1 Лемма о слоях Квиллена. Нерв покрытия.

Ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû
∗
â òåîðèè êîíå÷íûõ ãðóïï.
Ëåêöèÿ 3.
1
Ëåììà î ñëîÿõ Êâèëëåíà. Íåðâ ïîêðûòèÿ.
 íàøåì íàáîðå ãîìîòîïè÷åñêèõ èíñòðóìåíòîâ äëÿ ðàáîòû ñ ×ÓÌàìè
íå õâàòàåò åùå îäíîãî î÷åíü âàæíîãî èíñòðóìåíòà:
(î ñëîÿõ Êâèëëåíà). Ïóñòü P è Q ×ÓÌû, è f : P →
Q ìîðôèçì ×ÓÌîâ1 . Îáîçíà÷èì ÷åðåç Q≤y âñå ýëåìåíòû èç Q, íå
ïðåâîñõîäÿùèå äàííîãî y ∈ Q. Åñëè äëÿ ëþáîãî y ∈ Q ïðîñòðàíñòâî
f −1 (Q≤y ) ñòÿãèâàåìî, òî P è Q ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû, è, áîëåå
òîãî, f åñòü ãîìîòîïè÷åñêàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü2 .
Òåîðåìà 1.1
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Êâèëëåíà î ñëîÿõ íàì ïîòðåáóåòñÿ îäíà
íå ñëîæíàÿ ëåììà èç ãîìîòîïè÷åñêîé òîïîëîãèè.
Ïóñòü ∆ ñèìïëèöèàëüíûé êîìïëåêñ, à T ïðîèçâîëüíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå îòîáðàæåíèå C : ∆ →
2T , êîòîðîå êàæäîìó ñèìïëåêñó σ ∈ ∆ ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå
ïîäìíîæåñòâî C(σ) â T . Åñëè C îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî èç σ1 ⊆ σ2
ñëåäóåò C(σ1 ) ⊆ C(σ2 ), òî C íàçûâàåòñÿ íîñèòåëåì.
Ïóñòü f : ∆ → T íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå.
Íîñèòåëü C íàêðûâàåò f , åñëè f (σ) ⊆ C(σ) äëÿ ëþáîãî ñèìïëåêñà σ
èç ∆
Îïðåäåëåíèå 1.1.
∗
Çàíÿòèÿ ïðîõîäÿò ïî âòîðíèêàì â 18-30 â àóä. 12-12.
1 Òî
åñòü
2 Êàê
f
óâàæàåò ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê:
x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y).
óæå îòìå÷àëîñü ðàíåå, êîíñòðóêöèÿ Àëåêñàíäðîâà ïîçâîëÿåò ïðèìåíÿòü òî-
ïîëîãè÷åñêèå ïîíÿòèÿ ê ×ÓÌàì. Íàïðèìåð,
åñëè
∆P
è
∆Q
ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû.
1
P
è
Q
ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû,
Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íîñèòåëü C ñòÿãèâàåìûé, åñëè ëþáîå èç ìíîæåñòâ C(σ) ñòÿãèâàåìî.
Ëåììà 1.1
Òîãäà
(î íîñèòåëå). Ïóñòü C : ∆ → T ñòÿãèâàåìûé íîñèòåëü.
1. Ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f : ∆ → T , íàêðûâàåìîå
íîñèòåëåì C .
2. Åñëè f è g íàêðûâàþòñÿ C , òî îíè ãîìîòîïíû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íà÷íåì ñ ïåðâîãî ïóíêòà è áóäåì ñòðîèòü îòîáðàæåíèå f ïî èíäóêöèè ñëåäóþùèì îáðàçîì: îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆k k îñòîâ
ñèìïëèöèàëüíîãî êîìïëåêñà ∆, òî åñòü îáúåäèíåíèå âñåõ ñèìïëåêñîâ,
ðàçìåðíîñòè íå áîëüøå k . Ïîñòðîèì f íà ∆0 : äëÿ ëþáîé âåðøèíû v ∈ ∆0
ìíîæåñòâî C(v) íå ïóñòî (òàê êàê ñòÿãèâàåìî). Ïîëîæèì f ïåðåâîäèò v
â ëþáóþ òî÷êó èç C(v).
