ÄÈÑÊÐÅÒÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÈÓ5, 3 ñåìåñòð, 2015 ã. Ëåêöèÿ 3. ÎÒÍÎØÅÍÈß ÝÊÂÈÂÀËÅÍÒÍÎÑÒÈ È ÏÎÐßÄÊÀ • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 3.1. Îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè Ïóñòü A | ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Ñåìåéñòâî (Bi )i∈I íåïóñòûõ è ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ íàçûâàþò ðàçáèåíèåì ìíîæåñòâà A , åñëè [ îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ ñåìåéñòâà (Bi )i∈I ðàâíî A , ò.å. Bi = A . i∈I Ñàìè ìíîæåñòâà Bi íàçûâàþò ýëåìåíòàìè ðàçáèåíèÿ (Bi )i∈I . Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè. Ñåìåéñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ îáðàçóåò ðàçáèåíèå ïëîñêîñòè. Ýëåìåíòîì ðàçáèåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê êàæäîé ïðÿìîé. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïóñòü ρ | ýêâèâàëåíòíîñòü íà ìíîæåñòâå A è x ∈ A . Êëàññîì ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ρ íàçûâàþò ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòîâ A , ýêâèâàëåíòíûõ x , ò.å. ìíîæåñòâî {y: y ρ x} . Êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè îáîçíà÷àþò [x]ρ . Äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x ∈ A êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè íå ïóñò â ñèëó ðåôëåêñèâíîñòè , òàê êàê x ∈ [x]ρ . Ôàêòîð-ìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà A ïî îòíîøåíèþ ρ íàçûâàþò ìíîæåñòâî âñåõ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïî äàííîìó îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè ρ íà ìíîæåñòâå A è îáîçíà÷àþò A/ρ . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Óòâåðæäåíèå 3.1. Ëþáûå äâà êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ρ ëèáî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ëèáî ñîâïàäàþò. J Ïóñòü äâà êëàññà ýêâèâàëåíòíîñòè [x]ρ è [y]ρ èìåþò îáùèé ýëåìåíò z ∈ [x]ρ ∩ [y]ρ . Òîãäà z ρ x è z ρ y .  ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè îòíîøåíèÿ ρ : x ρ z , òîãäà x ρ z è z ρ y .  ñèëó òðàíçèòèâíîñòè îòíîøåíèÿ ρ ïîëó÷èì x ρ y . Ïóñòü h ∈ [x]ρ ⇒ (h ρ x ∧ x ρ y) ⇒ h ρ y ⇒ h ∈ [y]ρ. Ýòî âåðíî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà h ∈ [x]ρ . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Îáðàòíî, åñëè h ∈ [y]ρ ⇒ (h ρ y) ∧ (x ρ y) ⇒ ⇒ ( òî â ñèëó ñèììåòðè÷íîñòèρ) (h ρ y) ∧ (y ρ x) ⇒ ⇒ (â ñèëó òðàíçèòèâíîñòè) h ρ x ⇒ h ∈ [x]ρ ⇒ [x]ρ = [y]ρ. I • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Òåîðåìà 1. Äëÿ ëþáîãî îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå A ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè îáðàçóåò ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà A . Îáðàòíî, ëþáîå ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà A çàäàåò íà íåì îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, äëÿ êîòîðîãî êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè ñîâïàäàþò ñ ýëåìåíòàìè ðàçáèåíèÿ. J Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè ρ íà ìíîæåñòâå A îïðåäåëÿåò íåêîòî- ðîå ðàçáèåíèå ýòîãî ìíîæåñòâà. Êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó êëàññó ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ρ ò.