С.А. Бутерин ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

ÓÄÊ 517.984
Ñ.À. Áóòåðèí
ÎÁÐÀÒÍÀß ÇÀÄÀ×À ÄËß ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ
ÏÓ×ÊΠÂÒÎÐÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ
Ñ ÓÑËÎÂÈßÌÈ ÄÈÐÈÕËÅ
1.
Ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó L := L(q0 (x), q1 (x)) âèäà
y ′′ + (ρ2 − 2ρq1 (x) − q0 (x))y = 0,
0 < x < π,
(1)
y(0) = y(π) = 0,
(2)
j
ãäå qj (x) ∈ W1 [0, π] êîìïëåêñíîçíà÷íûå ôóíêöèè, à ρ ñïåêòðàëüíûé
ïàðàìåòð.  ñòàòüå èññëåäóåòñÿ îáðàòíàÿ çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ ïó÷êà L ïî
ñïåêòðàëüíûì õàðàêòåðèñòèêàì.  êà÷åñòâå îñíîâíîé ñïåêòðàëüíîé õàðàêòåðèñòèêè èñïîëüçóåòñÿ ôóíêöèÿ Âåéëÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ àíàëîãîì êëàññè÷åñêîé
ôóíêöèè Âåéëÿ äëÿ îïåðàòîðà Øòóðìà Ëèóâèëëÿ. Ïîêàçàíà ýêâèâàëåíòíîñòü ôóíêöèè Âåéëÿ çàäàíèþ ñïåêòðîâ äâóõ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ
(1) ñ îäíèì îáùèì êðàåâûì óñëîâèåì, à òàêæå ñïåêòðó âìåñòå ñ òàê íàçûâàåìûìè âåñîâûìè ÷èñëàìè. Ñ ïîìîùüþ ðàçâèòèÿ èäåé ìåòîäà ñïåêòðàëüíûõ
îòîáðàæåíèé [1, 2] äîêàçàíà åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è. Îòìåòèì, ÷òî îáðàòíàÿ çàäà÷à äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ ïó÷êîâ âòîðîãî ïîðÿäêà
ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ïðè íåêîòîðîì äîïîëíèòåëüíîì îãðàíè÷åíèè, îáåñïå÷èâàþùåì, â ÷àñòíîñòè, ïðîñòîòó ñïåêòðà, èññëåäîâàëàñü â [3]
è äðóãèõ ðàáîòàõ ìåòîäîì îïåðàòîðà ïðåîáðàçîâàíèÿ.  [4] ðåøåíà îáðàòíàÿ çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1) íà ïîëóîñè ïî
ôóíêöèè Âåéëÿ.
2. Ïóñòü ôóíêöèè S(x, ρ), S1 (x, ρ), C(x, ρ) è Ψ(x, ρ) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè
óðàâíåíèÿ (1) è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì S(0, ρ) = S1 (π, ρ) = C ′ (0, ρ) =
Ψ(π, ρ) = 0, S ′ (0, ρ) = −S1′ (π, ρ) = C(0, ρ) = Ψ(0, ρ) = 1. Ôóíêöèè Ψ(x, ρ)
è M (ρ) := Ψ′ (0, ρ) íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ðåøåíèåì Âåéëÿ è ôóíêöèåé
Âåéëÿ ïó÷êà L. Îáîçíà÷èì hy, zi := yz ′ − y ′ z. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ρn ,
|n| ∈ N, êðàåâîé çàäà÷è (1), (2) ñîâïàäàþò ñ íóëÿìè åå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé
ôóíêöèè ∆(ρ) := hS1 (x, ρ), S(x, ρ)i = S(π, ρ) = S1 (0, ρ). Èìååì
Ψ(x, ρ) = C(x, ρ) + M (ρ)S(x, ρ) =
S1 (x, ρ)
,
∆(ρ)
M (ρ) = −
∆1 (ρ)
,
∆(ρ)
(3)
ãäå ∆1 (ρ) = −S1′ (0, ρ) õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êðàåâîé çàäà÷è äëÿ
óðàâíåíèÿ (1) ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè y ′ (0) = y(π) = 0. Îáîçíà÷èì ρ1n , n ∈ Z,
åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî {ρn } ∩ {ρ1n } = ∅. Òàêèì îáðàçîì,
M (ρ) ìåðîìîðôíàÿ ôóíêöèÿ ñ ïîëþñàìè ρn è íóëÿìè ρ1n . Ïîëîæèì
Q(x) =
Z
0
x
q1 (t) dt,
ω=
1
Q(π),
π
Gαδ = {ρ : |ρ − k − α| ≥ δ, k ∈ Z}.
