Í À Ì Ï È Ø Ó Ò

ÍÀÌ
Q
q
q
l
Q
Q
l
q
=
+
q
Ðèñ. 7
Ðàçîáüåì çàäà÷ó íà äâå ÷àñòè. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì çàðÿä q1 íà ðàññòîÿíèè l 1 îò ñôåðû ñ çàðÿäîì Q1 , à çàòåì
– çàðÿä q2 íà ðàññòîÿíèè l 2 îò ñôåðû
ñ çàðÿäîì Q2 , ïðè ýòîì Q1 + Q2 = Q
(ðèñ.7). Ïîòåíöèàë ñôåðû â ïåðâîì
ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (7), à
âî âòîðîì ñëó÷àå — ôîðìóëîé (6). À
òåïåðü íàëîæèì ïåðâóþ ñèñòåìó íà
âòîðóþ. Òàê êàê ïîòåíöèàëû âñåõ òî÷åê ñôåðû áûëè ïîñòîÿííûìè â êàæäîì èç ñëó÷àåâ, ïðè íàëîæåíèè ñèñòåì îíè òîæå áóäóò ïîñòîÿííûìè, à
çàðÿä ñôåðû áóäåò ðàâåí Q. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åííîå ïðè íàëîæåíèè
ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäîâ ïî ïîâåðõíîñòè ñôåðû è áóäåò ïðàâèëüíûì (òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè). Äëÿ ïîòåíöèàëà
ñôåðû ïîëó÷èì
> C
ϕ R =
1
Q
4 πε 0 R
ÏÈØÓÒ
+
1
q2
4 πε 0 l2
+
1
q1
4 πε 0 R
.
Ýòîò ðåçóëüòàò åñòåñòâåííûì îáðàçîì îáîáùàåòñÿ íà ëþáîå êîëè÷åñòâî
òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ. Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî îòñþäà ñëåäóåò ñâîåîáðàçíàÿ
ýêâèâàëåíòíîñòü òî÷å÷íûõ çàðÿäîâ è
çàðÿæåííûõ ñôåð â çàäà÷å, ãäå òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ïîòåíöèàë ïðîâîäÿùåé ñôåðû. Ïîñêîëüêó
âêëàä îò òî÷å÷íîãî çàðÿäà
â ïîòåíöèàë ñôåðû çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ l
ìåæäó ýòèì çàðÿäîì è öåíòðîì ñôåðû, ïîòåíöèàë
ñôåðû íå èçìåíèòñÿ, åñëè
ìû «ðàçìàæåì» ýòîò çàðÿä
ïî ïîâåðõíîñòè âîîáðàæàåìîé ñôåðû
ðàäèóñîì l. Ñðàâíèòå, íàïðèìåð, ôîðìóëó (5) ñ ôîðìóëîé (6), à ôîðìóëó
(4) ñ ôîðìóëîé (7).
Çàäà÷à 6. Èìåþòñÿ äâå êîíöåíòðè÷åñêèå ïðîâîäÿùèå ñôåðû ðàäèóñàìè
R1 è R2 ( R1 < R2 ). Ìåæäó ñôåðàìè
íà ðàññòîÿíèè r îò öåíòðà íàõîäèòñÿ òî÷å÷íûé çàðÿä q. Êàêèå çàðÿäû
ïîÿâÿòñÿ íà ñôåðàõ, åñëè èõ çàçåìëèòü?
Âûðàçèì ïîòåíöèàëû ñôåð è ïðèðàâíÿåì èõ ê íóëþ. Ïîòåíöèàë âíóòðåííåé
ñôåðû ðàâåí ïîòåíöèàëó öåíòðà, ò.å.
? D
ϕ R1 =
1
q1
4 πε 0 R1
+
1
q
4 πε 0 r
+
1
q2
4 πε 0 R2
,
ãäå q1 è q2 — çàðÿäû ñôåð (ïîñëå
çàçåìëåíèÿ). Ïîëå âî âíåøíåì ïðîñòðàíñòâå ñîâïàäàåò ñ ïîëåì òî÷å÷íîãî
çàðÿäà q1 + q + q2 , ïîýòîìó ïîòåíöèàë
âíåøíåé ñôåðû ðàâåí
? D
ϕ R2 =
1
q1 + q + q2
4 πε 0
R2
ñôåð ê íóëþ, ðåøèì ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ è íàéäåì èñêîìûå çàðÿäû:
R2
q1 = − q r
R2
R1
−1
−1
,
q2 = − q
1−
1−
R1
r
.
R1
R2
Óïðàæíåíèÿ
1. Èìåþòñÿ äâå êîíöåíòðè÷åñêèå ïðîâîäÿùèå ñôåðû ðàäèóñàìè R1 è R2 ( R1 < R2 ).
Âíóòðåííÿÿ ñôåðà çàðÿæåíà çàðÿäîì q,
âíåøíÿÿ ñôåðà íå çàðÿæåíà. Êàêèì ñòàíåò
ïîòåíöèàë âíóòðåííåé ñôåðû, åñëè âíåøíþþ ñôåðó çàçåìëèòü? Êàê èçìåíèòñÿ ïðè
ýòîì ýíåðãèÿ ñèñòåìû?
2. Èìåþòñÿ òðè êîíöåíòðè÷åñêèå ïðîâîäÿùèå ñôåðû ðàäèóñàìè R1 , R è R2 ( R1 <
< R < R2 ). Ñðåäíþþ ñôåðó çàðÿæàþò çàðÿäîì q, à âíóòðåííþþ è âíåøíþþ ñôåðû
çàçåìëÿþò. Êàêèå çàðÿäû ïîÿâÿòñÿ íà ýòèõ
ñôåðàõ?
3. Íà ðàññòîÿíèè l îò öåíòðà çàçåìëåííîé
ïðîâîäÿùåé ñôåðû ðàäèóñîì R ïîìåùàþò
òî÷å÷íûé çàðÿä q. Êàêîé çàðÿä ïîÿâèòñÿ íà
ñôåðå?
4. Ïðîâîäÿùóþ ñôåðó ðàäèóñîì R çàçåìëÿþò, à íà ðàññòîÿíèÿõ l 1 < R è l 2 > R îò
åå öåíòðà ïîìåùàþò òî÷å÷íûå çàðÿäû q1 è
q2 . Êàêîé çàðÿä ïîÿâèòñÿ íà ñôåðå?
5. Èìåþòñÿ äâå êîíöåíòðè÷åñêèå ïðîâîäÿùèå ñôåðû ðàäèóñàìè R è 3R. Ìåæäó
ñôåðàìè íà ðàññòîÿíèè 2R îò èõ öåíòðà
íàõîäèòñÿ òî÷å÷íûé çàðÿä q. Êàêèå çàðÿäû
îêàæóòñÿ íà ñôåðàõ, åñëè èõ ñîåäèíèòü
òîíêîé ïðîâîëîêîé?
.
Òåïåðü ïðèðàâíÿåì ïîòåíöèàëû îáåèõ
ÍÀÌ ÏÈØÓÒ
Åùå äâà äîêàçàòåëüñòâà
ñâîéñòâà ïðàâèëüíîãî
òðåóãîëüíèêà
 ïåðâîì íîìåðå çà 1999 ãîä â ñòàòüå
«Âïèñàííûå ìíîãîóãîëüíèêè» òðåìÿ
ñïîñîáàìè äîêàçàíî, ÷òî åñëè íà äóãå
À îïèñàííîé îêðóæíîñòè ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ âçÿòà òî÷êà Õ, òî ÀÕ + ÂÕ = ÑÕ (ñì. ðèñóíîê).
Ìåæäó òåì åñòü åùå äâà çàìå÷àòåëüíûõ äîêàçàòåëüñòâà. Âî-ïåðâûõ, ìû
ìîæåì ïîñòðîèòü íà îòðåçêå ÕÂ âîâíå
ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê XZB. Ïðè
ïîâîðîòå âîêðóã òî÷êè  íà 60° òî÷êà Ñ
ïåðåõîäèò â À, Õ – â Z, òðåóãîëüíèê
ÑÕ – â òðåóãîëüíèê AZB. Çíà÷èò,
CX = AZ. Ïîñêîëüêó ñóììà ïðîòèâîïî-
C
ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ñëåäîâàòåëüíî,
AX + BX = AX + XZ = AZ = CX.
Âî-âòîðûõ, ìîæíî áåñõèòðîñòíî ïðèìåíèòü òåîðåìó êîñèíóñîâ: îáîçíà÷èâ
ÀÂ = ÂÑ = ÑÀ = l, ÀÕ = à, ÂÕ = b,
CX = c, íàõîäèì èç ∆AXC è ∆CXB :
B
A
2
2
2
2
2
2
l = a + c − 2 ac cos 60° ,
l = b + c − 2bc cos 60° .
2
X
Z
ëîæíûõ óãëîâ âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà AXBC ðàâíà 180°, èìååì
∠AXB = 120°, òàê ÷òî òî÷êè À, Õ, Z
2
Âû÷èòàÿ ïî÷ëåííî, ïîëó÷àåì a – b –
– àñ + bñ = 0, îòêóäà
>a − bC>a + b − cC = 0 .
Îñòàëîñü ðàçäåëèòü íà a – b. (Ñëó÷àé
a = b ëåãêî ðàçîáðàòü îòäåëüíî.)
Ì.Ïàíê