Сколько стоит запуск спутника?

30
ÊÂÀÍT 2002/¹5
âîçäóõà â ïîìåùåíèè, òîëùèíà ñòåêëà è çàãðÿçíåííîñòü åãî
ïîâåðõíîñòè, íàëè÷èå è ñêîðîñòü âîçäóøíûõ ïîòîêîâ âáëèçè
ñòåêëà (â ÷àñòíîñòè, íàëè÷èå èëè îòñóòñòâèå ùåëåé â îêîííîé ðàìå èëè òðåùèí â ñòåêëå) è ò.ä.
Çàìå÷àòåëüíûå ëåäÿíûå óçîðû ÷àñòî îáðàçóþòñÿ çèìîé íà
ñòåêëàõ àâòîáóñîâ èëè òðîëëåéáóñîâ. Ïðè ýòîì ñëîé ëüäà
ìîæåò äîñòèãàòü íåñêîëüêèõ ìèëëèìåòðîâ. Èñòî÷íèêîì âîäÿíîãî ïàðà ÿâëÿåòñÿ, ðàçóìååòñÿ, äûõàíèå ïàññàæèðîâ.
Ñíà÷àëà íà ïîâåðõíîñòè ñòåêëà îáðàçóåòñÿ âîäÿíàÿ ïëåíêà
òîëùèíîé â íåñêîëüêî äèàìåòðîâ ìîëåêóë. Ìîëåêóëû âîäû
â íåé èñïûòûâàþò ñèëüíîå âëèÿíèå ìîëåêóë ïîâåðõíîñòè
ñòåêëà. Õîòÿ âîäà â ïëåíêå ïåðåîõëàæäåíà, íî âîçìîæíîñòè
äëÿ ïðåâðàùåíèÿ âîäû â ëåä íå âîçíèêàåò. Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ òîëùèíû ïëåíêè è óìåíüøåíèÿ âëèÿíèÿ ìîëåêóë ïîâåðõíîñòè ñòåêëà â âîäå âîçíèêàþò öåíòðû êðèñòàëëèçàöèè. Ðîñò
êðèñòàëëîâ ïðîèñõîäèò âî âñåâîçìîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ, íî
ñàìûå áîëüøèå êðèñòàëëû ðàñòóò âäîëü ïîâåðõíîñòè ñòåêëà.
Ñêîðîñòè ðîñòà êðèñòàëëà â ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ òîæå
ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àþòñÿ. Ìîæíî ïîâòîðèòü, ÷òî âçàèìíîå
Ñêîëüêî ñòîèò
çàïóñê
ñïóòíèêà?
Â.ËÀÍÃÅ
Ð
ÀÑÑÌÎÒÐÈÌ ÑÏÓÒÍÈÊ, ÎÁÐÀÙÀÞÙÈÉÑß ÂÎÊÐÓÃ
Çåìëè ïî ñðàâíèòåëüíî íèçêîé êðóãîâîé îðáèòå, âî âñåõ
òî÷êàõ êîòîðîé óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè ìîæíî ñ÷èòàòü
ðàâíûì åãî çíà÷åíèþ âáëèçè çåìíîé ïîâåðõíîñòè, ò.å.
g = 9,8 ì ñ2 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ñïóòíèêó ñîîáùàåò ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ê Çåìëå:
mv2
= mg ,
R
ãäå m – ìàññà ñïóòíèêà, v – åãî ñêîðîñòü, R – ðàäèóñ Çåìëè,
íàõîäèì êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñïóòíèêà:
Ek =
mv2 mgR
.
=
2
2
Äëÿ îöåíêè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñïóòíèêà, äâèæóùåãîñÿ
ïî íèçêîé îðáèòå, èñïîëüçóåì ïðèáëèæåíèå
Ep = mgH ,
ãäå âûñîòà îðáèòû H = R .
Ñðàâíèâàÿ äâà ïîñëåäíèõ âûðàæåíèÿ, ìû âèäèì, ÷òî
ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñïóòíèêà íà íèçêîé îðáèòå íàìíîãî
ìåíüøå åãî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, êîòîðóþ, òàêèì îáðàçîì,
ìîæíî ñ÷èòàòü ïðàêòè÷åñêè ðàâíîé ïîëíîé ýíåðãèè ñïóòíèêà
Å. Íàéäåì åå, ïîëîæèâ m = 100 êã è R = 6,4 ⋅ 106 ì :
E = 0,5 ⋅ 100 êã ⋅ 9,8 ì ñ2 ⋅ 6,4 ⋅ 106 ì =
= 3,1 ⋅ 109 Äæ = 870 êÂò ⋅ ÷ .