6
Èçâåñòíûì ìåòîäîì (ñì., íàïðèìåð, [2]) äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ
Ëåììà 1. Èìåþò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèÿ:
ρS(x, ρ) = sin(ρx − Q(x)) + η(x, ρ),
ρS1 (x, ρ) = sin(ρ(π − x) − Q(π) + Q(x)) + η1 (x, ρ),
)
(4)
ãäå
(ν)
η (x, ρ),
(ν)
η1 (π
ðàâíîìåðíî ïî
1
− x, ρ) = O 1−ν exp(|Imρ|x) ,
ρ
x ∈ [0, π].
|ρ| → ∞,
ν = 0, 1, (5)
Êðîìå òîãî,
1 sin(ρ − ω)π 1+O
,
∆(ρ) =
ρ−ω
ρ
∆1 (ρ) = cos(ρ − ω)π 1 + O
1 ρ
,
|ρ| → ∞,
|ρ| → ∞,
ρ ∈ Gωδ ,
ω+ 21
ρ ∈ Gδ
(6)
.
(7)
Èñïîëüçóÿ (6), (7) è òåîðåìó Ðóøå, èçâåñòíûì ìåòîäîì [2] ïîëó÷àåì, ÷òî
1
1
ρn = n + ω + O
,
=n− +ω+O
, |n| → ∞.
(8)
n
2
n
Áåç óùåðáà äëÿ îáùíîñòè áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ρn 6= ρk ïðè nk < 0.
Îáîçíà÷èì mn êðàòíîñòü ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ ρn (ρn = ρn+1 = . . . =
ρn+mn −1 ) è ïîëîæèì S := {n : n ∈ Z \ {0, 1}, ρn−1 6= ρn } ∪ {1}. Ñîãëàñíî (8)
äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ |n| èìååì mn = 1. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà êîíòóðíîãî
èíòåãðèðîâàíèÿ äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
1
ρ1n
Òåîðåìà 1. Ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå
M (ρ) =
n −1
X mX
n∈S ν=0
Mn+ν
.
(ρ − ρn )ν+1
Êîýôôèöèåíòû Mn , |n| ∈ N, íàçûâàþòñÿ âåñîâûìè ÷èñëàìè. Îíè îáîáùàþò êëàññè÷åñêèå âåñîâûå ÷èñëà äëÿ ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà Øòóðìà Ëèóâèëëÿ, ÿâëÿþùèåñÿ âåëè÷èíàìè ñêà÷êîâ åãî ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè. Êàê
è äëÿ íåñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà Øòóðìà Ëèóâèëëÿ [5], ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå ÷èñåë Mn ÷åðåç ñîáñòâåííûå è ïðèñîåäèíåííûå ôóíêöèé
ïó÷êà L.
Ñ ïîìîùüþ àñèìïòîòèê (6)(8) è òåîðåìû Àäàìàðà î ðàçëîæåíèè öåëîé
ôóíêöèè êîíå÷íîãî ïîðÿäêà â áåñêîíå÷íîå ïðîèçâåäåíèå äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
7
Òåîðåìà 2.
Ñïðàâåäëèâû ïðåäñòàâëåíèÿ
1
Y ρ −ρ
ρ sin ωπ
n
exp
− π ctg ωπ ρ
exp
∆(ρ) =
,
ω
ω
n+ω
n+ω
ω∈
/ Z, (9)
|n|∈N
ρ1n − ρ
ρ
∆1 (ρ) = cos ωπ exp(πρ tg ωπ)
exp
,
1
1
n
−
n
−
+
ω
+
ω
2
2
n∈Z
Y
ω−
1
∈
/ Z.
