2. Ðåàëèçàöèÿ ôîðìàëüíûõ ãðóïï

2.
Ðåàëèçàöèÿ ôîðìàëüíûõ ãðóïï
2.1. Ïðîáëåìà. Èòàê, ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ (ãðàäóèðîâàííîå) êîëüöî
ïîâûì çàêîíîì íà íåì è ñîîòâåòñòâóþùèì ãîìîìîðôèçìîì
h
òèðîâàííóþ ìóëüòèïëèêàòèâíóþ) òåîðèþ êîãîìîëîãèé
R
âìåñòå ñ ôîðìàëüíûì ãðóï-
Laz = ΩU → R.
Êàê ïîñòðîèòü (îðèåí-
ñ òàêèì êîëüöîì ñêàëÿðîâ (è ôîðìàëüíûì
ãðóïïîâûì çàêîíîì)?
N. B. Ïîëíîñòüþ ýòà çàäà÷à íå ðåøåíà, íàñêîëüêî ìíå èçâåñòíî.
Ïåðâàÿ èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî äîñòàòî÷íî ïðîñòî âçÿòü
h(−) = U (−) ⊗ΩU R. Ê ñîæàëåíèþ, h ìîæåò
íå áûòü òåîðèåé êîãîìîëîãèé òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå âîîáùå ãîâîðÿ ôóíêòîð íå òî÷íûé, ïîýòîìó
òåíçîðíîå äîìíîæåíèå íà
R
ðàçðóøèò òî÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïàð.
Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî âñå îñòàëüíûå àêñèîìû ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ.
2.2. Êðèòåðèé ïëîñêîñòè. Åñëè
Laz -ïëîñêèì )
R
ïëîñêî íàä
ΩU
(ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íà
ðàçóìíûé âíóòðåííèé êðèòåðèé
Ïóñòü íà êîëüöå
R
Laz -ïëîñêîñòè
[x]n = F ([x]n−1 )
è
ðåãóëÿðíàäëÿ
n
Z[β, β −1 ]
U (−) ⊗T d
Çàäàäèì ôîðìàëüíîå óìíîæå-
[x]p = px + · · · + a1 xp + · · · + an xp + . . . . Åñëè
êàæäîãî ïðîñòîãî p, òî çàêîí F ÿâëÿåòñÿ Laz -ïëîñêèì.
Îòñþäà ìãíîâåííî ñëåäóåò, íàïðèìåð, ÷òî ôîðìàëüíàÿ ãðóïïà
è
F.
[x]1 = x.
Òåîðåìà (Landweber). Ïóñòü
Laz -ïëîñêîé
ÿâëÿåòñÿ
ôîðìàëüíîãî ãðóïïîâîãî çàêîíà.
çàôèñêèðîâàí ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí
íèå íà öåëûå ÷èñëà ñîîòíîøåíèÿìè
p, a1 , a2 , . . .
R
ýòîò ìåòîä âñå æå ðàáîòàåò. Íî äëÿ òîãî, ÷òîáû èì ïîëüçîâàòüñÿ íåïëîõî áû èìåòü
= K(−)
x + y + βxy
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
íà
Z[β, β −1 ]
ÿâëÿåòñÿ
(òåîðåìà ÊîííåðàÔëîéäà).
Ìûñëè âñëóõ. Ïðè ïåðâîì âçãëÿäå íà ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû êàæåòñÿ, ÷òî ïðè äîêàçàòåëüñòâå íóæíî
ïîëüçîâàòüñÿ âåùàìè âðîäå óíèâåðñàëüíîñòè ôîðìàëüíîé ãðóïïû íà êîëüöå
Z(p) [xp−1 , . . . , xpn −1 , . . . ]
(íó òàì, ïðîâåðÿòü ïëîñêîñòü îòäåëüíî äëÿ ðàçíûõ ïðîñòûõ ÷èñåë. . . ). Ìîæíî ëè ðåàëèçîâàòü ýòîò, ãì,
ïëàí (êàæåòñÿ, ÷òî èñõîäíîå äîêàçàòåëüñòâî Ëàíäâåáåðà óñòðîåííî ñîâåðøåííî ïî-äðóãîìó)?
Ïðèìåíèì òåïåðü òåîðåìó Ëàíäâåáåðà ê ïîñòðîåíèþ ýëëèïòè÷åñêèõ êîãîìîëîãèé. Îáîçíà÷èì êîëü-
Z[ 21 ][δ, ε] çà M . Äëÿ p = 2 óñëîâèå òåîðåìû âûïîëíåíî òàâòîëîãè÷åñêè óæå M/(2) = 0. Äëÿ
p > 2 â êîëüöå M/(p) = Fp [δ, ε] îòñóòñòâóþò äåëèòåëè íóëÿ, ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü p, a1 çàâåäîìî
öî
1
ðåãóëÿðíà .
