Лекция 8. Касательное пространство, алгебры Ли.

êàôåäðà Ïðîáëåìû òåîð. ôèçèêè, II êóðñ
Ââåäåíèå â òåîðèþ ãðóïï
Ëåêöèÿ 8. Êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî, àëãåáðû Ëè.
Äëÿ ëþáîé êðèâîé íà÷èíàþùåéñÿ â òî÷êå x0, g : [0, 1] → M , g(0) = x0 ìîæíî
ðàññìîòðåòü ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå 0: g0(0). Ñîâîêóïíîñòü âñåõ òàêèõ âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ
â òî÷êå x0, îáîçíà÷åíèå Tx M .
Ïðèìåðû.
1. Ñôåðà S 2 Äëÿ òîãî ÷òîáû ìàëîå ïðèðàùåíèå (δx, δy, δx) ê òî÷êå (x, y, z) ëåæàëî
òîæå íà ñôåðå íåîáõîäèìî ÷òîáû xδx + yδy + zδz = 0.
2. Åñëè ìíîãîîáðàçèå çàäàíî óðàâíåíèå f (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, òî êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì
êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì
0
∂f
∂f 1 ∂f 2
δx
+
δx
+
·
·
·
+
δxN = 0
1
2
N
∂x
∂x
∂x
ñëó÷àÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé f 1 = f 2 = · · · = f l = 0
Àíàëîãè÷íî, äëÿ
ïðîñòðàíñòâî â òî÷êå îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé
 1
∂f
∂f 1 2
∂f 1 N

1

δx
+
δx
+
·
·
·
+
δx = 0


 ∂x1
∂x2
∂xN
...


l
l
l


 ∂f δx1 + ∂f δx2 + · · · + ∂f δxN = 0
∂x1
∂x2
∂xN
êàñàòåëüíîå
Óñëîâèå, ÷òî ðàíã ìàòðèöû ( ∂x∂f ) ðàâåí l ýòî êàê ðàç óñëîâèå òîãî, ÷òî äàííàÿ
ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé èìååò k = N − l ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé, ò.å.
êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê òî÷êå ýòî âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòè k.
Çàìå÷àíèå. Äðóãîé îïðåäåëåíèå êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòî
ïðîñòî òåíçîðû ñ îäíèì âåðõíèì èíäåêñîì. Â ñàìîì äåëå, ïóñòü åñòü äâà íàáîðà ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò (x1, x2, . . . , xk ) è (y1, y2, . . . , yk ). Êðèâàÿ y(t) = (y1(t), y2(t), . . . , yk (t))
èìååò êàñàòåëüíûé
âåêòîð
(δy 1 , δy 2 , . . . , δy k ). Ïî ôîðìóëå ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè δyi = Pj ∂x∂y δxj , êàê è ïîëîæåíî äëÿ òåíçîðà.
Çàìå÷àíèå. Åñëè åñòü ãëàäêîå îòîáðàæåíèå ìíîãîîáðàçèé F : X → Y , òî ïî
êàæäîé êðèâîé g : [0, 1] → X ìîæíî ïîñòðîèòü êðèâóþ h = F ◦ g : [0, 1] → Y .
Ïîëó÷àåì îòîáðàæåíèå dF êàñàòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâ: êàñàòåëüíîìó âåêòîðó g0 â
òî÷êå x0 ìû ñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàñàòåëüíûé âåêòîð h0 â òî÷êå y0 = F (x0). Åñëè
âûáðàòü ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû x(1), . . . , x(n) îêîëî è y(1), . . . , y(m) òî îòîáðàæåíèå
∂F (j)
dF çàäàåòñÿ ìàòðèöåé
.
∂x(i)
Äàëåå ìû áóäåì èçó÷àòü ìíîãîîáðàçèÿ êîòîðûå èìåþò äîïîëíèòåëüíî ñòðóêòóðó
ãðóïïû. Ìû îãðàíè÷èìñÿ ìàòðè÷íûìè ãðóïïàìè Ëè.
