Теорема Брауэра-Зигеля для торов над функциональным полем

Òåîðåìà Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ òîðîâ íàä
ôóíêöèîíàëüíûì ïîëåì è
äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû
Êóíÿâñêîãî-Öôàñìàíà.
Êóáðàê Äìèòðèé
Êëàññè÷åñêàÿ òåîðåìà Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ ÷èñëîâîãî ïîëÿ K ñâÿçûâàåò
ðîñò ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñëà êëàññîâ è ðåãóëÿòîðà hK RK ñ ðîñòîì äèñêðèìèíàíòà DK . Öèìåðìàí â ñâîåé ñòàòüå [11] ñôîðìóëèðîâàë è äîêàçàë àíàëîã òåîðåìû Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ íàä Q. Ýòà ðàáîòà îáîáùàåò ðåçóëüòàò Öèìåðìàíà íà ñëó÷àé ôóíêöèîíàëüíûõ ïîëåé. Òàêæå ìû äîêàçûâàåì íåêîòîðóþ àñèìïòîòè÷åñêóþ ôîðìóëó äëÿ ñåìåéñòâà
ïóëë-áýêîâ ôèêñèðîâàííîãî òîðà, è èç íå¼ âûâîäèì ãèïîòåçó ÊóíÿâñêîãîÖôàñìàíà, ïðåäïîëîæåííóþ èìè â ñòàòüå [5].
1 Íàïîìèíàíèå îá àðèôìåòè÷åñêèõ òîðàõ
1.1
1.2
1.3
Àðèôìåòè÷åñêèå òîðû . . . . . . . . . . . . .
Îãðàíè÷åíèå ñêàëÿðîâ . . . . . . . . . . . . .
Èíâàðèàíòû àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ . . . . .
1.3.1 ×èñëî êëàññîâ hT . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Ïîðÿäîê êðó÷åíèÿ wT . . . . . . . . .
1.3.3 L-ôóíêöèÿ è êâàçè-âû÷åò ρT . . . . .
1.3.4 Ìåðû è ÷èñëî Òàìàãàâû τT . . . . . .
1.3.5 Êâàçè-äèñêðèìèíàíò DT . . . . . . . .
1.3.6 Ôîðìóëà Øèðà äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
ïîëÿ.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Òåîðåìà Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
3
4
5
6
6
7
8
8
9
3 Àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà äëÿ ÷èñëà êëàññîâ è äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû Êóíÿâñêîãî-Öôàñìàíà
12
Êëàññè÷åñêàÿ òåîðåìà Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ ÷èñëîâîãî ïîëÿ K ñâÿçûâàåò
ðîñò ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñëà êëàññîâ è ðåãóëÿòîðà hK RK ñ ðîñòîì äèñêðèìèíàíòà DK , ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ íà ïîëå K , íàïðèìåð íà îãðàíè÷åííîñòü
åãî ðàçìåðíîñòè íàä K . Äëÿ ýòîãî, c îäíîé ñòîðîíû èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà
Äèðèõëå äëÿ âû÷åòà äçåòà-ôóíêöèè ζK (s) â òî÷êå s = 1, à ñ äðóãîé ñòîðîíû îãðàíè÷èâàåòñÿ ðîñò L(χ, 1) äëÿ âñåõ íåòðèâèàëüíûõ õàðàêòåðîâ ãðóïïû
Gal(K, Q). Öèìåðìàí â ñâîåé ñòàòüå [11] ñôîðìóëèðîâàë è äîêàçàë àíàëîã
òåîðåìû Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ íàä Q
äëÿ ôèêñèðîâàííûõ ðàçìåðíîñòè òîðà è ñòåïåíè ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ. Îí çàìåíèë ôîðìóëó Äèðèõëå íà íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíóþ ôîðìóëó Øèðà è
1
ïîêàçàë, ÷òî ïîÿâëÿþùèåñÿ â ýòîé ôîðìóëå íîâûå âåëè÷èíû òàêæå ðàñòóò
íå ñëèøêîì áûñòðî.
Ýòà ðàáîòà îáîáùàåò ðåçóëüòàò Öèìåðìàíà íà ñëó÷àé ôóíêöèîíàëüíûõ ïîëåé.  ôóíêöèîíàëüíîì ñëó÷àå óäà÷íûé àíàëîã ðåçóëüòàòà ÁðàóýðàÇèãåëÿ äà¼òñÿ ôîðìóëîé Öôàñìàíà-Âëýäóöà [1, Ÿ3.2]. Èñïîëüçóÿ åå, ìîæíî
óñïåøíî àäàïòèðîâàòü ðàññóæäåíèÿ Öèìåðìàíà äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ïîëåé, ÷òî è äåòàëüíî ðàçáèðàåòñÿ â ýòîé ðàáîòå.
Äàëåå ìû äîêàçûâàåì äðóãîé àñèìïòîòè÷åñêèé ðåçóëüòàò, â îáùåì-òî
èìåþùèé ñòîëüêî æå ïðàâ íàçûâàòüñÿ òåîðåìîé Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ òîðîâ,
ñêîëüêî ðåçóëüòàò Öèìåðìàíà. À èìåííî, äîêàçûâàåòñÿ ãèïîòåçà ÊóíÿâñêîãîÖôàñìàíà, ïðåäïîëîæåííàÿ èìè â ñòàòüå [5]. Äëÿ ýòîãî ìû, èñïîëüçóÿ Ql ïó÷êè íà êðèâûõ, äîêàçûâàåì àñèìïîòè÷åñêóþ ôîðìóëó äëÿ L-ôóíêöèè
è, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Øèðà, âûâîäèì èç íå¼ àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò ïðî
òîðû (ôîðìóëà (12)), èç êîòîðîãî óæå ñëåäóåò óïîìèíàåìàÿ ãèïîòåçà.
 ïåðâîé ÷àñòè äà¼òñÿ êðàòêîå, íî ïî âîçìîæíîñòè ìàêñèìàëüíî èíôîðìàòèâíîå íàïîìèíàíèå î òîðàõ.
Áîëüøîå ñïàñèáî Ëåøå Çûêèíó è Ìèøå Ôèíêåëüáåðãó çà ìíîæåñòâî
êðàéíå ïîëåçíûõ äëÿ ìåíÿ áåñåä, áåç êîòîðûõ ÿ ñîâåðøåííî òî÷íî íè÷åãî
áû íå ñäåëàë.
Âñå êðèâûå â òåêñòå áóäóò ïðåäïîëàãàòüñÿ ãëàäêèìè ïðîåêòèâíûìè, K
áóäåò îáîçíà÷àòü ñåïåðàáåëüíîå çàìûêàíèå ïîëÿ K , è âñå ðàñøèðåíèÿ, èçîãåíèè, è ò.ä., äëÿ ïðîñòîòû òàêæå áóäóò ïðåäïîëàãàòüñÿ ñåïåðàáåëüíûìè.
Âñå èñïîëüçóåìûå óòâåðæäåíèÿ âðîäå áû òàêæå ìîãóò áûòü ïåðåíåñåíû è
íà íåñåïåðàáåëüíûé ñëó÷àé (ñì. [9]), íî âî èçáåæàíèå íåäîðàçóìåíèé è âåðîÿòíûõ îøèáîê, âñå æå íå áóäåì åãî êàñàòüñÿ.
1 Íàïîìèíàíèå îá àðèôìåòè÷åñêèõ òîðàõ
1.1 Àðèôìåòè÷åñêèå òîðû
Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ãðóïïà Gm íàä ïîëåì K ýòî àôôèííàÿ ãðóïîâàÿ
ñõåìà, çàäàâàåìàÿ àëãåáðîé Õîïôà K[t, t−1 ] ñ êîåäèíèöåé ε : K[t, t−1 ] → K ,
ε(t) = 1, êîóìíîæåíèåì ∆ : K[t, t−1 ] → K[t, t−1 ]⊗K[t, t−1 ], ∆(t) = t⊗t, è àíòèïîäîì ι : K[t, t−1 ] → K[t, t−1 ], i(t) = t−1 . Êàê ñõåìà íàä K , Gm ïðîñòî èçîìîðôíà A1 {0}, à ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïîé ýòà ñõåìà ÿâëÿåòñÿ â ñìûñëå
ôóíêòîðà òî÷åê. À èìåííî, ôóíêòîð M èç êàòåãîðèè ñõåì íàä K â àáåëåâû
ãðóïïû, îòïðàâëÿþùèé ñõåìó X â Γ(X, OX )× , ïðåäñòàâèì SpecK[t, t−1 ] (òî
åñòü M (−) ∼
= MorK−Sch (−, SpecK[t, t−1 ])), à âûøå îïðåäåëåííûå êîåäèíèöà,
êîóìíîæåíèå è àíòèïîä íà K[t, t−1 ] çàäàþò ôóíêòîðèàëüíûå ïî X åäèíèöó,
óìíîæåíèå è îáðàòíûé ýëåìåíò â MorK−Sch (X, SpecK[t, t−1 ]), ñîâïàäàþùèå
ñî ñòàíäàðòíûìè åäèíè÷íûì ñå÷åíèåì, óìíîæåíèåì ñå÷åíèé è îáðàòíûì
ñå÷åíèåì â Γ(X, OX )× .
Àðèôìåòè÷åñêèé òîð T ðàçìåðîñòè d íàä ïîëåì K ýòî àôôèííàÿ
ãðóïïîâàÿ ñõåìà, òàêàÿ ÷òî T ×K K ∼
= Gdm . Ñ áîëåå ãåîìåòðè÷íîé òî÷êè çðåíèÿ ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî àðèôìåòè÷åñêèé òîð ýòî Gdm -òîðñîð íàä SpecK ,
îáëàäàþùèé åäèíè÷íûì ñå÷åíèåì. Ãðóïïà àâòîìîðôèçìîâ AutK (Gdm ) èçîìîðôíà GLd (Z), ïðè÷åì åñòåñòâåííîå äåéñòâèå ãðóïïû Ãàëóà Gal(K/K) íà
íåé òðèâèàëüíî, òàê êàê âñå àâòîìîðôèçìû ðåàëüíî îïðåäåëåíû íàä K .
2
Íà óðîâíå àëãåáðû Õîïôà ìàòðèöà A = (aij ) ∈ GLd (Z) îïðåäåëÿåò îòîáQd
aij
±
±
±
ðàæåíèå ϕA : K[t±
1 , . . . , td ] → K[t1 , . . . , td ], ϕA (ti ) =
j=1 tj . Ïîýòîìó
d-ìåðíûå òîðû íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíîîäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ êîãîìî1
ëîãèÿìè Het
(SpecK, GLd (Z)) ñïåêòðà ïîëÿ k â ïîñòîÿííîì ïó÷êå GLd (Z),
êîòîðûå åñòåñòâåííûì îáðàçîì èçîìîðôíû (êàê ìíîæåñòâà ñ îòìå÷åííûì
ýëåìåíòîì) ïåðâûì êîãîìîëîãèÿì H 1 (Gal(K/K)), GLd (Z)) ãðóïïû Ãàëóà â
òðèâèàëüíîì ìîäóëå GLd (Z). Òàê êàê äåéñòâèå ãðóïïû òðèâèàëüíî, òî ïîñëåäíåå ìíîæåñòâî ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì ãðóïïîâûõ ãîìîìîðôèçìîâ èç
àáñîëþòíîé ãðóïïû Ãàëóà â GLd (Z), òî åñòü ñî ìíîæåñòâîì d-ìåðíûõ öåëî÷èñëåííûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû Gal(k/k).
Ó ïîëó÷åííîãî ñîîòâåòñòâèÿ òîðîâ ñ öåëî÷èñëåííûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè åñòü áîëåå ÿâíîå îïèñàíèå. À èìåííî, ñ êàæäûì òîðîì ñâÿçàíà ãðóïïà ìóëüòèïëèêàòèâíûõ õàðàêòåðîâ X(T ), ðàâíàÿ ïî îïðåäåëåíèþ ãðóïïå
ñõåìíî-ãðóïïîâûõ ãîìîìîðôèçìîâ HomK (T, Gm ). X(T ) ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîé
àáåëåâîé ãðóïïîé ðàíãà d è ñíàáæàåòñÿ ñòðóêòóðîé ìîäóëÿ íàä àáñîëþòíîé
ãðóïïîé Ãàëóà Gal(K/K): χσ (t) = χ(σ −1 )σ . Ýòîò ìîäóëü íåñåò â ñåáå ðîâíî ñòîëüêî èíôîðìàöèè ñêîëüêî è ñàì òîð, à èìåííî ôóíêòîð X , îòïðàâëÿþùèé òîð T â Gal(K/K)-ìîäóëü X(T ) ÿâëÿåòñÿ àíòè-ýêâèâàëåíòíîñòüþ
êàòåãîðèé àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ è öåëî÷èñëåííûõ êîíå÷íîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû Gal(K/K) ñîîòâåòñòâåííî
Òîð T íàçûâàåòñÿ ðàçëîæèìûì íàä ïîëåì L, åñëè ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííûé íàä L èçîìîðôèçì T ñ Gdm , èëè ýêâèâàëåíòíûì îáðàçîì, åñëè
ãðóïïà õàðàêòåðîâ X(T ) ÿâëÿåòñÿ òðèâèàëüíûì ìîäóëåì äëÿ ïîäãðóïïû
Gal(K/L). Ïîëåì ðàçëîæåíèÿ òîðà T íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîå òàêîå ðàñøèðåíèå L ïîëÿ K . Çàìåòèì, ÷òî òàêèì îáðàçîì êàòåãîðèÿ ðàçëîæèìûõ
íàä L òîðîâ àíòè-ýêâèâàëåíòíà êàòåãîðèè öåëî÷èñëåííûõ ïðåäñòàâëåíèé
ãðóïïû Gal(L/K).