2
Ìîæíî ïîêàçàòü , ÷òî
ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì ýëåìåíòîì â
−1 ]/(p, a , a )
ðåãóëÿðíà, è M [ε
1 2
(p, a1 , a2 )
U (−) ⊗ M [ε−1 ] ÿâëÿåòñÿ
äîâàòåëüíîñòü
÷òî
a2
= 0.
M [ε−1 ]/(p, a1 ).
Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå-
Òåïåðü òåîðåìà Ëàíäâåáåðà ãàðàíòèðóåò,
òåîðèåé êîãîìîëîãèé (ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ëîêàëèçàöèþ íàñòîÿùèõ
ýëëèïòè÷åñêèõ êîãîìîëîãèé).
2.3. Êîáîðäèçìû ñ îñîáåííîñòÿìè. Èìååòñÿ è äðóãîé ìåòîä ðåàëèçàöèè ôîðìàëüíûõ ãðóïï, êîòîðûé ïðèìåíèì (èíîãäà) è ê
ãîìîìîðôèçì (êîëåö)
ΩU → R
Laz -íåïëîñêèì
ôîðìàëüíûì ãðóïïàì. Ðàáîòàåò îí â ñèòóàöèè, êîãäà
ñþðúåêòèâåí.
Ïóñòü çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ñòàáèëüíî êîìïëåêñíûõ, íàïðèìåð) ìíîãîîáðàçèé
Σ = (Pi )i .
P1 ÷àñòü òîPi (íàïðèìåð,
Rm × Cone P2 èëè
Ìîæíî ðàññìîòðåòü (ñòàáèëüíî êîìïëåêñíûå) ìíîãîîáðàçèÿ ñ îñîáåííîñòÿìè òèïà
÷åê â íèõ ìîãóò èìåòü îêðåñòíîñòü âèäà
Rn × Cone P1 .
Äîáàâëÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî âñå
Rl × Cone P1 ,
îñîáåííîñòÿìè òèïà Σ.
ïîñëå âòîðîãî øàãà âñå îñîáûå òî÷êè äîëæíû èìåòü îêðåñòíîñòè âèäà
Rn
× Cone P1 × Cone P2 )
ìîæíî ïðèéòè ê ìíîãîîáðàçèÿì ñ
Çàìå÷àíèå. Òåõíè÷åñêè óäîáíåå ïðè ýòîì ãîâîðèòü íå î íàñòîÿùåì ìíîãîîáðàçèè ñ îñîáåííîñòÿìè,
à îá åãî ðåãóëÿðíîé ÷àñòè, íà ãðàíèöå êîòîðîé çàïèñàíà èíôîðìàöèÿ î òîì, êàê ê íåé ïðèêëåèâàþòñÿ
êîíóñû. Íàïðèìåð çàäàòü ìíîãîîáðàçèå ñ îñîáåííîñòÿìè òèïà
2
òî æå ñàìîå, ÷òî çàäàòü (ãëàä-
êîå) ìíîãîîáðàçèå, ãðàíèöà êîòîðîãî ïðåäñòàâëåíà â âèäå (íåñâÿçíîãî) îáúåäèíåíèÿ äâóõ îäèíàêîâûõ
ìíîãîîáðàçèé.
1Îáðàç a
1
â
M/(p)
ìîæíî îïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Çàïèøåì
1
1
R(x)− 2 = (1 − δx2 + εx4 )− 2 =
òîãäà
x
X
Pn (δ, ε)x2n ,
x2n+1
.
2n
+1
0
p
p
−1
Íàñ èíòåðåñóåò a1 êîýôôèöèåíò ïðè x â âûðàæåíèè [x]p = g
(pg(x)). Òàê êàê P(p−1)/2 xp ïåðâûé ÷ëåí g(x),
ñîäåðæàùèé p â çíàìåíàòåëå, u1 = P(p−1)/2 (δ, ε) mod p.  ÷àñòíîñòè, òàê êàê Pn (1, 1) = 1, ýòî íåòðèâèàëüíûé ýëåìåíò.
2Äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ (ÿ åùå íå), íàïðèìåð, ÷òî â M/(p, u ) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî u = (−1)(p−1)/2 ε(p2 −1)/4 .
1
2
Z
g(x) =
1
R(t)− 2 dt = x +
1
X
Pn (δ, ε)
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî
X
ìîæíî ðàññìîòðåòü êîáîðäèçìû
X
ñ îñîáåííîñòÿìè
UΣ (−)
∼
UΣ (pt) = ΩU /(Σ).
Òåîðåìà (Baas). Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà îñîáåííîñòåé
Åñëè
Σ
ðåãóëÿðíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ôîðìàëüíûé ãðóïïîâîé çàêîí íà
UΣ (X).
U -ìîäóëüíàÿ
òåîðèÿ êîãîìîëîãèé.