2
(10)
ω âíîñÿò íåçíà÷èòåëüíûå èçìåíåíèÿ.)
Çàìåòèì, ÷òî èç àñèìïòîòèêè (8) âåëè÷èíà ω îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî
öåëîãî ñëàãàåìîãî, è ïîýòîìó ôóíêöèè ∆(ρ), ∆1 (ρ) ñîãëàñíî (9), (10) îïðåäåëÿþòñÿ ïî ñâîèì íóëÿì ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà. Îäíàêî ôóíêöèÿ Âåéëÿ M (ρ)
ñîãëàñíî (3), (9), (10) îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñïåêòðàì {ρn }|n|∈N , {ρ1n }n∈Z îäíîçíà÷íî. Òàêèì îáðàçîì, çàäàíèå ôóíêöèè Âåéëÿ M (ρ) ðàâíîñèëüíî çàäàíèþ äâóõ
ñïåêòðîâ {ρn }|n|∈N , {ρ1n }n∈Z èëè ñïåêòðàëüíûõ äàííûõ {ρn , Mn }|n|∈N .
Îáðàòíàÿ çàäà÷à ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: çàäàíà ôóíêöèÿ
Âåéëÿ M (ρ), íàéòè L. Äîêàæåì òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ îáðàòíîé
çàäà÷è. Äëÿ ýòîãî íàðÿäó ñ L áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïó÷îê L̃ = L(q̃0 (x), q̃1 (x)).
Óñëîâèìñÿ, ÷òî åñëè íåêîòîðûé ñèìâîë α îáîçíà÷àåò îáúåêò, îòíîñÿùèéñÿ ê
L, òî α̃ îáîçíà÷àåò àíàëîãè÷íûé îáúåêò, îòíîñÿùèéñÿ ê L̃, è α̂ = α − α̃.
Òåîðåìà 3. Åñëè M (ρ) = M̃ (ρ), òî L = L̃, òî åñòü q1 (x) ≡ q̃1 (x) è
q0 (x) = q̃0 (x) ïî÷òè âñþäó íà [0, π].
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó P (x, ρ) = [Pjk (x, ρ)]j,k=1,2 , îïðåäåëÿåìóþ ðàâåíñòâîì
S̃(x, ρ) Ψ̃(x, ρ)
S(x, ρ) Ψ(x, ρ)
.
(11)
P (x, ρ)
=
S ′ (x, ρ) Ψ′ (x, ρ)
S̃ ′ (x, ρ) Ψ̃′ (x, ρ)
(Ñëó÷àè äðóãèõ çíà÷åíèé
Òàê êàê hS(x, ρ), Ψ(x, ρ)i = −1, òî
Pj1 (x, ρ) = Ψ(j−1) (x, ρ)S̃ ′ (x, ρ) − S (j−1) (x, ρ)Ψ̃′ (x, ρ),
Pj2 (x, ρ) = S
(j−1)
(j−1)
(x, ρ)Ψ̃(x, ρ) − Ψ
(x, ρ)S̃(x, ρ).
)
(12)
Ñîãëàñíî (3)(6) äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî δ > 0 áóäåì èìåòü
P11 (x, ρ) = cos Q̂(x) + O
1
ρ
,
1
sin Q̂(x)
+O 2
P12 (x, ρ) = −
ρ
ρ
(13)
ïðè |ρ| → ∞, ρ ∈ Gωδ ðàâíîìåðíî ïî x ∈ [0, π]. Êðîìå òîãî, (3), (12) äàþò
P11 (x, ρ) = C(x, ρ)S̃ ′ (x, ρ) − S(x, ρ)C̃ ′ (x, ρ) + M̂ (ρ)S(x, ρ)S̃ ′ (x, ρ),
P12 (x, ρ) = S(x, ρ)C̃(x, ρ) − C(x, ρ)S̃(x, ρ) − M̂ (ρ)S(x, ρ)S̃(x, ρ).