Ìîðôèçì òîðîâ (êàê ãðóïïîâûõ ñõåì) ϕ : T → T 0 íàçûâàåòñÿ èçîãåíèåé,
åñëè ÿäðî ϕ êîíå÷íàÿ ãðóïïîâàÿ ñõåìà èëè ýêâèâàëåíòíî, åñëè ìîðôèçì
èõ õàðàêòåðîâ X(ϕ) : X(T 0 ) → X(T ) èìååò êîíå÷íîå êîÿäðî. Ñòåïåíü èçîãåíèè degϕ ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíà ïîðÿäêó ýòîãî êîÿäðà. Êàê õîðîøî èçâåñòíî, äëÿ òàêîãî ìîðôèçìà ϕ íàéäóòñÿ ìîðôèçìû Z[Gal(K/K)]-ìîäóëåé
ψ1 , ψ2 : X(T ) → X(T 0 ), òàêèå, ÷òî X(ϕ) ◦ ψ1 = (×n), ψ2 ◦ X(ϕ) = (×n)
óìíîæåíèþ íà n äëÿ X(T ) è X(T 0 ), äëÿ íåêîòîðîãî öåëîãî ÷èñëà n, ïî
ìîäóëþ ìåíüøåãî ÷åì degϕ. Åñëè âçÿòü ìîðôèçìû X −1 (ψ1 ) è X −1 (ψ2 ), òî
êîìïîçèöèè X −1 (ψ1 ) ◦ ϕ è ϕ ◦ X −1 (ψ2 ) áóäóò ðàâíû îòîáðàæåíèÿì âîçâåäåíèÿ â n-óþ ñòåïåíü äëÿ T è T 0 . Íàëè÷èå ýòèõ ìîðôèçìîâ íàì â äàëüíåéøåì
î÷åíü ïðèãîäèòñÿ. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî X(φ)Q óæå îñóùåñòâëÿåò èçîìîðôèçì ìåæäó X(T 0 ) ⊗Z Q è X(T ) ⊗Z Q, òàê êàê êîÿäðî X(ϕ) êîíå÷íî, à Q
ÿâëÿåòñÿ ïëîñêèì Z-ìîäóëåì. È íàîáîðîò, åñëè X(ψ)Q èçîìîðôèçì äëÿ
íåêîòîðîãî ìîðôèçìà òîðîâ ψ , òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ó X(ψ) êîÿäðî êîíå÷íî,
à çíà÷èò ψ èçîãåíèÿ. Ïîýòîìó èçîãåíè÷íûå òîðû îòâå÷àþò öåëî÷èñëåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì, êîòîðûå ñòàíîâÿòñÿ èçîìîðôíûìè ïîñëå òåíçîðíîãî
óìíîæåíèÿ íà Q.
1.2 Îãðàíè÷åíèå ñêàëÿðîâ
Ïóñòü L êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå ïîëÿ K . Åñòåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ êàê
ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé êàòåãîðèè òîðîâ íàä L è K ñîîòâåòñòâåííî. Ïåðåõîäÿ
ê ãðóïïàì õàðàêòåðîâ X(T ) ìû âèäèì, ÷òî èìååòñÿ åñòåñòâåííîå âëîæå3
íèå ôóíêòîðîì èíäóöèðîâàíèÿ êàòåãîðèè ïðåäñòàâëåíèé H = Gal(K/L) â
êàòåãîðèþ ïðåäñòàâëåíèé G = Gal(K/K):
IndG
H : Z[H]−M od → Z[G]−M od,
IndG
H (M ) = M ⊗Z[H] Z[G].
Ïðè âçãëÿäå íà òîð êàê íà ãðóïïîâûþ ñõåìó, ýòîò ôóíêòîð îêàçûâàåòñÿ
ñîâïàäàþùèì ñ äðóãèì åñòåñòâåííûì ôóíêòîðîì: ôóíêòîðîì îãðàíè÷åíèÿ
ñêàëÿðîâ ResL/K èç êàòåãîðèè ñõåì íàä L â êàòåãîðèþ ñõåì íàä K . Ïóñòü
X ñõåìà íàä L, òîãäà ResL/K (X) ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäñòàâëÿåò ôóíêòîð
MorL−Sch (Y ×K L, X) êàê ôóíêòîð ïî Y ∈ K − Sch.
 ñëó÷àå, êîãäà X àôôèííà, ResL/K (X) ñóùåñòâóåò è îïèñûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî ÿâíî. Êîíñòðóêöèÿ áîëåå èëè ìåíåå çàêëþ÷àåòñÿ â äîáàâëåíèè ôîðìàëüíûõ ïåðåìåííûõ, îòâå÷àþùèõ áàçèñó L/K ñ ñîîòíîøåíèÿìè
èõ óìíîæåíèÿ â ýòîì ïîëå. À èìåííî, ïóñòü 1, e1 . . . , edim(L/K)−1 P
ýòî áàçèñ
ïîëÿ K íàä ïîëåì K è ïóñòü gij (y1 , . . . , ydim(L/K)−1 ) = yi yj − bij − k aijk yk ,
ãäå bij è aijk îïðåäåëÿþòñÿ
òåì êàê óìíîæàþòñÿ ìåæäó ñîáîé áàçèñíûå âåêP
òîðà: ei ej = bij + k aijk ek . Ïóñòü òàêæå L[X] ∼
= L[x1 , . . . , xn ]/(f1 , . . . , fm ).
Òîãäà K[ResL/K (X)] âûãëÿäèò êàê K[x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ydim(L/K)−1 ]/(f˜s , gij )
ïî âñåì s, i è j , ãäå f˜s ïîëó÷àþòñÿ èç fs ïîäñòàíîâêîé âèåñòî ýëåìåíòîâ èç
L ñîîòâåòñòâóþùèõ K -ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé yi .
Íîðìåííûì òîðîì ðàñøèðåíèÿ L/K ïî îïðåäåëåíèþ íàçûâàåòñÿ òîð
ResL/K Gm . Òåîðåìà Áðàóýðà îá èíäóêöèè ãîâîðèò, ÷òî åñëè ρ : G → GLd (Q)
ðàöèîíàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G â âåêòîðíîì ïðîñòàíñòâå Vρ , òî
íàéäóòñÿ ïîäãðóïïû Hi , Kj è ÷èñëà m, ni , mj òàêèå, ÷òî
M
M
∼
IndG
IndG
ρm
Hi I =
Kj I,
i
j
ãäå I òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå. Ïîýòîìó, ïåðåâîäÿ ýòî óòâåðæäåíèå
íà ÿçûê òîðîâ, ïîëó÷àåì, ÷òî ëþáîé òîð â íåêîòîðîé ñòåïåíè "âèðòóàëüíî"èçîãåíåí íîðìåííûì, à èìåííî, åñëè Li ïîëÿ èíâàðèàíòîâ ïîäãðóïï
Hi , Mj ïîäãðóïï Kj , à T òîð ñîîòâåòñòâóþùèé ïðåäñòàâëåíèþ ρ, òî
ñóùåñòâóåò èçîãåíèÿ
M
M
Tm
ResLi /K Gm ∼
ResMj /K Gm .
i
j
Ýòî óòâåðæäåíèå äëÿ íàñ êðàéíå âàæíî, îíî ïîçâîëÿåò, ïðè ïðàâèëüíîé
îöåíêå íà èçìåíåíèÿ ïðè èçîãåíèè, ñâîäèòü çàäà÷ó î âû÷èñëåíèè ðàçëè÷íûõ èíâàðèàíòîâ òîðà ê ñëó÷àþ íîðìåííûõ íîðìåííûõ òîðîâ, êîòîðûå â
íåêîòîðîì ñìûñëå ïðàêòè÷åñêè íå îòëè÷àþòñÿ îò Gm .
1.3 Èíâàðèàíòû àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ
Íàñ äàëåå áóäåò èíòåðåñîâàòü ñëó÷àé, êîãäà K ýòî Fq (C) ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé íåêîòîðîé êðèâîé C íàä Fq . Ïóñòü x çàìêíóòàÿ òî÷êà
íà êðèâîé, Fq,x = Fqdeg x ïîëå âû÷åòîâ â òî÷êå x, qx = |Fq,x | ÷èñëî
òî÷åê â í¼ì, Kx ïîïîëíåíèå K ïî ñîîòâåòñòâóþùåìó äèñêðåòíîìó íîðìèðîâàíèþ, à Ox ýëåìåíòû Kx ñ íîðìîé ìåíüøå 1. Îïðåäåëèì Tx êàê
çàìåíó áàçû T ×K Kx (êàê ãðóïïîâóþ ñõåìó íàä Kx , òàê è çíà÷åíèÿ å¼ íà
4
Kx , ÷òî èìåííî áóäåò ïîíÿòíî èç êîíòåêñòà), è X(T )x êàê HomK x (Tx , Gm ).
Îáîçíà÷èì çà T (Ox ) ìàêñèìàëüíóþ êîìïàêòíóþ ïîäãðóïïó â Tx , èëè ýêâèâàëåíòíî, íî áîëåå ÿâíî, ìíîæåñòâî t ∈ Tx òàêèõ, ÷òî äëÿ ëþáîãî χ ∈ X(T )x ,
×
χ(t) ëåæèò â Ox .
Âñå ðàñøèðåíèÿ ïîëÿ K ÿâëÿþòñÿ ïîëÿìè ôóíêöèé L = Fqs (X), êðèâûõ X íàä Fqs äëÿ íåêîòîðîãî s, ãäå ñàìî ðàñøèðåíèå çàäà¼òñÿ cõåìíûì
ðàçâåòâëåííûì íàêðûòèåì X → C .  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ResL/K ìû äëÿ ïðîñòîòû ââåäåì îáîçíà÷åíèå ResX/C .
 ýòîé ÷àñòè ìû îïðåäåëèì ðàçëè÷íûå èíâàðèàíòû äëÿ àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ íàä ôóíêöèîíàëüíûìè ïîëÿìè. Îïðåäåëÿåìûå íàìè èíâàðèàíòû ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè Îíî, ÷òî îçíà÷àåò ïî îïðåäåëåíèþ, ÷òî îíè
èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî îãðàíè÷åíèÿ ñêàëÿðîâ è ìóëüòèïëèêàòèâíû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ñóììû òîðîâ. Èíâàðèàíòíîñòü èõ îòíîñèòåëüíî ôóíêòîðà Res ñëåäóåò èëè èç àäåëüíîãî ñïîñîáà îïðåäåëåíèÿ (hT è wT ), èëè
áëàãîäàðÿ íîðìèðîâî÷íûì ìíîæèòåëÿì (τT è DT ), èëè êàê ñëåäñòâèå ãåîìåòðè÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ (ρT ). Òàêæå çäåñü ìû äîêàæåì àíàëîã ôîðìóëû
Øèðà â ôóíêöèîíàëüíîì ñëó÷àå. Ïîäðîáíåå îáî âñåõ ýòèõ èíâàðèàíòàõ íàïèñàíî â [7] èëè [9].
1.3.1 ×èñëî êëàññîâ hT
Ïóñòü |C| ìíîæåñòâî çàìêíóòûõ òî÷åê êðèâîé C íàä Fq . Àäåëè T (AC )
òîðà T íàä ïîëåì K = Fq (C) îïðåäåëÿþòñÿ êàê òî÷êè T íàä K -àëãåáðîé
àäåëåé AC êðèâîé C . Äðóãèìè ñëîâàìè, ýòî îãðàíè÷åííîå ïðîèçâåäåíèå
T (AC ) =
Y
,
T (Kx )
x∈|C|
îòíîñèòåëüíî íàáîðà ïîäãðóïï T (Ox ), ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ îçíà÷àåò, ÷òî
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü a = (ax ), ax ∈ T (Kx ) ëåæèò â T (AC ), åñëè âñå ax êðîìå
êîíå÷íîãî ÷èñëà ëåæàò â T (Ox ). T (AC ) îáëàäàåò åñòåñòâåííîé òîïîëîãèåé îãðàíè÷åííîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ãäå áàçà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ ñîñòîèò èç
ìíîæåñòâ âèäà
Y
Y
U=
Ux ×
T (Ox ),
x∈S
x∈|C|\S
ãäå S ⊂ |C| íåêîòîðîå êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî òî÷åê, à Ux ïðîèçâîëüíîå
îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî
Q T (Kx ).
Ïóñòü T c (AC ) = x∈|C| T (Ox ) ìàêñèìàëüíàÿ êîìïàêòíàÿ ïîäãðóïïà â
T (AC ), íàçûâàåìàÿ êîíå÷íûìè àäåëÿìè. Ïîäãðóïïà èíâàðèàíòîâ X(T )Gal(K/K)
ÿâëÿåòñÿ â òî÷íîñòè ïîäãðóïïîé õàðàêòåðîâ îïðåäåëåííûõ íàä ïîëåì K , è
êàæäûé òàêîé õàðàêòåð χ îïðåäåëÿåò îïðåäåëåííûé íàä Kx õàðàêòåð χx
×
äëÿ ëþáîãî x ∈ |C|. Âñå âìåñòå îíè äàþò õàðàêòåð χA : T (AC ) → A×
C . Èç AC
â ñâîþ
P î÷åðåäü åñòü îòîáðàæåíèå ord â Z, îòïðàâëÿþùåå ýëåìåíò (fx ) ∈ AC
â
x ord(fx ) · degx, ãäå degx ðàçìåðíîñòü Fq,x íàä Fq . Âûáèðàÿ áàçèñ
χ1 , . . . , χr â X(T )Gal(K/K) ïîëó÷àåì îòîáðàæåíèå ordT èç T (AC ) â Zr , îòïðàâëÿþùåå ýëåìåíò a = (ax ) â (ord ◦ χ1 (ax ), . . . , ord ◦ χr (ax )). Åäèíè÷íûå
èäåëè T 1 (AC ) òîðà T ýòî ïðîñòî ÿäðî îòîáðàæåíèÿ ordT . Ãðóïïà êëàññîâ
CLT òîðà T îïðåäåëÿåòñÿ êàê äâîéíîé ôàêòîð:
5
CLT := T (K)\T 1 (AC )/T c (AC ).
