Основные цели и задачи курса: Основные темы курса:

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò (ÃÓ)
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, îñåíü 2013
Ïðîãðàììà êóðñà
Âñå ìàòåðèàëû ïî êóðñó âûêëàäûâàþòñÿ íà ñàéòàõ
dm.fizteh.ru è ru.discrete-mathematics.org.
Îñíîâíûå öåëè è çàäà÷è êóðñà:
• Âûðàáîòàòü íàâûê ñòðóêòóðèðîâàííîãî ëîãè÷åñêîãî ìûøëåíèÿ.
• Îñâîèòü îáùåìàòåìàòè÷åñêóþ òåðìèíîëîãèþ (ìíîæåñòâà, îòíîøåíèÿ, ôóíêöèè).
• Íàó÷èòüñÿ äàâàòü ôîðìàëüíûå îïðåäåëåíèÿ è ïðèâîäèòü ïðèìåðû îïðåäåëÿåìûõ
îáúåêòîâ.
• Íàó÷èòüñÿ ñòðîèòü ôîðìàëüíûå çàïèñè ìàòåìàòè÷åñêèõ óòâåðæäåíèé è èõ äîêàçàòåëüñòâ è ðàáîòàòü ñ ýòèìè çàïèñÿìè.
• Íàó÷èòüñÿ ïðîâîäèòü ìàòåìàòè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ, íå îñíîâàííûå íà êîíêðåòíûõ
ñâîéñòâàõ ðàññìàòðèâàåìûõ îáúåêòîâ.
Îñíîâíûå òåìû êóðñà:
1.
Ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâà è ïîäìíîæåñòâà, ïðîñòåéøèå îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè. Óïîðÿäî÷åííûå ïàðû è êîðòåæè, äåêàðòîâî
ïðîèçâåäåíèå. Îòîáðàæåíèÿ è ñîîòâåòñòâèÿ. Ïîíÿòèÿ îáðàçà è ïðîîáðàçà. Èíúåêöèè, ñþðúåêöèè è áèåêöèè. Êîìïîçèöèÿ è îáðàòíîå îòîáðàæåíèå. Ñðàâíåíèå
ìîùíîñòåé è ïîíÿòèå ðàâíîìîùíîñòè. Òåîðåìà Êàíòîðà-Áåðíøòåéíà. Ñ÷¼òíûå
è íåñ÷¼òíûå ìíîæåñòâà, èõ ñâîéñòâà. Òåîðåìà Êàíòîðà. Îòíîøåíèÿ íà ìíîæåñòâàõ. Ñâîéñòâà áèíàðíûõ îòíîøåíèé. Îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè, òåîðåìà î
êëàññàõ ýêâèâàëåíòíîñòè. Îòíîøåíèÿ ÷àñòè÷íîãî è ëèíåéíîãî ïîðÿäêà. Ìèíèìàëüíûå/ìàêñèìàëüíûå è íàèìåíüøèå/íàèáîëüøèå ýëåìåíòû. Ñâîéñòâà óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. Îïåðàöèè íàä óïîðÿäî÷åííûìè ìíîæåñòâàìè. Èçîìîðôèçìû
óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ.
2. Ëîãèêà âûñêàçûâàíèé. Áóëåâû ïåðåìåííûå è ôóíêöèè. Ïîñòðîåíèå ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë. Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèÿ ôîðìóëû íà íàáîðå çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ. Òàáëèöû èñòèííîñòè. Òàâòîëîãèè è ïðîòèâîðå÷èÿ. Ïðèâåäåíèå ôîðìóë ê
ÊÍÔ è ÄÍÔ. Ìíîãî÷ëåíû Æåãàëêèíà. Ïîëíûå ñèñòåìû ñâÿçîê, òåîðåìà Ïîñòà.
3. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé. Àêñèîìû è ïðàâèëà âûâîäà èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Êîððåêòíîñòü èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Ëåììà î äåäóêöèè. Ïîëíîòà
èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé. Íåïðîòèâîðå÷èâûå è ñîâìåñòíûå ñåìåéñòâà ôîðìóë.
Òåîðåìà î êîìïàêòíîñòè äëÿ ïðîïîçèöèîíàëüíûõ ôîðìóë.