ê. äëÿ ëþáîãî x ∈ A ñïðàâåäëèâî x ∈ [x]ρ ( x ρ x ). Ìíîæåñòâî âñåõ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè ïî îòíîøåíèþ ρ îáðàçóåò ðàçáèåíèå èñõîäíîãî ìíîæåñòâà A . Ò.î., ëþáîå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ðàçáèåíèå. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïóñòü (Bi )i∈I | íåêîòîðîå ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà A . Ðàññìîòðèì îòíîøåíèå ρ , òàêîå, ÷òî x ρ y ⇔ (∃i ∈ I)(x ∈ Bi) ∧ (y ∈ Bi). Ââåäåííîå îòíîøåíèå ρ ðåôëåêñèâíî è ñèììåòðè÷íî. Åñëè äëÿ ëþáûõ x , y è z èìååò ìåñòî x ρ y è y ρ z ,òî x , y è z â ñèëó îïðåäåëåíèÿ îòíîøåíèÿ ρ ïðèíàäëåæàò îäíîìó è òîìó æå ýëåìåíòó Bi ðàçáèåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, x ρ z è îòíîøåíèå ρ òðàíçèòèâíî. Òàêèì îáðàçîì, ρ | ýêâèâàëåíòíîñòü íà A . I Ëþáàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëÿåò åäèíñòâåííîå ðàçáèåíèå è íàîáîðîò. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïðèìåð 3.1. Íà ìíîæåñòâå öåëûõ ÷èñåë Z îïðåäåëèì îòíîøåíèå ≡(mod k) îòíîøåíèå ðàâåíñòâà ïî ìîäóëþ k , ãäå k ∈ N : x ≡(mod k) y , åñëè è òîëüêî åñëè x − y äåëèòñÿ íà k . ≡(mod k) | ýòî îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Ðàâåíñòâî ÷èñåë m è n ïî ìîäóëþ k îçíà÷àåò, ÷òî ïðè äåëåíèè íà k ýòè ÷èñëà äàþò îäèíàêîâûå îñòàòêè. Ðàçëè÷íûõ îñòàòêîâ ìîæåò áûòü ðîâíî k : 0 , 1 , . . . , k − 1 . Ïîëó÷àåì ðîâíî k ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè: [0]≡(mod k) , [1]≡(mod k) , . . . , [k − 1]≡(mod k) , ãäå êëàññ [r]≡(mod k) ñîñòîèò èç âñåõ öåëûõ ÷èñåë, äàþùèõ ïðè äåëåíèè íà k îñòàòîê r . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 3.2. Óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà. Ìíîæåñòâî âìåñòå ñ çàäàííûì íà íåì îòíîøåíèåì ïîðÿäêà íàçûâàþò óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâîì. Îòíîøåíèå ïîðÿäêà áóäåì îáîçíà÷àòü ≤ (èëè çíà÷êàìè 4 , v è ò.ï., ïîõîæèìè íà ≤ ). Ìíîæåñòâî M ñ çàäàííûì íà íåì îòíîøåíèåì ïîðÿäêà ≤ áóäåì çàïèñûâàòü êàê ïàðó (M, ≤) . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Êàæäîìó îòíîøåíèþ ïîðÿäêà ≤ íà ìíîæåñòâå M ìîæíî ñîïîñòàâèòü ñëåäóþùèå îòíîøåíèÿ. 1. Îòíîøåíèå < , ïîëó÷àåòñÿ èç èñõîäíîãî îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà ≤ âûáðàñûâàíèåì âñåõ ýëåìåíòîâ äèàãîíàëè idM . (x < y) ∀ x, y ∈ M ⇔ ((x ≤ y) ∧ (x 6= y)) "Ýëåìåíò x ñòðîãî ìåíüøå ýëåìåíòà y ." Áèíàðíîå îòíîøåíèå < íà ìíîæåñòâå M |îòíîøåíèå ñòðîãîãî ïîðÿäêà. Îíî èððåôëåêñèâíîå, àíòèñèììåòðè÷íîå è òðàíçèòèâíîå. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2. Äâîéñòâåííûé ïîðÿäîê. Ýòî áèíàðíîå îòíîøåíèå íà ìíîæåñòâå M , îáðàòíîå ê îòíîøåíèþ ≤ . Îáîçíà÷åíèå ≥ . Òîãäà äëÿ ëþáûõ x , y óñëîâèå x ≥ y ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî y ≤ x . Îòíîøåíèå ≥ òîæå ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ïîðÿäêà. Îòíîøåíèå ñòðîãîãî ïîðÿäêà,àññîöèèðîâàííîå ñ ≥ , îáîçíà÷èì > . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 3. Îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ x C y . Äëÿ äâóõ ýëåìåíòîâ x è y , ïî îïðåäåëåíèþ, x C y òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x ñòðîãî ìåíüøå y è íå ñóùåñòâóåò òàêîãî ýëåìåíòà z , ÷òî x<z <y. Îòíîøåíèå x C y íàçûâàþò îòíîøåíèåì äîìèíèðîâàíèÿ (èëè ïðîñòî äîìèíèðîâàíèåì), àññîöèèðîâàííûì ñ îòíîøåíèåì ïîðÿäêà ≤ . "Ýëåìåíò y äîìèíèðóåò íàä ýëåìåíòîì x ". Îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ èððåôëåêñèâíî, àíòèñèììåòðè÷íî, íî íå òðàíçèòèâíî. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïðèìåð 3.2. Íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N çàäàíî îòíîøåíèå äåëèìîñòè Ïî îòíîøåíèþ äåëèìîñòè 15 äîìèíèðóåò íàä 3 è 5, íî 20 íå äîìèíèðóåò íàä 5, òàê êàê ñóùåñòâóåò ïðîìåæóòî÷íûé\ ýëåìåíò | 10, äåëèòåëü 20, " êîòîðûé äåëèòñÿ íà 5, íî íå ðàâåí íè 20, íè 5. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 3.3. Óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà Ðàññìîòðèì óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî (M, ≤) . Ýëåìåíòû x è y óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà (M, ≤) íàçûâàþò ñðàâíèìûìè ïî îòíîøåíèþ ïîðÿäêà ≤ , åñëè x ≤ y èëè U ≤ x .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ýëåìåíòû x è y íàçûâàþòñÿ íåñðàâíèìûìè. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, âñå ýëåìåíòû êîòîðîãî ïîïàðíî ñðàâíèìû, íàçûâàþò ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûì, à ñîîòâåòñòâóþùåå îòíîøåíèå | îòíîøåíèåì ëèíåéíîãî ïîðÿäêà (èëè ïðîñòî ëèíåéíûì ïîðÿäêîì). Ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ïîäìíîæåñòâî íàçûâàþò öåïüþ. Ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ïîïàðíî íå ñðàâíèìûõ ýëåìåíòîâ äàííîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà íàçûâàþò àíòèöåïüþ. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïðèìåð 3.3. à. Îòíîøåíèå åñòåñòâåííîãî ÷èñëîâîãî ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ëèíåéíîãî ïîðÿäêà, ïîñêîëüêó äëÿ ëþáûõ äâóõ ÷èñåë a , b èìååò ìåñòî èëè íåðàâåíñòâî a ≤ b , èëè íåðàâåíñòâî b ≤ a . á. Îòíîøåíèå äåëèìîñòè íà ìíîæåñòâå N íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîðÿäêîì. # • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïóñòü (A, ≤) | óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî. Ýëåìåíò a ∈ A íàçûâàþò íàèáîëüøèì ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A , åñëè äëÿ âñåõ x ∈ A âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî x ≤ a . Ýëåìåíò b íàçûâàþò ìàêñèìàëüíûì ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A , åñëè äëÿ âñÿêîãî x ∈ A èìååò ìåñòî îäíî èç äâóõ: èëè x ≤ b , èëè x è b íå ñðàâíèìû. Íàèìåíüøèé ýëåìåíò óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà A | ýòî òàêîé åãî ýëåìåíò a , ÷òî a ≤ x äëÿ êàæäîãî x ∈ A . Ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò | ýòî òàêîé ýëåìåíò b ∈ A , ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ A ýëåìåíòû b è x íå ñðàâíèìû èëè b ≤ x . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Óòâåðæäåíèå 3.2. Íàèáîëüøèé (íàèìåíüøèé) ýëåìåíò ìíîæåñòâà, åñëè îí ñóùåñòâóåò, ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì. J Ïóñòü a è a0 | íàèáîëüøèå ýëåìåíòû A ïî îòíîøåíèþ ïîðÿäêà ≤. Äëÿ âñÿêîãî x ∈ A âûïîëíÿåòñÿ x ≤ a è x ≤ a0 .  ÷àñòíîñòè, a0 ≤ a è a ≤ a0 . Ñëåäîâàòåëüíî, a = a0 (àíòèñèììåòðè÷íîñòü îòíîøåíèÿ ïîðÿäêà). I Åäèíñòâåííîñòü íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ìàêñèìàëüíûõ (ìèíèìàëüíûõ) ýëåìåíòîâ ìîæåò áûòü ñêîëüêî óãîäíî. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïðèìåð 3.4. Îòíîøåíèå ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå òî÷åê ïëîñêîñòè ñ ôèêñèðîâàííîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò: (a, b) ≤ (c, d) , åñëè è òîëüêî åñëè a ≤ c è b ≤ d . Ðèñ. 1 Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî òî÷åê òðåóãîëüíèêà OAB . Òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè (0, 0) ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì ýëåìåíòîì ýòîãî ìíîæåñòâà. Ìàêñèìàëüíûìè ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ âñå òî÷êè, ëåæàùèå íà ñòîðîíå AB . Íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà íåò. # • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïóñòü (A, ≤) | óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî è B ⊆ A . Ýëåìåíò a ∈ A íàçûâàåòñÿ âåðõíåé (ñîîòâåòñòâåííî íèæíåé) ãðàíüþ ìíîæåñòâà B , åñëè äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ x ∈ B èìååò ìåñòî (x ≤ a) (ñîîòâåòñòâåííî (x ≥ a) ). Òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ B íàçûâàþò íàèìåíüøèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà âñåõ âåðõíèõ ãðàíåé ìíîæåñòâà B è îáîçíà÷àþò sup B Òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ B íàçûâàþò íàèáîëüøèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà âñåõ íèæíèõ ãðàíåé è îáîçíà÷àþò( inf B ). Ýëåìåíòû sup B è inf B ìîãóò íå ïðèíàäëåæàòü ìíîæåñòâó B . (íàèáîëüøèé è íàèìåíüøèé ýëåìåíòû ìíîæåñòâà B âñåãäà ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó B ) Òî÷íàÿ âåðõíÿÿ (íèæíÿÿ) ãðàíü ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò íå âñåãäà. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïðèìåð 3.5. Ðèñ. 2 Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî D òî÷åê ïðÿìîóãîëüíèêà OABC ñ îòíîøåíèåì ïîðÿäêà (a, b) ≤ (c, d) , åñëè è òîëüêî åñëè a ≤ c è b ≤ d . Òî÷êà O ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíüþ, à òî÷êà B | òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ ýòîãî ìíîæåñòâà. Îáå òî÷êè ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïðèìåð 3.6. Ðèñ. 3 Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî F ñ òåì æå îòíîøåíèåì ïîðÿäêà. Òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü (òî÷êà O ) è òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü (òî÷êà E ) ìíîæåñòâà F ñóùåñòâóþò, íî íå ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Èíäóêòèâíîå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xi }i∈N ýëåìåíòîâ óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà íàçûâàþò íåóáûâàþùåé, åñëè äëÿ êàæäîãî i ∈ N ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî xi ≤ xi+1 . Ýëåìåíò a óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà (M, ≤) íàçûâàþò òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xi }i∈N , åñëè îí åñòü òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà âñåõ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Îïðåäåëåíèå 3.1. Óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî (M, ≤) íàçûâàþò èíäóêòèâíûì, åñëè: 1) îíî ñîäåðæèò íàèìåíüøèé ýëåìåíò; 2) âñÿêàÿ íåóáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ýòîãî ìíîæåñòâà èìååò òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü. Ïðèìåð 3.7. Ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà ïî îòíîøåíèþ âêëþ÷åíèÿ áóäåò èíäóêòèâíûì. Íàèìåíüøèé ýëåìåíò | ∅ . sup{Ai}i∈N = ∪i∈NAi. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Îïðåäåëåíèå 3.2. Ïóñòü (M1 , ≤) è (M2 , 4) | èíäóêòèâíûå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà. Îòîáðàæåíèå f : M1 → M2 îäíîãî èíäóêòèâíîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà â äðóãîå íàçûâàþò íåïðåðûâíûì, åñëè äëÿ ëþáîé íåóáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè a1 , . . . , an , . . . ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà M1 îáðàç åå òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ðàâåí òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáðàçîâ f (a1 ) , . . . , f (an ) , . . . , ò.å. ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî f (sup an) = sup f (an) . Îïðåäåëåíèå 3.3. Îòîáðàæåíèå f : M1 → M2 óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ (M1, ≤) è (M2, 4) íàçûâàþò ìîíîòîííûì, åñëè äëÿ ëþáûõ a , b ∈ M1 èç a ≤ b ñëåäóåò f (a) 4 f (b) . Ôóíêöèÿ f : R → R áóäåò ìîíîòîííîé â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 3.3 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Òåîðåìà 2. Âñÿêîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå îäíîãî èíäóêòèâíîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà â äðóãîå ìîíîòîííî. J Ïóñòü f | íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå èíäóêòèâíîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà (M1 , ≤) â èíäóêòèâíîå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî (M2 , 4) . Ïóñòü a, b ∈ M1 è a ≤ b . Îáðàçóåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }n∈N , ãäå x1 = a , à xn = b , n ≥ 2 . Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåóáûâàþùàÿ. Äëÿ íåå sup xn = sup {a, b} = b .  ñèëó íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ f f (b) = f (sup xn) = f (sup {a, b}) = sup {f (a), f (b)}, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî f (a) 4 f (b) . I • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 3.4. Òåîðåìà î íåïîäâèæíîé òî÷êå. Íàèáîëåå âàæíû íåïðåðûâíûå îòîáðàæåíèÿ èíäóêòèâíîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà â ñåáÿ. Îïðåäåëåíèå 3.4. Ýëåìåíò a ìíîæåñòâà A íàçûâàþò íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ f : A → A , åñëè f (a) = a . Ýëåìåíò a óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà M íàçûâàþò íàèìåíüøåé íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ f : M → M , åñëè îí ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà âñåõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ f. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Óòâåðæäåíèå 3.3. Åñëè ó íåóáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }n≥0 îòáðîñèòü ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî íà÷àëüíûõ ÷ëåíîâ, òî åå òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü íå èçìåíèòñÿ. Òåîðåìà 3 (òåîðåìà î íåïîäâèæíîé òî÷êå). Ëþáîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå f èíäóêòèâíîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà (M, ≤) â ñåáÿ èìååò íàèìåíüøóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit J O | íàèìåíüøèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà M . Ïîëàãàåì f 0 (x) = x . f n(x) = f (f n−1(x)) äëÿ ëþáîãî n > 0 , Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ M {f n(O)}n≥0 = {O, f (O), . . . , f n(O), . . .