Отклонение частиц и световых лучей полем тяготения

39
ÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
Ô È Ç ÈÔ ×
ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
Отклонение частиц
и световых лучей
полем тяготения
îáå ÷àñòè â êâàäðàò è èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî
1
cos2 θ
ïîëó÷àåì ôîðìóëó (1).
Çàïèøåì òåïåðü çàêîíû ñîõðàíåíèÿ
ýíåðãèè Å è ìîìåíòà èìïóëüñà L ÷àñòèöû äëÿ ó÷àñòêà À åå òðàåêòîðèè
(ñì. ðèñ.1):
E A = EB , LA = LB ,
С.КОЖИНИН
èëè
2
Р
ÀÑÑÌÎÒÐÈÌ ÍÅÑÊÎËÜÊÎ ÈÍÒÅ-
ðåñíûõ çàäà÷ î äâèæåíèè êëàññè÷åñêèõ ÷àñòèö è ôîòîíîâ â ïîëÿõ òÿãîòåíèÿ ïëàíåò è çâåçä.
Задача 1. Рассеяние частицы
полем Земли
Íà êàêîé óãîë θ èçìåíèòñÿ íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè ïðîëåòàþùåé ìèìî
Çåìëè ìåòåîðíîé ÷àñòèöû ïîä äåéñòâèåì ïîëÿ çåìíîãî òÿãîòåíèÿ
(ðèñ.1)? Ñêîðîñòü ÷àñòèöû íà áåñêî-
α
K
mv ∞
r
r
θ/
O B
O
2
2
=
O′
2
b − rm
2brm
.
(1)
Äåéñòâèòåëüíî, ãèïåðáîëà – ýòî
ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, ðàçíîñòü
ðàññòîÿíèé äî êîòîðûõ îò äâóõ çàäàííûõ òî÷åê Î è O ′ , íàçûâàåìûõ ôîêóñàìè (ðèñ.2), ïîñòîÿííà: r1 − r2 = const.
Îäèí èç ôîêóñîâ ãèïåðáîëû Î ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì Çåìëè, âòîðîé ôîêóñ
O ′ ëåæèò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç öåíòð Çåìëè è áëèæàéøóþ ê
öåíòðó òî÷êó  òðàåêòîðèè. Íà áåñêî-
−
2
GMm
rm
,
(2)
bv∞ = rm vm ,
ãäå vm – ñêîðîñòü ÷àñòèöû â òî÷êå Â;
ìû ó÷ëè, ÷òî òî÷êà À íàõîäèòñÿ â
áåñêîíå÷íîñòè, ïîýòîìó LA = L∞ =
= r0 mv∞ sin α 0 = bmv∞ ,
LB =
à
o
= rm mvm sin 90 = rm mvm . (Îòìåòèì,
÷òî âìåñòî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà
èìïóëüñà ìîæíî èñïîëüçîâàòü âòîðîé
çàêîí Êåïëåðà.) Èç ðàâåíñòâ (2) ïîëó÷àåì
2GM
2
v∞
2
rm − b = 0 .
(3)
Åñëè ñ÷èòàòü çàäàííûì ðàññòîÿíèå
rm , òî äëÿ ïðèöåëüíîãî ðàññòîÿíèÿ b
íàõîäèì
b = rm 1 +
N
íå÷íîñòè ðàâíà v∞ . Âëèÿíèå àòìîñôåðû Çåìëè íå ó÷èòûâàòü.
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ó÷òåì (áåç âûâîäà), ÷òî ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïî ãèïåðáîëè÷åñêîé òðàåêòîðèè. Îïèðàÿñü íà
ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ãèïåðáîëû,
ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî óãîë ðàññåÿíèÿ
θ , ïðèöåëüíîå ðàññòîÿíèå b è ðàññòîÿíèå rm îò öåíòðà ïëàíåòû äî áëèæàéøåé òî÷êè  òðàåêòîðèè ÷àñòèöû ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
θ
2
θ
ϕm
M
Рис. 1
r
mvm
=
rm +
A
rm
R
2
mv∞
2
θ
B
tg
b
N
A
b
íå÷íî áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò Çåìëè
êàê ïðè ïðèáëèæåíèè, òàê è ïðè óäàëåíèè ñêîðîñòü ÷àñòèöû íàïðàâëåíà
ïî àñèìïòîòå ãèïåðáîëû, ïîýòîìó çàäà÷à ñîñòîèò â íàõîæäåíèè óãëà θ
ìåæäó àñèìïòîòàìè. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ àñèìïòîò ëåæèò ïîñåðåäèíå ìåæäó ôîêóñàìè.
Ïðèðàâíÿåì ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé îò
ôîêóñîâ Î è O ′ äî áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè – ýòî îòðåçîê O′ C íà ðèñóí-
Ïîëÿðíàÿ
îñü
K
= 1 + tg2 θ ,
2GM
2
rm v∞
.
Åñëè ñ÷èòàòü çàäàííûì ðàññòîÿíèå b,
òî äëÿ rm íàõîäèì
rm =
Рис. 2
êå 2 – è äî áëèæàéøåé ê öåíòðó Çåìëè
òî÷êè. Èç òðåóãîëüíèêà OO ′ C íàõîäèì
OC = 2b,
θ
2b
.
θ
cos
2
Ðàçíîñòü ðàññòîÿíèé îò ôîêóñîâ äî
òî÷êè  ñîñòàâëÿåò
O ′ C = 2b tg
2
d
2
v∞
F
GG
GH
i
ãäå ÂÎ = rm . Òåïåðü óñëîâèå ðàâåíñòâà
ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé äî âûáðàííûõ
òî÷åê ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
2b
2b tg =
− 2rm .
θ
2
cos
2
Ïåðåíîñÿ 2rm â ëåâóþ ÷àñòü, âîçâîäÿ
F bv I
1+ G
H GM JK
2
∞
2
I
− 1J .
JJ
K
(4)
Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü
èçâåñòíûì ïðèöåëüíûé ïàðàìåòð b.
Òîãäà, ñ ó÷åòîì (3), äëÿ óãëà ðàññåÿíèÿ ïîëó÷àåì
, OO ′ =
BO ′ − BO = OO ′ − BO − BO ,
θ
GM
tg
θ GM
=
.
2
bv∞2
(5)
Ìåòåîðíàÿ ÷àñòèöà íå çàäåâàåò ïëàíåòó, åñëè rm Ú R (ñì. ðèñ.1). Ïðè rm =
= R ðàññòîÿíèå b îêàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì è ðàâíûì
bmin = R 1 +
2GM
2
Rv∞
= R 1+
Fv I
GH v JK
2ê
2
,
∞
ãäå v2 ê = 2GM R – âòîðàÿ êîñìè÷åñêàÿ (ïàðàáîëè÷åñêàÿ) ñêîðîñòü. Ïðè
çàäàííîì çíà÷åíèè v∞ è ìèíèìàëüíîì
ïðèöåëüíîì ðàññòîÿíèè bmin óãîë îòêëîíåíèÿ (èëè óãîë ðàññåÿíèÿ) ìàêñè-
40
Ê Â À Í T $ 2001/№4
ìàëåí: θ = θ max è
tg
θ max
2
cv
v∞
2ê
=
c
h
e
2
2 1 + v2ê v∞
h
=
2
e
2
GM Rv∞
=
e
j
2
1 + 2GM Rv∞
j
.
Îòñþäà ñëåäóþò âàæíûå ÷àñòíûå
ñëó÷àè:
1) Åñëè v∞ @ v2ê , òî bmin ≈ R è,
ñëåäîâàòåëüíî,
c
h
c
tg θ max 2 ≈ 0,5 v2ê v∞
h
2
=
e
2
j
= GM Rv∞ .
Òàê êàê v2ê v ∞?1, òî
θ max ≈
2GM
2
Rv∞
(ìû ó÷ëè, ÷òî ïðè x → 0 tg x ≈ x ).
2) Åñëè v∞? v2ê , òî ôîðìóëà äëÿ
óãëà ðàññåÿíèÿ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
θ max
tg
2
≈
v2ê
2v∞
.
 ïðåäåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà
v2ê v∞ → ∞ , ïîëó÷àåì tg θ max 2 →
→ ∞ è, ñëåäîâàòåëüíî, θ max → 180 o .