8
Ïîñêîëüêó M̂ (ρ) = 0, äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî x ∈ [0, π] ôóíêöèè
P1j (x, ρ), j = 1, 2, ÿâëÿþòñÿ öåëûìè àíàëèòè÷åñêèìè ïî ρ, ÷òî âìåñòå ñ
(13) äàåò P11 (x, ρ) ≡ cos Q̂(x), P12 (x, ρ) ≡ 0. Òàêæå èìååì sin Q̂(x) ≡ 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, Q̂(x) ≡ πα, ãäå α ∈ Z.  ñèëó íåïðåðûâíîñòè Q̂(x) ÷èñëî
α íå çàâèñèò îò x, è ïîýòîìó Q̂(x) ≡ 0, òî åñòü q1 (x) ≡ q̃1 (x). Ïîëó÷àåì
P11 (x, ρ) ≡ 1. Ñîãëàñíî (11) ïîëó÷àåì S(x, ρ) = S̃(x, ρ), è ñëåäîâàòåëüíî,
q0 (x) = q̃0 (x) ïî÷òè âñþäó íà [0, π].
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ãðàíòîâ Ïðåçèäåíòà ÐÔ
äëÿ ãîñóäàðñòâåííîé ïîääåðæêè ìîëîäûõ ðîññèéñêèõ ó÷åíûõ è âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë (ïðîåêòû ÌÊ-1701.2007.1 è ÍØ-2970.2008.1), ÐÔÔÈ è ÍÍÑ
(ïðîåêòû 07-01-00003, 07-01-92000-ÍÍÑ-à).
ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ
1. Yurko V. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and
Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 2002.
2. Þðêî Â.À. Ââåäåíèå â òåîðèþ îáðàòíûõ ñïåêòðàëüíûõ çàäà÷. Ì.: Ôèçìàòëèò, 2007.
3. Ãàñûìîâ Ì.Ã., Ãóñåéíîâ Ã.Ø. Îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà äèôôóçèè ïî ñïåêòðàëüíûì
äàííûì // ÄÀÍ Àçåðá. ÑÑÐ. 1981. Ò.37, 2. Ñ.1923.
4. Þðêî Â.À. Îáðàòíàÿ çàäà÷à äëÿ ïó÷êîâ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ // Ìàòåì.
ñá. 2000. T.191, 10. C.137160.
5. Buterin S.A. On inverse spectral problem for non-selfadjoint Sturm Liouville operator
on a nite interval // J. Math. Anal. Appl. 2007. V.335. Issue 1. 739749.
ÓÄÊ 512.7
À.Ì. Âîäîëàçîâ
ÀËÃÅÁÐÛ ÖÅËÎÇÍÀ×ÍÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
ÄËß ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÒÎÐΠÌÀËÎÉ ÐÀÇÌÅÐÍÎÑÒÈ
Ïóñòü k ïîëå p-àäè÷åñêèõ ÷èñåë, O êîëüöî öåëûõ p-àäè÷åñêèõ. T àëãåáðàè÷åñêèé k -òîð.  ðàáîòàõ [1-3] ðàññìàòðèâàåòñÿ àëãåáðà
A = {f ∈ k[T ] | f (Uk ) ⊂ O} ,
ãäå Uk ìàêñèìàëüíàÿ êîìïàêòíàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû T (k). Ýòà àëãåáðà
ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ïðè èññëåäîâàíèè öåëûõ ìîäåëåé àëãåáðàè÷åñêèõ òîðîâ. Îíà èìååò áåñêîíå÷íûé íàáîð îáðàçóþùèõ.  [1] áûë ïîñòàâëåí ðÿä âîïðîñîâ îá èçó÷åíèå ñâîéñòâ ýòîé àëãåáðû.  ÷àñòíîñòè, âîïðîñ î íàõîæäåíèè
îáðàçóþùèõ äëÿ ðàçëîæèìûõ òîðîâ T = Gnm . Îáðàçóþùèå äëÿ ðàçëîæèìûõ
òîðîâ áûëè íàéäåíû â ðàáîòå [4].
Äàëüíåéøèå èçó÷åíèå àëãåáðû A ìîæíî ïðîâîäèòü â äâóõ íàïðàâëåíèÿõ. Âî-ïåðâûõ, ïåðåõîäèòü ê áîëåå ñëîæíûì êëàññàì àëãåáðàè÷åñêèõ òîðîâ,
9