}. (3.1) • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (3.1) íåóáûâàþùàÿ. Èñïîëüçóåì ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Äëÿ íàèìåíüøåãî ýëåìåíòà ìíîæåñòâà M O èìååì O = f 0(O) ≤ f (O). Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî n âåðíî ñîîòíîøåíèå f n−1(O) ≤ f n(O). Îòîáðàæåíèå f ìîíîòîííî (òåîðåìà 2), ïîýòîìó f n(O) = f (f n−1(O)) ≤ f (f n(O)) = f n+1(O), ò.å. ñîîòíîøåíèå âåðíî è äëÿ íîìåðà n + 1 . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ñîãëàñíî ìåòîäó ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, f n(O) ≤ f n+1(O) äëÿ ëþáîãî n ∈ N, ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (3.1) íåóáûâàþùàÿ. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ èíäóêòèâíîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà, îíà èìååò òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü a . a = sup f n(O). (3.2) n≥0  ñèëó íåïðåðûâíîñòè f ïîëó÷àåì n f (a) = f sup f (O) = sup f (f n(O)) = sup f n+1(O). n≥0 n≥0 n≥0 Íî sup f n+1(O) = sup {f 1(O), f 2(O), . . .} = sup f n(O) = a. n≥0 n≥1 a ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ f . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Äîêàæåì, ÷òî íàéäåííàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøåé. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî y ∈ M f (y) = y , ò.å. y | äðóãàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà. O ≤ y (ïîñêîëüêó O | íàèìåíüøèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà M .) Îòîáðàæåíèå f íåïðåðûâíî è ìîíîòîííî. Ñëåäîâàòåëüíî, f (O) ≤ f (y) = y , f (f (O)) ≤ f (f (y)) = y è ò.ä. Òî åñòü, äëÿ ëþáîãî n ≥ 0 f n (O) ≤ y . Ýëåìåíò y åñòü âåðõíÿÿ ãðàíü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {f n (O)}n≥0 . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ýëåìåíò a | òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü (íàèìåíüøèé ýëåìåíò íà ìíîæåñòâå âñåõ âåðõíèõ ãðàíåé ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè), òî y ≥ a . Ïîêàçàíî, ÷òî ïðîèçâîëüíàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ f íå ìåíüøå ýëåìåíòà a | íåïîäâèæíîé òî÷êè îòîáðàæåíèÿ f . Ñëåäîâàòåëüíî, a | íàèìåíüøàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ f . I • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïîèñê íåïîäâèæíîé òî÷êè îòîáðàæåíèÿ f : M → M ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê çàäà÷ó ïîèñêà íàèìåíüøåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ x = f (x). Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î íåïîäâèæíîé òî÷êå êîíñòðóêòèâíîå: îíî äàåò ìåòîä ïîëó÷åíèÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè. Äëÿ åå íàõîæäåíèÿ íàäî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {O, f (O), . . . , f n(O), . . .} è íàéòè åå òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïðèìåð 3.8. Âû÷èñëåíèå íàèìåíüøåé íåïîäâèæíîé òî÷êè. Îòðåçîê [0, 1] ñ åñòåñòâåííûì ÷èñëîâûì ïîðÿäêîì ≤ - ýòî èíäóêòèâíîå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî. Çàäàäèì íà ýòîì ìíîæåñòâå îòîáðàæåíèå f (x) = óðàâíåíèå x = 1 2 x+ 1 4 1 2 x+ 1 4 è ðàññìîòðèì . Äëÿ èíäóêòèâíîãî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà ([0, 1], ≤) ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ f : [0, 