Ãðóïïà CLT âñåãäà êîíå÷íà ïî ðåçóëüòàòó Îíî [6], è ÷èñëî êëàññîâ hT îïðåäåëÿåòñÿ êàê å¼ ïîðÿäîê.
Ïóñòü òåïåðü L = Fq (X) ⊃ K ðàñøèðåíèå ïîëåé ñîîòâåòñòâóþùåå
ðàçâåòâëåííîìó íàêðûòèþ ϕ : X → C è T òîð íàä L. Òîãäà íåñëîæíî
ïîíÿòü, ÷òî èìåþòñÿ èçîìîðôèçìû
Y
(ResX/C T )(Kx ) ∼
T (Ky )
=
y∈ϕ−1 (x)
Y
(ResX/C T )(Ox ) ∼
=
T (Oy )
y∈ϕ−1 (x)
, êîòîðûå äàþò èçîìîðôèçì àäåëüíûõ ãðóïï T (AX ), T c (AX ), T 1 (AX ), ñ
àäåëüíûìè ãðóïïàìè (ResX/C T )(AC ), (ResX/C T )c (AC ), (ResX/C T )1 (AC ) ñîîòâåòñòâåííî. Ïîýòîìó ÷èñëî êëàññîâ íå ìåíÿåòñÿ ïðè îãðàíè÷åíèè ñêàëÿðîâ.
 ñëó÷àå, êîãäà òîð T = Gm , ãðóïïà êëàññîâ èçîìîðôíà ãðóïïå JacC (Fq )
òî÷åê ßêîáèàíà êðèâîé C , îïðåäåëåííûõ íàä Fq , à ÷èñëî êëàññîâ hC ñîîòâåòñòâåííî ÷èñëó ýòèõ òî÷åê.
1.3.2 Ïîðÿäîê êðó÷åíèÿ wT
Ãðóïïà êðó÷åíèÿ T tors (AC ) òîðà T îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïåðåñå÷åíèå T (K) ∩
T c (AC ), à wT êàê å¼ ïîðÿäîê.  ñëó÷àå Gm îíî ïðîñòî ðàâíî ïîäãðóïïå
Fq (C)tors êîðíåé èç åäèíèöû â Fq (C)× , òî åñòü âëîæåííîìó òóäà F×
q . Ïîðÿäîê êðó÷åíèÿ wT íå ìåíÿåòñÿ ïðè îãðàíè÷åíèè ñêàëÿðîâ ðîâíî ïî òîé æå
ïðè÷èíå, ÷òî è ÷èñëî êëàññîâ.
1.3.3
L-ôóíêöèÿ è êâàçè-âû÷åò ρT
Ïóñòü ρ : Gal(Fq (C), Fq (C)) → GLd (Z) öåëî÷èñëåííîå ïðåäñòàâëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå òîðó T íàä Fq (C). Âûáåðåì ïðîñòîå l - q , ïîìíîæèì òåíçîðíî ρ íàä Z íà Ql è íàçîâåì ïîëó÷åííîå ïðåäñòàâëåíèå Vρ . Çàôèêñèðóåì
êàêîå-íèáóäü âëîæåíèå Ql â C. Èíòåðåñóþùàÿ íàñ ôóíêöèÿ L(Vρ , s) îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
Y
Y
L(Vρ , s) :=
Lx (Vρ , s) :=
det(1 − Frx qx−s |VρIx ),
x∈C
x∈C
ãäå F rx ýëåìåíò Ôðîáåíèóñà, qx ïîðÿäîê ïîëÿ âû÷åòîâ, VρIx èíâàðèàíòû Vρ îòíîñèòåëüíî ãðóïïû èíåðöèè. Vρ çàäà¼ò êîíñòðóêòèâíûé Ql ïó÷îê
íà C , êîòîðûé îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: âûêèíåì èç C âñå òî÷êè âåòâëåíèÿ (òî÷êè x òàêèå, ÷òî ρ(Ix ) 6= 1, ãäå Ix ñîîòâåòñòâóþùàÿ òî÷êå
x ïîäãðóïïà èíåðöèè) ïðåäñòàâëåíèÿ ρ. Ïóñòü U ïîëó÷èâøååñÿ îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî è i : U ,→ C åãî åñòåñòâåííîå âëîæåíèå. Òîãäà íà U
ïðåäñòàâëåíèå ρ çàäàåò ÷åñòíóþ Ql -ëîêàëüíóþ ñèñòåìó Lρ , êîòîðóþ íàäî
ïðîäîëæèòü ôóíêòîðîì i∗ íà âñþ C . Ïîäïðåäñòàâëåíèå V Ix ïðîñòî ÿâëÿåòñÿ ñëîåì ïó÷êà Fρ = i∗ Lρ â òî÷êå x, ïîýòîìó ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ
6
L-ôóíêöèè èñêëþ÷èòåëüíî â òåðìèíàõ ýòîãî ïó÷êà:
Y
L(Vρ , s) =
det(1 − Frx qx−s |Fρ,x ),
x∈C
ãäå x ëþáàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ òî÷êà, ëåæàùàÿ íàä òî÷êîé x, à Fρ,x ñëîé
ïó÷êà F â ýòîé òî÷êå, íà êîòîðîì åñòåñòâåííûì äåéñòâóåò Ôðîáåíèóñ Frx .
Âûðàæåíèÿ ïîäîáíîãî ñîðòà äëÿ ëþáîãî êîíñòðóêòèâíîãî Ql -ïó÷êà ñâîðà÷èâàþòñÿ â êîãîìîëîãè÷åñêóþ ôîðìóëó Ãðîòåíäèêà ([2],[3]):
L(Vρ , s) =
1
(C, Fρ ))
det(1 − Fr q −s |Het
0
2 (C, F )) ,
det(1 − Fr q −s |Het (C, Fρ ))det(1 − Fr q −s |Het
ρ
(1)
 ñëó÷àå, êîãäà T = Gm , ïó÷îê Fρ = Ql îäíîìåðíûé ïîñòîÿííûé, è â
êà÷åñòâå L-ôóíêöèè ìû ïîëó÷àåì ïðîñòî L-ôóíêöèþ êðèâîé C . L-ôóíêöèÿ
óâàæàåòñÿ ôóíêòîðîì Res: åñëè ϕ : X → C ðàçâåòâëåííîå íàêðûòèå, ñîîòâåòñòâóþùåå Fq (C) = K ⊂ L = Fq (X), è T òîð íàä L ñ ïðåäñòàâëåíèåì
ρ, òî èìååòñÿ åñòåñòâåííûé èçîìîðôèçì
∼
FIndG
= ϕ∗ Fρ ,
Hρ
ãäå H è G ðàâíû êàê è ðàíüøå Gal(K/L) è Gal(K/K) ñîîòâåòñòâåííî. Êîãîìîëîãèè Fρ ýòî ïðîèçâîäíûå ôóíêòîðû ïðÿìîãî îáðàçà ïðè ìîðôèçìå
â òî÷êó pX :X → Spec Fq , êîòîðûé ìîæíî ïðîïóñòèòü ñ ïîìîùüþ ϕ ÷åðåç
pC : C → Spec Fq . Ïîñêîëüêó ó ϕ∗ ñòàðøèå ïðîèçâîäíûå ôóíêòîðû ðàâíû
i
i
(X, Fρ ). À çíà(C, ϕ∗ Fρ ) ∼
íóëþ, èìååì åñòåñòâåííûé èçîìîðôèçì Het
= Het
÷èò, áëàãîäàðÿ êîãîìîëîãè÷åñêîé ôîðìóëå,
L(Vρ , s) = L(VIndG
, s).
Hρ
Ïóñòü òåïåðü r ðàçìåðíîñòü èíâàðèàíòíîé ÷àñòè â ïðåäñòàâëåíèè Vρ .
Òîãäà L(Vρ , s) èìååò ïîëþñ â òî÷êå s = 1 ïîðÿäêà r. Äëÿ òîðîâ âèäà ResX/C
ýòî òàê, ïîñêîëüêó è ðàçìåðíîñòü èíâàðèàíòîâ , è ïîðÿäîê ïîëþñà â òî÷êå
s = 1 ó L-ôóíêöèè ðàâíû 1. À äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ýòî ñëåäóåò
èç òåîðåìû îá èíäóêöèè Áðàóýðà, ïîñêîëüêó L-ôóíêöèÿ î÷åâèäíî ìóëüòèïëèêàòèâíà îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ñóììû ïðåäñòàâëåíèé. Êâàçè-âû÷åò ρT
L(Vρ ,s)
òåïåðü îïðåäåëÿåòñÿ ïðîñòî êàê lims→1 (s−1)
r .
1.3.4 Ìåðû è ÷èñëî Òàìàãàâû τT
Çàôèêñèðóåì èíâàðèàíòíóþ ôîðìó îáúåìà ω íà òîðå T , îïðåäåëåííóþ íàä
K = Fq (C). Îíà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì çíà÷åíèåì â åäèíèöå, òî
Vd ∗
åñòü íåêîòîðûì ýëåìåíòîì
(t ), ãäå t àëãåáðà Ëè òîðà T . Ôîðìà ω
èíäóöèðóåò èíâàðèàíòíóþ ôîðìó îáúåìà ωx íà Tx äëÿ ëþáîé òî÷êè x íà
C , êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü äà¼ò íà Tx ìåðó Õààðà. Êîíñòðóêöèÿ ïîñòðîåíèÿ ìåðû ïî äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå ñòàðøåé ñòåïåíè äëÿ ïðîèçâîëüíîé
àëãåáðàè÷åñêîé ãðóïïû ïîäðîáíî îïèñàíà â [9], ÿ æå âêðàòöå å¼ ïðèâåäó.
Vd
Ôîðìà ωx òàêæå çàäàåòñÿ ýëåìåíòîì vx ∈ (t∗x ), ãäå tx çàìåíà áàçû
íà Kx àëãåáðû Ëè t. Îòêðûòàÿ îêðåñòíîñòü íóëÿ â tx ýòî Ox -ðåøåòêà
7
ïîëíîãî ðàíãà, è vx çàäà¼ò íà tx ìåðó νx , ïðèíèìàþùóþ íà ðåøåòêå L =
Ox e1 + · · · + Ox ed çíà÷åíèå
νx (L) = qxordx (vx (e1 ,...,ed )) .
Äàëåå, äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëåíüêîé îêðåñòíîñòè L, êîððåêòíî îïðåäåëåíî ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå exp : tx → Tx . È çíà÷åíèå ìåðû ωx íà îòêðûòîì
ìíîæåñòâå Im(exp(L)) ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì νx (L). Ìåðà Õààðà ýòèì ÷èñëîì
îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ. Âíå òî÷åê âåòâëåíèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ρ ñóùåñòâóåò
ñïåöèàëèçàöèÿ T(x) òîðà T â òî÷êå x, íàïðèìåð ïîòîìó, ÷òî êîððåêòíî îïðåäåëåí ýëåìåíò Ôðîáåíèóñà è äëÿ ïîëó÷åíèÿ òîðà íóæíî ïðîñòî îãðàíè÷èòü
öåëî÷èñëåííîå ïðåäñòàâëåíèå íà ïîäãðóïïó èì ïîðîæäåííóþ.  ýòîì ñëó÷àå òàêæå êîððåêòíî îïðåäåëåíà ðåøåòêà ox ⊂ tx , ñîîòâåòñòâóþùàÿ T (Ox ).
Ïóñòü mx ìàêñèìàëüíûé èäåàë êîëüöà Ox , òîãäà íà mx ox îïðåäåëåíî
îòîáðàæåíèå ýêñïîíåíòû è å¼ îáðàç ýòî ïîäãðóïïà T (1 + mx ), ðàâíàÿ ïî
îïðåäåëåíèþ ÿäðó îòîáðàæåíèÿ T (Ox ) → T(x) (Fq,x ), ãäå òîð T(x) íàä Fq,x
ýòî ñïåöèàëèçàöèÿ èëè ðåäóêöèÿ òîðà T â òî÷êó x. Åñëè x ïðè ýòîì íå
ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì èëè íóëåì ω , òî νx (ox ) = 1, à çíà÷èò νx (mx ox ) = qx−d , è
ωx (T (Ox )) = |T (Fq,x )| · ωx (T (1 + mx )) =
|T (Fq,x )|
.
qxd
C äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ òîðà íàä Fq , det(1 − Fr q −1 |Vρ ) = q −d |TQ
(Fq )| ([7]). Ïîýòîìó Lx (Vρ , 1)ωx (T (Ox )) = 1 äëÿ ïî÷òè âñåõ x, è ìåðà q (1−g)d x∈C Lx (Vρ , 1)ωx ,
ãäå g ðîä êðèâîé C , çàäàåò ìåðó Õààðà ωT íà T (A). Áîëåå òîãî, ýòà ìåðà
èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî âûáîðà ω â ñèëó ôîðìóëû ïðîèçâåäåíèÿ. Íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü q (1−g)d ââîäèòñÿ äëÿ ñîãëàñîâàííîñòè
ìåðû ωT ñ
Q
ôóíêòîðîì Res, q g−1 ýòî îáúåì AC /Fq (C), åñëè îáúåì x Ox = 1 è íàáîð ìåð νx äëÿ ðàçíûõ ïîëåé Fq (C) äîëæåí áûòü îòíîðìèðîâàí òàê, ÷òîáû
ìåðû tAC /t äëÿ ðàçíûõ C ñîâïàäàëè.
