Мощности множеств

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, îñåíü 2012
Çàäà÷è ïðî ìîùíîñòè ìíîæåñòâ
Åñëè
A
|A| îáîçíà÷èì
ìíîæåñòâ A è B :
êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî ÷åðåç
1. Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ êîíå÷íûõ
êîëè÷åñòâî åãî ýëåìåíòîâ.
A â B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |A| 6 |B|;
A â B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |A| > |B|;
ìåæäó A è B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |A| = |B|;
a) Ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ èç
b) Ñóùåñòâóåò ñþðúåêöèÿ èç
c) Ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ
B íàçûâàþòñÿ ðàâíîìîùíûìè, åñëè
∼
Îáîçíà÷åíèå: A = B .
2. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A, B è C :
Ìíîæåñòâà
a)
b)
c)
A
A
íå áîëåå ìîùíî, ÷åì
Îáîçíà÷åíèå:
b)
c)
A
â
B.
B,
åñëè
A
ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó
A / B.
3. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ
a)
ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ èç
A∼
= A;
Åñëè A ∼
= B , òî B ∼
= A;
∼
∼
Åñëè A = B è B = C , òî A ∼
= C.
Ãîâîðÿò, ÷òî
B.
è
∅/A
A / A;
Åñëè A / B
è
B / C,
Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ
òî
A, B
è
C:
A / C.
ñ÷¼òíûì,
åñëè îíî ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
N.
4. Ïîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì áåñêîíå÷íîì ìíîæåñòâå íàéä¼òñÿ ñ÷¼òíîå ïîäìíîæåñòâî.
5. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ñ÷¼òíîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íî èëè ñ÷¼òíî.
6. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå ñ÷¼òíîãî è êîíå÷íîãî ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî.
7. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå äâóõ ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî.
8. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå ñ÷¼òíîãî ÷èñëà ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî.
9. Äîêàæèòå ñ÷¼òíîñòü ñëåäóþùèõ ìíîæåñòâ:
a) ìíîæåñòâî ÷¼òíûõ ÷èñåë;
b)
c)
Z;
Q;
d) ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç 0 è 1;
e) ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;
f)
g)
Z[x] (ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ îò x ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè);
A (ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë, ò.å. êîðíåé ìíîãî÷ëåíîâ ñ
öèåíòàìè);
1
öåëûìè êîýôôè-
h)
Q[x1 , x2 , . . . ] (ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò ñ÷¼òíîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ);
i) Ìíîæåñòâî ãðàôîâ ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì âåðøèí.
Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ
íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíûì,
åñëè îíî êîíå÷íî èëè ñ÷¼òíî.
10. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíû:
a) Ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëîâ íà ïðÿìîé;
b) Ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ âîñüì¼ðîê íà ïëîñêîñòè
(âîñüì¼ðêà îáúåäèíåíèå äâóõ êàñàþùèõñÿ âíåøíèì îáðàçîì îêðóæíîñòåé, îäíà âîñüì¼ðêà ìîæåò íàõîäèòüñÿ öåëèêîì âíóòðè äðóãîé);
c) Ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ áóêâ Ò íà ïëîñêîñòè (ò.å.
íàáîðîâ èç òð¼õ íåâûðîæäåííûõ îòðåçêîâ, èìåþùèõ îäèí îáùèé êîíåö è íèêàêèõ
äðóãèõ îáùèõ òî÷åê);
d) Ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ïðîèçâîëüíîé ìîíîòîííîé ôóíêöèè.
Ïóñòü
èç
A
â
AèB
äâà ìíîæåñòâà. ×åðåç
BA
îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé
B.
11. Ïóñòü
A
è
B
ñóòü êîíå÷íûå ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç
BA?
n
è
k
ýëåìåíòîâ ñîîòâåò-
ñòâåííî. Ñêîëüêî ýëåìåíòîâ â
A ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Ñêîëüêî ýëåìåíòîâ â ∅A ? À â A∅ ?
A
13. Ïóñòü A êîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî B ìíîæåñòâî B
|A|
ðàâíîìîùíî B
(äåêàðòîâîé ñòåïåíè).
14. Ïóñòü A, B è C ïðîèçâîëüíûå ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà. Äîêà12. Ïóñòü
æèòå, ÷òî:
a)
b)
c)
AB × AC ∼
= AB∪C ;
AC × B C ∼
= (A × B)C ;
B C ∼
(A ) = AB×C .
A / B , òî AC / B C è C A / C B .
16. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè A áåñêîíå÷íî, à B íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíî, òî A ∪ B ∼
= A.
Òåîðåìà ÊàíòîðàÁåðíøòåéíà óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè A / B è B / A, òî A ∼
= B.
15. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè
17. Äîêàæèòå, ÷òî:
a) Ëþáûå äâà îòðåçêà ðàâíîìîùíû;
b) Ëþáûå äâà èíòåðâàëà ðàâíîìîùíû;
c) Ëþáîé èíòåðâàë ðàâíîìîùåí ëþáîìó îòðåçêó;
d) Ëþáîé ïðÿìîóãîëüíèê ðàâíîìîùåí ëþáîìó êðóãó.
18. Ïîñòðîéòå áèåêöèè ìåæäó ñëåäóþùèìè ïàðàìè ìíîæåñòâ:
a) Îòðåçîê
b) Îòðåçîê
[0, 1]
[0, 1]
[0, 1);
(0, 1);
è ïîëóèíòåðâàë
è èíòåðâàë
2
c) Èíòåðâàë
d)
R
è
{0, 1}
(0, 1)
N
è
R;
(ò.å. ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé 0 è 1).
Ìíîæåñòâà, ðàâíîìîùíûå ìíîæåñòâó äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, íàçûâàþòñÿ
íûìè.
êîíòèíóàëü-
19. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî èëè ñ÷¼òíîãî ÷èñëà êîíòèíóàëüíûõ ìíî-
æåñòâ êîíòèíóàëüíî.
20. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà êîíòèíóàëüíû:
a)
b)
c)
d)
({0, 1}N )2 (ò.å. ìíîæåñòâî ïàð áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
[0, 1]2 ;
R2 ;
Rn äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàòóðàëüíîãî n > 0;
0 è 1);
e) Ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ âíóòðè íåêîòîðîãî òðåóãîëüíèêà íà ïëîñêîñòè;
f ) Ìíîæåñòâî âñåõ òðåóãîëüíèêîâ íà ïëîñêîñòè;
NN ;
g)
h) Ìíîæåñòâî èíúåêòèâíûõ ôóíêöèé èç
N â N;
èõ N â N;
i) Ìíîæåñòâî ñþðúåêòèâíûõ ôóíêöèé
RN ;
j)
k) Ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé èç
l) Ìíîæåñòâî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé èç
R â R;
R â R.
21. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå êîíòèíóàëüíîãî ÷èñëà êîíòèíóàëüíûõ ìíîæåñòâî
êîíòèíóàëüíî.
22. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâà
2R , NR
è
RR
ðàâíîìîùíû è âñå áîëåå, ÷åì êîíòèíó-
àëüíû.
23. Îïèøèòå â ÿâíîì âèäå áèåêöèè ìåæäó
3
2R
è
NR ,
à òàêæå ìåæäó
2R
è
RR .