Отношения

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, îñåíü 2011
Çàäà÷è ïðî îòíîøåíèÿ
Ïðåäèêàòîì âàëåíòíîñòè
n
A
n íà ìíîæåñòâå A íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî
. Ïðåäèêàòû âàëåíòíîñòè 1 íàçûâàþòñÿ ñâîéñòâàìè, âàëåíòíîñòè 2 îòíîøåíèÿìè.
1. ×òî òàêîå ïðåäèêàò âàëåíòíîñòè 0? Ñêîëüêî èõ?
2. Ïóñòü ìíîæåñòâî
A
ñîñòîèò èç
k
Îòíîøåíèé? Ïðåäèêàòîâ âàëåíòíîñòè
ýëåìåíòîâ. Ñêîëüêî íà í¼ì ðàçëè÷íûõ ñâîéñòâ?
n?
x
Äëÿ çàïèñè òîãî, ÷òî äâà ýëåìåíòà
ïèøóò
xRy .
y
è
ëåæàò â îòíîøåíèè
R
Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ ðåôëåêñèâíûì, åñëè âñåãäà âûïîëíåíî
xRy
øåíèå íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, åñëè èç
âàåòñÿ òðàíçèòèâíûì, åñëè èç
xRy
è
yRz
âñåãäà ñëåäóåò
âñåãäà ñëåäóåò
xRz .
yRx.
(x, y) ∈ R
xRx. Îòíî-
âìåñòî
Îòíîøåíèå íàçû-
Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ
îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè, åñëè îíî ðåôëåêñèâíî, ñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî.
3. Äîêàæèòå, ÷òî íè îäíî òðåáîâàíèå â îïðåäåëåíèè îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè íå
ÿâëÿåòñÿ ëèøíèì: íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò ñèììåòðè÷íîå, òðàíçèòèâíîå, íî íå ðåôëåêñèâíîå îòíîøåíèå.
Îñíîâíàÿ òåîðåìà îá îòíîøåíèÿõ ýêâèâàëåíòíîñòè ãëàñèò, ÷òî åñëè íà ìíîæåñòâå
çàäàíî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, òî âñ¼ ìíîæåñòâî ðàçáèâàåòñÿ íà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè. (Ò.å. ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå îáúåäèíåíèÿ íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ,
òàê ÷òî äâà ýëåìåíòà ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëåæàò â îäíîì è òîì
æå ïîäìíîæåñòâå.)
4. ßâëÿþòñÿ ëè ñëåäóþùèå îòíîøåíèÿ îòíîøåíèÿìè ýêâèâàëåíòíîñòè? Åñëè äà, òî
óêàæèòå, íà êàêèå êëàññû ðàçáèâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ìíîæåñòâà:
a)
b)
c)
d)
.
|x − y|..k íà ìíîæåñòâå Z, ãäå k ∈ N, k > 0;
{((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) | x1 − x2 = y1 − y2 } íà ïëîñêîñòè;
|x − y| < 1 íà R;
{(AB, CD) | ABDC ïàðàëëåëîãðàìì, âîçìîæíî, âûðîæäåííûé} (íà ìíîæåñòâå
íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ, âîçìîæíî âûðîæäåííûõ, íà ïëîñêîñòè)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
xky íà ìíîæåñòâå âñåõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè;
xky èëè x = y íà ìíîæåñòâå âñåõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè;
x ãîìîòåòè÷åí y íà ìíîæåñòâå âñåõ òðåóãîëüíèêîâ íà ïëîñêîñòè;
x ïîäîáåí y íà ìíîæåñòâå âñåõ òðåóãîëüíèêîâ íà ïëîñêîñòè;
Èç x ñóùåñòâóåò ïóòü â y íà ìíîæåñòâå âñåõ âåðøèí íåêîòîðîãî ãðàôà;
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü an −bn áåñêîíå÷íî ìàëà (íà ìíîæåñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë);
k) f è
l) f è
g
g
ðàâíû â íóëå íà ìíîæåñòâå âñåõ ôóíêöèé èç
â
R;
ðàâíû â íåêîòîðîé òî÷êå íà ìíîæåñòâå âñåõ ôóíêöèé èç
5. Èçâåñòíî, ÷òî
Ìîæåò ëè
R
R
R
R
â
R?
îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå èç 5 ýëåìåíòîâ.
ñîäåðæàòü (êàê ïîäìíîæåñòâî
A × A)
1
16 ïàð? À 17?
