðåøåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòåé êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé ãðàôà ðèñ. 3 íåðåàëüíî. Íî àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî áåñêîíå÷íûå ðÿäû ñõîäÿòñÿ è ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ âåðîÿòíîñòåé P010 = Ð 010 è Ð 011 qµ + qµ + pν + p= ν= + gξ 1 + gξ · qµ + pν + p= ν= + gξ q1 µ1 · q1 µ1 + p1 ν1 + p1= ν=1 + η · P011 = ( · · 1 1− gξη 1 +η) (qµ+pν+p= ν= +gξ)(q1 µ1 +p1 ν1 +p1= ν= ; p1= ν=1 gξ · · qµ + pν + p= ν= + gξ q1 µ1 + p1 ν1 + p1= ν=1 + η η qµ q1 µ1 + · q1 µ1 + p1 ν1 + η q1 µ1 + p1 ν1 + η qµ + pν + · + p = ν= qµ · )· qµ + pν + p= ν= + gξ qµ + pν 1 1− gξη 1 +η) (qµ+pν+p= ν= +gξ)(q1 µ1 +p1 ν1 +p1= ν= ; (2) P101 = 1 − P010 − P011 . Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè íàëè÷èè àíàëèòè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé (2) çàäà÷à ïî îáåñïå÷åíèþ òðåáóåìûõ óðîâíåé âåðîÿòíîñòåé êîíå÷íûõ ñîñòîÿíèé ïðè âàðüèðîâàíèè âåðîÿòíîñòÿìè ïåðåõîäîâ ëåãêî ðàçðåøèìà. Ðèñ. 1 2 Ðèñ. 2 Ðèñ. 3 3