ВЕКТОРНОЕ РАССЛОЕНИЕ АБЕЛЕВЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

Òåçèñû ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ¾Äèíàìèêà â Ñèáèðè¿
ÂÅÊÒÎÐÍÎÅ ÐÀÑÑËÎÅÍÈÅ ÀÁÅËÅÂÛÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÎÂ ÍÀÄ
ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÌÈ ÒÅÉÕÌÞËËÅÐÀ ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÅÉ
Ñ ÏÐÎÊÎËÀÌÈ
ÂÈÊÒÎÐ ÂÀÑÈËÜÅÂÈ× ×ÓÅØÅÂ, ÀËÅÍÀ ÀËÅÊÑÅÅÂÍÀ ÊÀÇÀÍÖÅÂÀ
Òåîðèÿ ôóíêöèé íà êîìïàêòíûõ ðèìàíîâûõ ïîâåðõíîñòÿõ ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò
òåîðèè ôóíêöèé íà êîíå÷íûõ ðèìàíîâûõ ïîâåðõíîñòÿõ äàæå äëÿ êëàññà àáåëåâûõ (îäíîçíà÷íûõ) äèôôåðåíöèàëîâ. Ïóñòü
F
ôèêñèðîâàííàÿ ãëàäêàÿ êîìïàêòíàÿ îðèåíòèðîg
âàííàÿ ïîâåðõíîñòü ðîäà g ≥ 2, ñ îòìå÷àíèåì {ak , bk }k=1 äëÿ π1 (F ), à F0 êîìïàêòíàÿ
ðèìàíîâà ïîâåðõíîñòü ñ ôèêñèðîâàííîé êîìïëåêñíî-àíàëèòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé íà F. Çà0
ôèêñèðóåì ðàçëè÷íûå òî÷êè P1 , . . . , Pn ∈ F. Ïóñòü F = F \{P1 , . . . , Pn } ïîâåðõíîñòü
0
òèïà (g, n), n ≥ 1, g ≥ 2, è Γ ôóêñîâà ãðóïïà ïåðâîãî ðîäà, èíâàðèàíòíî äåéñòâóþùàÿ
0
0
â êðóãå U = {z ∈ C : |z| < 1} è F0 = U/Γ . Ëþáàÿ äðóãàÿ êîìïëåêñíî-àíàëèòè÷åñêàÿ
0
0
ñòðóêòóðà íà F çàäàåòñÿ íåêîòîðûì äèôôåðåíöèàëîì Áåëüòðàìè µ íà F0 , ò. å. âûðàæå-
µ(z)dz/dz, êîòîðîå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî âûáîðà ëîêàëüíîãî ïàðàìåòðà íà
µ(z) êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ íà F00 . Ýòó ñòðóêòóðó íà F 0 áóäåì îáîçíà÷àòü
0
0
÷åðåç Fµ . q -äèôôåðåíöèàëîì îòíîñèòåëüíî ôóêñîâîé ãðóïïû Γ íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàë
q
0 q
0
ω(z)dz òàêîé, ÷òî ω(T z)(T z) = ω(z), z ∈ U, T ∈ Γ . Äèâèçîðîì íà Fµ íàçîâåì ôîðìàëüíîå
nk
n1
ïðîèçâåäåíèå D = P1 . . . Pk , Pj ∈ Fµ , nj ∈ Z, j = 1, . . . , k.
1
q
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ω ( α1
; Fµ ) ïðè q > 1 ïðîñòðàíñòâî q -äèôôåðåíöèàëîâ íà
α
Q ...Q l Q
...Q
íèåì âèäà
F00 ,
ãäå
1
Fµ , êðàòíûõ äèâèçîðó
ïîïàðíî ðàçëè÷íû, à ÷åðåç
íà
l
l+1
1
α
α
Q1 1 ...Ql l Ql+1 ...Qs
s
, ãäå α1 , . . . , αl ≥ 2, s ≥ 1, 0 ≤ l ≤ s è òî÷êè Q1 , . . . , Qs
Ωq (1; Fµ ) ïîäïðîñòðàíñòâî ãîëîìîðôíûõ q -äèôôåðåíöèàëîâ
Fµ .
