Отклонение частиц и световых лучей полем тяготения

39
ÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
Ô È Ç ÈÔ ×
ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
Отклонение частиц
и световых лучей
полем тяготения
îáå ÷àñòè â êâàäðàò è èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî
1
cos2 θ
ïîëó÷àåì ôîðìóëó (1).
Çàïèøåì òåïåðü çàêîíû ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè Å è ìîìåíòà èìïóëüñà L ÷àñòèöû äëÿ ó÷àñòêà À åå òðàåêòîðèè
(ñì. ðèñ.1):
E A = EB , LA = LB ,
С.КОЖИНИН
èëè
2
Р
ÀÑÑÌÎÒÐÈÌ ÍÅÑÊÎËÜÊÎ ÈÍÒÅ-
ðåñíûõ çàäà÷ î äâèæåíèè êëàññè÷åñêèõ ÷àñòèö è ôîòîíîâ â ïîëÿõ òÿãîòåíèÿ ïëàíåò è çâåçä.
Задача 1. Рассеяние частицы
полем Земли
Íà êàêîé óãîë θ èçìåíèòñÿ íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè ïðîëåòàþùåé ìèìî
Çåìëè ìåòåîðíîé ÷àñòèöû ïîä äåéñòâèåì ïîëÿ çåìíîãî òÿãîòåíèÿ
(ðèñ.1)? Ñêîðîñòü ÷àñòèöû íà áåñêî-
α
K
mv ∞
r
r
θ/
O B
O
2
2
=
O′
2
b − rm
2brm
.
(1)
Äåéñòâèòåëüíî, ãèïåðáîëà – ýòî
ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàçíîñòü
ðàññòîÿíèé äî êîòîðûõ îò äâóõ çàäàííûõ òî÷åê Î è O ′ , íàçûâàåìûõ ôîêóñàìè (ðèñ.2), ïîñòîÿííà: r1 − r2 = const.
Îäèí èç ôîêóñîâ ãèïåðáîëû Î ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì Çåìëè, âòîðîé ôîêóñ
O ′ ëåæèò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç öåíòð Çåìëè è áëèæàéøóþ ê
öåíòðó òî÷êó  òðàåêòîðèè. Íà áåñêî-
−
2
GMm
rm
,
(2)
bv∞ = rm vm ,
ãäå vm – ñêîðîñòü ÷àñòèöû â òî÷êå Â;
ìû ó÷ëè, ÷òî òî÷êà À íàõîäèòñÿ â
áåñêîíå÷íîñòè, ïîýòîìó LA = L∞ =
= r0 mv∞ sin α 0 = bmv∞ ,
LB =
à
o
= rm mvm sin 90 = rm mvm . (Îòìåòèì,
÷òî âìåñòî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà
èìïóëüñà ìîæíî èñïîëüçîâàòü âòîðîé
çàêîí Êåïëåðà.) Èç ðàâåíñòâ (2) ïîëó÷àåì
2GM
2
v∞
2
rm − b = 0 .
(3)
Åñëè ñ÷èòàòü çàäàííûì ðàññòîÿíèå
rm , òî äëÿ ïðèöåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ b
íàõîäèì
b = rm 1 +
N
íå÷íîñòè ðàâíà v∞ . Âëèÿíèå àòìîñôåðû Çåìëè íå ó÷èòûâàòü.
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ó÷òåì (áåç âûâîäà), ÷òî ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïî ãèïåðáîëè÷åñêîé òðàåêòîðèè. Îïèðàÿñü íà
ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ãèïåðáîëû,
ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî óãîë ðàññåÿíèÿ
θ , ïðèöåëüíîå ðàññòîÿíèå b è ðàññòîÿíèå rm îò öåíòðà ïëàíåòû äî áëèæàéøåé òî÷êè  òðàåêòîðèè ÷àñòèöû ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
θ
2
θ
ϕm
M
Рис. 1
r
mvm
=
rm +
A
rm
R
2
mv∞
2
θ
B
tg
b
N
A
b
íå÷íî áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò Çåìëè
êàê ïðè ïðèáëèæåíèè, òàê è ïðè óäàëåíèè ñêîðîñòü ÷àñòèöû íàïðàâëåíà
ïî àñèìïòîòå ãèïåðáîëû, ïîýòîìó çàäà÷à ñîñòîèò â íàõîæäåíèè óãëà θ
ìåæäó àñèìïòîòàìè. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ àñèìïòîò ëåæèò ïîñåðåäèíå ìåæäó ôîêóñàìè.
Ïðèðàâíÿåì ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé îò
ôîêóñîâ Î è O ′ äî áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè – ýòî îòðåçîê O′ C íà ðèñóí-
Ïîëÿðíàÿ
îñü
K
= 1 + tg2 θ ,
2GM
2
rm v∞
.
Åñëè ñ÷èòàòü çàäàííûì ðàññòîÿíèå b,
òî äëÿ rm íàõîäèì
rm =
Рис. 2
êå 2 – è äî áëèæàéøåé ê öåíòðó Çåìëè
òî÷êè. Èç òðåóãîëüíèêà OO ′ C íàõîäèì
OC = 2b,
θ
2b
.
θ
cos
2
Ðàçíîñòü ðàññòîÿíèé îò ôîêóñîâ äî
òî÷êè  ñîñòàâëÿåò
O ′ C = 2b tg
2
d
2
v∞
F
GG
GH
i
ãäå ÂÎ = rm . Òåïåðü óñëîâèå ðàâåíñòâà
ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé äî âûáðàííûõ
òî÷åê ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
2b
2b tg =
− 2rm .
θ
2
cos
2
Ïåðåíîñÿ 2rm â ëåâóþ ÷àñòü, âîçâîäÿ
F bv I
1+ G
H GM JK
2
∞
2
I
− 1J .
JJ
K
(4)
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü
èçâåñòíûì ïðèöåëüíûé ïàðàìåòð b.
Òîãäà, ñ ó÷åòîì (3), äëÿ óãëà ðàññåÿíèÿ ïîëó÷àåì
, OO ′ =
BO ′ − BO = OO ′ − BO − BO ,
θ
GM
tg
θ GM
=
.
2
bv∞2
(5)
Ìåòåîðíàÿ ÷àñòèöà íå çàäåâàåò ïëàíåòó, åñëè rm Ú R (ñì. ðèñ.1). Ïðè rm =
= R ðàññòîÿíèå b îêàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì è ðàâíûì
bmin = R 1 +
2GM
2
Rv∞
= R 1+
Fv I
GH v JK
2ê
2
,
∞
ãäå v2 ê = 2GM R – âòîðàÿ êîñìè÷åñêàÿ (ïàðàáîëè÷åñêàÿ) ñêîðîñòü. Ïðè
çàäàííîì çíà÷åíèè v∞ è ìèíèìàëüíîì
ïðèöåëüíîì ðàññòîÿíèè bmin óãîë îòêëîíåíèÿ (èëè óãîë ðàññåÿíèÿ) ìàêñè-