âëèÿíèå ñîñåäíèõ è óäàëåííûõ äðóã îò äðóãà ìîëåêóë
îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòü çàñåëåíèÿ òîé èëè èíîé «âàêàíñèè»
â ðàñòóùåì êðèñòàëëå. Ñ ýòèì, ïî-âèäèìîìó, ñâÿçàíà ôîðìà
(ñòåïåíü êðèâèçíû) ðàñòóùèõ íà ïîâåðõíîñòè ñòåêëà ëåäÿíûõ óçîðîâ. Êîãäà òîëùèíà ëåäÿíîãî ïàíöèðÿ íà ñòåêëå
ñòàíîâèòñÿ íàñòîëüêî áîëüøîé, ÷òî îòâîä òåïëà íàðóæó
çàìåäëÿåòñÿ, êðèñòàëëû ëüäà íà÷èíàþò ðàñòè â ïåðïåíäèêóëÿðíîì ñòåêëó íàïðàâëåíèè. Ñòåêëî êàê áû ïîêðûâàåòñÿ
øóáîé èç ëåäÿíûõ èãîëîê.
Ñêîðî íàñòóïèò çèìà, è âû ñìîæåòå ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì,
÷òî ñíåæèíêè äåéñòâèòåëüíî èìåþò ðàçíîîáðàçíûå ñèììåòðè÷íûå êðàñèâûå ôîðìû. Ñàìà ñíåæèíêà, ìîæíî ñêàçàòü,
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàñòûâøèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ. À åñëè,
ñèäÿ â àâòîáóñå âîçëå ïîêðûòîãî ìîðîçíûìè óçîðàìè ñòåêëà,
âû ñìîæåòå ñâîèì òåïëûì äûõàíèåì «ïðîäûøàòü» âî ëüäó
îêîøå÷êî äëÿ íàáëþäåíèÿ, îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, êàê
áûñòðî ýòî îêîøêî âíîâü çàðàñòàåò ëüäîì – êðèñòàëëû ëüäà
ðàñòóò áûñòðåå, ÷åì äâèæåòñÿ ìèíóòíàÿ ñòðåëêà âàøèõ
íàðó÷íûõ ÷àñîâ.
ïðè òàðèôå, íàïðèìåð, 56 êîïååê çà 1 êèëîâàòò-÷àñ çàïóñê
ñïóòíèêà äîëæåí, êàçàëîñü áû, ñòîèòü âñåãî îêîëî 480
ðóáëåé! Ïî÷åìó æå íà ñàìîì äåëå çàòðàòû íà îñóùåñòâëåíèå
êîñìè÷åñêèõ ïðîãðàìì ñîèçìåðèìû ñ íàöèîíàëüíûìè áþäæåòàìè íåáîëüøèõ ñòðàí?
Ðàçãàäêà ïàðàäîêñà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîëó÷åííîå íàìè
çíà÷åíèå ýíåðãèè, 870 êÂò ⋅ ÷ , íåîáõîäèìî, íî ñîâåðøåííî
íåäîñòàòî÷íî äëÿ çàïóñêà ñïóòíèêà ìàññîé 100 êã íà
îêîëîçåìíóþ îðáèòó. Ïîñêîëüêó ðàêåòà êàê òåïëîâàÿ ìàøèíà îáëàäàåò êðàéíå íèçêèì êîýôôèöèåíòîì ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ, ôàêòè÷åñêèå çàòðàòû ýíåðãèè îêàçûâàþòñÿ âî ìíîãîìíîãî ðàç áîëüøå. Äåëî â òîì, ÷òî íàðÿäó ñ ïîëåçíûì ãðóçîì
ïðèõîäèòñÿ ïîäíèìàòü òàêæå ãîðþ÷åå, íåîáõîäèìîå äëÿ
íåïðåðûâíîé ðàáîòû äâèãàòåëåé. Ïðàâäà, ðàêåòà «õóäååò»
î÷åíü áûñòðî, íî äëÿ ñîîáùåíèÿ åé æåëàòåëüíîé ñêîðîñòè
íóæíî ñæå÷ü êîëîññàëüíûå êîëè÷åñòâà òîïëèâà, ÷òî ñèëüíî
ñíèæàåò ÊÏÄ.
Äëÿ âûâîäà ôîðìóëû, ñâÿçûâàþùåé ìàññó è ñêîðîñòü
ðàêåòû, ïðèìåì ñíà÷àëà, ÷òî òîïëèâî ñãîðàåò îòäåëüíûìè
ïîðöèÿìè ìàññîé ∆M = M N , ãäå Ì – ìàññà ðàêåòû ïåðåä
âûáðîñîì èç íåå ïîðöèè ∆M , à N – äîñòàòî÷íî áîëüøîå
÷èñëî. Ïîñëå ñãîðàíèÿ ïåðâîé ïîðöèè ìàññà ðàêåòû ñòàíåò
ðàâíîé
M1 = M0 −
M0
1