Ïóñòü òåïåðü îòîáðàæåíèå f ïîñòðîåíî íà k îñòîâå ∆k . Ïðîäîëæèì
åãî íåïðåðûâíî íà k + 1 îñòîâ. Ïóñòü σ ∈ ∆k+1 ïðîèçâîëüíîé ñèìïëåêñ ðàçìåðíîñòè k + 1. Îòîáðàæåíèå f óæå ïîñòðîåíî íà åãî ãðàíèöå ∂σ .  ñèëó òîãî, ÷òî C íîñèòåëü, ïîëó÷àåì, ÷òî f (∂σ) ⊆ C(σ). Òàê
êàê ìíîæåñòâî C(σ) ñòÿãèâàåìî, òî ñóùåñòâóåò ñòÿãèâàþùàÿ ãîìîòîïèÿ
Φ : [0; 1] × C(σ) → C(σ), Φ(0, y) = y è Φ(1, y) = y0 . Ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ∆ ýòî êîíóñ íàä ñâîåé ãðàíèöåé, à âåðøèíîé êîíóñà ÿâëÿåòñÿ
êàêàÿ-íèáóäü ôèêñèðîâàííàÿ âíóòðåííÿÿ òî÷êà x0 . Èòàê, ëþáàÿ òî÷êà
x ∈ σ åñòü ïàðà (t, x0 ), ãäå x0 ∈ ∂σ , à t ∈ [0, 1] (åñëè x = x0 , òî t = 1 è òî÷êà x0 íå âàæíà). Ïðîäîëæèì f íà âíóòðåííîñòü σ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
f (x) = Φ(t, f (x0 )). Ïðîâåðêó êîððåêòíîñòè ïîñòðîåíèÿ è íåïðåðûâíîñòè
f îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ.
Äîêàçàòåëüñòâà ïåðâîãî è âòîðîãî ïóíêòîâ ëåììû íå ñèëüíî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà: ÷òîáû ïîêàçàòü, ÷òî f è g ãîìîòîïíû, íåîáõîäèìî
ïîñòðîèòü ãîìîòîïèþ Ψ : [0; 1] × ∆ → T , ñîâïàäàþùóþ ñ f ïðè t = 0
è ñîâïàäàþùóþ ñ g ïðè t = 1. Ïîñòðîåíèå îòîáðàæåíèÿ Ψ ïðîâîäèòñÿ
àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.
Äîêàçàòåëüñòâî (òåîðåìû î ñëîÿõ Êâèëëåíà). Ïîêàæåì, ÷òî ∆f åñòü ãîìîòîïè÷åñêàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ∆P è ∆Q. Äëÿ ýòîãî ïîñòðîèì îòîáðàæåíèå g : ∆Q → ∆P , òàêîå, ÷òî ∆f ◦ g ∼ id∆Q è g ◦ ∆f ∼ id∆P .
2
1. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå C : ∆Q → 2∆P , C(σ) = f −1 (Q≤max(σ) ), ãäå
σ = (y0 < y1 < . . . < yn ), yi ∈ Q. Î÷åâèäíî, ÷òî C íîñèòåëü.
Òàê êàê ïî óñëîâèþ òåîðåìû f −1 (Q≤y ) ñòÿãèâàåìî äëÿ ëþáîãî y , òî
íîñèòåëü C ñòÿãèâàåì. Çíà÷èò, ïî ïðåäûäóùåé ëåììå ñóùåñòâóåò
îòîáðàæåíèå g : ∆Q → ∆P , íàêðûâàåìîå C .
2. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå C 0 : ∆Q → 2∆Q , C 0 (σ) = Q≤max(σ) . Î÷åâèäíî, ÷òî C 0 ñòÿãèâàåìûé íîñèòåëü. Áîëåå òîãî îòîáðàæåíèÿ
id∆Q è ∆f ◦ g èì íàêðûâàþòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ∆f ◦ g ∼ id∆Q .
3. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå C 00 : ∆P → 2∆P , C 00 (σ) = f −1 Q≤max f (σ) .
C 00 ÿâëÿåòñÿ íîñèòåëåì, è ïî óñëîâèþ òåîðåìû îí ñòÿãèâàåì. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî îáà îòîáðàæåíèÿ g ◦ ∆f è id∆P èì íàêðûâàþòñÿ, ÷òî
è òðåáîâàëîñü.
Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ñëîÿõ Êâèëëåíà ìû ñìîæåì áåç òðóäà äîêàçàòü
íàïðèìåð òåîðåìó Áîðñóêà î íåðâå ïîêðûòèÿ èç îáùåé òîïîëîãèè. Íà÷íåì, ïðàâäà, ñ áîëåå ïðîñòîãî ôàêòà, ÷òîáû ïî÷óâñòâîâàòü, êàê ðàáîòàåò
ýòà òåîðåìà :
Ïóñòü P ×ÓÌ, è Q ⊆ P . Åñëè äëÿ ëþáîãî x ∈ Q ìíîæåñòâî P<x = P≤x \ {x} ñòÿãèâàåìî, òî P è P \ Q ãîìîòîïè÷åñêè
ýêâèâàëåíòíû3 .
Ëåììà 1.2.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñòðîèì ñåðèþ ×ÓÌîâ
P = P 0 ⊇ P 1 ⊇ . . . ⊇ P n = P \ Q,
è äîêàæåì, ÷òî ×ÓÌû P k è P k+1 ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû. ×ÓÌ
P
ïîëó÷àåòñÿ èç P k óäàëåíèåì ìàêñèìàëüíûõ ýëåìåíòîâ ×ÓÌà P k ∩
Q. Î÷åâèäíî, ÷òî ÷åðåç êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ìû äîéäåì äî P \ Q.
Ïîêàæåì, ÷òî P k+1 ∼ P k . Îòîáðàæåíèå f : P k+1 → P k åñòü òîæäåñòâåííîå âëîæåíèå. Ïîêàæåì, ÷òî f óäîâëåòâîðÿåò òåîðåìå î ñëîÿõ
k+1
k
Êâèëëåíà. Ïóñòü y ∈ P k . Åñëè y ∈ P k+1 , òî f −1 (P≤y
) = P≤y
, è, ñëåäîâà−1
k
k+1
òåëüíî, ìíîæåñòâî f (P≤y ) ñòÿãèâàåìî. Åñëè æå y ∈
/ P , òî y ∈ Q è
k+1
3Â
ýòîé ëåììå êàê âåçäå â ëåêöèÿõ, ×ÓÌ
P
ïðåäïîëàãàåòñÿ êîíå÷íûì. Íà ñàìîì
æå äåëå â ýòîé ëåììå äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ×ÓÌ
öåïåé.
3
P
íå èìåë áåñêîíå÷íûõ
k
= P<y â ñèëó ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâ
y ìàêñèìàëåí â P k ∩ Q. Çíà÷èò P<y
k
−1
k
P . Áîëåå òîãî, f (P≤y ) = P<y ñòÿãèâàåìî ïî óñëîâèþ ëåììû. ×òî è
òðåáîâàëîñü.
Òàêèì îáðàçîì, èç ëþáîãî ×ÓÌà ìîæíî âûêèíóòü òå ýëåìåíòû, ×ÓÌ
ïîä êîòîðûìè ñòÿãèâàåì (èëè íàä êîòîðûìè ñòÿãèâàåì).
(Òåîðåìà îá èäåàëüíîì îòíîøåíèè Êâèëëåíà). Ïóñòü
P è Q ×ÓÌû, à R ⊆ P × Q èäåàëüíîå îòíîøåíèå, òî åñòü èç
(x0 , y 0 ) ≤ (x, y) è (x, y) ∈ R ñëåäóåò, ÷òî (x0 , y 0 ) ∈ R. Äîêàçàòü, ÷òî
åñëè ìíîæåñòâà Rx = {y ∈ Q : (x, y) ∈ R} è Ry = {x ∈ P : (x, y) ∈ R}
ñòÿãèâàåìû äëÿ âñåõ x ∈ P è y ∈ Q, òî P , Q è R ãîìîòîïè÷åñêè
ýêâèâàëåíòíû.
Óïðàæíåíèå 1.1
Ïóñòü òåïåðü íåêîòîðîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî
T ïîêðûòî íåïóS
ñòûìè ìíîæåñòâàìè Ui ⊆ T , ãäå i ∈ I : T = i∈I Ui . Íåðâîì ïîêðûòèÿ
Ui íàçûâàåòñÿ ñèìïëèöèàëüíûé êîìïëåêñ N (Ui ), âåðøèíàìè êîòîðîãî
âûñòóïàþò ýëåìåíòû ìíîæåñòâà I , à ìíîæåñòâî {i1 , i2 , . . . , ik } îáðàçóåò
ñèìïëåêñ, åñëè Ui1 ∩ Ui2 ∩ . . . ∩ Uik 6= ∅.