6. Ïóñòü
RèS
ÿâëÿþòñÿ îòíîøåíèÿìè ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå
A. ßâëÿþòñÿ
R∪S è R∩S ? Åñëè äà, òî êàê ñâÿçàíû êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè
äëÿ íèõ ñ êëàññàìè äëÿ R è S ?
Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì, åñëè èç aRb è aRc âñåãäà ñëåäóåò bRc.
ëè òàêîâûìè îòíîøåíèÿ
7. Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà îíî ðåôëåêñèâíî è åâêëèäîâî.
8. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ñèììåòðè÷íîãî è åâêëèäîâà, íî íåðåôëåêñèâíîãî îòíîøåíèÿ
íà
N.
Ìîæåòå ëè âû îïèñàòü âñå òàêèå îòíîøåíèÿ?
Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ àíòèñèììåòðè÷íûì, åñëè èç
xRy
è
yRx
ñëåäóåò
x = y.
Îòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåì (÷àñòè÷íîãî) ïîðÿäêà, åñëè îíî ðåôëåêñèâíî, àíòèñèììåòðè÷íî è òðàíçèòèâíî. Ïîðÿäîê íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè, êðîìå òîãî, ëþáûå
äâà ýëåìåíòà ñðàâíèìû (äëÿ ëþáûõ
xèy
âåðíî
xRy
èëè
yRx). (×àñòè÷íî) óïîðÿäî÷åí-
íûì ìíîæåñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì ñ çàäàííûì íà í¼ì îòíîøåíèåì ïîðÿäêà.
Îáîçíà÷åíèå:
hA, Ri. Åñëè ïîðÿäîê ëèíååí, òî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî
óïîðÿäî-
÷åííûì.
9. Ïðîâåðüòå, ÷òî ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ óïîðÿäî÷åííûìè. Êàêèå èç íèõ
óïîðÿäî÷åíû ëèíåéíî?
a)
b)
c)
hA, =i,
hA, 6i,
hA, >i,
ãäå
ãäå
A
A
A
ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî;
îäíî èç ìíîæåñòâ
N, Z, Q, R;
N, Z, Q, R;
ãäå
îäíî èç ìíîæåñòâ
.
.
d) hN, .i;
A
e) h2 , ⊂i, ãäå A ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî;
2
f ) hR , 6lex i, ãäå (x1 , y1 ) 6lex (x2 , y2 ), åñëè x1 < x2 èëè x1
2
g) hR , 6i, ãäå (x1 , y1 ) 6 (x2 , y2 ), åñëè x1 6 x2 è y1 6 y2 .
= x2
è
y1 < y2 ;
10. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå ñ÷¼òíîå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ìîæíî äîóïîðÿäî÷èòü
R
ëèíåéíî. (Ò.å. äëÿ ëþáîãî îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà
ðÿäêà
S,
òàêîå ÷òî
R ⊂ S .)
6.
x6y
Ïóñòü äàíî îòíîøåíèå ïîðÿäêà
ðÿäêà
<
ñóùåñòâóåò îòíîøåíèå ëèíåéíîãî ïî-
ïî ïðàâèëó:
x < y,
åñëè
Ïî íåìó îïðåäåëÿåòñÿ îòíîøåíèå ñòðîãîãî ïîè
x 6= y .
11. Ñôîðìóëèðóéòå àêñèîìû ñòðîãîãî ïîðÿäêà, ò.å. íàáîð åãî ñâîéñòâ, ýêâèâàëåíò-
íûé ðåôëåêñèâíîñòè, àíòèñèììåòðè÷íîñòè è òðàíçèòèâíîñòè îòíîøåíèÿ
6.
12. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå íåñòðîãîãî ïîðÿäêà ÷åðåç îòíîøåíèå ñòðîãîãî. Ïóñòü íà
R2
çàäàíî îòíîøåíèå
(x1 , x2 ) < (y1 , y2 ),
åñëè
x1 < y1
è
x2 < y2 .
Êàêîìó îòíîøåíèþ
íåñòðîãîãî ïîðÿäêà îíî ñîîòâåòñòâóåò? Ñîâïàäàåò ëè ýòî îòíîøåíèå ñ îòíîøåíèåì èç
çàäà÷è 9g?
hA, 6A i è hB, 6B i íàçûâàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëè
f : A → B , òàêàÿ ÷òî x 6A y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f (x) 6B
Äâà óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâà
ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ
f (y).
13. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò íåèçîìîðôíûõ ïîðÿäêîâ íà ìíîæåñòâå èç 3 ýëåìåíòîâ? Èç
4 ýëåìåíòîâ?