= M0  1 −  .
N
N


Ïîñëå ñãîðàíèÿ âòîðîé ïîðöèè ìàññà âíîâü óìåíüøèòñÿ íà
(1/N)-þ ÷àñòü, íî óæå îò M1 , è ñòàíåò ðàâíîé
2
1
1


M2 = M1  1 −  = M0  1 −  .
N
N


Ðàññóæäàÿ òàêèì æå îáðàçîì äàëåå, íàõîäèì ìàññó ðàêåòû
ïîñëå ñãîðàíèÿ n-é ïîðöèè òîïëèâà:
n
1

Mn = M0  1 −  .
N

(1)
Ðàññìîòðèì òåïåðü, êàê ìåíÿåòñÿ ïðè ýòîì ñêîðîñòü ðàêåòû. Ïðè ñêîðîñòè èñòå÷åíèÿ ïðîäóêòîâ ãîðåíèÿ, ðàâíîé
u, ìàññà ∆M óíîñèò èìïóëüñ ∆p = u∆M . Â ñîîòâåòñòâèè
ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà òàêîé æå ïî âåëè÷èíå,
íî ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûé èìïóëüñ ïîëó÷èò ðàêåòà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî åå ñêîðîñòü óâåëè÷èòñÿ íà
∆p ( M − ∆M ) = (u ∆M ) ( M − ∆M ) . Òàêèì îáðàçîì, åñëè
ØÊÎËÀ
âíà÷àëå ðàêåòà ïîêîèëàñü, òî ïîñëå ñãîðàíèÿ ïåðâîé ïîð∆M1 = M0 N ,
èìåâøåé
èìïóëüñ
öèè
ìàññîé
∆p1 = ( M0u ) N , ñêîðîñòü ðàêåòû ñòàíåò ðàâíîé
∆p1
u
=
M1 N − 1 .
v1 =
Ïîñëå ñãîðàíèÿ âòîðîé ïîðöèè òîïëèâà ìàññîé ∆M2 = M1 N ,
óíåñøåé èìïóëüñ ∆p2 = ( M1u ) N , ñêîðîñòü ðàêåòû âîçðàñòåò íà ∆p2 ( M1 − M1 N ) è ñîñòàâèò
u
2u
=
v2 = v1 +
.
N −1 N −1
Ïðîäîëæàÿ ðàññóæäåíèÿ äàëåå, ïîëó÷èì ñêîðîñòü ðàêåòû
ïîñëå ñãîðàíèÿ n-é ïîðöèè:
nu
vn =
. (2)
N −1
Èç ðàâåíñòâ (1) è (2) ïîëó÷àåì ìàññó ðàêåòû, äîñòèãøåé
ñêîðîñòè v:
v( N −1) u
1