Ðàññìîòðèì íàáîðû
q -äèôôåðåíöèàëîâ:
(1)
(2)
(α )
(1)
(2)
(α )
τq,Q1 , τq,Q1 , . . . , τq,Q11 , . . . , τq,Ql , τq,Ql , . . . , τq,Ql l , τq,Q1 Ql+1 , . . . , τq,Q1 Qs ,
èëè
ïðè
(1)
(2)
(α )
(1)
(2)
(α )
τq,Q1 , τq,Q1 , . . . , τq,Q11 , . . . , τq,Ql , τq,Ql , . . . , τq,Ql l , τq,Ql+1 , . . . , τq,Qs ,
l ≥ 1, q > 1;
(1)
τq,Q1 , τq,Q2 Q1 , . . . , τq,Qs Q1 ,
èëè
(1)
(1)
τq,Q1 , . . . , τq,Qs ,
ïðè
(1)
(2)
(3)
(4)
l = 0, q > 1.
Òåîðåìà 1.
Âåêòîðíîå ðàññëîåíèå
E=
S
[µ]
Ωq ( Qα1 ...Qαl1Q
1
l
l+1 ...Qs
; Fµ )/Ωq (1; Fµ )
áóäåò ãîëî-
ìîðôíûì âåêòîðíûì ðàññëîåíèåì ðàíãà α1 + · · · + αl + s − l íàä Tg , ãäå g ≥ 2, α1 , ..., αl ≥
2, s ≥ 1, 0 ≤ l ≤ s, q > 1 è òî÷êè Q1 , . . . , Qs ïîïàðíî ðàçëè÷íû. Ïðè ýòîì êëàññû
ñìåæíîñòè q -äèôôåðåíöèàëîâ èç íàáîðîâ (1), (2), (3), (4) äàþò áàçèñ ëîêàëüíî ãîëîìîðôíûõ ñå÷åíèé ýòîãî ðàññëîåíèÿ íàä Tg .
1
2
ÂÈÊÒÎÐ ÂÀÑÈËÜÅÂÈ× ×ÓÅØÅÂ, ÀËÅÍÀ ÀËÅÊÑÅÅÂÍÀ ÊÀÇÀÍÖÅÂÀ
Ðàññìîòðèì äèàãðàììó
E0 = ∪
Ωq ( Qα1 ...Qαl1Q
1
l
l+1 ...Qs
, Fµ0 ) ∩ M1
Ωq (1, Fµ0 ) ∩ M1
↓
Tg,n
→∪
Ωq ( Qα1 ...Qαl1Q
→
1
l
l+1 ...Qs
, Fµ )
Ωq (1, Fµ )
=E
↓
Tg .
(5)
Òåîðåìà 2. Äèàãðàììà (5) ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíîé äèàãðàììîé èç ãîëîìîðôíûõ
âåêòîðíûõ ðàññëîåíèé, ó êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùèå ñëîè èçîìîðôíû, è ãîëîìîðôíûõ
n!-ëèñòíûõ îòîáðàæåíèé íàä áàçàìè èç ïðîñòðàíñòâ Òåéõìþëëåðà.
References
[1] ×óåøåâ Â.Â., ßêóáîâ Ý.Õ. Ìóëüòèïëèêàòèâíûå òî÷êè Âåéåðøòðàññà íà êîìïàêòíîé
ðèìàíîâîé ïîâåðõíîñòè,
Ñèá. ìàò. æóðí., Òîì 43, 6, 1408-1429 (2002).
[2] Òóëèíà Ì.È., ×óåøåâ Â.Â. Äèôôåðåíöèàëû Ïðèìà íà ïåðåìåííîé êîìïàêòíîé ðèìàíîâîé ïîâåðõíîñòè.
Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè. Òîì 95, 3, 459-476 (2014).
×óåøåâ Âèêòîð Âàñèëüåâè÷,
Êåìåðîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò,
óë. Êðàñíàÿ, 6,
650043, Êåìåðîâî, Ðîññèÿ
E-mail address :
vvchueshev ngs ru
Êàçàíöåâà Àëåíà Àëåêñååâíà,
Ãîðíî-Àëòàéñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò,
óë. Ëåíêèíà, 1,
649000, Ãîðíî-Àëòàéñê, Ðîññèÿ
E-mail address :
[email protected]