Îïðåäåëåíèå 1. Ìíîæåñòâî G ⊂ GL(n) ÿâëÿþùååñÿ ïîäãðóïïîé è èìåþùåå
ñòðóêòóðó ìíîãîîáðàçèÿ íàçûâàåòñÿ (ìàòðè÷íîé)
.
Ïðèìåðû.
1. Ãðóïïà âñåõ íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö Gl(n). Ýòî îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî â ìíîæåñòâå âñåõ ìàòðèö Rn ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì.
i
i
j
Ãðóïïîé Ëè
2
. Ãðóïïà ìàòðèö ñ åäèíè÷íûì îïðåäåëèòåëåì SL(n). Çàäàåòñÿ îäíèì óðàâíåíèåì
det(X) − 1 = 0. Íàäî ïðîâåðèòü, ÷òî äèôôåðåíöèàë íå ðàâåí íóëþ, ïðîâåðèì ýòî â
òî÷êå X = E . Ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì ïîëó÷àåì, ÷òî
2
X ∂ det
∂xij
δxij = δx11 + · · · + δxnn 6= 0.
Èç ýòîãî âû÷èñëåíèÿ âèäíî, ÷òî êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì â òî÷êå E ÿâëÿåòñÿ
ïðîñòðàíñòâî ìàòðèö ñî ñëåäîì ðàâíûì 0.
3. ×åðåç O(n) îáîçíà÷àåòñÿ ãðóïïà âñåõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö. Íàéäåì êàñàòåëüíîå
ïðîñòðàíñòâî ê åäèíèöå. Îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû çàäàþòñÿ óðàâíåíèÿ XX t = E .
Ðàññìîòðèì ìàëîå ïðèðàùåíèå X = E + tδX + o(t). Òîãäà ïîëó÷àåì δX + δX t = 0,
ò.å. êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ñîñòîèò èç êîñîñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö.
Óðàâíåíèå çàäàþùåå O(n) XX t = E ÿâëÿåò ñîáîé n(n + 1)/2 óðàâíåíèé íà
ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû êîòîðûõ âñåãî n2. ×òîáû äîêàçàòü, ÷òî ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèé
çàäàåò ïîäìíîãîîáðàçèå íàäî óáåäèòñÿ, ÷òî ðàíã ìàòðèöû èç ïðîèçâîäíûõ ìàêñèìàëüíûé, ò.å. ðàâåí n(n+1)
2 . Ýòî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà çàäàííîå
ýòîé ìàòðèöåé èìååò ðàçìåðíîñòü n(n−1)
2 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êîñîñèììåòðè÷åñêèå ìàòðèöû èìåííî òàêóþ ðàçìåðíîñòü è èìåþò. Ýòî è åñòü ðàçìåðíîñòü ãðóïïû O(n).
Äî ñèõ ïîð ìû èçó÷àëè òîëüêî êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî â åäèíèöå. Íà ñàìîì
äåëå, ýòîãî äîñòàòî÷íî, êàê âèäíî èç ñëåäóþùåé êîíñòðóêöèè. Ïóñòü g ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ãðóïïû, X(t) êðèâàÿ ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç E : X(t) = E + tδX + o(t).
Ðàññìîòðèì êðèâóþ Y (t) = X(t)g. Òîãäà Y (0) = g è êàñàòåëüíûé âåêòîð ê ýòîé
êðèâîé â òî÷êå g ðàâåí δXg. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî âñå êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê
òî÷êå g ïîëó÷àåòñÿ èç êàñàòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà ê E óìíîæåíèåì ñïðàâà íà g. Èç
ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî SL(n) ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé Ëè ðàçìåðíîñòü n2 − 1, O(n) ÿâëÿåòñÿ
ãðóïïîé ðàçìåðíîñòè n(n−1)
2 .
