b g 21

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
v
Íàðèñóåì êà÷åñòâåííî
ãðàôèê çàâèñèìîñòè
ωr
v x . Èç ðèñóíêà 2 ñëåäóåò, ÷òî ïðè t → ∞ (ò.å.
ïðè x → ∞ ) v → ∞ , ò.å.
r
h
â ìãíîâåííîé ñîïóòñòâóþùåé ñèñòåìå îòñ÷åòà
ñêîðîñòü çàé÷èêà ìîæåò
áûòü ñêîëü óãîäíî áîëüα
øîé. Ýòî íè÷åìó íå ïðîòèâîðå÷èò. Äåëî â òîì,
O
÷òî ïðè äâèæåíèè çàé÷èРис.1
êà íå ïðîèñõîäèò ïåðåv
ìåùåíèÿ êàêîãî-ëèáî ìàòåðèàëüíîãî îáúåêòà èç
îäíîé òî÷êè ñòåíû â ñîñåäíþþ: ñìåùåíèå çàé÷èêà âûçâàíî ïðèõîäîì â
ñîñåäíþþ òî÷êó ñòåíû íîωh
âîé ïîðöèè ñâåòîâîé ýíåðãèè îò ïðîæåêòîðà. Ðàçáåðåìñÿ ñ ýòèì ïîäðîáx íåå.
Рис.2
Åñëè ïðîæåêòîð, íàõîäÿùèéñÿ â òî÷êå Î, âðàùàåòñÿ â îäíîé ïëîñêîñòè, òî ê
ìîìåíòó, êîãäà ñâåò, èñïóùåííûé â íàïðàâëåíèè òî÷êè À,
äîñòèãíåò òî÷êè D (ðèñ.3,à), ïðîæåêòîð áóäåò ñâåòèòü â
A
a)
O
x
B
α
bg
á)
D
A
C
O
B
D
A
C
B
Рис.3
íàïðàâëåíèè òî÷êè  (ñâåò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ, åñòåñòâåííî, ïðÿìîëèíåéíî). Ïîýòîìó ê òîìó ìîìåíòó, êîãäà ñâåò
äîéäåò èç òî÷êè D â òî÷êó À, ñâåò, èñïóùåííûé ïîçäíåå
â íàïðàâëåíèè òî÷êè Â, äîñòèãíåò òî÷êè Ñ (DA = OC). À
åùå ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ñâåò äîñòèãíåò òî÷êè Â. Åñëè
ñòåíà äàëåêî, òî AB > CB, ò.å. ñêîðîñòü äâèæåíèÿ çàé÷èêà
áîëüøå ñêîðîñòè ñâåòà (ñðàâíèòå ñî ñëó÷àåì áëèçêî
ðàñïîëîæåííîé ñòåíû (ñì. ðèñ.3,á), êîãäà DA1 = OC1 è
A1 B1 < C1 B1 ).
Èç-çà êîíå÷íîñòè ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà ñ íàáëþäàòåëü, íàõîäÿùèéñÿ â òî÷êå Î, áóäåò âèäåòü çàé÷èê
íå òàì, ãäå ñâåòîâîå ïÿòíî íàõîäèòñÿ â ìîìåíò íàáëþäåíèÿ, à â äðóãîé òî÷êå – òàì, ãäå çàé÷èê íàõîäèëñÿ â áîëåå
ðàííèé ìîìåíò âðåìåíè. Ïðèìåì çà íîëü îòñ÷åòà âðåìåíè
ìîìåíò, êîãäà ôîíàðèê èñïóñòèë ñâåò â íàïðàâëåíèè ÎÀ
(ñì. ðèñ.1). Åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t ôîíàðèê èñïóñòèë
ñâåò â íàïðàâëåíèè Π(ïîä óãëîì α = ωt ), òî çàé÷èê â
òî÷êå  ñ êîîðäèíàòîé
x = h tg ωt
(1)
íàáëþäàòåëü óâèäèò, èç-çà çàïàçäûâàíèÿ ñâåòà, â ìîìåíò
âðåìåíè
2h
.
(2)
t1 = t +
c cos ωt
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñêîðîñòè çàé÷èêà âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì
dx
dx dt
v=
=
.
(3)
dt1
dt1 dt
6 Êâàíò ¹ 5
21
«ÊÂÀÍÒÀ»
Ïîñêîëüêó
e
2
j
2
dx dt = hω cos ωt , dt1 dt = 1 + 2hω sin ωt c cos ωt ,
òî
chω
v=
.
(4)
c cos ωt + 2hω sin ωt
Èç âûðàæåíèÿ (4) âèäíî, ÷òî ïðè t → π 2ω ñêîðîñòü
çàé÷èêà v ≈ c 2 sin ωt → c 2 . Èíòåðåñíî èññëåäîâàòü
îòâåò ïðè t < 0 (îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå âðåìåíè îòâå÷àåò
èçìåíåíèþ óãëà α îò − π 2 äî + π 2 ). Ïðè t → − π 2ω
èç âûðàæåíèÿ (4) ïîëó÷àåòñÿ ñòðàííûé ðåçóëüòàò:
v → − c 2 . Íà ïåðâûé âçãëÿä ýòî áåññìûñëèöà. Äåéñòâèòåëüíî, ëó÷ ñâåòà, ïîñëàííûé â ìîìåíò âðåìåíè
t = − π 2ω , ïîéäåò ïàðàëëåëüíî ñòåíå, íî íå äîñòèãíåò åå
íèêîãäà, ò.å. çàé÷èêà íàáëþäàòåëü íèêîãäà íå óâèäèò.
Êñòàòè, èç ðàâåíñòâà (1) ñëåäóåò, ÷òî ïðè t → − π 2ω
t1 → ∞ . Íî âåäü ôîíàðèê âðàùàåòñÿ, è ðàíî èëè ïîçäíî
íàáëþäàòåëü äîëæåí â ïåðâûé ðàç óâèäåòü çàé÷èê. Íàéäåì ýòîò ìîìåíò âðåìåíè, îáîçíà÷èâ åãî t2 .
Î÷åâèäíî, ÷òî t2 – ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå
âðåìåíè t1 , îïðåäåëÿåìîå âûðàæåíèåì (2). Âû÷èñëèì
ïðîèçâîäíóþ dt1 dt è ïðèðàâíÿåì åå íóëþ:
2hω sin ωt
= 0.
1+
(5)
2
c cos ωt
b
2
b g
g
b g
b g
b g
Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì
sin ωt =
hω
c
− 1+
FG hω IJ
HcK
2
.
(6)
Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ôîðìóëû (2) è (1), ìîæíî
íàéòè òîò ìîìåíò âðåìåíè t2 , êîãäà íàáëþäàòåëü âïåðâûå
óâèäèò ïÿòíî ñâåòà â òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé
x2 = − h
c b gh
1 + c hω
2
2
−1
.
 ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè íàáëþäàòåëü áóäåò
âèäåòü ñâåò, îòðàæåííûé ñòåíîé êàê ïðàâåå, òàê è ëåâåå
ýòîé òî÷êè, ò.å. íàáëþäàt
òåëü áóäåò âèäåòü äâà çàé÷èêà, äâèæóùèõñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû.
Äðóãèìè ñëîâàìè, âûðàæåíèå (2) ïðè t1 > t2 èìååò 2 êîðíÿ: êàæäîìó t1
îòâå÷àþò 2 çíà÷åíèÿ t.
Çàâèñèìîñòü t1 t êà÷åñòâåííî èçîáðàæåíà íà
ðèñóíêå 4.
+ π t
– π
Ïîäñòàâëÿÿ ðàâåíñòâî (5)
2ω
2ω
â âûðàæåíèå (4), âèäèì, Рис.4
÷òî ñêîðîñòü îáîèõ çàé÷èêîâ â ìîìåíò âðåìåíè t2 ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè! Òåì ñàìûì
ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíûì «íåëåïûé» ðåçóëüòàò ïðåäåëüíîãî
ïåðåõîäà ïðè t → − π 2ω : ïðè t1 → ∞ çàé÷èê, áåãóùèé
â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ íàïðàâëåíèþ âðàùåíèÿ
ôîíàðèêà, èìååò ñêîðîñòü v → − c 2 .
ßâíî v ÷åðåç t1 èç óðàâíåíèé (4) è (2) íå âûðàæàåòñÿ:
çàâèñèìîñòü v t1 çàäàíà ÷åðåç ïàðàìåòð t. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ êà÷åñòâåííîãî ãðàôèêà çàâèñèìîñòè v t1 ïîñòðîèì
bg
b g
ch
ch