4. ßçûêè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ïîíÿòèå ñèãíàòóðû. Ïîñòðîåíèå ôîðìóë ïåðâîãî ïîðÿäêà: òåðìû, àòîìàðíûå ôîðìóëû, ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè è êâàíòîðû. Ïàðàìåòðû
ôîðìóëû. Ïîíÿòèå çàìêíóòîé ôîðìóëû. Èíòåðïðåòàöèÿ ñèãíàòóðû. Èñòèííîñòü
ôîðìóëû â äàííîé èíòåðïðåòàöèè íà äàííîé îöåíêå. Âûïîëíèìîñòü è îáùåçíà÷èìîñòü ôîðìóë ïåðâîãî ïîðÿäêà. Çàìåíà ñâÿçàííîé ïåðåìåííîé. Ïðåäâàð¼ííàÿ
íîðìàëüíàÿ ôîðìà. Âûðàæåíèå ïðåäèêàòîâ â äàííîé èíòåðïðåòàöèè ôîðìóëàìè
ïåðâîãî ïîðÿäêà. Èçîìîðôèçìû è àâòîìîðôèçìû èíòåðïðåòàöèé. Ïðèìåðû íåâûðàçèìûõ ïðåäèêàòîâ. Ìåòîä ýëèìèíàöèè êâàíòîðîâ. Ýëåìåíòàðíàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü èíòåðïðåòàöèé. Èãðû Ýðåíôîéõòà.
Ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ ìíîæåñòâ.
5.
Àêñèîìû è ïðàâèëà âûâîäà èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Ïðàâèëî îáîáùåíèÿ. Ëåììà î äåäóêöèè äëÿ èñ÷èñëåíèÿ
ïðåäèêàòîâ. Êîððåêòíîñòü èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Íåïðîòèâîðå÷èâûå è ñîâìåñòíûå òåîðèè. Òåîðèè è ìîäåëè. Ïîëíûå è ýêçèñòåíöèàëüíî ïîëíûå òåîðèè. Òåîðåìà üäåëÿ î ïîëíîòå èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Ñåìàíòè÷åñêîå ñëåäîâàíèå. Òåîðåìà
Ìàëüöåâà î êîìïàêòíîñòè.
Èñ÷èñëåíèå ïðåäèêàòîâ è òåîðèÿ ìîäåëåé.
Ëèòåðàòóðà:
1. Âåðåùàãèí Í.Ê., Øåíü À. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå. ×àñòü I. Íà÷àëà
òåîðèè ìíîæåñòâ. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2002. (Ýëåêòðîííàÿ âåðñèÿ äîñòóïíà íà ñòðàíèöå
http://www.mccme.ru/free-books)
2. Âåðåùàãèí Í.Ê., Øåíü À. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå. ×àñòü II. ßçûêè
è èñ÷èñëåíèÿ. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2002. (Ýëåêòðîííàÿ âåðñèÿ äîñòóïíà íà ñòðàíèöå
http://www.mccme.ru/free-books)
3. Ìåíäåëüñîí Ý. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. Ì.: Íàóêà, 1984.
4. Óñïåíñêèé Â.À., Âåðåùàãèí Í.Ê., Ïëèñêî Â.Å. Ââîäíûé êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2004
5. Ëàâðîâ È.À., Ìàêñèìîâà Ë.Ë. Çàäà÷è ïî òåîðèè ìíîæåñòâ, ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå
è òåîðèè àëãîðèòìîâ. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2002.
6. Ïåíòóñ Ì.Ð. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. Êîíñïåêò ëåêöèé íà ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ, âåñíà 2006.
http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/mehmat/vmlk06le.pdf
7. Ïëèñêî Â.Å. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Êîíñïåêò.
http://lpcs.math.msu.su/~plisko/matlog.pdf
8. Bilaniuk, S., A Problem Course in Mathematical Logic.
http://euclid.trentu.ca/math/sb/pcml
Äîïîëíèòåëüíàÿ ëèòåðàòóðà:
9. Êëèíè Ñ.Ê. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà. Ì.: Ìèð, 1973.
10. Ñìàëëèàí Ð. Êàê æå íàçûâàåòñÿ ýòà êíèãà? Ì.: Ìèð, 1981.
11. Ëèíäîí Ð. Çàìåòêè ïî ëîãèêå. Ì.: Ìèð, 1968.
12. Ìàíèí Þ.È. Äîêàçóåìîå è íåäîêàçóåìîå. Ì.: Ñîâåòñêîå ðàäèî, 1979.
13. Õîôøòàäòåð Ä. üäåëü, Ýøåð, Áàõ: ýòà áåñêîíå÷íàÿ ãèðëÿíäà. Ñàìàðà: Áàõðàõ-Ì,
2001.
ïðîõîäÿò ïî ñðåäàì â 15:30 â àóäèòîðèè 113 ÃÊ, ÷èòàåò Ìóñàòîâ Ä.Â.