Ïîñëåäíÿÿ êîíñòðóêöèþ èìååò åùå îäíî ïðèìåíåíèå. Ïî ëþáîìó A ∈ TE G ìîæíî ïîñòðîèòü âåêòîðíîå ïîëå êîòîðîå â òî÷êå g ðàâíî Ag (ò.å. âûáðàòü êàñàòåëüíûé
âåêòîð â êàæäîé òî÷êå). Ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå G(t)0 = AG(t),
åãî ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíòà G(t) = exp(tA). Ò.å. ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî
A ∈ TE G ìàòðèöà exp(A) ∈ G.
Òåîðåìà 1. à) Ýêñïîíåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì (áèåêòèâíûì è ãëàäêèì îòîáðàæåíèåì) íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ â TE G íà íåêîòîðóþ îêðåñòíîñòü E â G.
á) Ëþáàÿ ìàëàÿ îêðåñòíîñòü E ñâÿçíîé ãðóïïû G ïîðîæäàåò G êàê ãðóïïó.
Ýòà òåîðåìà â ÷àñòíîñòè îçíà÷àåò, ÷òî êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî TE G â áîëüøîé
ñòåïåíè îïðåäåëÿåò ãðóïïó G. Íî íå ëþáîå ïîäïðîñòðàíñòâî â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö
ìîæåò áûòü êàñàòåëüíûì ïðîñòðàíñòâîì ê ãðóïïå.
Ïðåäëîæåíèå 2. Ïóñòü A, B ∈ TE G. Ðàññìîòðèì ýêñïîíåíöèàëüíûå êðèâûå
g(t) = E + At + A2 t2 /2 + o(t2 ), h(s) = E + Bs + B 2 s2 /2 + o(s2 ). Òîãäà:
g(t)h(s)g(−t)h(−s) = E + o · t + 0 · s + 0 · t2 + o · s2 + (AB − BA)ts + . . . .
(1)
Îòñþäà âçÿâ ïàðàìåòðû t = s = √τ , ñëåäóåò, ÷òî êîììóòàòîð [A, B] = AB − BA ∈
TE G.
Îïðåäåëåíèå 2. Àëãåáðîé Ëè íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî g ñíàáæåííîå
áèëèíåéíîå îïåðàöèåé [·, ·] : g⊗g → g óäîâëåòâîðÿþùåé ñëåäóþùèì äâóì àêñèîìàì:
Àíòèêîììóòàòèâíîñòü [x, y] = −[y, x]
Òîæäåñòâî ßêîáè [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî êîììóòàòîð ìàòðèö [A, B] = AB − BA óäîâëåòâîðÿåò àíòèêîììóòàòèâíîñòè è òîæäåñòâó ßêîáè.
Ïðèìåðû.
1.
Êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê åäèíèöå ê ëþáîé ãðóïïå Ëè G. Îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ
LieG èëè ìàëåíüêîé ãîòè÷åñêîé áóêâîé g. Äëÿ ìàòðè÷íûõ ãðóïï:
a) Àëãåáðà Ëè ãðóïïû âñåõ íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö GL(n) ðàçìåðà n × n îáîçíà÷àåòñÿ gl(n). Ñîñòîèò èç âñåõ ìàòðèö ðàçìåðà n × n
á) Àëãåáðà Ëè ãðóïïû âñåõ ìàòðèö ñ îïðåäåëèòåëåì 1 SL(n) îáîçíà÷àåòñÿ sl(n).
Ñîñòîèò èç âñåõ ìàòðèö ðàçìåðà n × n c íóëåâûì ñëåäîì.
â) Àëãåáðà Ëè ãðóïïû âñåõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö O(n) îáîçíà÷àåòñÿ so(n).
Ñîñòîèò èç âñåõ êîñîñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö ðàçìåðà n × n.
2. Âåêòîðà â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå R3 . Êîììóòàòîð âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå.
Çàìå÷àíèå. Òîæäåñòâî ßêîáè ââåäåííîå ìîæíî åùå ïåðåïèñàòü â âèäå:
[x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x.z]],
÷òî îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîð [x, ·] ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì, ò.å. óäîâëåòâîðÿåò
ïðàâèëó Ëåéáíèöà.
3. Ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé îò ïåðåìåííûõ qi è pi ñî ñêîáêîé Ïóàññîíà:
X ∂f ∂g
∂f ∂g
·
−
·
{f, g} =
∂p
∂q
∂q
∂pi
i
i
i
i
Äîìàøíåå çàäàíèå
Ðåøåíèÿ íàäî ïðèñëàòü èëè ïðèíåñòè äî íà÷àëà ëåêöèè 14 àïðåëÿ. Ïîìèìî
ïèñüìåííîé ñäà÷è íàäî áûòü ãîòîâûì îòâåòèòü íà âîïðîñû ïî ðåøåíèÿì.
Äîêàæèòå òîæäåñòâî (1).
Óïðàæíåíèå 2. Äîêàæèòå íåïîñðåäñòâåííî, ÷òî so(n) ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé Ëè.
(ò.å. êîììóòàòîð äâóõ êîñîñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ êîñîñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé).
Çàäà÷à 3. Äâóìåðíûõ òîð çàäàí R4 óðàâíåíèÿìè x2 + y 2 = 1, z 2 + u2 = 1.
Äîêàæèòå ÷òî òîð ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíûì ìíîãîîáðàçèåì. Ïîêðîéòå åãî êàðòàìè, íàïèøèòå ôóíêöèè çàìåíû êîîðäèíàò ìåæäó ðàçíûìè êàðòàìè (õîòÿ áû äëÿ îäíîãî
ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ êàðò).
Çàäà÷à 4. à) Íàéäèòå êàñàòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî ê E ó ãðóïïû óíèòàðíûõ ìàòðèö U (n) (ò.å. ìàòðèö çàäàííûõ óðàâíåíèåì XX ∗ = E ). á) Íàéäèòå ðàçìåðíîñòü
ãðóïïû U (n).
Çàäà÷à 5. à) Äîêàæèòå, ÷òî ãðóïïà SO(3) (îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû ñ îïðåäåëèòåëåì 1) ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíîé. á) Äîêàæèòå, ÷òî ãðóïïà âñåõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö
O(3) íå ñâÿçíàÿ.
Óïðàæíåíèå 1.
Óêàçàíèå: à) âîñïîëüçóéòåñü òåì, ÷òî ëþáîå ýëåìåíò èç
SO(3)
ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì âîêðóã
íåêîòîðîé îñè.
Ïóñòü I1, I2, . . . , Il áàçèñ â àëãåáðåPËè. Òîãäà êîììóòàòîð áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ
ñíîâà ðàçëàãàåòñÿ ïî áàçèñó [Ii, Ij ] = k ckij Ik . ×èñëà cij íàçûâàþòñÿ
. Ïî àíàëîãèè ñ òåì, ÷òî êîíå÷íàÿ ãðóïïà îïèñûâàåòñÿ òàáëèöåé
óìíîæåíèÿ, àëãåáðà Ëè îïèñûâàåòñÿ ñâîèìè ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè.
Çàäà÷à 6. Àëãåáðà Ëè so(3) èçîìîðôíà àëãåáðå âåêòîðîâ R3 .
ñòðóêòóðíû-
ìè êîíñòàíòàìè
Óêàçàíèå: Âûáåðèòå óäà÷íûé áàçèñ â
so(3)
è ïðîâåðüòå ñîâïàäåíèå ñòðóêòóðíûõ êîíñòàíò.
Ìàòåðèàëû, à òàêæå ïîëåçíàÿ èíôîðìàöèÿ åñòü íà ñàéòå:
[qft.itp.ac.ru/mbersht/Group.html]