R çàäàåò ñþðúåêòèâíûé ãîìîìîðôèçì èç êîëü-
öà Ëàçàðà, à ÿäðî ýòîãî ãîìîìîðôèçìà ïîðîæäàåòñÿ ðåãóëÿðíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, òî èìååòñÿ
U -ìîäóëüíàÿ
òåîðèÿ, ýòîò ãîìîìîðôèçì ðåàëèçóþùàÿ.
Ìûñëè âñëóõ. Âñå ýòî áåçóìíî ïîõîæå íà ðåçîëüâåíòó Êîøóëÿ (êàê áóäòî ó íàñ åñòü íåêèé êîìïëåêñ,
ê êîòîðîìó ìû äîáàâëÿåì ôîðìàëüíûå íå÷åòíûå ïåðåìåííûå
Cone Pi
ñ äèôôåðåíöèàëîì ðàâíûì
Pi ).
Ìîæíî ëè ýòîé àíàëîãèè ïðèäàòü êàêîé-íèáóäü òî÷íûé ñìûñë? À ãëàâíîå, ñóùåñòâóþò ëè ãåîìåòðè÷åñêèå ðåàëèçàöèè êàêèõ-íèáóäü äðóãèõ ðåçîëüâåíò?
3
Íåÿñíî, îäíàêî, ïî÷åìó â ýòîé òåîðèè äîëæíî ñóùåñòâîâàòü óìíîæåíèå. . Ìèðîíîâ ïîêàçàë, ÷òî
(â óíèòàðíîì ñëó÷àå) ðàçóìíîå (àññîöèàòèâíîå, ñîãëàñîâàííîå ñ óìíîæåíèåì â êîáîðäèçìàõ áåç îñîáåííîñòåé) óìíîæåíèå èìååòñÿ âñåãäà, îäíàêî èìåþòñÿ ïðåïÿòñòâèÿ ê åãî êîììóòàòèâíîñòè. Ê ñ÷àñòüþ,
ïðè äîáàâëåíèè ê êîëüöó ñêàëÿðîâ
1
2 îíè èñ÷åçàþò.
Êîáîðäèçìû ñ îñîáåííîñòÿìè ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ (óæå íàñòîÿùèõ, íå ëîêàëèçîâàíûõ)
ýëëèïòè÷åñêèõ êîãîìîëîãèé. Äëÿ ýòîãî íóæíî âûáðàòü ñèñòåìó îáðàçóþùèõ â ÿäðå ýëëèïòè÷åñêîãî
ðîäà.
ΩU = Z[x1 , x2 , . . . ], òàêîé ÷òî φ(x2 ) = δ (íàïðèìåð x2 = CP2 ),
ϕ(x4 ) = ε (íàïðèìåð ìîæíî âçÿòü ëþáîå x4 êîáîðäàíòíîå HP 2 â ΩSO ). Ïóñòü φ(xn ) = Qn (δ, ε); ïîëîæèì
x0n = xn − Qn (x2 , x4 ).  ÿäðå ýëëèïòè÷åñêîãî ðîäà ëåæàò âñå x0n . Íî ÿñíî, ÷òî {xi }i64 , {x0j }j>4 ñóòü ïîë0
0
0
íûé íàáîð ïîëèíîìèàëüíûõ îáðàçóþùèõ êîëüöà ΩU , à çíà÷èò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (x1 , x3 ; x5 , x6 , x7 , . . . )
Çàôèêñèðóåì â êîëüöå Ëàçàðà áàçèñ:
ðåãóëÿðíà è ïîðàæäàåò ÿäðî ýëëèïòè÷åñêîãî ðîäà.
Èòîãî. Ñóùåñòâóåò êîìïëåêñíî-îðèåíòèðîâàííàÿ òåîðèÿ êîãîìîëîãèé
M = Z[ 21 ][δ, ε], òàêàÿ ÷òî ãîìîìîðôèçì ΩU → M
−1 ] = U (−) ⊗ M [ε−1 ].
èçîìîðôèçì M (−)[ε
ϕ
3Ïðîáëåìà
M
è
N
ñ êîëüöîì ñêàëÿðîâ
çàêëåèâàëèñü ïðè ïîìîùè êîíóñîâ íàä
íåÿñíî.
2
ϕ.
Èìååò ìåñòî
∂(M × N ) = ∂M × N t∂M ×∂N M × ∂N .
Pi , êàê çàêëåèâàòü èìè ãðàíèöó M × N
â òîì, ÷òî äëÿ ìíîãîîáðàçèé íå âûïîëíÿåòñÿ ïðàâèëî Ëåéáíèöà:
Ïîýòîìó, äàæå åñëè ãðàíèöû
M (−)
ñîâïàäàåò ñ ýëëèïòè÷åñêèì ðîäîì