M = M0  1 − 
N

vu
N

1 
= M0   1 −  

N 


èëè ïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè N —
vN u
,
M = M0e −v u .
Ýòà ôîðìóëà áûëà âûâåäåíà Ê.Ý.Öèîëêîâñêèì è íîñèò åãî
èìÿ. Èç íåå õîðîøî âèäíî, ÷òî ðàêåòà ìîæåò äîñòè÷ü
áîëüøîé ñêîðîñòè, íî ïðè ýòîì îñòàâøàÿñÿ ìàññà îêàæåòñÿ
ìíîãî ìåíüøå ïåðâîíà÷àëüíîé.
Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé Öèîëêîâñêîãî, ìîæíî îöåíèòü, ñêîëüêî ãîðþ÷åãî íóæíî ñæå÷ü, ÷òîáû ñîîáùèòü ðàêåòå íåîáõîäèìóþ ñêîðîñòü. Îäíàêî äëÿ ýòîãî ñëåäóåò çíàòü îòíîñèòåëüíóþ ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ãàçîâ èç ñîïëà ðàêåòû. ×òîáû íàéòè
åå, ïðèðàâíÿåì êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ íåáîëüøîé ìàññû
∆m ãàçà, âûëåòåâøåé èç ðàêåòû çà ìàëûé èíòåðâàë âðåìåíè,
òîé õèìè÷åñêîé ýíåðãèè, êîòîðîé îáëàäàëà ýòà ìàññà äî òîãî,
êàê îíà ñãîðåëà. Îáîçíà÷èâ òåïëîòó ñãîðàíèÿ (òåïëîòâîðíóþ
ñïîñîáíîñòü) òîïëèâà ÷åðåç q, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî
îòêóäà
∆mu2
= ∆mq ,
2
u = 2q .
Òåïëîòà ñãîðàíèÿ ñìåñè êåðîñèíà ñ àçîòíîé êèñëîòîé, èíîãäà
èñïîëüçóåìîé â ðàêåòíîé òåõíèêå, ñîñòàâëÿåò ïðèáëèçèòåëüíî 6,3 ÌÄæ/êã, è ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, íå
ìîæåò ïðåâûñèòü
2 ⋅ 6,3 ⋅ 106 Äæ êã = 3,55 êì ñ .
Îäíà èç ñàìûõ áîëüøèõ âîçìîæíûõ ñêîðîñòåé èñòå÷åíèÿ
äîñòèãàåòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèÿ ðåàêöèè ãîðåíèÿ ìåòàëëè÷åñêîãî áåðèëëèÿ â àòìîñôåðå êèñëîðîäà:
Be + 0,5O2 = BeO + 0,612 Ìäæ .
8*
«ÊÂÀÍÒÅ»
31
×èñëî ìåãàäæîóëåé ñïðàâà ïîêàçûâàåò, êàêàÿ ýíåðãèÿ âûäåëÿåòñÿ ïðè âçàèìîäåéñòâèè îäíîãî ìîëÿ áåðèëëèÿ (9 ã) ñ
ïîëîâèíîé ìîëÿ êèñëîðîäà (16 ã). Ñòàëî áûòü, òåïëîòà
ñãîðàíèÿ â ýòîì ñëó÷àå ðàâíà 0,612 ÌÄæ/0,025 êã =
= 24,5 ÌÄæ/êã, à íàèáîëüøàÿ ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ãàçîâ
ñîñòàâëÿåò
2 ⋅ 24,5 ⋅ 106 Äæ êã = 7 êì ñ .
Îäíàêî â äàëüíåéøèõ ðàñ÷åòàõ ìû ïðèìåì ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ðàâíîé âñåãî 2,5 êì/ñ, ïîñêîëüêó, âî-ïåðâûõ, òàêèå
ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíûå ðåàêöèè, êàê îêèñëåíèå áåðèëëèÿ,
èñïîëüçîâàòü íåâîçìîæíî èç-çà âûñîêîé òîêñè÷íîñòè è
ñàìîãî áåðèëëèÿ è åãî ñîåäèíåíèé, à âî-âòîðûõ, ôàêòè÷åñêàÿ
ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ âñåãäà îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå ìàêñèìàëüíîé.
Òåïåðü ïî ôîðìóëå Öèîëêîâñêîãî íàõîäèì, ÷òî ïðè äîñòèæåíèè, íàïðèìåð, ïåðâîé êîñìè÷åñêîé ñêîðîñòè (7,9 êì/ñ)
êîíå÷íàÿ ìàññà ðàêåòû îêàæåòñÿ ðàâíîé
M = M0e −7,9 2,5 =
(èíäåêñ n çäåñü è äàëåå îïóùåí, ïîñêîëüêó íàäîáíîñòè â íåì
áîëüøå íåò).
Íà ñàìîì äåëå òîïëèâî â ðàêåòå ñãîðàåò íå îòäåëüíûìè
ïîðöèÿìè, à íåïðåðûâíî. Äëÿ ïåðåõîäà ê ôîðìóëå, áîëåå
ïðàâèëüíî îïèñûâàþùåé ðåàëüíûé ñëó÷àé, íóæíî ñ÷èòàòü N
÷ðåçâû÷àéíî áîëüøèì ÷èñëîì.  òàêîì ñëó÷àå åäèíèöåé â
ïîêàçàòåëå ñòåïåíè ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïîñëå ÷åãî îíî ïðèîáðåòàåò âèä
1