1] → [0, 1] | íåïðåðûâíà. Äëÿ ëþáîé íåóáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } íà ìíîæåñòâå [0, 1] ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî sup{xn } = lim xn . n→∞  ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà èìååì f ( lim xn) = lim f (xn) n→∞ n→∞ • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Òàê êàê ôóíêöèÿ f ïîñëåäîâàòåëüíîñòü . ìîíîòîííà, òî {f (xn )}n≥0 | íåóáûâàþùàÿ lim f (xn) = sup f (xn) n→∞  èòîãå ïîëó÷àåì f (sup xn) = f ( lim xn) = lim f (xn) = sup f (xn) n→∞ n→∞ Ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâàÿ ÷àñòü äàííîãî óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíà. Íàèìåíüøèì ýëåìåíòîì ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 0. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Âû÷èñëÿåì: f 0(0) = 0, f 1(0) = 1/4, f 2(0) = (1/2) · (1/4) + 1/4 = 3/8, f 3(0) = (1/2) · (3/8) + 1/4 = 7/16, . . . . . . . . . . . . . . . . . . ïîëó÷àÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðèáëèæåíèé ê íàèìåíüøåé íåïîäâèæíîé òî÷êå. Ìîæíî ïðîâåðèòü ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, ÷òî f n(0) = 2n − 1 2n+1 , n ∈ N. Ïðåäåë ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâåí 1/2 . Òàêèì îáðàçîì, íàèìåíüøàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ f , îïðåäåëÿåìîãî ïðàâîé ÷àñòüþ óðàâíåíèÿ, ðàâíà 1/2 . Ýòî åäèíñòâåííàÿ â äàííîì íåïîäâèæíàÿ • First •ñëó÷àå Prev • Next • Last • Go òî÷êà Back • îòîáðàæåíèÿ Full Screen • Close f• .Quit Ìàòåðèàë äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî èçó÷åíèÿ • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè Ïðèìåð 3.9. Íà ìíîæåñòâå R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë çàäàäèì îòíîøåíèå a ≡(mod 1) b , ïîëàãàÿ, ÷òî ÷èñëà a è b ðàâíû ïî ìîäóëþ 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ÷èñëî a − b ÿâëÿåòñÿ öåëûì. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî êàæäîå ÷èñëî ïî ìîäóëþ 1 ðàâíî ñâîåé äðîáíîé ÷àñòè Òàê êàê îòíîøåíèå ≡(mod 1) îïðåäåëåíî ÷åðåç ðàâåíñòâî, âñå ñâîéñòâà îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè äëÿ íåãî âûïîëíÿþòñÿ. Êàæäûé êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè áóäåò ñîäåðæàòü ÷èñëà ñ ðàâíûìè äðîáíûìè ÷àñòÿìè. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Êàæäûé êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ïî äàííîìó îòíîøåíèþ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå ÷èñëî èç ïîëóèíòåðâàëà [0, 1) . Íàîáîðîò, êàæäîìó ÷èñëó γ ∈ [0, 1) îäíîçíà÷íî ñîïîñòàâëÿåòñÿ êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîñòîÿùèé èç âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, äðîáíàÿ ÷àñòü êîòîðûõ ðàâíà γ . Òàêèì îáðàçîì, ôàêòîð-ìíîæåñòâî R/ ≡(mod 1) è ïîëóèíòåðâàë [0, 1) íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ñâÿçü ìåæäó ïîíÿòèÿìè ýêâèâàëåíòíîñòè è îòîáðàæåíèÿ. Äëÿ ëþáîãî îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ρ íà ìíîæåñòâå A ìîæíî îïðåäåëèòü îòîáðàæåíèå fρ : A → A/ρ , ñîïîñòàâèâ êàæäîìó x ∈ A ñîäåðæàùèé åãî êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè. fρ(x) = [x]ρ Ýòî îòîáðàæåíèå ñþðúåêòèâíî, òàê êàê êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó êëàññó ýêâèâàëåíòíîñòè, ò.