Òàêèì îáðàçîì, ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ
çíà÷åíèÿõ v∞ íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè
÷àñòèöû ïðè îáëåòå öåíòðàëüíîãî òåëà
(ïëàíåòû èëè çâåçäû) èçìåíèòñÿ ïðàêòè÷åñêè íà ïðîòèâîïîëîæíîå!
c
h
Çàìåòèì, ÷òî îáñóæäàåìóþ çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü, èñõîäÿ èç óðàâíåíèÿ òðàåêòîðèè ÷àñòèöû â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:
p
= 1 + ε cos ϕ ,
r
(6)
2
b
g
ãäå ϕ – ïîëÿðíûé óãîë, p = L 2 mα –
ôîêàëüíûé ïàðàìåòð ÷àñòèöû, ε =
2
= 1 + 2 EL
eα mj – ýêñöåíòðèñèòåò îðáè2
òû, α = GMm , ïðè÷åì m? M , Å è L –
ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ è ìîìåíò
èìïóëüñà ÷àñòèöû ñîîòâåòñòâåííî. Èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïîëó÷àåì
tg
mv∞
2
F bv I
1+ G
GH GM JJK
2
ε=
∞
tg
b
g
θ
2
=
GM
bc
2
GM
rc
2
,
?1 , R ≤ r ≤ ∞ ,
êîòîðîå íàçûâàþò óñëîâèåì, èëè ïðèáëèæåíèåì, ñëàáîãî ïîëÿ (èìåííî
ïðè ýòîì óñëîâèè ïîëÿ òÿãîòåíèÿ ÿâëÿþòñÿ íüþòîíîâñêèìè). Íàïðèìåð,
e j≈
íà ïîâåðõíîñòè Ñîëíöà GM Rc
≈ 10
−6
íî çàïèñàòü
θ=
2
. Ó÷èòûâàÿ ìàëîñòü óãëà θ, ìîæ-
2GM
bc
2
,
òîãäà äëÿ ñâåòîâîãî ëó÷à, ïðîõîäÿùåãî âáëèçè ïîâåðõíîñòè çâåçäû (b ≈ R ),
ïîëó÷èì
2GM
θ≈
.
2
Rc
Äëÿ Ñîëíöà θ ≈ 0,87 ′′ .
Çàìåòèì, ÷òî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå rm ïî-ïðåæíåìó îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (4), êîòîðàÿ ïðè v∞ = c ïðèíèìàåò âèä
rm =
ãäå b Ú R . Ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî
äëÿ îáû÷íûõ íåáåñíûõ òåë ìàññîé Ì
è ðàäèóñîì R âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
(7)
Òàê êàê ε > 1 , ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïî ãèïåðáîëè÷åñêîé òðàåêòîðèè. Èç âûðàæåíèÿ (6)
ñëåäóåò, ÷òî ïðè ϕ = 0 ðàññòîÿíèå r ìèíèìàëüíî è ðàâíî
p
= a ε −1 ,
rm =
(8)
1+ ε
2
ε −1
.
Îöåíèòå óãîë îòêëîíåíèÿ θ ëó÷à
ñâåòà ïðè åãî ïðîõîæäåíèè âáëèçè
ïîâåðõíîñòè Ñîëíöà. Ìàññà Ñîëíöà
30
M = 2 ⋅ 10 êã , åãî ðàäèóñ R =
8
= 7 ⋅ 10 ì .
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñâåò ñîñòîèò èç
êîðïóñêóë ìàññîé m. Òàê êàê êîðïóñêóëà èìååò ìàññó, åå òðàåêòîðèÿ äîëæíà èñêðèâëÿòüñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû
ãðàâèòàöèè, ïîäîáíî òîìó êàê èñêðèâëÿþòñÿ òðàåêòîðèè îáû÷íûõ ÷àñòèö
èëè òåë, äâèæóùèõñÿ â ïîëÿõ òÿãîòåíèÿ ïëàíåò è çâåçä.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñâåòîâàÿ êîðïóñêóëà äâèæåòñÿ â ïîëå òÿãîòåíèÿ çâåçäû ïî ãèïåðáîëè÷åñêîé òðàåêòîðèè (ñì.
ðèñ.1).Åñëè ðàññìàòðèâàòü ñâåòîâóþ
êîðïóñêóëó êàê êëàññè÷åñêóþ ÷àñòèöó ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé Ek =
2
2
= mv 2 = mc 2 , òî äëÿ îöåíêè óãëà
θ ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòàìè çàäà÷è 1: ôîðìóëà (5) òåïåðü ïðèíèìàåò âèä
2
.
2
1
=
Задача 2. Отклонение светового
луча Солнцем
, L = L∞ = mbv∞ .
Ñëåäîâàòåëüíî, ýêñöåíòðèñèòåò îðáèòû
ðàâåí
θ
Ýòó ôîðìóëó ìîæíî ïîëó÷èòü íåïîñðåäñòâåííî èç ñâîéñòâ ãèïåðáîëû. Ïîäñòàâëÿÿ
ñþäà âûðàæåíèå (7) äëÿ ε , îïÿòü ïîëó÷àåì ôîðìóëó (5).
2
E = E∞ =
b g
j
2
ãäå a = p ε − 1 = α 2 E – ïîëóîñü ãèïåðáîëû. Ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ôîðìóëó (8) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó (4).
Îïðåäåëèì óãîë ϕ m ìåæäó ëèíèåé, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè Î è  (ïîëÿðíîé îñüþ),
è íàïðàâëåíèåì àñèìïòîòû K1 N1 , ê êîòîðîé ïðèáëèæàåòñÿ òðàåêòîðèÿ ÷àñòèöû, óäàëÿþùåéñÿ â áåñêîíå÷íîñòü (ñì. ðèñ.1).
Ïîñêîëüêó ïðè ϕ = ϕ m r = ∞ , òî èç ôîðìóëû (6) ïîëó÷àåì
1
cos ϕ m = − .
ε
Óãîë îòêëîíåíèÿ θ è óãîë ϕ m ñâÿçàíû
ñîîòíîøåíèåì θ = − π + 2 ϕ m , ïîýòîìó ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïðèíèìàåò âèä
GM
c
2
F
GG
GH
F bc I
GH GM JK
2
1+
2
I
JJ
JK
F GM IJ .
≈ bG1 −
H bc K
−1 ≈
2
Î÷åâèäíî, ÷òî ðàññìîòðåííûé ñïîñîá ðåøåíèÿ çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ íåêîððåêòíûì ñ òî÷êè çðåíèÿ ñîâðåìåííîé
ôèçè÷åñêîé òåîðèè. Äåéñòâèòåëüíî, â
ðàìêàõ äàííîãî ñïîñîáà ñêîðîñòü ñâåòîâîé êîðïóñêóëû èçìåíÿåòñÿ îò v∞ = c
äî vm = bv∞ rm = bc rm . Ïîíÿòíî, ÷òî
ïðè b ≈ rm ≈ R vm ≈ v∞ = c , íî ýòî
ïðèáëèæåíèå íè÷åãî íå ìåíÿåò ïî ñóùåñòâó: ñêîðîñòü ñâåòà îñòàåòñÿ ïåðåìåííîé âåëè÷èíîé. Êðîìå òîãî, òåïåðü
ìû çíàåì, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ôîðìóëà
2
Ek = mv 2 , ãäå v ? c , ê ñâåòîâûì
÷àñòèöàì íå ïðèìåíèìà: ýíåðãèÿ ñâåòîâîé ÷àñòèöû, ò.å. êâàíòà ñâåòà, èëè
ôîòîíà, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Ïëàíêà – Ýéíøòåéíà
2
E = mc = hω ,
à ñêîðîñòü ôîòîíà â âàêóóìå âñåãäà
ðàâíà c.
Òåïåðü ðåøèì çàäà÷ó äðóãèì ñïîñîáîì, èñõîäÿ èç êâàíòîâîé òåîðèè ñâåòà. Ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è îñòàåòñÿ
ïðåæíèì: âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíàìè
ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è ìîìåíòà èìïóëüñà ôîòîíà (êâàíòà ñâåòà), äâèæóùåãîñÿ â ñëàáîì ïîëå òÿãîòåíèÿ çâåçäû. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ôîòîíà ðàâíà
GMm
GM
E = hω −
= hω 1 − 2 = const
r
rc
FG
H
IJ
K
(ìû ó÷ëè, ÷òî ìàññà ôîòîíà ðàâíà
2
m = hω c ). Ìîìåíò èìïóëüñà ôîòîíà ðàâåí
hω
L = rmc sin α = r
sin α = const .
c
Ðàññìîòðèì äâèæåíèå ôîòîíà íà
ó÷àñòêå À òðàåêòîðèè, êîòîðóþ ïîïðåæíåìó áóäåì ñ÷èòàòü ãèïåðáîëè÷åñêîé (ñì. ðèñ.1). Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè: E A = EB è ìîìåíòà èì-
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ
ïóëüñà: LA = LB äàþò óðàâíåíèÿ
ω0
íèÿ çâåçäû îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì
F GM I ,
= ω G1 −
H r c JK
2 2
b c
r
2
m
bω 0 = rm ω ,
ãäå ω 0 – ÷àñòîòà ôîòîíà â òî÷êå À,
íàõîäÿùåéñÿ â áåñêîíå÷íîñòè, ω –
÷àñòîòà ôîòîíà â òî÷êå  íà ðàññòîÿíèè rm îò öåíòðà çâåçäû. Èç ïåðâîãî
óðàâíåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò,
÷òî ω > ω 0 – òàê íàçûâàåìîå ôèîëåòîâîå ãðàâèòàöèîííîå ñìåùåíèå. Èç îáîèõ óðàâíåíèé ïîëó÷àåì
GMb
2
rm − brm +
c
2
= 0.
rm
1−
I
JJ ,
K
2 Rg
b
2
e j
2
Rg R = 2GM Rc ?1, ò.å. ïîëÿ òÿãîòåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñëàáûìè. Íàïðèìåð, ãðàâèòàöèîííûé ðàäèóñ Ñîëíöà
2
ðàâåí Rg = 2GM c ≈ 3 êì , ò.å.
Rg ? R .
Òàê êàê b Ú R , òî â ïðèáëèæåíèè
ñëàáîãî ïîëÿ ìîæíî çàïèñàòü
Rg
b
rm =
1± 1−
,
b
2
èëè
rm1
II
JK JK
g
m2
=
Rg
2
.
Î÷åâèäíî, ÷òî âòîðîå ðåøåíèå íå èìååò ñìûñëà, ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
Rg
.
rm = b 1 −
2b
F
GH
I
JK
Àíàëîãè÷íî, äëÿ óãëà îòêëîíåíèÿ θ
íàõîäèì
tg
θ
2
=
Rg
2b
=
GM
bc
2
, θ≈
Rg
b
=
2GM
bc
2
.
Êàê âèäèì, â ïðèáëèæåíèè ñëàáîãî
ïîëÿ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ñ îáåèõ
òî÷åê çðåíèÿ – êëàññè÷åñêîé è êâàíòîâîé, – ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò.
Îòìåòèì, ÷òî â 1915 ãîäó ðàñ÷åò óãëà
îòêëîíåíèÿ âûïîëíèë À.Ýéíøòåéí.
Ñîãëàñíî îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ÎÒÎ) Ýéíøòåéíà, â ïîëå ãðàâèòàöèè (òÿãîòåíèÿ) èçìåíÿþòñÿ çàêîíû
ãåîìåòðèè è õîä âðåìåíè (èñêðèâëåíèå ïðîñòðàíñòâà – âðåìåíè). Èç óðàâíåíèé ÎÒÎ ñëåäóåò, ÷òî òðàåêòîðèÿ
ñâåòîâîãî ëó÷à â ñëàáîì ïîëå òÿãîòå-
2
GM
2
cos ϕ + sin ϕ .
Äëÿ ëó÷à, ïðîõîäÿùåãî âáëèçè ïîâåðõíîñòè çâåçäû (b ≈ R ), ýòîò óãîë ðàâåí
4GM
Rc
2
.
 ÷àñòíîñòè, äëÿ Ñîëíöà
e j ≈ 1,75′′ .
θ = 4GM Rc
ãäå Rg = 2GM c – ãðàâèòàöèîííûé
ðàäèóñ (èëè ðàäèóñ Øâàðöøèëüäà).
Äëÿ îáû÷íûõ íåáåñíûõ òåë
F F
GH GH
F R Ièr
= bG1 −
H 2b JK
bc
Êàê âèäíî, ýòî óðàâíåíèå îòëè÷àåòñÿ
îò óðàâíåíèÿ òðàåêòîðèè êëàññè÷åñêîé ñâåòîâîé êîðïóñêóëû ÷ëåíîì
2
sin ϕ . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî θ = − π + 2ϕ m ,
ïîëó÷àåì ôîðìóëó Ýéíøòåéíà äëÿ óãëà
îòêëîíåíèÿ ñâåòîâîãî ëó÷à:
2 Rg
4GM
θ=
=
2 .
b
bc
θ=
Åñëè ñ÷èòàòü çàäàííûì ïðèöåëüíûé
ïàðàìåòð b, òî
bF
= G1 ±
2 GH
b g =1+
GM
41
ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
2
Ïîíÿòíî, íàñêîëüêî âàæíî áûëî
èçìåðèòü óãîë θ . Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé äîëæíû áûëè ïîäòâåðäèòü (èëè
îïðîâåðãíóòü) âûâîäû ÎÒÎ îá èñêðèâëåíèè ïðîñòðàíñòâà – âðåìåíè.
Ïåðâûå èçìåðåíèÿ óäàëîñü îñóùåñòâèòü âî âðåìÿ ïîëíîãî ñîëíå÷íîãî
çàòìåíèÿ 29 ìàÿ 1919 ãîäà àñòðîíîìàì
À.Ýääèíãòîíó, Ô.Äàéñîíó è Ê.Äýâèäñîíó, êîòîðûå îðãàíèçîâàëè ýêñïåäèöèè â Áðàçèëèþ è ê áåðåãàì Àôðèêè.
Ñôîòîãðàôèðîâàâ çâåçäû âáëèçè çàêðûòîãî Ëóíîé Ñîëíöà, îíè èçìåðèëè
èõ ñìåùåíèÿ è ðàññ÷èòàëè óãîë îòêëîíåíèÿ ñâåòîâûõ ëó÷åé. Îí îêàçàëñÿ â
ïîëíîì ñîãëàñèè ñ ôîðìóëîé Ýéíøòåéíà. Â íàøå âðåìÿ óãîë θ èçìåðåí
íàìíîãî òî÷íåå ïóòåì ðàäèîàñòðîíîìè÷åñêèõ íàáëþäåíèé (ñâåò è ðàäèîâîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ïî òåì æå
çàêîíàì), íå ñâÿçàííûõ ñ ñîëíå÷íûìè
çàòìåíèÿìè. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé
åùå íàäåæíåå ïîäòâåðæäàþò òåîðåòè÷åñêóþ ôîðìóëó.
ÎÒÎ âêëþ÷àåò â ñåáÿ ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó â ñëó÷àå
ñëàáûõ ïîëåé è ìàëûõ ñêîðîñòåé
( v ? c ) âñå ïðåäñêàçàíèÿ ÎÒÎ äîëæíû ñîâïàäàòü ñ ïðåäñêàçàíèÿìè íüþòîíîâñêîé òåîðèè. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî òðàåêòîðèè (ãåîäåçè÷åñêèå)
íåðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö «íå ÷óâñòâóþò» êðèâèçíó òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Íî êîãäà ðå÷ü èäåò î òðàåêòîðèÿõ
ôîòîíîâ, ó÷åò ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâèçíû ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííûì. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî èñêðèâëåíèå òðàåêòîðèè ôîòîíîâ ñëàãàåòñÿ èç äâóõ ýôôåêòîâ: ýôôåêòà èçìåíåíèÿ õîäà ÷àñîâ
(èñêðèâëåíèå âðåìåíè) è ýôôåêòà èñêðèâëåíèÿ ïðîñòðàíñòâà. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è â ðàìêàõ ÎÒÎ àâòîìàòè÷åñêè ó÷èòûâàþòñÿ îáà ýôôåêòà, â
ðåçóëüòàòå äëÿ óãëà îòêëîíåíèÿ ÎÒÎ
äàåò ôîðìóëó, êîòîðàÿ îòëè÷àåòñÿ îò
êëàññè÷åñêîé ôîðìóëû ìíîæèòåëåì
«2». Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà ðàçíèöà èãðàåò
ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü.
Задача 3. Звезда как
гравитационная линза
Òåîðèÿ òÿãîòåíèÿ ïðåäñêàçûâàåò,
÷òî ëþáîå ãðàâèòèðóþùåå òåëî (ïëàíåòà, çâåçäà è ò.ï.) äîëæíî îòêëîíÿòü ñâåòîâûå ëó÷è. Ñëåäîâàòåëüíî,
ëþáîå ãðàâèòèðóþùåå òåëî äîëæíî
äåéñòâîâàòü íàïîäîáèå îïòè÷åñêîé
ëèíçû, ôîêóñèðóÿ ñâåòîâûå ëó÷è â
íåêîòîðîé òî÷êå F, íàçûâàåìîé ôîêóñîì ëèíçû.
Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî çâåçäà ìàññîé Ì
è ðàäèóñîì R ÿâëÿåòñÿ ãðàâèòàöèîííîé ëèíçîé è äåéñòâóåò òàê (èëè
ïî÷òè òàê), êàê äåéñòâóåò îáû÷íàÿ
îïòè÷åñêàÿ ñîáèðàþùàÿ ëèíçà, îöåíèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F òàêîé
ëèíçû (ðèñ.3).
b
θ
M
R
F
θ
O
F
Рис. 3
Êàê âèäíî èç ðèñóíêà 3,
F=
b
tg θ
.
Âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè ïðåäûäóùåé çàäà÷è.  ïðèáëèæåíèè ñëàáîãî ïîëÿ è ñ ó÷åòîì ìàëîñòè óãëà θ
ïîëó÷àåì
F≈
b
θ
≈
Ïðè b ≈ R
F≈
R
b
2
Rg
2
Rg
2 2
=
b c
2GM
.
2 2
=
R c
2GM
.
Äëÿ Ñîëíöà, íàïðèìåð, F ≈
14
≈ 1,7 ⋅ 10 ì . À òàê êàê ðàññòîÿíèå îò
11
Çåìëè äî Ñîëíöà ðàâíî l = 1,5 ⋅ 10 ì ,
òî F @ l . Ïîíÿòíî, ÷òî íàáëþäàòü ñ
Çåìëè ëèíçîâûé ýôôåêò â ïîëå òÿãîòåíèÿ Ñîëíöà íåëüçÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
áëèæàéøàÿ ê íàì çâåçäà Ïðîêñèìà
Öåíòàâðà íàõîäèòñÿ îò íàñ íà ðàññòî16
ÿíèè l ≈ 4 ⋅ 10 ì @ F . Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáàÿ èç óäàëåííûõ çâåçä ìîæåò
ñòàòü ãðàâèòàöèîííîé ëèíçîé. Íåîáõîäèìî òîëüêî, ÷òîáû èñòî÷íèê èçëó÷åíèÿ, çâåçäà-ëèíçà è íàáëþäàòåëü ðàñïîëîæèëèñü íà îäíîé ïðÿìîé.
(Окончание см. на с. 43)
42
Ê Â À Í T $ 2001/№4
 ðàìêàõ ÎÒÎ ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå
ãðàâèòàöèîííîé ëèíçû îïðåäåëÿåòñÿ ñ
ó÷åòîì ôîðìóëû Ýéíøòåéíà è ïîýòîìó ðàâíî
2
2 2
b
b c
F=
=
2R
4GM .
g
Äëÿ Ñîëíöà ïðè b ≈ R ïîëó÷àåì
13
F ≈ 8,3 ⋅ 10 ì . Ïîíÿòíî, ÷òî ñäåëàííûå âûøå âûâîäû î âîçìîæíîñòè íàáëþäåíèÿ ýôôåêòà ãðàâèòàöèîííîé
ëèíçû îò Ñîëíöà è çâåçä îñòàþòñÿ â
ñèëå.
Ýôôåêò ãðàâèòàöèîííîé ëèíçû áûë
ïðåäñêàçàí Ýéíøòåéíîì â 1936 ãîäó,
íî îí îñòàâàëñÿ ëèøü òåîðåòè÷åñêèì
ïðåäñêàçàíèåì áîëåå ñîðîêà ëåò. Â
1979 ãîäó áûë îòêðûò óäèâèòåëüíûé
îáúåêò – äâîéíîé êâàçàð QSO 0957 +
+ 561. Èçîáðàæåíèå êâàçàðà, ïîëó÷åííîå â ðàçëè÷íûõ äèàïàçîíàõ ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ, ñîñòîÿëî èç
äâóõ îòäåëüíûõ ïî÷òè òî÷å÷íûõ èçîáðàæåíèé, îòäåëåííûõ äðóã îò äðóãà
óãëîâûì ðàññòîÿíèåì 5,7 ′′ , èìåþùèõ
èäåíòè÷íûå ñïåêòðû è ïî÷òè îäèíàêîâóþ ÿðêîñòü. Ãðàâèòàöèîííîé ëèíçîé
â ýòîì ñëó÷àå ñëóæèëà áîëüøàÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ ãàëàêòèêà (èëè ñêîïëåíèå
ãàëàêòèê), íàõîäÿùàÿñÿ íà ïóòè îò
êâàçàðà ê Çåìëå è ñîçäàþùàÿ åãî äâîéíîå èçîáðàæåíèå.
 îáû÷íîé (òîíêîé) ëèíçå, êàê èçâåñòíî, âñå ïðåëîìëåííûå ëó÷è ñîáèðàþòñÿ â îäíîé òî÷êå – ôîêóñå ëèíçû. Â
ãðàâèòàöèîííîé ëèíçå äåëî îáñòîèò íå
òàê: ÷åì áëèæå ê ïðèòÿãè- S
âàþùåìó öåíòðó ïðîõîäèò
ëó÷, òåì ñèëüíåå îí ïðåëîìëÿåòñÿ è òåì ìåíüøå ðàññòî- S
ÿíèå îò öåíòðà äî òî÷êè F
ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷åé. Âìåñòî
îäíîãî ôîêóñà â ãðàâèòàöèîííîé ëèíçå âîçíèêàåò öå- S
ëàÿ ôîêàëüíàÿ îñü. Åñëè
ÿäðî ãðàâèòàöèîííîé ëèíРис. 4
çû íå ïðîïóñêàåò ñâåò, òî
ïåðåñå÷åíèå ëó÷åé âîçìîæíî òîëüêî íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìèíèìàëüíîãî ðàññòîÿíèÿ F, îïðåäåëÿåìîãî ïîñëåäíåé ôîðìóëîé.  ýòîé òî÷êå
è íà÷èíàåòñÿ ôîêàëüíàÿ îñü, êîòîðàÿ
ïðîñòèðàåòñÿ â îáëàñòü x > F.
Íà ðèñóíêå 4 ïîêàçàíî, êàê âûãëÿäèò «òî÷å÷íûé» èñòî÷íèê, åñëè ñìîòðåòü íà íåãî ñêâîçü ãðàâèòàöèîííóþ
ëèíçó. Åñëè íàáëþäàòåëü íàõîäèòñÿ
íà îñè â òî÷êå 1, ãäå x < F, òî èñòî÷íèê
S0 ñîâñåì íå âèäåí, òàê êàê îí çàêðûò
íåïðîçðà÷íûì ÿäðîì ëèíçû.  òî÷êå
2, ãäå õ = F, èçîáðàæåíèå èñòî÷íèêà
ïîÿâëÿåòñÿ ñî âñåõ ñòîðîí îò ÿäðà,
ïîýòîìó çäåñü èñòî÷íèê âèäåí êàê ñâåòÿùååñÿ êîëüöî, ïðèìûêàþùåå ê ÿäðó.
Ïðè óâåëè÷åíèè ðàññòîÿíèÿ (òî÷êà 3)
êîëüöî îòðûâàåòñÿ îò ÿäðà, ìåæäó
íèìè âîçíèêàåò çàçîð, êîòîðûé ïîñòåïåííî âîçðàñòàåò ïî ìåðå óäàëåíèÿ
íàáëþäàòåëÿ (êîëüöåâîå èçîáðàæåíèå
èñòî÷íèêà íàçûâàþò êîëüöîì Ýéíøòåéíà). Òåïåðü ïðåäñòàâèì, ÷òî óäàëåííûé íàáëþäàòåëü ñìåñòèëñÿ íà íå-
S
S
1
F
2
4
3
x
Êîëüöî Ýéíøòåéíà
êîòîðîå ðàññòîÿíèå îò îñè (òî÷êà 4).
Êàðòèíà ñòàíîâèòñÿ ñîâñåì èíîé. Ñèììåòðèÿ ëó÷åé íàðóøàåòñÿ, ñâåòÿùååñÿ
êîëüöî ðàçðûâàåòñÿ íà äâå äóãè, êîòîðûå ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò îñè ñòÿãèâàþòñÿ â ìàëåíüêèå êðóæêè. Íàáëþäàòåëü óâèäèò âìåñòî îäíîãî èñòî÷íèêà
S0 äâà åãî èçîáðàæåíèÿ: S1 è S2 .