Äàëåå, ïî îïðåäåëåíèþ T (A)/T 1 (A) ∼
= Zd . Ñíàáæàÿ Zd ñ÷èòàþùåé ìå1
ðîé, âûáåðåì ìåðó µT íà T (A) òàê, ÷òîáû âìåñòå îíè ñêëåèâàëèñü â ìåðó
ρ−1
T ωT . ×èñëî Òàìàãàâû τT îïðåäåëÿåòñÿ êàê îáú¼ì ôóíäàìåíòàëüíîé îáëàñòè T 1 (AC )/T (Fq (C)) îòíîñèòåëüíî ìåðû µT .  ñëó÷àå T = Gm , ÷èñëî
Òàìàãàâû ðàâíî 1.(ñì. [8])
1.3.5 Êâàçè-äèñêðèìèíàíò DT
Êâàçè-äèñêðèìèíàíò DT ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì ωT (T c (AC ))−2 .  ñëó÷àå T =
Gm êâàçè-äèñêðèìèíàíò îêàçûâàåòñÿ ðàâåí q 2g−2 ïîcêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå
âåòâëåíèÿ âîîáùå íåò è ïî ôîðìóëå ïðîèçâåäåíèÿ (òàê êàê ω ýòî ïðîñòî ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ, êàê ýëåìåíò îäíîìåðíîãî íàä Fq (C) âåêòîðíîãî
Vd ∗
Q
ïðîñòðàíñòâà
(t )) ïîëó÷àåì, ÷òî x∈C Lx (Vρ , 1)ωx (T (Ox )) = 1. Ïîýòîìó
îñòà¼òñÿ òîëüêî íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü q 1−g â ñòåïåíè −2.
1.3.6 Ôîðìóëà Øèðà äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ïîëÿ.
Ôîðìóëà Øèðà áûëà äîêàçàíà Øèðîì [12] òîëüêî â ñëó÷àå ÷èñëîâîãî ïîëÿ,
íî âåðíà è íàä ôóíêöèîíàëüíûì, õîòÿ óïîìèíàíèÿ îá ýòîì â ëèòåðàòóðå ÿ
íå âñòðå÷àë:
8
Òåîðåìà 1.3.1. Ïóñòü T àðèôìåòè÷åñêèé òîð íàä ôóíêöèîíàëüíûì
ïîëåì Fq (C). Òîãäà
1/2
hT = ρT · wT · τT · DT .
Äîêàçàòåëüñòâî: Ìû çíàåì, ÷òî ìåðà ωT = ρT · µT . Òåïåðü ïðîñòî ïîñ÷èòàåì, îáúåìû T c (A) îòíîñèòåëüíî ýòèõ äâóõ ìåð. Äëÿ ωT ýòîò îáú¼ì
−1/2
ïî îïðåäåëåíèþ ðàâåí DT . Ñ äðóãîé ñòîðîíû T (Fq (C))\T 1 (AC ) ðàñïàäàåòñÿ â îáúåäèíåíèå ñìåæíûõ êëàññîâ ïî äåéñòâèþ óìíîæåíèÿìè ñïðàâà
ïîäãðóïïû T c (AC ), ïðè ýòîì ÷èñëî îðáèò ðàâíî ÷èñëó êëàññîâ hT , è, òàê
êàê ÿäðî ýòîãî äåéñòâèÿ ðàâíî T tors (AC ), îáú¼ì êàæäîé îðáèòû ðàâåí wT−1
îò îáú¼ìà T c (AC ). Íî îáú¼ì ïî ìåðå µT ãðóïïû T (Fq (C))\T 1 (AC ) ðàâåí ïî
−1/2
îïðåäåëåíèþ ÷èñëó Òàìàãàâû τT . Òàêèì îáðàçîì DT
= ρT wT h−1
T τT , ÷òî
è óòâåðæäàåòñÿ â òåîðåìå.¤
2 Òåîðåìà Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ àðèôìåòè÷åñêèõ
òîðîâ
Èòàê, ïóñòü T òîð íàä K = Fq (C), L = Fqs (X) åãî ïîëå ðàçëîæåíèÿ,
n = [L : K], d åãî ðàçìåðíîñòü, gX ðîä êðèâîé X , è ïîëîæèì äèñêðèìèíàíò DL ôóíêöèîíàëüíîãî ïîëÿ L ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíûì q −χ(C)s .
Òàêæå íàì ïîíàäîáÿòñÿ ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ on,d è On,d . Ïóñòü x áåãàåò ïî íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó M (n, d), çàâèñÿùåìó îò ïàðàìåòðîâ n è d.
(x)
Òîãäà ôóíêöèÿ f (x) = on,d (g(x)), åñëè ïðè g(x) → ∞ âåëè÷èíà fg(x)
ñòðåìèòñÿ ê 0, è f (x) = On,d (g(x)), åñëè ñóùåñòâóåò êîíñòàíñòà Cn,d òàêàÿ,
÷òî f (x) ≤ Cn,d g(x) äëÿ ëþáîãî x ∈ M (n, d).  íàøåì ñëó÷àå M (n, d) áóäåò ìíîæåñòâîì òîðîâ ðàçìåðíîñòè d è ïîëåì ðàçëîæåíèÿ ñòåïåíè n íàä
K , f îáû÷íî êàêèì-íèáóäü èíâàðèàíòîì, à g ðîäîì ñîîòâåòñòâóþùåé êðèâîé X èëè åäèíèöåé. Äàëåå ìû áóäåì íàáëþäàòü çà ïîâåäåíèåì âåëè÷èíû
1/2
ρT · wT · uT · DT , ðàâíîé ïî ôîðìóëå Øèðà èíòåðåñóþùåìó íàñ ÷èñëó êëàññîâ hT . Ðàçîáðàâ êàæäûé èç èíâàðèàíòîâ ïî îòäåëüíîñòè ìû ïîêàæåì, ÷òî
1/2
ïðè DL → ∞, îñíîâíîé ïîðÿäîê ðîñòà äàåò èìåííî DT , à òàêæå äîêàæåì,
÷òî logq DT âåäåò ñåáÿ ïðàêòè÷åñêè òàêæå êàê −χ(Fρ ). Îñíîâíûìè èíñòðóìåíòàìè äëÿ íàñ áóäóò äâà óòâåðæäåíèÿ: òåîðåìà îá èíäóêöèè Áðàóýðà è
óòâåðæäåíèå î êîíå÷íîñòè ÷èñëà öåëî÷èñëåííûõ ïðåäñòàâëåíèé.
Ïðåäëîæåíèå 2.0.2. Ñóùåñòâóåò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî êëàññîâ èçîìîðôèçìà öåëî÷èñëåííûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï ïîðÿäêà n ðàçìåðíîñòè d.
Äîêàçàòåëüñòâî: ñì. [11]
Ñëåäñòâèå 2.0.3. Ïóñòü T òîð ðàçìåðíîñòè d íàä K = Fq (C), ñ ïîëåì
ðàçëîæåíèÿ L = Fq (X), [L : K] = n. Òîãäà ñóùåñòâóþò ÷èñëà k , l è m âñå
ðàâíûå On,d (1) òàêèå, ÷òî ñóùåñòâóåò èçîãåíèÿ
Tm
k
M
ResXi /K Gm ∼
i=1
l
M
ResYj /K Gm .
j=1
Òàêæå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òîðàìè èç îäíîãî êëàññà èçîãåíèè ñóùåñòâóåò èçîãåíèÿ ñòåïåíè On,d (1).
9
Äîêàçàòåëüñòâî: Ýòî óòâåðæäåíèå èñêëþ÷èòåëüíî î ïðåäñòàâëåíèÿõ. Èç
òåîðåìû Áðàóýðà îá èíäóêöèè òàêàÿ èçîãåíèÿ åñòü äëÿ ëþáîãî òîðà, íî
òàê êàê öåëî÷èñëåííûõ ïðåäñòàâëåíèé âñåãî êîíå÷íîå ÷èñëî, òî â êà÷åñòâå
On,d (1) ìîæíî âçÿòü ïðîñòî ìàêñèìóì ïî m, k è l ïî íèì âñåì. Òî æå ñàìîå
ìîæíî ñäåëàòü è äëÿ ñòåïåíè èçîãåíèè. ¤
Íåñìîòðÿ íà ñâîþ î÷åâèäíîñòü, ýòî ñëåäñòâèå ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíûì
äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû.
Ïðåäëîæåíèå 2.0.4. Ïóñòü X̃ = {Xi } ñåìåéñòâî êðèâûõ íàä ïîëÿìè
Fqsi , ðàçâåòâëåííî íàêðûâàþùèõ C , ñî ñõåìíîé ñòåïåíüþ íàêðûòèÿ n.
Òîãäà
logq hXi − si gXi = on,d (gXi ).
Äîêàçàòåëüñòâî: Òàê êàê ñòåïåíü íàêðûòèÿ ðàâíà n, òî si ≤ n è äîñòàòî÷íî
äîêàçàòü ýòî óòâåðæäåíèå äëÿ si ðàâíîìó ôèêñèðîâàííîìó s. Äëÿ ýòîãî ìû
âîñïîëüçóåìñÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëîé [1, Ÿ3.2] äëÿ ÷èñëà êëàññîâ: ïóñòü
gXi ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, òîãäà
µ sm
¶
∞
X
logqs hXi
q −1
=1−
βsm (X̃ ) logqs
,
i→∞
gXi
q sm
m=1
lim
m (Xi )
ãäå βm (X̃ ) = limi→∞ Bg(X
, à Bm (X) ðàâíÿåòñÿ ÷èñëó òî÷åê ïîðÿäêà m
i)
(îòíîñèòåëüíî Fq ) íà êðèâîé X .  íàøåì ñëó÷àå, òàê êàê ëþáàÿ êðèâàÿ
Xi ðàçâåòâëåííî íàêðûâàåò ñî ñòåïåíüþ n êðèâóþ C , âñå âåëè÷èíû Bm
îãðàíè÷åíû (òî÷êà ïîðÿäêà n ìîæåò
òîëüêî â òî÷êó ìåíüøåãî
Pîòîáðàæàòüñÿ
m
ïîðÿäêà íà C , îòêóäà Bm (X) ≤ n( i=1 Bi (C))), à çíà÷èò âñå βm (X̃ ) ðàâíû
íóëþ. Çíà÷èò
logq hXi
logqs hXi
lim
= lim s
=s
i→∞
i→∞
gXi
gXi
, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. ¤
Ñëåäñòâèå 2.0.5. Ïóñòü T òîð ðàçìåðíîñòè d íàä K = Fq (C), ñ ïîëåì
ðàçëîæåíèÿ L = Fq (X), [L : K] = n. Òîãäà log ρT = on,d (gX ).
Äîêàçàòåëüñòâî: Ïî òåîðåìå Áðàóýðà îá èíäóêöèè:
Tm
k
M
ResXi /K Gm ∼
i=1
l
M
ResYj /K Gm .
j=1
äëÿ íåêîòîðûõ êðèâûõ Xi , Yj , íàä Fqsi è Fqsj ñîîòâåòñòâåòñòâåííî, íàêðûâàþùèõ êðèâóþ C è íàêðûâàåìûõ êðèâîé X íàä Fqs , è ÷èñåë m, k, l ðàâíûõ
On,d (1). Äëÿ T = ResXi /K
ρT =
q si (1−g(Xi )) hXi
.
q si − 1
Ïîýòîìó
k
l
X
¡
¢ X
¡
¢
m logq ρT =
logq hXi − si g(Xi ) −
logq hYj − sj g(Yj ) + on,d (g(X)).
i=1
j=1
10
Òåïåðü, ïîëüçóÿñü ïðåäûäóùèì ïðåäëîæåíèåì, ïîëó÷àåì
logq ρT =
k
X
on,d (g(Xi )) −
i=1
l
X
on,d (g(Yj )) + on,d (g(X)) = on,d (g(X)),
j=1
ïîñêîëüêó, òàê êàê X íàêðûâàåò âñå Xi è Yj , g(X) íå ìåíüøå, ÷åì g(Xi ) è
g(Yj ). ¤
Ïðåäëîæåíèå 2.0.6. Êðó÷åíèå wT = On,d (1)
Äîêàçàòåëüñòâî: Ïóñòü L = Fqs (X), òîãäà îíî îãðàíè÷èâàåòñÿ ïîðÿäêîì
d
ãðóïïû êðóïïû êðó÷åíèÿ òîðà T ×K L, ðàâíîé (F×
q s ) . À ïîðÿäîê ýòîò, â
ñâîþ î÷åðåäü, ðàâåí (q s − 1)d î÷åâèäíî On,d (1).¤
Ïðåäëîæåíèå 2.0.7. τT = On,d (1) è τT−1 = On,d (1).