2
x óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà hA, 6A i íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèì, åñëè äëÿ
y ∈ A âûïîëíåíî x 6A y , è ìèíèìàëüíûì, åñëè íåò y ∈ A, òàêîãî ÷òî y <A x.
Ýëåìåíò
ëþáîãî
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ íàèáîëüøèé è ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíòû.
14. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ìíîæåñòâà, â êîòîðîì äâà ìèíèìàëüíûõ ýëåìåíòà. Ìîæåò ëè
â ìíîæåñòâå áûòü äâà íàèìåíüøèõ ýëåìåíòà?
15. Äîêàæèòå, ÷òî íàèìåíüøèé ýëåìåíò âñåãäà ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ìèíèìàëü-
íûì ýëåìåíòîì.
16. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ìíîæåñòâà, â êîòîðîì åäèíñòâåííûé ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò
íå ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì.
17. Äîêàæèòå, ÷òî â ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâàõ ìèíèìàëüíûé è íàèìåíü-
øèé ýëåìåíò ýòî îäíî è òî æå.
18. Äîêàæèòå, ÷òî â èçîìîðôíûõ ìíîæåñòâàõ êîëè÷åñòâà ìèíèìàëüíûõ è íàèìåíü-
øèõ ýëåìåíòîâ ñîâïàäàþò.
Ñóììîé
A+B
äî÷åííîå ìíîæåñòâî
è
x 6A y ; x, y ∈ B
hA, 6A i è hB, 6B i íàçûâàåòñÿ óïîðÿx 6C y â îäíîì èç òð¼õ ñëó÷àåâ: x, y ∈ A
äâóõ óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ
è
hC, 6C i, ãäå C = A t B , a
x 6B y èëè x ∈ A è y ∈ B .
19. Äîêàæèòå, ÷òî ñëîæåíèå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ àññîöèàòèâíî, íî íå êîììó-
òàòèâíî.
20. Ïóñòü
A + N èçîìîðôíî N. Äîêàæèòå, ÷òî A êîíå÷íîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå
ìíîæåñòâî.
hA, 6A i è hB, 6B i íàçûâàåòñÿ
hC, 6C i, ãäå C = A×B , à (x1 , y1 ) 6C (x2 , y2 ), åñëè x1 <A x2 èëè
x1 = x2 è y1 6B y2 . Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì A × B äâóõ óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ
hA, 6A i è hB, 6B i íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî hC, 6C i, ãäå C = A × B , à
(x1 , y1 ) 6C (x2 , y2 ), åñëè x1 6A x2 è y1 6B y2 .
Ïðîèçâåäåíèåì
A·B
äâóõ óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ
óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî
21. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå è äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå àññîöèàòèâíû, íî íå êîì-
ìóòàòèâíû. Âåðíû ëè äëÿ íèõ ïðàâàÿ è ëåâàÿ äèñòðèáóòèâíîñòè?
22. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè
B + B + · · · + B (k
A
êîíå÷íî è ñîñòîèò èç
k
ýëåìåíòîâ, òî
A·B
èçîìîðôíî
ðàç).
23. Ïðèäóìàéòå ïîäìíîæåñòâî
R,
N · N.
ìíîæåñòâà Q, Q ∩ (0, 1), Q ∩ (0, ∞)
êîòîðîìó èçîìîðôíî
24. Ïîñòðîéòå ïîïàðíûå èçîìîðôèçìû ìåæäó
è
Q2 = { 2kn | k ∈ Z, n ∈ N }.
Ïîðÿäîê íàçûâàåòñÿ ïëîòíûì, åñëè äëÿ âñåõ
x<y
íàéä¼òñÿ
z , òàêîå ÷òî x < z < y .
25. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáûå äâà ñ÷¼òíûõ ïëîòíî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâà
áåç íàèìåíüøåãî è íàèáîëüøåãî ýëåìåíòîâ èçîìîðôíû.
A,
A · A?
26. Ìîæåò ëè ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî
ìåíòà, áûòü èçîìîðôíûì
A + A?
À èçîìîðôíûì
â êîòîðîì áîëüøå îäíîãî ýëå-
27. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáûå äâà ñ÷¼òíûõ ïëîòíî ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâà
ñ íàèìåíüøèì è íàèáîëüøèì ýëåìåíòàìè èçîìîðôíû.
28. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå ñ÷¼òíîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî èçîìîðôíî
íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó ìíîæåñòâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.
29. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâà
R, R + R
è
3
R·R
ïîïàðíî íå èçîìîðôíû.