(Áîðñóêà î íåðâå). Ïóñòü ∆ ñèìïëèöèàëüíûé êîìïëåêñ à
Ui , i ∈ I åãî ëîêàëüíî êîíå÷íîå ïîêðûòèå. Åñëè êàæäîå èç ïåðåñå÷åíèé
Ui1 ∩Ui2 ∩. . .∩Uik 6= ∅ ëèáî ïóñòî, ëèáî ñòÿãèâàåìî, òî ñèìïëèöèàëüíûé
êîìïëåêñ ∆ è íåðâ N (Ui ) ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû.
Òåîðåìà 1.2
Ìû ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ïðè áîëåå ñèëüíûõ óñëîâèÿõ: êàê âñåãäà ñèìïëèöèàëüíûé êîìïëåêñ ∆ ïðåäïîëàãàåòñÿ êîíå÷íûì.
Êðîìå òîãî ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî êîíå÷íûå ïîêðûòèÿ |I| < ∞
è ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäîå èç Ui åñòü ïîäêîìïëåêñ â ∆.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ×ÓÌû P (∆) è P N (Ui ) ãðàíåé ∆ è N (Ui ),
óïîðÿäî÷åííûõ ïî âëîæåíèþ.
Åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàåò ìîðôèçì
f : P (∆) → P N (Ui ) òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîé ãðàíè σ ∈ P (∆) èìååì
f (σ) = {i ∈ I : σ ⊆ Ui }. Âîîáùå ãîâîðÿ, îòîáðàæåíèå f íå ñîõðàíÿåò
ïîðÿäîê, à îáðàùàåò åãî (x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y)). Îäíàêî, ýòî íå èìååò
çíà÷åíèÿ, òàê êàê ìû ñîâåðøåííî áåçáîëåçíåííî ìîæåì èçìåíèòü ïîðÿäîê íà ïðîòèâîïîëîæíûé â ëþáîì èç äâóõ ×ÓÌîâ (íå áóäåì ýòîãî
äåëàòü, ÷òîáû èçáåæàòü ïóòàíèöû).
4
Ïîêàæåì, ÷òî ìîðôèçì f óäîâëåòâîðÿåò òåîðåìå Êâèëëåíà î ñëîÿõ:
−1
ïóñòü K ∈ N (Ui ), òîãäà f
P N (Ui ) ≥K ñîñòîèò èç òåõ ãðàíåé ∆,
÷òî ëåæàò â êàæäîì U
i ïðè i ∈ K , è ìîæåò áûòü åùå â êàêèõ-òî Ui .
T
Èòàê, f −1 P N (Ui ) ≥K = i∈K Ui â ñèëó òîãî, ÷òî Ui ïîêðûòèå. Ýòî
Ìíîæåñòâî íå ïóñòî, òàê êàê K ∈ N (Ui ), çíà÷èò, îíî ñòÿãèâàåìî ïî
óñëîâèþ òåîðåìû. Ñëåäîâàòåëüíî, f óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû
Êâèëëåíà.
×ÓÌû P (∆) è P N (Ui ) ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû. Îñòàëîñü âñïîìíèòü, ÷òî ∆(P (∆)) åñòü áàðèöåíòðè÷åñêîå ïîäðàçáèåíèå ∆, òî åñòü ∆ è
∆(P (∆)) ãîìåîìîðôíû. Àíàëîãè÷íî äåéñòâóåì ñ N (Ui ).
Åñëè â êà÷åñòâå ïîêðûòèÿ ∆ âçÿòü âñå ñèìïëåêñû ∆, òî íåðâ N (Ui )
áóäåò â òî÷íîñòè áàðèöåíòðè÷åñêèì ïîäðàçáèåíèåì ∆.  ýòîì ñëó÷àå ∆ è
N (Ui ) íå òîëüêî ãîìîòîïè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû, íî è ãîìåîìîðôíû. Åñëè
æå â êà÷åñòâå ïîêðûòèÿ ∆ âçÿòü âñå ìàêñèìàëüíûå ñèìïëåêñû, òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû Áîðñóêà ñîâïàäåò ñ èçâåñòíûì íàì ôàêòîì ïîäðåøåòêå
ïåðåñå÷åíèé ìàêñèìàëüíûõ ýëåìåíòîâ.
Ïðåäëîæèòü ïîêðûòèå äâóìåðíîé ñôåðû S 2 , óäîâëåòâîðÿþùåé òåîðåìå Áîðñóêà.
Óïðàæíåíèå 1.2.
5