Äîêàçàòåëüñòâî: Ïî ðåçóëüòàòó Îíî [8], âåðíî äîêàçàííîìó â ôóíêöèîíàëüíîì ñëó÷àå Îñòåðëå [9]
τT =
|H 1 (Gal(L/K), X(T ))|
,
|X(T )|
ãäå X(T ) ãðóïïà Øàôàðåâè÷à-Òåéòà òîðà T , ðàâíàÿ ÿäðó îòîáðàæåíèÿ
´ ´
´
´
³
³
³
³
Y
H 1 Gal Fq (C)/Fq (C) , T →
H 1 Gal Fq (C)x /Fq (C)x , Tx .
x∈C
I-ûå êîãîìîëîãèè ãðóïïû èç n ýëåìåíòîâ ïðè i > 0 çàíóëÿþòñÿ óìíîæåíèåì
íà n, ñ äðóãîé ñòîðîíû îíè ïî îïðåäåëåíèþ èçîìîðôíû Exti (Z, X(T )), äëÿ
òðèâèàëüíîãî ìîäóëÿ Z â êàòåãîðèè G = Z[Gal(L/K)]-ìîäóëåé. Ó òðèâèàëüíîãî ìîäóëÿ Z åñòü BG-ðåçîëüâåíòà F i = Z[Gi+1 ]:
d
dn−1
d
d
n
1
0
. . . −→
Z[Gn ] −−−→ . . . −→
Z[G] −→
Z → 0,
ãäå, êàê ìû âèäèì, ðàíã rk(F i ) = ni+1 . Ïîýòîìó H 1 (Gal(L/K), X(T )) ÿâëÿåòñÿ ïîäôàêòîðîì â HomZ (F 1 , X(T )) ⊗Z Z/nZ, à çíà÷èò ýëåìåíòîâ òàì íå
áîëüøå ÷åì n2 d. Ãðóïïà SH(T ) ñ ïîìîùüþ äâîéñòâåííîñòè Òåéòà-Íàêàÿìû
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ôàêòîðà H 2 (Gal(L/K), X(T )) (ñì. [10, Ÿ6.3,
6.4]), ïîðÿäîê êîòîðîé íå áîëüøå n3 d, îòêóäà ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.¤
Ïðåäëîæåíèå 2.0.8. Ïóñòü T è T 0 èçîãåíè÷íûå òîðû íàä K ñ îäèíàêîâûì ïîëåì ðàçëîæåíèÿ L = Fq (X). Òîãäà
¶
µ
DT
= on,d (g(X)).
log
DT 0
Äîêàçàòåëüñòâî: Èç êîíå÷íîñòè ÷èñëà ïðåäñòàâëåíèé cóùåñòâóåò èçîãåíèÿ
λ ñòåïåíè m = On,d (1) èç T â T 0 . Òîãäà λ èíäóöèðóåò îòîáðàæåíèå λcx :
|Cokerλc |
T (Ox ) → T 0 (Ox ) äëÿ ëþáîé òî÷êè x. Ïóñòü qx (λ) = |Kerλc x| , òîãäà, òàê
x
êàê L-ôàêòîðû îò èçîãåíèè íå çàâèñÿò, à ωx (T (Ox )) î÷åâèäíî èçìåíÿþòñÿ
èìåííî òàê, èìååì ðàâåíñòâî
Y
DT
=
qx (λ)
DT 0
x∈C
11
Ïî [7] qx (λ) = 1 âíå òî÷åê âåòâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî K ðàçâåòâëåííîìó
íàêðûòèþ. Êàê ëþáàÿ èçîãåíèÿ, λ ïðîäîëæàåòñÿ äî îòîáðàæåíèÿ ×m âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü m èç T â ñåáÿ, ïîýòîìó |Coker(λcx )| ≤ |T (Ox )[m]| ≤ md .
Ïóñòü S ìíîæåñòâî òî÷åê âåòâëåíèÿ íàêðûòèÿ ϕ : X → C , Sn ⊂ S ïîäìíîæåñòâî òî÷åê ñòåïåíè n. Èç ôîðìóëû Ãóðâèöà
X
2g(X) ≥ 2 + (2g(C) − 2)·n +
|Si | · i.
P
Êàæäîå èç Si îãðàíè÷åíî (íàïðèìåð Bi (X)), ïîýòîìó |S| =
|Si | åñòü
on,d (g(X)) (èç ôîðìóëû, ïðè ðàñòóùåì |S| âåëè÷èíà g(X) ñòàíîâèòñÿ áîëüDT
= On,d (md|S| ), îòêóäà
øå ÷åì i|S| äëÿ ëþáîãî i). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, D
0
T
µ
log
DT
DT 0
¶
= On,d (|S|) = on,d (gX ).
¤
Ñëåäñòâèå 2.0.9. Ïóñòü â ïðåäûäóùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ Fρ àññîöèèðîâàííûé ñ T ïó÷îê. Òîãäà
−χ(Fρ ) − logq DT = on,d (gX )
Äîêàçàòåëüñòâî: Äëÿ òîðîâ òèïà ResX/C Gm ýòè äâå âåëè÷èíû ñîâïàäàþò,
òàê êàê Fρ â ýòîì ñëó÷àå ýòî p∗ Ql ïðè ñõåìíîì ìîðôèçìå X → C è åãî
ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà ðàâíà s · χ(X), åñëè X áûëà íàä Fqs . Íî ýòî è åñòü
ëîãàðèôì äèñêðèìèíàíòà ïîëÿ Fqs (X). Òåïåðü îñòàåòñÿ òîëüêî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Áðàóýðà îá èíäóêöèè è ïðåäûäóùèì ïðåäëîæåíèåì.¤
Òåîðåìà 2.0.10. (Áðàóýðà-Çèãåëÿ äëÿ àðèôìåòè÷åñêèõ òîðîâ íàä ôóíêöè-
îíàëüíûì ïîëåì) Ïóñòü T òîð ðàçìåðíîñòè d íàä K = Fq (C) ñ ïîëåì
ðàçëîæåíèÿ L = Fq (X) ôèêñèðîâàííîé ñòåïåíè [L : K] = n. Òîãäà
1
logq hT = − · χ(Fρ ) + on,d (gX )
2
Äîêàçàòåëüñòâî: Èç ôîðìóëû Øèðà ìû çíàåì, ÷òî
logq hT =
1
logq DT + logq ρT + logq wT + logq τT
2
Òåïåðü, ïîëüçóÿñü äîêàçàííûìè ïðåäëîæåíèÿìè, ïîëó÷àåì, ÷òî âñå ñëàãàåìûå êðîìå ïåðâîãî ðàâíû on,d (gX ), à ïåðâîå ðàâíî − 21 χ(Fρ ) + on,d (gX ).
¤
3 Àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà äëÿ ÷èñëà êëàññîâ è äîêàçàòåëüñòâî ãèïîòåçû ÊóíÿâñêîãîÖôàñìàíà
Ïóñòü X̃ = {Xi } = . . . → Xn+1 → Xn → . . . → X1 → C áàøíÿ íàêðûòèé
êðèâîé C , à T ïðîèçâîëüíûé òîð íàä Fq (C).  ýòîé ÷àñòè äîêàçûâàåòñÿ
12
àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà äëÿ ÷èñëà êëàññîâ òîðà T×Fq (C)Fq (Xi ). Ýòà ôîðìóëà ïðåâðàùàåòñÿ â ïðåäïîëîæåííóþ â ñòàòüå [5] Êóíÿâñêèì è Öôàñìàíîì, åñëè òîð T áûë ïîäíÿò ñ Fq . Îñíîâíûìè èíñòðóìåíòàìè äëÿ íàñ áóäóò
ÿâëÿòüñÿ ãèïîòåçû Âåéëÿ äëÿ Ql -ïó÷êîâ íà êðèâûõ, îáû÷íàÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà Öôàñìàíà-Âëýäóöà è ýëåìåíòàðíàÿ ôîðìóëà Ãóðâèöà.
Ñåìåéñòâî êðèâûõ X̃ = {Xi } íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè òî÷íûì, åñëè
gXi → ∞ è äëÿ íåãî îïðåäåëåíû ÷èñëà βm (X̃ ) = limi→∞ BmgX(Xi ) , ãäå Bm (X)
i
÷èñëî òî÷åê ïîðÿäêà m íà êðèâîé X . Âåëè÷èíà Bgm äëÿ ëþáîãî m ìîæåò
áûòü îãðàíè÷åíà ïðè ïîìîùè ãðàíèöû Âåéëÿ, îòêóäà áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî
â ëþáîì ñåìåéñòâå êðèâûõ ðàñòóùåãî ðîäà åñòü àñèìòîòè÷åñêè òî÷íîå ïîäñåìåéñòâî.  ÷àñòíîñòè, åñëè . . . → Xn+1 → Xn → . . . → X1 → C áàøíÿ
ðàçâåòâëåííûõ íàêðûòèé, òî ñåìåéñòâî Xi àñèìïòîòè÷åñêè òî÷íî (ñì. [1]).
Ïóñòü T òîð ðàçìåðíîñòè d íàä ïîëåì Fq ñ ïîëåì ðàçëîæåíèÿ Fqn .
Ìû èìååì ïðåäñòàâëåíèå ρ = X(T ) ãðóïïû Gal(Fqn /Fq ) ∼
= Z/nZ, ïîðîæäåííîé Ôðîáåíèóñîì. Ïðåäñòàâëåíèå Vρ = X(T ) ⊗Z Ql îïðåäåëÿåò Ql -ïó÷îê
Vρ íàä Spec Fq . Ïóñòü òåïåðü Xi êðèâàÿ íàä Fq , pXi : Xi → Spec Fq ñòðóêòóðíûé ìîðôèçì. Ðàññìîòðèì òîð Ti = T ×Fq Fq (Xi ) íàä Fq (Xi ).
Äëÿ íåãî ïðåäñòàâëåíèå ρi = X(Ti ) åñòü ïðîñòî ρ ◦ s, ãäå îòîáðàæåíèå
s : Gal(Fq (Xi )/Fq (Xi )) → Gal(Fq /Fq ) åñòåñòâåííîå îòîáðàæåíèå îãðàíè÷åíèÿ. À àññîöèèðîâàííûé ïó÷îê Fρi íà Xi òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåòñÿ èçîìîðôíûì p∗Xi Vρ . Ýòî íàì ïðèãîäèòñÿ â äàëüíåéøåì.
Ïóñòü äàëåå T ýòî âñ¼-òàêè ïðîèçâîëüíûé òîð íàä Fq (C) ðàçìåðíîñòè
d è X̃ = {(Xi , ϕi )} áàøíÿ íàêðûòèé . . . → Xn+1 → Xn → . . . → X1 → C
êðèâîé C , à ϕi ïîëó÷àþùèåñÿ íàêðûòèÿ Xi → C . Ïóñòü òàêæå Ti =
T ×Fq (C) Fq (Xi ).
Ïóñòü B≤m (X) ìíîæåñòâî òî÷åê ñòåïåíè ìåíüøå ëèáî ðàâíîé m íà
êðèâîé X , à Bm (X) ñîîòâåòñâåííî ðàâíîé m. Ïóñòü òàêæå äëÿ òî÷êè
x ∈ |C| ìíîæåñòâî Bm,x (Xi ) ðàâíî φ−1
i (x) ∩ Bm (Xi ), à Bm,x (Xi ) ñîîòâåòñòâåííî êîëè÷åñòâó ýëåìåíòîâ â í¼ì. Ïóñòü òåïåðü ρ ðàöèîíàëüíîå
ïðåäñòàâëåíèå àáñîëþòíîé ãðóïïû Ãàëóà ïîëÿ K = Fq (C), ïðîïóñêàþùååñÿ
÷åðåç êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå L/K , è S ⊂ |C| òî÷êè âåòâëåíèÿ ρ. Ïóñòü
S≤m ìíîæåñòâî òî÷åê âåòâëåíèÿ ñòåïåíè íå áîëüøå m. Ïóñòü äëÿ òî÷êè
y ∈ S ãðóïïà Iy îáîçíà÷àåò ïîäãðóïïó èíåðöèè òî÷êè y â ãðóïïå Gal(L/K).
Ãðóïïà Ãàëóà êîìïîçèòà Gal(L · Ki /Ki ) äëÿ ïîëÿ Ki = Fq (Xi ) åñòåñòâåííûì
îáðàçîì âêëàäûâàåòñÿ â òó æå ãðóïïó Gal(L/K). Ïóñòü òåïåðü H íåêîòîH
ðàÿ íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà ãðóïïû Iy ∩ Gal(L · Ki /Ki ). Ìíîæåñòâî Sm,y
(Xi )
−1
ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê ñòåïåíè m íà êðèâîé Xi , ëåæàùèõ â φi (y), òàêèõ, ÷òî èõ ãðóïïà èíåðöèè Ix , åñòåñòâåííûì îáðàçîì âêëàäûâàþùàÿñÿ â
H
Iy , ñîâïàäàåò ñ H . ×èñëî Sm,y
(Xi ) ýòî ñîîòâåòñòâåííî ÷èñëî ýëåìåíòîâ â
í¼ì.
Îïðåäåëåíèå 3.0.11. Ñåìåéñòâî ðàçâåòâëåííûõ íàêðûòèé X̃ = {(Xi , φi )}
íàçûâàåòñÿ ïîòî÷å÷íî àñèìïòîòè÷åñêè òî÷íûì äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ρ, åñëè ñóùåñòâóþò ïðåäåëû
βm,x (X̃ ) = lim
i→∞
13
Bm,x (Xi )
gXi
äëÿ âñåõ òî÷åê x ∈ |C|, è, äîïîëíèòåëüíî, ïðåäåëû
H
Sm,y
(Xi )
i→∞
gXi
H
σm,y
(X̃ ) = lim
äëÿ âñåõ òî÷åê y ∈ S è íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï H â Iy ∩ Gal(L · Ki /Ki ).
H
Çàìåòèì, ÷òî åñëè deg x áîëüøå m, òî Bm,x (Xi ) = Sm,y
(Xi ) = 0, ïîñêîëüêó â ïðîîáðàçåP
òî÷êå x ïðè íàêðûòèè ëåæàò òî÷êè íå ìåíüøåãî ïîðÿäêà.