å. äëÿ êàæäîãî [x]ρ ∈ A/ρ ñïðàâåäëèâî [x]ρ = fρ(x) . Îòîáðàæåíèå fρ , îïðåäåëåííîå òàêèì îáðàçîì, íàçûâàþò êàíîíè÷åñêîé ñþðúåêöèåé ìíîæåñòâà A . Ëþáîå îòîáðàæåíèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Òåîðåìà 4. Ïóñòü f : A → B | ïðîèçâîëüíîå îòîáðàæåíèå.Íà ìíîæåñòâå A îïðåäåëèì îòíîøåíèå ρf : (x, y) ∈ ρf , åñëè è òîëüêî åñëè f (x) = f (y) . Ýòî îòíîøåíèå ρf ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè, ïðè÷åì ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ ôàêòîð-ìíîæåñòâà A/ρf íà ìíîæåñòâî f (A) . J Ðåôëåêñèâíîñòü : f (x) = f (x) ; Ñèììåòðè÷íîñòü : f (x) = f (y) è f (y) = f (x) ; Òðàíçèòèâíîñòü : f (x) = f (y) ∧ f (y) = f (z) ⇒ f (x) = f (z) ; ò.å. ρf | ýêâèâàëåíòíîñòü. ϕ: A/ρf → f (A) ϕ([x]ρf ) = f (x) . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Êàæäîìó êëàññó ýêâèâàëåíòíîñòè ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííûé ýëåìåíò y ∈ f (A) (îòîáðàæåíèå îïðåäåëåíî êîððåêòíî). ϕ | áèåêöèÿ (èíúåêöèÿ è ñþðúåêöèÿ îäíîâðåìåííî). Ïóñòü êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè [x]ρf è [y]ρf íå ñîâïàäàþò.  ñèëó òåîðåìû 1 îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ, ò.å. x íå ýêâèâàëåíòíî y . Èç îïðåäåëåíèÿ îòíîøåíèÿ ρf ñëåäóåò, ÷òî f (x) 6= f (y) . Òàêèì îáðàçîì, ϕ | èíúåêöèÿ. Åñëè ýëåìåíò u ∈ f (A) , òî íàéäåòñÿ òàêîé ýëåìåíò x ∈ A , ÷òî u = f (x) = ϕ([x]ρf ) , ò.å. ϕ | ñþðúåêöèÿ . Èòàê, ϕ | áèåêöèÿ. I • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó äîêàçàííûõ òåîðåì 1 è 4 ñóùåñòâóåò ñâÿçü ìåæäó òðåìÿ ïîíÿòèÿìè | îòîáðàæåíèåì ìíîæåñòâà, îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå è ðàçáèåíèåì ìíîæåñòâà. Íî íåâåðíî, ÷òî ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îòîáðàæåíèÿìè è îòíîøåíèÿìè ýêâèâàëåíòíîñòè. Äâà ðàçíûõ îòîáðàæåíèÿ ìîãóò îïðåäåëÿòü îäíî è òî æå ðàçáèåíèå îòîáðàæàåìîãî ìíîæåñòâà, òåì ñàìûì çàäàâàÿ íà íåì îäíî è òî æå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Ïðèìåð 3.10. a. Ëþáîå áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå f : A → B çàäàåò íà A îäíî è òî æå ðàçáèåíèå | òðèâèàëüíîå ðàçáèåíèå íà îäíîýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà. b. Òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà öåëûõ ÷èñåë è îòîáðàæåíèå, ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîìó öåëîìó n ÷èñëî n + 1 , çàäàþò îäèíàêîâûå ðàçáèåíèÿ ìíîæåñòâà öåëûõ ÷èñåë. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Îòíîøåíèå ïîðÿäêà Ïðèìåð 3.11. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë R ñ åñòåñòâåííûì ÷èñëîâûì ïîðÿäêîì. Ïóñòü a < c . Äëÿ ëþáûõ a è c íàéäåòñÿ òàêîå b , ÷òî a < b < c . Îòíîøåíèå ïîðÿäêà íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ïëîòíûì. Ïîýòîìó îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ áóäåò ïóñòûì. Ïóñòûì áóäåò è îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ, àññîöèèðîâàííîå ñ åñòåñòâåííûì ÷èñëîâûì ïîðÿäêîì íà ìíîæåñòâå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Íà ìíîæåñòâå öåëûõ ÷èñåë ñ åñòåñòâåííûì ÷èñëîâûì ïîðÿäêîì îòíîøåíèå äîìèíèðîâàíèÿ íå ïóñòî. 1 C 2 , −5 C −4 ; ìåæäó 1 è 2 íå ñóùåñòâóåò ïðîìåæóòî÷íûé\ ýëåìåíò. " Çàïèñûâàòü 1 C 3 íåâåðíî, ÷òî, ïîñêîëüêó ìåæäó åäèíèöåé è òðîéêîé ñóùåñòâóåò ïðîìåæóòî÷íûé\ ýëåìåíò | äâîéêà. " • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit