Решения листка 5

Ðåøåíèå îáÿçàòåëüíûõ çàäà÷ ëèñòêà 5.
5.1. Ïóñòü R ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ îò x, íå èìåþùàÿ ïîëþñà (òî åñòü ïðèíèìàþùàÿ
êîíå÷íîå çíà÷åíèå) â òî÷êå a ∈ C. Äîêàæèòå, ÷òî
R
p(x)
=
+ R1 ,
n
(x − a)
(x − a)n
ãäå deg p < n, à R1 ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ, íå èìåþùàÿ ïîëþñà â a.
Ðåøåíèå
Ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà â îêðåñòíîñòè ëþáîé òî÷êè, ãäå ó
íåå íåò ïîëþñà.  êàæäîé òàêîé òî÷êå åå ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ôîðìóëå Òåéëîðà. Ðàçëîæèì
ôóíêöèþ R ïî ñòåïåíÿì x − a äî ñòåïåíè n − 1 âêëþ÷èòåëüíî:
R(x) = Tn−1 (x − a) + Q(x).
n
Îñòàòî÷íûé ÷ëåí Q(x) = o(x − a) . Ýòîò îñòàòî÷íûé ÷ëåíðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ: îí ðàâåí ðàçíîñòè ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè è ìíîãî÷ëåíà. Ýòà ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ èìååò â
n
òî÷êå a íîëü ïîðÿäêà íå ìåíüøå n. Ñëåäîâàòåëüíî, îíà äåëèòñÿ íà (x − a) : Q(x) =
n
(x − a) R1 (x). Ïîëàãàÿ p(x) = Tn−1 (x − a), ïîëó÷àåì èñêîìîå ðàçëîæåíèå, ïîñêîëüêó
deg p ≤ n − 1.
5.2a. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàçëàãàåòñÿ íà ïðîñòåéøèå:
R(x) = p(x) +
X
j
pj (x)
.
(x − aj )nj
(1)
Çäåñü p è pj ìíîãî÷ëåíû ñ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïðè÷åì deg pj < nj ;
ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì êîðíÿì ìíîãî÷ëåíà çíàìåíàòåëÿ ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè
R.
Ïîäñêàçêà 1 Ïðîâåäèòå èíäóêöèþ ïî ÷èñëó êîðíåé çíàìåíàòåëÿ R.
Äîêàçàòåëüñòâî: èíäóêöèÿ ïî ÷èñëó êîðíåé çíàìåíàòåëÿ. Áàçà èíäóêöèè: îäèí êîðåíü.
Òîãäà
R(x) =
p(x)
n,
(x − a)
n
ãäå p ìíîãî÷ëåí. Ðàçäåëèâ p ñ îñòàòêîì íà (x − a) , ïîëó÷èì íóæíîå ðàçëîæåíèå.
Øàã èíäóêöèè. Ïóñòü óòâåðæäåíèå äîêàçàíî äëÿ ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè, çíàìåíàòåëü
êîòîðîé èìååò n íóëåé. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Pq , çíàìåíàòåëü êîòîðîé èìååò n + 1 íóëåé.
n
Ïóñòü q = (x − a) · q1 , ìíîãî÷ëåí q1 èìååò n íóëåé. Ôóíêöèÿ R = qP1 íå èìååò ïîëþñà â
òî÷êå a. Òîãäà, â ñèëó çàäà÷è 5.1, ñóùåñòâóåò ðàçëîæåíèå
P
P
R
p(x)
=
=
n
n =
n + R1 , deg p < n.
q
(x − a) q1
(x − a)
(x − a)
1
(2)
Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, R1 ðàçëàãàåòñÿ íà ïðîñòåéøèå ïî ôîðìóëå (1). Ýòî çàâåðøàåò
èíäóêöèþ.
5.2b. Íàéäèòå èíòåãðàë îò ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (1).
Ðàçëîæèì ìíîãî÷ëåíû pj ïî ñòåïåíÿì (x − aj ), à ìíîãî÷ëåí pïî ñòåïåíÿì x. Ïîëó÷èì:
R(x) =
N
X
ck xk +
nj
XX
l
j
k=0
blj
l=1
(x − aj )
(3)
.
Òîãäà
Z
nj
N
XX
X
bij
1
ck k+1 X
x
·
R(x)dx =
+
b1j ln(x − aj ) +
.
k+1
1 − l (x − aj )l−1
j
j l=2
k=0
5.2c. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè
p
ðàçëàãàåòñÿ â ñóììó äðîáåé âèäà qnj , ãäå pj è qj ìíîãî÷ëåíû ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèj
öèåíòàìè, ïðè÷¼ì deg(qj ) ≤ 2.
Ïîäñêàçêà 2 ñãðóïïèðóéòå ñëàãàåìûå, ñîîòâåòñòâóþùèå ñîïðÿæ¼ííûì êîðíÿì.
Äîêàçàòåëüñòâî:
Ðàçëîæåíèå (2) åäèíñòâåííî: äâà ðàçëîæåíèÿ âèäà (2) îäíîé è òîé æå ðàöèîíàëüíîé
ôóíêöèè ñîâïàäàþò.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàçíîñòü äâóõ òàêèõ ðàçëîæåíèé, ñ îäíîé ñòîðîíû,
áûëà áû òîæäåñòâåííûì íóëåì, à ñ äðóãîé èìåëà áû ïîëþñà.
Âåùåñòâåííàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ R îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: R(z) = R(z̄).
Ïîýòîìó èç ðàçëîæåíèÿ (2) ñëåäóåò:
R(z) =
N
X
ck z k +
nj
XX
l
j
k=0
b lj
l=1
(x − āj )
(4)
.
Íî ðàçëîæåíèÿ (1) è (2) ñîâïàäàþò. Ñëåäîâàòåëüíî, ck ∈ R, à îñòàëüíûå ñëàãàåìûå ðàñïàäàþòñÿ íà ïàðû íåâåùåñòâåííûõ äðîáåé ñ ïîïàðíî ñîïðÿæåííûìè êîýôôèöèåíòàìè âèäà
b
l
(z − a)
è íà äðîáè
b
, α, b
(z−a)l
è
b̄
,
(z − ā)l
(5)
∈ R. Ñóììà äâóõ ÷ëåíîâ âèäà (5) ðàâíà
l
l
b(z − ā) + b̄(z − a)
(z 2 − (2Re a)z + aā)
l
.
l
Íà âåùåñòâåííîé îñè z = ẋ ∈ R, ÷èñëèòåëü âåùåñòâåííûé; îí ðàâåí 2Re b̄(x − a) , à çíàìåíàòåëü èìååò âèä q l (x), deg q = 2.
5.3a. Íàéäèòå ðàçëîæåíèå
Ðåøåíèå
1
xn +1
íà ïðîñòåéøèå êîìïëåêñíûå äðîáè;
2
Óðàâíåíèå xn +1 = 0 èìååò êîðíè εj = eiϕj , ϕj =
π
2π
n +j n ,
j = 0, . . . , n−1. Ñëåäîâàòåëüíî,
n−1
n−1
X
X
1
εj
1
=
.
=
−
n−1
n
(x + 1)
n(x
− εj )
(x
−
ε
)nε
j
j
0
0
5.3b. Íàéäèòå ðàçëîæåíèå
Ðåøåíèå
1
xn +1
íà ïðîñòåéøèå âåùåñòâåííûå äðîáè.
Çàìåòèì, ÷òî εn−1−j = εj è
εj
(εj + εj )x − 2εj εj
1 rj x − 2
εj
+
=
=
,
n(x − εj ) n(x − εj )
n(x − εj )(x − εj )
n x2 − rj x + 1
ãäå rj = 2Re(εj ) = εj + εj , è ìû âîñïîëüçîâàëèñü εj εj = |ej |2 = 1.
Òîãäà èñêîìûé îòâåò áóäåò ðàâåí äëÿ ÷¼òíîãî n
(n−2)/2
−
X
j=0
à äëÿ íå÷¼òíîãî n
5.3c. Âû÷èñëèòå
Ðåøåíèå
1 rj x − 2
,
n x2 − rj x + 1
(n−3)/2
X 1 rj x − 2
1
−
.
n(x + 1)
n x2 − rj x + 1
j=0
R
dx
xn +1 .
Z
n−1
X εj
dx
=−
ln(x − εj ).
n
x +1
n
0
5.4a Âûðàçèòå sin(x), cos(x) ÷åðåç t = tg(x/2).
Ðåøåíèå
Ëåãêî ïðîâåðèòü, èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå ÷åðåç êîìïëåêñíûå ýêñïîíåíòû, ÷òî
sin(x) =
2t
,
1 + t2
cos(x) =
1 − t2
.
1 + t2
5.4b Âûðàçèòå sh(x), ch(x) ÷åðåç t = th(x/2).
Ðåøåíèå
Ëåãêî ïðîâåðèòü àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì èëè âûðàæåíèåì ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé
÷åðåç òðèãîíîìåòðè÷åñêèå, ÷òî
sh(x) =
2t
,
1 − t2
ch(x) =
1 + t2
.
1 − t2
5.4c  ïðåäûäóùèõ ïóíêòàõ âûðàçèòå dx ÷åðåç dt.
dt
Åñëè x = arctg(t), òî dx = 1+t
2 , à äëÿ x = arcth(t), èìååì dx =
3
dt
1−t2 ,
×àñòü 2. Èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèé ïî Ðèìàíó.
5.7 Äîêàæèòå, ÷òî èíòåãðàë Ðèìàíà ñóùåñòâóåò äëÿ òåõ è òîëüêî òåõ ôóíêöèé íà îòðåçêå, äëÿ êîòîðûõ ñóïðåìóì ìíîæåñòâà íèæíèõ èíòåãðàëüíûõ ñóìì ðàâåí èíôèìóìóìó
ìíîæåñòâà âåðõíèõ èíòåãðàëüíûõ ñóìì.
Ðåøåíèå
Ïóñòü èíòåãðàë Ðèìàíà ôóíêöèè f ñóùåñòâóåò. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε ñóùåñòâóåò òàêîå
δ , ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ P äèàìåòðà ìåíüøå δ è ëþáîãî íàáîðà α, ñîâìåñòèìîãî ñ P ,
|I − S(f, P, α)| < ε. Òîãäà S + (f, P ) − S − (f, P ) < 2ε. Ïîñêîëüêó ε ïðîèçâîëüíî, inf{S + } ≤
sup{S − }.
Íåâçìîæíîñòü çíàêà < â ýòîì íåðàâåíñòâå äîêàçàíà íà ëåêöèÿõ. Ýòî äîêàçûâàåò íóæíîå
ðàâåíñòâî.
Åñëè inf{S + } = sup{S − }, òî îáà ýòè ÷èñëà ðàâíû èíòåãðàëó Ðèìàíà. Ýòî äîêàçàíî íà
ëåêöèè.
Îïðåäåëåíèå 1 Ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå, åñëè îíà èìååò
íà íåì ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà, è â êàæäîé èç íèõ èìååò îäíîñòîðîííèå
ïðåäåëû.
5.8. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêàÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåçêå èíòåãðèðóåìà ïî
Ðèìàíó.
Ðåøåíèå
Ïóñòü f êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà [a, b], è C êîíå÷íîå ìíîæåñòâî åå òî÷åê ðàçðûâà. Èç îïðåäåëåíèÿ êóñî÷íîé íåïðåðûâíîñòè ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ f îãðàíè÷åíà. Ïóñòü
f < M . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε è ïîñòðîèì ðàçáèåíèå P òàê, ÷òî S + (f, P ) − S − (f, P ) < ε.
Äëÿ ýòîãî âîçüìåì îòðåçêè ðàçáèåíèÿ ñ öåíòðàìè â òî÷êàõ ðàçðûâà, îáùàÿ äëèíà êîòîε
ðûõ ìåíüøå, ÷åì 4M
. Îáúåäèíåíèå ýòèõ îòðåçêîâ îáîçíà÷èì ∆1 . Êîëåáàíèå ôóíêöèè f íà
êàæäîì òàêîì îòðåçêå íå áîëüøå, ÷åì 2M . Ðàçíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòåé âåðõíåé è
íèæíåé ñóììû íå áîëüøå 2ε . Íà çàìûêàíèè ìíîæåñòâà [a, b] \ ∆1 ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà.
Ýòî ìíîæåñòâîêîíå÷íîå ÷èñëî îòðåçêîâ. Íà êàæäîì îòðåçêå âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ñóììû
ìîãóò áûòü ñäåëàíû ñêîëü óãîäíî áëèçêèìè, êàê äîêàçàíî íà ëåêöèÿõ.
5.9. Ôóíêöèÿ Ðèìàíà íà îòðåçêå îïðåäåëÿåòñÿ òàê: îíà ðàâíà íóëþ âî âñåõ èððàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ, è ðàâíà 1q â òî÷êàõ, çàäàííûõ íåñîêðàòèìîé äðîáüþ pq . Äîêàæèòå, ÷òî
ôóíêöèÿ Ðèìàíà èíòåãðèðóåìà è íàéäèòå åå èíòåãðàë.
Ðåøåíèå
Âñå íèæíèå èíòåãðàëüíûå ñóììû ôóíêöèè Ðèìàíà ðàâíû íóëþ, à âåðõíèå ïîëîæèòåëü2
íû. Äëÿ ëþáîãî Q ∈ N íàéäåì âåðõíþþ ñóììó, êîòîðàÿ ìåíüøå, ÷åì Q
. Äëÿ ýòîãî âîçüìåì
p
ðàçáèåíèå, îòðåçêè êîòîðîãî, ñîäåðæàùèå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî q | 0 ≤ p ≤ q, 1 ≤ q ≤ Q},
1
èìåþò ñóììàðíóþ äëèíó Q
. Âêëàä ýòèõ îòðåçêîâ â âåðõíþþ èíòåãðàëüíóþ ñóììó íå ïðå1
1
âîñõîäèò Q · max f = Q . Âêëàä îñòàëüíûõ îòðåçêîâ ðàçáèåíèÿ (êàêèì áû îíî íè áûëî) â
1
1
âåðõíþþ èíòåãðàëüíóþ ñóììó íå ïðåâîñõîäèò Q
, ïîñêîëüêó íà íèõ max f ≤ Q
.
Èñêîìîå ðàçáèåíèå ïîñòðîåíî.
4