23

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
âçàèìíî îäíîçíà÷íûì: îäèíàêîâûì ÷èñëàì ñîîòâåòñòâóþò îäèíàêîâûå ñïóòíèêè, ðàçíûì ÷èñëàì – ðàçíûå
ñïóòíèêè. Òàêèì îáðàçîì, åñëè, â ñîîòâåòñòâèè ñ íàøèì
ïðåäïîëîæåíèåì, íå îêàçàëîñü îäèíàêîâûõ ÷èñåë, òî íå
îêàæåòñÿ è îäèíàêîâûõ ñïóòíèêîâ.
Îöåíèì ñâåðõó ñóììó âñåõ ñïóòíèêîâ, êîãäà ìîäóëè
âñåõ ÷èñåë îêàçàëèñü áîëüøå 3. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî
ëèøü 4 êîìïëåêñíûõ ÷èñëà èìåþò ìîäóëü, ìåíüøèé 3:
1
+
i,
1 + 2i, 2 + i, 2 + 2i. Ñóììà ñîîòâåòñòâóþùèõ èì
ñïóòíèêîâ ðàâíà
1
1
1
1
1
+
+
+
=
2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 2 2 2 ⋅ 3 22 ⋅ 3 2
3
(ýòî çíà÷åíèå ïðèãîäèòñÿ ÷óòü ïîçæå).  ëþáîé ìîìåíò
âðåìåíè ñïóòíèêè âñåõ íàïèñàííûõ íà äîñêå ÷èñåë
1
ÿâëÿþòñÿ ðàçëè÷íûìè äðîáÿìè âèäà a b , ïîýòîìó
2 ⋅3
èõ ñóììà çàâåäîìî ìåíüøå ñóììû âñåõ äðîáåé òàêîãî
âèäà çà âû÷åòîì ñóììû ÷åòûðåõ ïåðå÷èñëåííûõ âûøå
1
ñïóòíèêîâ. Íî ñóììà âñåõ äðîáåé âèäà a b , î÷åâèä2 ⋅3
íî, ðàâíà
FG 1 + 1
H2 2
2
+
1
2
3
IJ FG 1 + 1
K H3 3
+K ×
2
+
1
3
3
IJ
K
+K = 1 ×
1 1
= ,
2 2
1 1 1
ïîýòîìó ñóììà âñåõ ñïóòíèêîâ ìåíüøå − = .
2 3 6
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè ïðîâåäåíèè óêàçàííûõ â óñëîâèè îïåðàöèé ñóììà ñïóòíèêîâ íå èçìåíÿåòñÿ. ×òîáû
óáåäèòüñÿ â ýòîì, íåîáõîäèìî âñåãî ëèøü ïðîâåðèòü
ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâ:
1
1
= 2 × a +1 b ,
a
b
2 ⋅3
2 ⋅3
1
1
1
1
= a +1 b + a b +1 + a +1 b +1 ,
a
b
2 ⋅3
2 ⋅3
2 ⋅3
2 ⋅3
1
1
1
= 2 × a b +1 + 2 a +1 b +1 .
a
b
2 ⋅3
2 ⋅3
2 ⋅3
Ïåðâîíà÷àëüíî íà äîñêå áûëî åäèíñòâåííîå ÷èñëî 1 + i,
1
1
= . Ïîýòîìó è â äàëüíåéñïóòíèê êîòîðîãî ðàâåí
2⋅3 6
1
øåì ñóììà ñïóòíèêîâ äîëæíà îñòàòüñÿ ðàâíîé . Íî,
6
1
êàê óæå âûÿñíèëîñü, ýòà ñóììà ìåíüøå . Ïðîòèâîðå6
÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå îá îòñóòñòâèè
ñðåäè âûïèñàííûõ ÷èñåë äâóõ îäèíàêîâûõ íåâåðíî.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäè ÷èñåë íåïðåìåííî èìåþòñÿ äâà
îäèíàêîâûõ, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
È.Àêóëè÷, È.Âîðîíîâè÷
М1779. Íàéäèòå âñå ìíîãî÷ëåíû f
à) òàêèå, ÷òî f x + f y = f x + y ;
á) òàêèå, ÷òî af x = f 2001x ,
ãäå à – íåêîòîðîå ÷èñëî;
â) òàêèå, ÷òî
bg b
g
af x + bf y = f cx + dy ,
ãäå a, b, c, d – íåêîòîðûå ÷èñëà.
(1)
Ïóíêò à) ñëåäóåò èç ïóíêòà â), ïîýòîìó åãî îïóñòèì.
bg
a + b = 1 – ïðè ëþáîì k; íèæå ìû áóäåì ñ÷èòàòü
f x ≠ k . Âñþäó íèæå
bg
bg
f x = an x n + K + a0 .
á) Ðåøèì áîëåå îáùåå óðàâíåíèå
bg b g
af x = f cx ,
(2)
èìåííî îíî ïîíàäîáèòñÿ íàì íèæå, ïðè ðåøåíèè â).
n
Ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû ïðè x â ëåâîé è ïðàâîé
n
÷àñòÿõ (2); ïîëó÷èì a ⋅ an = an ⋅ c , èëè a = cn.
Ïðè à = ñ = 0 ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ëþáîé ìíîãî÷ëåí
f x áåç ñâîáîäíîãî ÷ëåíà: a0 = 0 ; ïðè à = ñ = 1 –
ëþáîé ìíîãî÷ëåí f x . Åñëè ñ = –1, òî ïðè à = 1 â
êà÷åñòâå ðåøåíèé ïîëó÷àþòñÿ âñå ÷åòíûå, à ïðè à =
= –1 – âñå íå÷åòíûå ìíîãî÷ëåíû.
Ïóñòü c ≠ 0 , c ≠ ±1 , è ïóñòü n > i ≥ 0 . Èìååì:
a ⋅ ai = ai ⋅ c i . Ïðè ai ≠ 0 ìû ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå:
a = ci = c n . Ñëåäîâàòåëüíî, ai = 0 ïðè n > i ≥ 0 , è
f x = kx n .
â) Ðàññìîòðèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (1) êàê ìíîãî÷ëåíû
n
îò õ è ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû ïðè x â ëåâîé è
n
ïðàâîé åãî ÷àñòÿõ. Ïîëó÷èì a = c ; àíàëîãè÷íî b = d n .
Ïóñòü n = 1, à çíà÷èò, à = ñ è b = d. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî
ìíîãî÷ëåí f t = kt + h , ãäå k – ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî,
óäîâëåòâîðÿåò (1) ïðè h = 0, à â ñëó÷àå a + b = 1 –
è ïðè ëþáîì h.
Ïðè ðàññìîòðåíèè ñëó÷àÿ n > 1 íàì ïîíàäîáèòñÿ
ñëåäóþùàÿ
Ëåììà. Åñëè
bg
bg
bg
bg
b
g
b
g
n
cn + d n = c + d , ãäå n > 1,
(3)
òî cd c + d = 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ìíîãî÷ëåí
bg b
P x = x+c
g
n
− x n − cn ,
ãäå c ≠ 0 , n > 1, íå ìîæåò èìåòü êîðíåé, îòëè÷íûõ îò
0 è –ñ.
Äîêàæåì ýòî. Ïðè ÷åòíîì n ïðîèçâîäíàÿ P ′ x íå èìååò
êîðíåé, çíà÷èò, 0 – îäèí-åäèíñòâåííûé êîðåíü ìíîãî÷ëåíà P x . Ïðè íå÷åòíîì n ïðîèçâîäíàÿ èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü, çíà÷èò, 0 è –ñ – åäèíñòâåííûå êîðíè
ìíîãî÷ëåíà P x . Ëåììà äîêàçàíà.
(Ìîæíî ðàññóæäàòü è ïî-äðóãîìó: âîñïîëüçîâàòüñÿ
òåì, ÷òî ôóíêöèÿ
bg
b g FGH
Qt =P t−
bg
bg
IJ FG
K H
c
c
= t+
2
2
IJ − FG t − c IJ
K H 2K
n
n
− cn =
= qn −1t n −1 + qn − 3t n − 3 + K
ïðè ÷åòíîì n ìîíîòîííà íà âñåé îñè, à ïðè íå÷åòíîì –
íà ïîëîæèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé ïîëóîñÿõ.)
Ðàññìîòðèì òåïåðü îáå ÷àñòè (1) êàê ìíîãî÷ëåíû îò
t = x = y. Ðàññóæäàÿ êàê âûøå, ïîëó÷èì:
bg bg b g
bg b g
bg
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«ÊÂÀÍÒÀ»
Ìíîãî÷ëåí f x = k ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïðè k = 0, à ïðè
b
g
n
a+b = c+d ,
à çíà÷èò,
b
g
Ïî ëåììå îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî cdb c + d g = 0 .
n
cn + d n = c + d .
 ñëó÷àÿõ ñ = 0 è d = 0 (1) ñâîäèòñÿ ê (2); ïóñòü c ≠ 0 ,