M = M0  1 − 
N


Â
M0 M0
=
37 .
e3,6
Èíà÷å ãîâîðÿ, ìàññà ãîðþ÷åãî äîëæíà ñîñòàâëÿòü 36/37 =
= 97,5% îò ñòàðòîâîé ìàññû ðàêåòû. Åñòåñòâåííî, ÷òî íà
äîëþ äåéñòâèòåëüíî ïîëåçíîãî ãðóçà (ýêèïàæ, ïðèáîðû è
ò.ï.) îñòàåòñÿ ñîâñåì íåìíîãî. Âîò ïî÷åìó äëÿ óìåíüøåíèÿ
áåñïîëåçíîé ìàññû, êîòîðóþ ïðèøëîñü áû ðàçãîíÿòü äî
áîëüøîé êîíå÷íîé ñêîðîñòè, ðàêåòû (ïî èäåå, âïåðâûå
âûäâèíóòîé òàêæå Öèîëêîâñêèì) äåëàþò ìíîãîñòóïåí÷àòûìè, ïðè÷åì íèæíèå ñòóïåíè ñáðàñûâàþòñÿ, êîãäà â íèõ
êîí÷àåòñÿ òîïëèâî.
Äëÿ îêîí÷àòåëüíîé îöåíêè çàòðàò íà çàïóñê ðàêåòû ââåäåì
êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ, îïðåäåëèâ åãî êàê îòíîøåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìàññû ðàêåòû, îñòàâøåéñÿ ê
ìîìåíòó äîñòèæåíèÿ íóæíîé ñêîðîñòè, ê õèìè÷åñêîé ýíåðãèè ñãîðåâøåãî òîïëèâà:
η=
Mv2 2
v2
=
( M0 − M ) q 2 ( M0 M − 1) q .
Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé Öèîëêîâñêîãî è âûðàæåíèåì äëÿ ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè èñòå÷åíèÿ ãàçîâ, ïîëó÷èì, îáîçíà÷èâ
îòíîøåíèå v/u ÷åðåç k, ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:
η=
v2
u
2
(e
vu
)
−1
=
k2
k
e −1
.
Ãðàôèê çàâèñèìîñòè η
η
îò k ïîêàçàí íà ðèñóíêå. Èç íåãî õîðîøî âèä- 0,6
íî, ÷òî ïðè ñêîðîñòè
ðàêåòû, çàìåòíî ïðåâû- 0,4
øàþùåé ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ãàçîâ, êîýôôèöè- 0,2
åíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ
ñòàíîâèòñÿ î÷åíü ìà6
8
10 k
2
0
4
ëûì. Íàïðèìåð, ïðè
k = 10 êîýôôèöèåíò ñîñòàâëÿåò 0,45%. Ýòî óæå ìàëàÿ âåëè÷èíà, íî â äåéñòâèòåëüíîñòè äåëî îáñòîèò åùå âî ìíîãî ðàç õóæå.