Ñåìèíàðû ïðîõîäÿò ïî ïîíåäåëüíèêàì è ñðåäàì, èõ âåäóò Êóäèíîâ À. Â. (ïí, àóä.
422ÃÊ; ãð. 392, 12:20; ãð. 391, 13:55), Ñîðîêèí À.À. (ãð. 293, ñð, àóä. 416à ÃÊ, 17:05)
è Äàéíÿê À.Á. ( ãð. 398, ñð, àóä. 422ÃÊ, 17:05). Íà ñåìèíàðàõ ðàçáèðàþòñÿ çàäà÷è è
ñëîæíûå ìîìåíòû èç òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà. Ðàñøèðåííûå ñïèñêè çàäà÷ ãîòîâÿòñÿ
ïî êàæäîé ñåìèíàðñêîé òåìå è ïóáëèêóþòñÿ íà ñòðàíèöå êóðñà.
Ñàìîñòîÿòåëüíûå ðàáîòû íà 1015 ìèíóò ïðîâîäÿòñÿ íà ñåìèíàðàõ. Ýòè ðàáîòû
íå âëèÿþò íà èòîãîâûå îöåíêè, íî ñëóæàò äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ óñâîåíèÿ ìàòåðèàëà.
Äîìàøíèå çàäàíèÿ âûäàþòñÿ è ïðîâåðÿþòñÿ ïî óñìîòðåíèþ ïðåïîäàâàòåëÿ, âåäóùåãî ñåìèíàðû.
Êîíòðîëüíûå ðàáîòû è çà÷¼ò.  òå÷åíèå ñåìåñòðà ïðîâîäÿòñÿ òðè êîíòðîëüíûå
ðàáîòû (ïðåäâàðèòåëüíûå äàòû: 7/9 îêòÿáðÿ, 18/20 íîÿáðÿ, 16/18 äåêàáðÿ), íà êàæäîé
äà¼òñÿ 4 îáû÷íûå çàäà÷è è 2 çàäà÷è ïîâûøåííîé òðóäíîñòè. Êàæäàÿ çàäà÷à îöåíèâàåòñÿ
èç 10 áàëëîâ. Ïîñëå êàæäîé êîíòðîëüíîé äà¼òñÿ ñïèñîê äîïîëíèòåëüíûõ çàäà÷, êîòîðûå
ìîæíî ñäàâàòü â òå÷åíèå ñåìåñòðà èëè íà çà÷¼òå èñõîäÿ èç 5 áàëëîâ çà çàäà÷ó. Ïðè ýòîì
çàñ÷èòûâàåòñÿ íå áîëåå 4 çàäà÷ ïî êàæäîé êîíòðîëüíîé, áàëëû ñêëàäûâàþòñÿ ñ îöåíêîé
çà êîíòðîëüíóþ, íî ñóììàðíûé áàëë ïî êàæäîé çàäà÷å íå ìîæåò ïðåâûøàòü 10.  èòîãå
ïî êàæäîé êîíòðîëüíîé èìååòñÿ îöåíêà: x1 , x2 , x3 . Îöåíêà çà äèôôåðåíöèðîâàííûé
çà÷¼ò ñòàâèòñÿ ïî ôîðìóëå:
Ëåêöèè
max{1, min{10, 0.1(x1 + x2 + x3 ) − 2, 0.5 · min{x1 , x2 , x3 } − 5}}
Íàïðèìåð, ÷òîáû ïîëó÷èòü îòë(8), íóæíî â ñóììå çà 3 êîíòðîëüíûå íàáðàòü íå ìåíüøå
100 áàëëîâ, à çà êàæäóþ îòäåëüíóþ êîíòðîëüíóþ íå ìåíüøå 26.
Ýêçàìåí ïðîéä¼ò âåñíîé ïî ãîäîâîìó êóðñó. Ïî òåìàì ïåðâîãî ñåìåñòðà áóäóò äàíû
îäèí òåîðåòè÷åñêèé âîïðîñ è îäíà çàäà÷à. Ðåøåíèåì ïðåïîäàâàòåëÿ ñòóäåíò ìîæåò áûòü
îñâîáîæä¼í îò çàäà÷è ïî èòîãàì ðàáîòû íà ñåìèíàðàõ, âûïîëíåíèÿ äîìàøíèõ çàäàíèé,
ðåøåíèÿ çàäà÷, íàïèñàíèÿ ñàìîñòîÿòåëüíûõ è êîíòðîëüíûõ.