Lot Zadeh Fuzzy sets (1965) Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x, y ∈ {0, 1} Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x, y ∈ {0, 1} u, v ∈ [0, 1] Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x, y ∈ {0, 1} x ¬x = x 0 1 1 0 u, v ∈ [0, 1] Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x, y ∈ {0, 1} x ¬x = x 0 1 1 0 u, v ∈ [0, 1] ¬u = (1 − u) Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x, y ∈ {0, 1} x ¬x = x 0 1 1 0 x 0 0 1 1 y x ∧y 0 0 1 0 0 0 1 1 x ∨y 0 1 1 1 u, v ∈ [0, 1] ¬u = (1 − u) Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x, y ∈ {0, 1} x ¬x = x 0 1 1 0 x 0 0 1 1 y x ∧y 0 0 1 0 0 0 1 1 x ∨y 0 1 1 1 u, v ∈ [0, 1] ¬u = (1 − u) e v = min(u, v ) u∧ e v = max(u, v ) u∨ Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x ∨y x ∧y e v = max(u, v ) u∨ e v = max(u, v ) u∧ x ∨y =y ∨x max(u, v ) = max(v , u) Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x ∨y x ∧y e v = max(u, v ) u∨ e v = max(u, v ) u∧ x ∨y =y ∨x max(u, v ) = max(v , u) x ∧y =y ∧x min(u, v ) = min(u, v ) Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x ∨y x ∧y e v = max(u, v ) u∨ e v = max(u, v ) u∧ x ∨y =y ∨x max(u, v ) = max(v , u) x ∧y =y ∧x min(u, v ) = min(u, v ) x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y ) ∨ z max(u, max(v , w )) = max(max(u, v ), w ) Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x ∨y x ∧y e v = max(u, v ) u∨ e v = max(u, v ) u∧ x ∨y =y ∨x max(u, v ) = max(v , u) x ∧y =y ∧x min(u, v ) = min(u, v ) x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y ) ∨ z max(u, max(v , w )) = max(max(u, v ), w ) x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y ) ∧ z min(u, min(v , w )) = min(min(u, v ), w ) Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x ∨y x ∧y e v = max(u, v ) u∨ e v = max(u, v ) u∧ x ∨y =y ∨x max(u, v ) = max(v , u) x ∧y =y ∧x min(u, v ) = min(u, v ) x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y ) ∨ z max(u, max(v , w )) = max(max(u, v ), w ) x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y ) ∧ z min(u, min(v , w )) = min(min(u, v ), w ) x ∨y =x ∧y 1 − max(u, v ) = min(1 − u, 1 − v ) Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x ∨y x ∧y e v = max(u, v ) u∨ e v = max(u, v ) u∧ x ∨y =y ∨x max(u, v ) = max(v , u) x ∧y =y ∧x min(u, v ) = min(u, v ) x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y ) ∨ z max(u, max(v , w )) = max(max(u, v ), w ) x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y ) ∧ z min(u, min(v , w )) = min(min(u, v ), w ) x ∨y =x ∧y 1 − max(u, v ) = min(1 − u, 1 − v ) x ∧y =x ∨y 1 − min(u, v ) = max(1 − u, 1 − v ) Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x ∨y x ∧y e v = u + v − uv u∨ e v = uv u∧ Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x ∨y x ∧y e v = u + v − uv u∨ e v = uv u∧ x ∨y =y ∨x u + v − uv = v + u − vu Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x ∨y x ∧y e v = u + v − uv u∨ e v = uv u∧ x ∨y =y ∨x u + v − uv = v + u − vu x ∧y =y ∧x uv = vu Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x ∨y x ∧y e v = u + v − uv u∨ e v = uv u∧ x ∨y =y ∨x u + v − uv = v + u − vu x ∧y =y ∧x uv = vu x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y ) ∨ z u + (v + w − vw ) − u(v + u − vw ) = = u + v + w − uv − uw − vw + uvw Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x ∨y x ∧y e v = u + v − uv u∨ e v = uv u∧ x ∨y =y ∨x u + v − uv = v + u − vu x ∧y =y ∧x uv = vu x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y ) ∨ z x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y ) ∧ z u + (v + w − vw ) − u(v + u − vw ) = = u + v + w − uv − uw − vw + uvw u(vw ) = (uv )w Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x ∨y x ∧y e v = u + v − uv u∨ e v = uv u∧ x ∨y =y ∨x u + v − uv = v + u − vu x ∧y =y ∧x uv = vu x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y ) ∨ z x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y ) ∧ z x ∨y =x ∧y u + (v + w − vw ) − u(v + u − vw ) = = u + v + w − uv − uw − vw + uvw u(vw ) = (uv )w 1 − (u + v − vw ) = 1 − u − v + vw = = (1 − u)(1 − v ) Íå÷åòêèå ëîãè÷åñêèå ñâÿçêè x ∨y x ∧y e v = u + v − uv u∨ e v = uv u∧ x ∨y =y ∨x u + v − uv = v + u − vu x ∧y =y ∧x uv = vu x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y ) ∨ z x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y ) ∧ z u + (v + w − vw ) − u(v + u − vw ) = = u + v + w − uv − uw − vw + uvw u(vw ) = (uv )w x ∨y =x ∧y 1 − (u + v − vw ) = 1 − u − v + vw = = (1 − u)(1 − v ) x ∧y =x ∨y (1 − u) + (1 − v ) − (1 − u)(1 − v ) = = 1 − u + 1 − v − 1 + u + v + uv = = 1 − uv Íîðìû è êîíîðìû Ôóíêöèè T , S : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] íàçûâàþò íîðìîé è êîíîðìîé, åñëè îíè: 1. ìîíîòîííû; 2. àññîöèàòèâíû; 3. êîììóòàòèâíû; 4. ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè äå Ìîðãàíà 1 − T (u, v ) = S(1 − u, 1 − v ) è 1 − S(u, y ) = T (1 − u, 1 − v ); 5. óäîâëåòâîðÿþò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì T (0, 0) = T (0, 1) = T (1, 0) = 0, T (1, 1) = 1, S(1, 1) = S(0, 1) = T (1, 0) = 1, S(0, 0) = 0