Ïîýòîìó βm = x∈B≤m (C) βm,x è ïîòî÷å÷íàÿ òî÷íîñòü äëÿ ñåìåéñòâà âëå÷åò
ïðîñòî òî÷íîñòü. Îáðàòíîå ñêîðåå âñåãî íåâåðíî, õîòÿ ñïåöèàëüíî ÿ ýòîãî è
íå ïðîâåðÿë. Íî, êàê áû òàì íè áûëî, äëÿ áàøíè íàêðûòèé âåðíî è òî, è
äðóãîå:
Ïðåäëîæåíèå 3.0.12. Ïóñòü ñåìåéñòâî X̃ = {Xi , φi } ýòî áàøíÿ íà-
êðûòèé . . . → Xn+1 → Xn → . . . → X1 → C . Òîãäà îíî ïîòî÷å÷íî àñèìïòîòè÷åñêè òî÷ío äëÿ ëþáîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ρ.
Äîêàçàòåëüñòâî: Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ai =
Bm,x (Xi )
.
gXi
B≤m,x (Xi )
gXi −1
ñõî-
äèòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è
Ïóñòü ni ñòåïåíü íàêðûòèÿ Xi+1 → Xi . Èç
ôîðìóëû Ãóðâèöà 2(gXi+1 − 1) = 2ni (gXi − 1) + âåòâëåíèå , îòêóäà
gXi+1 − 1
≥ ni .
gXi − 1
Íî B≤m,x (Xi+1 ) ≤ ni B≤m,x (Xi ), ïîýòîìó ai ≥ ai+1 , à çíà÷èò ïîñëåëåäîâàòåëüíîñòü ai ñõîäèòñÿ. Àíàëîãè÷íî âûáèðàÿ äëÿ âåòâëåíèÿ âìåñòî B≤m,x
ìíîæåñòâà òî÷åê ïðîîáðàçà ñòåïåíè íå áîëüøå m, à â ñëó÷àå ðàâåíñòâà, ñ
ïîäãðóïïîé âëîæåííîé â äàííóþ, àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ
H
äëÿ σm,x
.¤
Èòàê, ìû èìååì òîð T íàä K = Fq (C), ñëåäîâàòåëüíî ïó÷îê Fρ íà C .
Òàêæå ìû èìååì áàøíþ íàêðûòèé X̃ . Îïåðàöèÿ çàìåíû áàçû, äåëàþùàÿ
èç òîðà T òîð Ti , íà óðîâíå ïðåäñòàâëåíèé ñîîòâåòñòâóåò îãðàíè÷åíèþ íà
ïîäãðóïïó, à íà óðîâíå ïó÷êîâ îáðàòíîìó îáðàçó: Fρi = φ∗i Fρ . L-ôóíêöèÿ
òîðà Ti ýòî L-ôóíêöèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïó÷êà. Ïîñìîòðèì òåïåðü êàê
ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé L-ôóíêöèè Fρ è Fρi . Ïóñòü U = C \ S äîïîëíåíèå
äî âåòâëåíèÿ è x òî÷êà â íåì. Åñëè z ∈ Xi îòîáðàæàåòñÿ â x ïðè îòîáðàæåíèè φi , òî ðîñòêè Fρi ,z = p∗ Fρ,x , ãäå p : Spec Fqdegz → Spec Fqdegx ïðîåêöèÿ
degz
èç z â x. Ïîýòîìó L-ìíîæèòåëü äëÿ òî÷êè z ðàâåí det(1 − Frxdegx q −degz·s |Vρ )
è çàâèñèò òîëüêî îò ñòåïåíè ðàñøèðåíèÿ ïîëÿ âû÷åòîâ, ðàâíîìó îòíîøådegz
. Ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ âñåõ òî÷åê èç Bm,x (Xi ) ðîñòêè è ëîêàëüíûå
íèþ degx
L-ìíîæèòåëè âûãëÿäÿò îäèíàêîâî. Äëÿ òî÷êè y ∈ S ñëîé ïó÷êà Fρ èçîìîðI
ôåí èíâàðèàíòàì Vρ y îòíîñèòåëüíî ãðóïïû èíåðöèè. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîé
degz
H
òî÷êè z ∈ Sm,y
(Xi ) ñëîé Fρi ðàâåí VρH , è äåéñòâèå Frz = Frxdegx ñíîâà çàâèñèò
degz
H
. Ãðóïïèðóÿ ìíîæèòåëè ïî ìíîæåñòâàì Sm,y
(Xi )
òîëüêî îò îòíîøåíèÿ degx
14
è Bm,x (Xi ), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ L-ôóíêöèè ïó÷êà Fρi :
L(Fρi , s)
∞ YY
Y
=
H
¯
³
´ Sm
m
,y (Xi )
¯
det 1 − Frydeg y q −ms ¯VρH
·
m=1 y∈S H
∞ Y
Y
¯ ´Bm,x (Xi )
³
m
¯
det 1 − Frxdeg y q −ms ¯Vρ
.
·
(2)
m=1 x∈U
È äëÿ ëîãàðèôìà
log (L(Fρi , s)) =
∞ XX
X
m=1 y∈S H
∞ X
X
+
¯
³
³
´´
m
¯
H
Sm,y
(Xi ) log det 1 − Frydeg y q −ms ¯VρH
+
¯ ´´
³
³
m
¯
Bm,x (Xi ) log det 1 − Frxdeg x q −ms ¯Vρ . (3)
m=1 x∈U
Ïîäñòàâëÿÿ s = 1, äåëÿ íà gXi è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïî i, ìû êàê áû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
logq (L(Fρi , 1))
i→∞
gXi
lim
=
∞ X
X
¯
³
³
´´
m
¯
H
σm,y
(X̃ ) logq det 1 − Frydeg y q −m ¯VρH
+
m=1 y,H
+
∞ X
X
¯ ´´
³
³
m
¯
βm,x (X̃ ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ .
m=1 x∈U
Íî ê ñîæàëåíèþ òàêîãî ðîäà ðàññóæäåíèÿ íå ìîãóò áûòü âåðíû íè äëÿ
êàêîãî ïó÷êà Fρ , äàæå åñëè L-ôóíêöèÿ íå èìååò â ïîëþñà â åäèíèöå, è
çíà÷åíèå ñëåâà êîððåêòíî îïðåäåëåíî. Ôîðìóëû (2) è (3) âåðíû â ôîðìàëüíûõ ñòåïåííûõ ðÿäàõ îò ïåðåìåííîé t = q −s , íî êàê òîëüêî ìû ïîëàãàåì s
ðàâíûì åäèíèöå, áåñêîíå÷íîå ïðîèçâåäåíèå, à ðàâíî è ñóììà â âûðàæåíèè
äëÿ ëîãàðèôìà, ïåðåñòàþò ñõîäèòüñÿ, ïîýòîìó ãîâîðèòü î êàêîì-òî ïðåäåëå
ñòàíîâèòñÿ ñîâåðøåííî áåññìûñëåííî.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷óäåñíûì îáðàçîì ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà âñ¼-òàêè îêàçûâàåòñÿ âåðíà:
logq ρTi
i→∞
gXi
lim
=
∞ X
X
¯
³
³
´´
m
¯
H
+
σm,y
(X̃ ) logq det 1 − Frydeg y q −m ¯VρH
m=1 y,H
+
∞ X
X
¯ ´´
³
³
m
¯
βm,x (X̃ ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ . (4)
m=1 x∈U
ż ìû ñåé÷àñ è íà÷íåì äîêàçûâàòü.
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ T = Gm ýòà ôîðìóëà ñîâïàäàåò ñ àñèìïòîòè÷åñêîé
ôîðìóëîé Öôàñìàíà-Âëýäóöà,
òàê êàê âåòâëåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå íåò, ïîýòîìó
P
H
âñå σm,x
= 0 è x βm,x = βm , Vρ îäíîìåðíî, Ôðîáåíèóñ äåéñòâóåò åäèíèöåé
è îïðåäåëèòåëü ïðîñòî ðàâåí 1 − q −m .
Äëÿ j > i ãëîáàëüíûå ñå÷åíèÿ H 0 (Xi , Fρi ) åñòåñòâåííûì îáðàçîì âêëàäûâàþòñÿ â H 0 (Xj , Fρj ), òàê êàê Fρj ýòî îáðàòíûé îáðàç Fρi ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì ìîðôèçìå Xj → Xi . Òàê êàê ðàçìåðíîñòü dim H 0 íå áîëüøå
ðàçìåðíîñòè òîðà, H 0 (Xi , Fρi ) äëÿ áîëüøèõ i ñòàáèëèçèðóåòñÿ è ðàâíÿåòñÿ
15
íåêîòîðîìó Ql -ïó÷êó Hρ0 íà Spec Fq . Ïóñòü Iρ ýòî ïîñòîÿííûé ïîäïó÷îê
èíâàðèàíòîâ â Hρ0 (åñëè ðàññìàòðèâàòü åãî êàê ïðåäñòàâëåíèå Gal(Fq /Fq ),
òî ýòî ïðîñòî ìàêñèìàëüíîå òðèâèàëüíîå ïîäïðåäñòàâëåíèå). Ïóñòü Iρi ýòî åãî îáðàòíûé îáðàç ïðè ïðîåêöèè êðèâîé Xi â òî÷êó Spec Fq . Òîãäà
ïó÷îê Iρi ïîñòîÿííûé, è åñòåñòâåííî âêëàäûâàåòñÿ â Fρi â êà÷åñòâå ñå÷åíèÿ. Áîëåå òîãî, òàê êàê îáà ïó÷êà ñîîòâåòñòâóþò ïðåäñòàâëåíèÿì ãðóïïû
Gal(Fq (Xi )/Fq (Xi )) (ïó÷îê Iρi ýòî èíâàðèàíòû), à êàòåãîðèÿ ïðåäñòàâëåíèé íàä ïîëåì õàðàêòåðèñòèêè 0 ïîëóïðîñòà, ýòî âëîæåíèå äà¼ò ðàñùåïëåíèå Fρi ∼
= Iρi ⊕ Fρ0i . Òàê êàê ëîãàðèôì êâàçè-âû÷åòà àääèòèâåí ïðè ïðÿìîé
ñóììå ïó÷êîâ, à äëÿ ïîñòîÿííîãî ïó÷êà (ñîîòâåòñòâóþùåãî Gm ) ôîðìóëà
(4) âåðíà, òî äîñòàòî÷íî å¼ äîêàçàòü (çàìåíÿÿ C íà Xi äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî i, è Fρ íà Fρ0i ) äëÿ ïó÷êîâ Fρ ó êîòîðûõ Fr-èíâàðèàíòíûå ãëîáàëüíûå
ñå÷åíèÿ H 0
Fr
ðàâíû íóëþ äëÿ âñåõ Fρi .
Ïðåäëîæåíèå 3.0.13. Ïóñòü Fρ Ql -ïó÷îê íà C , ïîñòðîåííûé ïî ïðåä-
ñòàâëåíèþ ρ ðàçìåðíîñòè d, X̃ = {Xi , ϕi } ýòî áàøíÿ íàêðûòèé . . . →
Xn+1 → Xn → . . . → X1 → C , ñ êîìïîçèöèÿìè ϕi : Xi → C . Ïóñòü òàêæå
H 0 (ϕ∗i Fρ )Fr = 0 äëÿ ëþáîãî i. Òîãäà ôóíêöèÿ L(ϕ∗i Fρ , s) ãîëîìîðôíà äëÿ
ëþáîãî i è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî:
lim −
i→∞
logq (L(ϕ∗i Fρ , 1))
gXi
=
∞ X
X
¯
³
³
´´
m
¯
H
(X̃ ) logq det 1 − Frydeg y q −m ¯VρH
σm,y
+
m=1 y,H
+
∞ X
X
¯ ´´
³
³
m
¯
βm,x (X̃ ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ .
m=1 x∈U
Äîêàçàòåëüñòâî: Ïóñòü êàê ðàíüøå Fρi = ϕ∗i Fρ . Êàê îáñóæäàëîñü ðàíåå,
íóëåâûå êîãîìîëîãèè ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà ñòàáèëèçèðóþòñÿ è ðàâíû íåêîòîðîìó ïðåäñòàâëåíèþ Hρ0 ãðóïïû Gal(Fq /Fq ). Ýòî ïðåäñòàâëåíèå åñòü ïîäïðåäñòàâëåíèå ïðåäñòàâëåíèÿ ρ, êîòîðîå ñîñòîèò èç èíâàðèàòîâ âñåõ ÿäåð
åñòåñòâåííûõ ïðîåêöèé Gal(Fq (Xi )/Fq (Xi )) → Gal(Fq /Fq ). Òàêèì îáðàçîì,
îïåðàòîð Ôðîáåíèóñà, äåéñòâóÿ íà í¼ì, ïðîïóñêàåòñÿ ÷åðåç êîíå÷íîå ðàñøèðåíèå è åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êàêèå-òî êîðíè èç åäèíèöû. Òàê
êàê ïðè ýòîì èíâàðèàíòîâ îòíîñèòåëüíî Fr íåò, òî ñðåäè íèõ íåò åäèíèöû.
Ïî äâîéñòâåííîñòè Ïóàíêàðå H 2 (Fρi ) ∼
= H 0 (Fρi ⊗ Ql (1)), ãäå Ql (1) ïîäêðóòêà Òåéòà (ñì. [4] èëè [2]). Ïîýòîìó ñðåäè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé Fr âî
âòîðûõ êîãîìîëîãèÿõ íåòó q . Ñëåäîâàòåëüíî, èç êîãîìîëîãè÷åñêîé ôîðìóëû
(1) ôóíêöèÿ L(Fρi , s) åñòü ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ îò t = q −s , è çíàìåíàòåëü
íå îáðàùàåòñÿ â 0 ïðè s = 1. Ïî ãèïîòåçå Ðèìàíà, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
îïåðàòîðà Ôðîáåíèóñà íà i-ûõ êîãîìîëîãèÿõ ðàâíû ïî ìîäóëþ q i/2 . Ïóñòü
i = 0 èëè 1, òîãäà ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè α åãî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, òî ðÿä
µ
¶
∞
X
α
αm
logq 1 −
=−
q
m · qm
m=1
îãðàíè÷èâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé c ïîêàçàòåëåì q −1/2 è àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó ðÿäû
∞
∞
X
X
¯
¯
¡
¢
¡
¢
1
1
Tr Frm q −m ¯H 0 (Xi , Fρi ) è
Tr Frm q −m ¯H 1 (Xi , Fρi )
m
m
m=1
m=1
16
òàêæå ñõîäÿòñÿ. Çàìåòèì, ÷òî íà÷èíàÿ ñ òîãî i, êîãäà ñòàáèëèçèðîâàëèñü
ãëîáàëüíûå ñå÷åíèÿ, çíàìåíàòåëü L-ôóíêöèè íå ìåíÿåòñÿ, ïîýòîìó
¯
¡
¢
logq det 1 − Fr q −1 ¯H 1 (Xi , Fρi )
logq (L(ϕ∗i Fρ , 1))
= lim
=
lim
i→∞
i→∞
gXi
gXi
∞
¯
¡
¢
1 X 1
= lim
Tr Frm q −m ¯H 1 (Xi , Fρi ) . (5)
i→∞ gXi
m
m=1
Äàëåå, ïî ôîðìóëå Ëåôøåöà äëÿ Fρi :
2
X
¯
¡
¢
(−1)s Tr Frm q −m ¯H s (Xi , Fρi ) =
s=0
X
¯
¡
¢
Tr Frmq −m ¯Fρi ,x
x∈Xi (Fqm)
Ñëàãàåìûå äëÿ x, ïðèøåäøèõ èç îäíîé è òîé æå çàìêíóòîé òî÷êè x0 ∈ |Xi |
m
ñòåïåíè d àâòîìàòè÷åñêè äåëÿùåé m, ñîâïàäàþò è ðàâíû Tr(Frxd0 q −m |Fρi ,x0 )
([2]).  ñâîþ î÷åðåäü, ýòî âûðàæåíèå çàâèñèò òîëüêî îò ðîñòêîâ Fρi ,x0 è m,
H
(Xi ). Ïîýòîìó
è ïîýòîìó çàâèñèò òîëüêî îò ìíîæåñòâà Bm,x (Xi ) èëè Sm,y
ôîðìóëà Ëåôøåöà òàêæå äàåò ðàâåíñòâî
2
X
¯
¡
¢ X
n
(−1)s Tr Frm q −m ¯H s (Fρi ) =
s=0
n|m
+
X
x∈B≤n(U )
X
n
n|m
¯
³
´
m
¯
Bn,x (Xi ) · Tr Frxdeg xq −m ¯Fρ,x +
X
X
¯
³
´
m
¯
H
Sn,y
(Xi ) · Tr Frydeg yq −m ¯Fρ,y .
y∈S≤n(C) H
Ïîëîæèì äëÿ óäîáñòâà
¯
³
´
m
¯
Trm,x (Xi ) = Tr Frxdeg xq −m ¯Fρ,x .
. Ïóñòü f (g) ôóíêöèÿ èç N â N òàêàÿ, ÷òî f (g) → ∞, ïðè g → ∞, è
lim
g→∞
f (g)
= 0.
log g
Ïóñòü òàêæå îíà ðàñò¼ò òàê ìåäëåííî, ÷òîáû äëÿ íàøåãî ñåìåéñòâà X̃ ðàçíèöà ìåæäó βm,x (X̃ ) è
Bm,x (Xi )
,
gXi
H
Sm,x
(Xi )
, äëÿ âñåõ m,
gXi
ε(gXi )
B≤m (C) äëÿ õîòü êàêîé-òî
H
è ìåæäó σm,y
(X̃ ) è
ìåíüøèõ f (gXi ), áûëà ïî ìîäóëþ ìåíüøå ÷åì
ôóíêöèè ε(g), ñòðåìÿùåéñÿ ê íóëþ ïðè g → ∞. Òàêàÿ ôóíêöèÿ ñ ëåãêîñòüþ
íàõîäèòñÿ äëÿ ëþáîãî ñ÷¼òíîãî íàáîðà ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
Äàëåå ìû äîêàæåì, ÷òî äëÿ òàêîé ôóíêöèè f (g):
f (gXi )
X 1X X
Bn,x (Xi )Trm,x (Xi ) =
n
m
m=1
n|m
f (gXi )
=
X
x∈B≤n
X
¯ ´´
³
³
m
¯
Bm,x (Xi ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ + o(gXi ),
m=1 x∈B≤m
17
(6)
H
à òàêæå, ÷òî âåðíî òî æå ñàìîå óòâåðæäåíèå, íî ñ Sm,x
. Ñíà÷àëà âûâåäåì èç
ýòèõ ðàâåíñòâ óòâåðæäåíèå ïðåäëîæåíèÿ. Äëÿ ýòîãî, âî-ïåðâûõ, äîêàæåì,
÷òî
f (gX )
logq L(Fρi , 1)
1 Xi 1 X X
= − lim
n
Bn,x (Xi )Trn,x (Xi ) −
i→∞ gXi
i→∞
gXi
m
m=1
lim
n|m
− lim
i→∞
1
gXi
x∈B≤n
f (gXi)
X 1 X X X
H
n
Sn,y
(Xi )Trn,y (Xi ).
m
m=1
n|m
y∈S≤n H
Âûðàæåíèå âíóòðè ïðåäåëà ñ ïðàâîé ñòîðîíû ðàâåíñòâà ïî ôîðìóëå Ëåôøåöà åñòü ïðîñòî
f (gXi) 2
X X
¯
¡
¢
(−1)s Tr Frm q −m ¯H s (Fρi ) .
m=1 s=0
Èç ôîðìóëû (5) äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî
f (gX )
¯
¡
¢ ¯¯
1 ¯¯ Xi 1
lim
· Tr Frm q −m ¯H 0 (Xi , Fρi ) ¯ = 0
¯
i→∞ gXi
m
1
f (gX )
¯
¡
¢ ¯¯
1 ¯¯ Xi 1
· Tr Frm q −m ¯H 2 (Xi , Fρi ) ¯ = 0
lim
¯
i→∞ gXi
m
1
∞
¯
¯
¡
¢ ¯¯
1 ¯ X 1
· Tr Frm q −m ¯H 1 (Xi , Fρi ) ¯ = 0
lim
¯
i→∞ gXi
m
(7)
(8)
(9)
f (gXi)+1
Äëÿ (7): âñÿ ñóììà ñëåäîâ àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, è îíà ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà
íå çàâèñèò îò i ïîýòîìó ïðåäåë è ðàâåí íóëþ. Äëÿ (8): ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
Fr íà H 2 (Xi , Fρi ) åñòü êîðíè èç åäèíèöû, ïîìíîæåííûå íà q , è, òàê êàê
dim H 2 = dim H 0 ≤ dim ρ = d, ïîëó÷àåì, ÷òî
f (gX )
¯
¡
¢ ¯¯
1 ¯¯ Xi 1
f (gXi)
lim
· Tr Frm q −m ¯H 2 (Xi , Fρi ) ¯ ≤ lim
d=0
¯
i→∞ gXi
i→∞ gXi
m
1
Äëÿ (9): èç ãèïîòåçû Ðèìàíà, ïîëàãàÿ h1i ðàâíûì dim H 1 (Xi , Fρi ), ìû èìååì
¯ ¡
¯
¢ ¯¯
m
¯
¯Tr Frm q −m ¯H 1 (Xi , Fρi ) ¯ ≤ h1i · q − 2
Ïîýòîìó ìîäóëü ðÿäà â (9) îãðàíè÷èâàåòñÿ ñóììîé
h1i
∞
X
m
q 2 = h1i q −f (gXi)−1
f (gXi)+1
q 1/2
= o(gXi ),
q 1/2 − 1
òàê êàê f (g) ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, à h1i ïî ñëåäóþùåé ëåììå åñòü
O(gXi ). Îòñþäà è ñëåäóåò (9).
Ëåììà 3.0.14. dim H 1 (Xi , ϕ∗i Fρ ) = O(gXi ).
18
Äîêàçàòåëüñòâî: Èç òåîðåìû îá èíäóêöèè Áðàóýðà ëþáîå ïðåäñòàâëåíèå
â íåêîòîðîé ñòåïåíè åñòü âèðòóàëüíàÿ ïðÿìàÿ ñóììà èíäóöèðîâàííûõ. Ïîýòîìó íàøå äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü ýòî óòâåðæäåíèå äëÿ èíäóöèðîâàííûõ
ïðåäñòàâëåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ òîðàì T = ResX/C Gm .  ýòîì ñëó÷àå
Fρ = p∗ Ql ïðÿìîé îáðàç ïîñòîÿííîãî ïó÷êà ïðè íåêîòîðîì îòîáðàæåíèè
p : X → C è ïóñòü n åãî ñòåïåíü. À ïó÷îê Fρi ðàâåí ñîîòâåòñòâåííî pi ∗ Ql ,
ãäå pi : Xi ×C X → Xi åñòåñòâåííàÿ ïðîåêöèÿ ðàññëîåííîãî ïðîèçâåäåíèÿ
íà ïåðâûé ìíîæèòåëü. Xi ×C X ðàñïàäàåòñÿ â äèçúþíêòíîå îáúåäèíåíèå
s êîïèé îäíîé êðèâîé Yi , ãäå s < n. Òàê êàê H 1 (Xi , pi ∗ Ql ) ∼
= H 1 (Yi , Ql ), è
1
1
dim H (Yi , Ql ) ðàâíà 2gYi − 2, òî dim H (Xi , Fρi ) = s · (2gYi − 2). Ñîîòâåòñòâåííî âîïðîñ òîëüêî â îãðàíè÷åííîñòè ðîñòà gYi îòíîñèòåëüíî gXi . Ïóñòü
ni = ns < n ñòåïåíü pi , Si ⊂ Yi òî÷êè âåòâëåíèÿ pi , à ex äëÿ x ∈ Si èíäåêñ âåòâëåíèÿ òî÷êè x . Òîãäà, ïî ôîðìóëå Ãóðâèöà,
X
2gYi − 2 = ni (2gXi − 2) +
deg x(ex − 1).
x∈Si
Òàê êàê deg x ex ≤ ni ≤ n, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî êîëè÷åñòâî òî÷åê âåòâëåíèÿ |Si | åñòü O(gXi). Ïóñòü di ýòî ñòåïåíü îòîáðàæåíèÿ ϕi : Xi → C , à
Ri ìíîæåñòâî òî÷åê âåòâëåíèÿ di . Òîãäà ñíîâà èç ôîðìóëû Ãóðâèöà.
P
2gXi − 2 − x∈Ri deg x(ex − 1)
2gXi − 2
di =
≤
= O(gXi )
2gC − 2
2gC − 2
Íî ìíîæåñòâî òî÷åê âåòâëåíèÿ Si ìîðôèçìà pi âëîæåíî â ìíîæåñòâî ïàð
(y, x) ∈ Xi ×C X , òàêèõ, ÷òî x òî÷êà âåòâëåíèÿ p. Íî òàêèõ ïàð íå áîëüøå
÷åì r · |Ri | = O(gXi ), ãäå r ÷èñëî òî÷åê âåòâëåíèÿ p è íå çàâèñèò îò i.
Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå ëåììû. ¤
Âî-âòîðûõ, äîêàæåì, ÷òî
lim
i→∞
1
gXi
f (gXi )
X
X
¯ ´´
³
³
m
¯
Bm,x (Xi ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ
=
m=1 x∈B≤m
=
∞
X
X
¯ ´´
³
³
m
¯
βm,x (X̃ ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ .
(10)
m=1 x∈B≤m
 [1, Ÿ3.2] äîêàçàíî, ÷òî
1≥
∞
∞
X
X
mβm (X̃ )
m
≥
m/2 − 1
m/2 − 1
q
q
m=1
m=1
X
βm,x (X̃ )
x∈B≤m (U )
Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
¯ ´´
³
³
m
¯
≤ d · logq (1 − q −m ) ≤ dq −m
logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ
19
qm
≤ 2dq −m
−1
qm
Ïîýòîìó ðÿä ñ βm,x â (10) ñõîäèòñÿ, à â ñèëó ñâîéñòâ ôóíêöèè f :
¯
Xi )
¯ 1 f (g
¯ ´´
³
³
m
X
X
¯
¯
Bm,x (Xi ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ −
¯
¯ gXi
m=1
x∈B≤m
f (gXi )
−
X
³
X
βm,x (X̃ ) logq
m=1 x∈B≤m
¯
¯ ´´ ¯
³
m
¯
deg x −m ¯
det 1 − Frx q ¯Vρ
¯≤
¯
f (gXi )
≤ 2 ε(gXi ) d
X
q −m ≤ 2 ε(gXi ) d
m=1
q
→ 0, ïðè i → ∞.
q−1
Òàêèì îáðàçîì ôîðìóëà (10) äîêàçàíà. Òî÷íî òàê æå äîêàçûâàåòñÿ àíàH
H
ëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ Sm,x
è σm,x
. Ïîýòîìó îñòàëîñü äîêàçàòü ðàâåíñòâî (6). Äëÿ ýòîãî èçìåíèì ïîðÿäîê ñóììèðîâàíèÿ m è n ñëåâà:
f (gXi )
X 1X X
n
Bn,x (Xi )Trm,x (Xi ) =
m
m=1
n|m
f (gXi )
X
=
x∈B≤n
X
n=1 x∈B≤n
b
f (g)
n c
X
1
Bn,x (Xi )
Trmn,x (Xi ),
m
m=1
H
è òî æå ñàìîå äëÿ Sn,x
. Ðàñêðîåì òàêæå ëîãàðèôì ñïðàâà:
f (gXi )
X
¯ ´´
³
³
m
¯
=
Bm,x (Xi ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ
X
m=1 x∈B≤m
f (gXi )
=
X
X
Bm,x (Xi )
m=1 x∈B≤m
∞
X
1
Trnm,x (Xi ).
n
n=1
H
è ñäåëàåì òî æå ñàìîå äëÿ Sn,x
. Êàê ìû âèäèì ðàçíîñòü ðàâíà
f (gXi )
X
X
m=1 x∈B≤m (U )
f (gXi )
+
X
∞
X
Bm,x (Xi )
X X
n=b
f (g)
m c+1
∞
X
H
Sm,x
(Xi )
m=1 x∈S≤m H
1
Trnm,x (Xi ) +
n
n=b
f (g)
m c+1
1
Trnm,x (Xi )
n
Âñïîìíèì, ÷òî äëÿ x ∈ B≤m (U )
¯
¯ ¯ ³ nm
¯
´¯
¯
¯ ¯
¯
¯
¯Trnm,x (Xi )¯ = ¯Tr Frxdeg x q −nm ¯Fρ,x = Vρ ¯ ≤ dq −nm ,
è äëÿ x ∈ S≤m
¯
¯ ¯ ³ nm
¯
´¯
¯
¯ ¯
¯
¯
¯Trnm,x (Xi )¯ = ¯Tr Frxdeg x q −nm ¯VρH ¯ ≤ dq −nm
20
Ïîýòîìó
¯ f (gX )
¯ Xi
¯
¯
¯
X
m=1 x∈B≤m (U )
f (gXi )
+
X
n=b
X X
m=1
n=b
f (g)
m c+1
¯
¯
1
¯
Trnm,x (Xi ) ¯ ≤
¯
n
f (gXi )
X
Bm (Xi )
1
Trnm,x (Xi ) +
n
∞
X
n=b
f (gXi )
≤d
f (g)
m c+1
H
Sm,x
(Xi )
m=1 x∈S≤m H
X
∞
X
Bm,x (Xi )
q
−nm
≤ 2d
X
Bm (Xi )q −b
f (g)
m cm−m
 [1, Ÿ3.2] òàêæå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ëþáîé f (g), òàêîé, ÷òî
âåðõíèé ïðåäåë
lim
i→∞
(g)
Òàê êàê b fm
cm íå ìåíüøå
lim
i→∞
1
gXi
f (gXi )
2d
X
Bm (Xi )q −b
1
.
m=1
f (g)
m c+1
f (g)
log g
→ 0,
f (gXi )
X mBm (Xi )
≤ 1.
q m/2 − 1
m=1
gXi
f (g)
2 ,
äëÿ m ≤ f (g), òî
f (g)
m cm−m
≤ lim q −f (g)
i→∞
m=1
1
gXi
f (gXi )
X
Bm (Xi )q −m = 0.
m=1
Òàêèì îáðàçîì (6) äîêàçàíî, à êàê ñëåäñòâèå, äîêàçàíî è âñ¼ ïðåäëîæåíèå.
¤
Ñëåäñòâèå 3.0.15. Äëÿ ëþáîãî ρ : Gal(Fq (C)/Fq (C)) → GLd (Ql ) ïðåäñòàâëåíèÿ, ïðîïóñêàþùåãîñÿ ÷åðåç íåêîòîðóþ êîíå÷íóþ ïîäãðóïïó, è ñîîòâåòñòâóþùåãî ïó÷êà Fρ , à òàêæå ïðîèçâîëüíîé áàøíè íàêðûòèé X̃ =
{Xi , ϕi } = . . . → Xn+1 → Xn → . . . → C , ñ êîìïîçèöèÿìè ϕi : Xi → C
âåðíà àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà:
logq ρTi
i→∞
gXi
lim
= −
∞ X
X
¯
´´
³
³
m
¯
H
σm,y
(X̃ ) logq det 1 − Frydeg y q −m ¯VρH
−(11)
m=1 y,H
−
∞ X
X
¯ ´´
³
³
m
¯
βm,x (X̃ ) logq det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ , (12)
m=1 x∈U
ãäå ρTi êâàçèâû÷åò ñîîòâåòñòâóþùåé L-ôóíêöèè L(ϕ∗i Fρ , s).¤
Âåðíåìñÿ òåïåðü ê òîðàì. Äëÿ òîðà T , äëÿ òî÷åê x ∈ C íå ëåæàùèõ â
âåòâëåíèè ïðåäñòàâëåíèÿ ρ:
¯ ´ |T (F m )|
³
m
q
(x)
¯
det 1 − Frxdeg x q −m ¯Vρ =
q m dim T
ïî ðåçóëüòàòó Îíî [7], ãäå T(x) ýòî òîð íàä ïîëåì âû÷åòîâ Fqx òî÷êè x, ÿâëÿþùèéñÿ ñïåöèàëèçàöèåé (èëè ðåäóêöèåé) òîðà T â ýòîé òî÷êå. Âî âòîðîé
÷àñòè ìû îãðàíè÷èëè ÷èñëî Òàìàãàâû è ïîðÿäîê êðó÷åíèÿ èñêëþ÷èòåëüíî
â òåðìèíàõ ñòåïåíè ïîëÿ ðàçëîæåíèÿ è ðàçìåðíîñòè òîðà, ïîýòîìó ÷èñëî
21
Òàìàãàâû τTi è ïîðÿäîê êðó÷åíèÿ wTi îñòàþòñÿ îãðàíè÷åííûìè äëÿ òîðîâ
Ti . Cëåäîâàòåëüíî, èç ôîðìóëû Øèðà:
logq hTi
logq DTi
logq ρTi
1
= · lim
+ lim
i→∞
i→∞
gXi
2 i→∞ gXi
gXi
lim
È, íàêîíåö, ïîëüçóÿñü ñëåäñòâèåì, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó:
Òåîðåìà 3.0.16. Ïóñòü T òîð íàä Fq (C) ðàçìåðíîñòè d ñ ïðåäñòàâëå-
íèåì ρ. Ïóñòü X̃ = {Xi , ϕi } áàøíÿ íàêðûòèé . . . → Xn+1 → Xn → . . . →
C êðèâîé C , è Ti = T ×Fq (C) Fq (Xi ). Òîãäà
logq hTi
lim
i→∞
gXi
=
∞
X
logq DTi
1
· lim
−
2 i→∞ gXi
m=1
+
∞
X X
X
X
µ
βm,x (X̃ ) logq
x∈B≤m(U )
|T(x) (Fqm )|
q m dim T
¶
−
¯
³
³
´´
m
¯
H
σm,y
(X̃ ) logq det 1 − Frydeg y q −m ¯VρH .
m=1 y∈S≤m H
Ñëåäñòâèå 3.0.17. (Ãèïîòåçà Êóíÿâñêîãî-Öôàñìàíà) Ïóñòü T òîð íàä
Fq , X̃ = {Xi } áàøíÿ íàêðûòèé . . . → X3 → X2 → X1 è Ti = T ×Fq Fq (Xi ).
Òîãäà
¶
µ
∞
X
logq hTi
|T (Fqm )|
lim
= dim T −
βm (X̃ ) logq
.
i→∞
gXi
q m dim T
m=1
H
Äîêàçàòåëüñòâî: Ó òîðîâ Ti âåòâëåíèÿ íåò, ïî ýòîé ïðè÷èíå âñå σm,y
ðàâíû 0. Äàëåå, òàê êàê Ti ïîäíÿò
ñ
F
,
òîð
T
åñòü
ïðîñòî
T
×
F
deg
x, è
q
x
F
q
q
P
T(x) (Fqm ) = T (Fqm ). Òàê êàê x βm,x = βm êîãäà íåò âåòâëåíèÿ, îñòà¼òñÿ
äîêàçàòü òîëüêî, ÷òî
logq DTi
1
· lim
= dim T.
i→∞
2
gXi
Q
Íî îïÿòü æå, òàê êàê íåòó âåòâëåíèÿ, x∈Xi Lx (Vρi , 1)ωx (Ti (Ox )) ðàâíÿåòñÿ
åäèíèöå, è äèñêðèìèíàíò ðàâåí q dim T (2gXi −2) . Áåðÿ ëîãàðèôì, äåëÿ íà gXi ,
óñòðåìëÿÿ ê ïðåäåëó, à ïîòîì ñíîâà äåëÿ, íî óæå ïîïîëàì, ïîëó÷àåì ðîâíî
dim T .¤
Ïðèìå÷àíèå. Íà ñàìîì äåëå óñëîâèå òîãî, ÷òî X̃ = {Xi } ÿâëÿåòñÿ áàøíåé
íàêðûòèé äëÿ ôîðìóëû Êóíÿâñêîãî-Öôàñìàíà íå íóæíî. Åäèíñòâåííîå ìåñòî â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû, ãäå ýòî èñïîëüçîâàëîñü, ñîñòîÿëî â òîì, ÷òî
H 0 (Fρi ) â ýòîì ñëó÷àå ñòàáèëèçèðîâàëîñü. Íî åñëè T ïîäíÿò ñ Fq , òî H 0 (Fρi )
ïðîñòî èçîìîðôíî èñõîäíîìó ïðåäñòàâëåíèþ ρ. Ïîýòîìó ãèïîòåçà âåðíà è
êîãäà X̃ ïðîèçâîëüíîå àñèìïòîòè÷åñêè òî÷íîå ñåìåéñòâî.
Òåïåðü î òåîðåìå. Åñëè, íàïðèìåð, äîëÿ âåòâëåíèÿ â ïðåäåëå íàñòîëüêî
H
ìàëà, ÷òî âñå σm,y
= 0, òî ôîðìóëà çíà÷èòåëüíî óïðîùàåòñÿ è ñòàíîâèòñÿ
î÷åíü ïîõîæà íà ôîðìóëó Êóíÿâñêîãî-Öôàñìàíà:
∞
X
logq DTi
logq hTi
1
= · lim
−
lim
i→∞
gXi
2 i→∞ gXi
m=1
X
x∈B≤m(U )
22
µ
βm,x (X̃ ) logq
|T(x) (Fqm )|
q m dim T
¶
.
Ê ñîæàëåíèþ, íå î÷åíü ïîíÿòíî êàê íàéòè ïðåäåë ñ ëîãàðèôìîì äèñêðèìèíàíòà. Òåïåðü óæå íåëüçÿ òàê ïðîñòî îöåíèòü èçìåíåíèå äèñêðèìèíàíòà ïðè
èçîãåíèè, êàê ìû ñäåëàëè ýòî ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Áðàóýðà-Çèãåëÿ,
òàê êàê êîëè÷åñòâî òî÷åê âåòâëåíèÿ ìîæåò ñèëüíî ðàñòè. Ïîýòîìó íåëüçÿ
âñ¼ ñâåñòè ê ñëó÷àþ íîðìåííûõ òîðîâ. Ñîáñòâåííî è äëÿ íîðìåííûõ òîðîâ
ôîðìóëû Ãóðâèöà óæå íå õâàòàåò, ÷òîáû ïîñ÷èòàòü ýòîò ïðåäåë. Íî, âîçìîæíî ìåíåå ëîáîâîé àíàëèç ãåîìåòðèè ïðîèñõîäÿùåãî èëè áîëåå äåòàëüíîå
èçó÷åíèå (çäåñü ïðÿìî ñêàæåì íå áûëî ïî÷òè íèêàêîãî) ïîâåäåíèÿ òîðîâ â
òî÷êàõ âåòâëåíèÿ ïîçâîëèò ïîëó÷èòü âðàçóìèòåëüíûé îòâåò è íà ýòî.
[1] Ñ. Ã. Âëýäóö, Ä. Þ. Íîãèí, Ì. À. Öôàñìàí, Àëãåáðîãåîìåòðè÷åñêèå êîäû. Òîì 1: Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. M.: ÌÖÍÌÎ, 2003. 504 ñòð.
[2] P. Deligne, La conjecture de Weil. I, IHES, Publications Mathematique No.
43, p.273-307, 1974
[3] P. Deligne, La conjecture de Weil. II, IHES, Publications Mathematique No.
52, p.137-252, 1980
[4] J. M. Fontaine,Y. Ouyang, Theory of p-adic Galois Representations (book
in preparation) sta.ustc.edu.cn/ yiouyang/galoisrep.pdf
[5] B. E. Kunyavskii, M. A. Tsfasman, Brauer-Siegel theorem for elliptic
surfaces, arXiv:0705.4257
[6] T. Ono, On some arithmetic properties of linear algebraic groups, Annals
of Mathematics, Vol. 70, 1959, p. 266290.
[7] T. Ono, Arithmetic of Algebraic Tori, Annals of Mathematics, Vol. 74, No.
1, July, 1961.
[8] T. Ono, On the Tamagawa Number of Algebraic Tori, Annals of
Mathematics, Vol. 78, No. 1, July, 1963
[9] J. Oesterle, Nombres de Tamagawa et groupes unipotents en
caracte'ristique p, Inventiones mathematicae 1984, Volume 78, Issue
1, pp 13-88
[10] V. P. Platonov, A.S.Rapinchuk, Algebraic Groups and Number Theory,
Vol.139, Academic Press, 1994
[11] J. Tsimerman, Brauer-Siegel for arithmethic tori and lower bounds for galois
orbits of special points, arXiv 1103.5619v3. 12 Jun 2011 '
[12] J. Shyr, On Some Class Number Relations of Algebraic Tori, Michigan Math
Journal, Vol. 24, Issue 3, 1977, pp. 365-377
23