Мощности множеств

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Îñíîâû êîìáèíàòîðèêè è òåîðèè ÷èñåë, îñåíü 2012
Çàäà÷è ïðî ìîùíîñòè ìíîæåñòâ
Åñëè
A
êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî ÷åðåç
|A| îáîçíà÷èì
A è B:
êîëè÷åñòâî åãî ýëåìåíòîâ.
1. Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ
A â B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |A| 6 |B|;
ñþðúåêöèÿ èç A â B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |A| > |B|;
áèåêöèÿ ìåæäó A è B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |A| = |B|;
a) Ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ èç
b) Ñóùåñòâóåò
c) Ñóùåñòâóåò
AèB
A∼
= B.
Ìíîæåñòâà
Îáîçíà÷åíèå:
íàçûâàþòñÿ
ðàâíîìîùíûìè,
2. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ
a)
b)
c)
A, B
è
åñëè ñóùåñòâóåò áèåêöèÿ èç
A
â
B.
C:
A∼
= A;
Åñëè A ∼
= B , òî B ∼
= A;
∼
∼
Åñëè A = B è B = C , òî A ∼
= C.
A íå áîëåå ìîùíî, ÷åì B , åñëè A ðàâíîìîùíî íåêîòîðîìó ïîäìíîæåñòâó
B . Îáîçíà÷åíèå: A 6
∼ B.
3. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A, B è C :
Ãîâîðÿò, ÷òî
a)
b)
c)
∅6
∼A
A6
∼ A;
Åñëè A 6 B
∼
è
B6
∼ C,
4. Äîêàæèòå, ÷òî
5. Äîêàæèòå, ÷òî
A
A
A6
∼ C.
íå áîëåå ìîùíî, ÷åì
íå áîëåå ìîùíî, ÷åì
Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ
ñåë
òî
B,
B,
åñëè ñóùåñòâóåò èíúåêöèÿ èç
A â B.
B â A.
åñëè ñóùåñòâóåò ñþðúåêöèÿ èç
ñ÷¼òíûì, åñëè îíî ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó íàòóðàëüíûõ ÷è-
N.
6. Ïîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì áåñêîíå÷íîì ìíîæåñòâå íàéä¼òñÿ ñ÷¼òíîå ïîäìíîæåñòâî.
7. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ñ÷¼òíîãî ìíîæåñòâà êîíå÷íî èëè ñ÷¼òíî.
8. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå ñ÷¼òíîãî è êîíå÷íîãî ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî.
9. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå äâóõ ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî.
10. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå ñ÷¼òíîãî ÷èñëà ñ÷¼òíûõ ìíîæåñòâ ñ÷¼òíî.
11. Äîêàæèòå ñ÷¼òíîñòü ñëåäóþùèõ ìíîæåñòâ:
a) ìíîæåñòâî ÷¼òíûõ ÷èñåë;
b)
c)
Z;
Q;
d) ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç 0 è 1;
e) ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;
f)
Z[x]
(ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ îò
x
ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè);
1
g)
A
(ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë, ò.å. êîðíåé ìíîãî÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôè-
öèåíòàìè);
h)
Q[x1 , x2 , . . . ] (ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îò ñ÷¼òíîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ);
i) Ìíîæåñòâî ãðàôîâ ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì âåðøèí.
Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ
íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíûì,
åñëè îíî êîíå÷íî èëè ñ÷¼òíî.
12. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíû:
a) Ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëîâ íà ïðÿìîé;
b) Ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ âîñüì¼ðîê íà ïëîñêîñòè
(âîñüì¼ðêà îáúåäèíåíèå äâóõ êàñàþùèõñÿ âíåøíèì îáðàçîì îêðóæíîñòåé, îäíà âîñüì¼ðêà ìîæåò íàõîäèòüñÿ öåëèêîì âíóòðè äðóãîé);
c) Ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ áóêâ Ò íà ïëîñêîñòè (ò.å.
íàáîðîâ èç òð¼õ íåâûðîæäåííûõ îòðåçêîâ, èìåþùèõ îäèí îáùèé êîíåö è íèêàêèõ
äðóãèõ îáùèõ òî÷åê);
d) Ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ïðîèçâîëüíîé ìîíîòîííîé ôóíêöèè.
Ïóñòü
èç
A
â
AèB
äâà ìíîæåñòâà. ×åðåç
BA
îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ îòîáðàæåíèé
B.
13. Ïóñòü
A
è
B
ñóòü êîíå÷íûå ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùèå èç
A
ñòâåííî. Ñêîëüêî ýëåìåíòîâ â B ?
n
è
k
ýëåìåíòîâ ñîîòâåò-
A ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Ñêîëüêî ýëåìåíòîâ â ∅A ? À â A∅ ?
A
15. Ïóñòü A êîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî B ìíîæåñòâî B
|A|
ðàâíîìîùíî B
(äåêàðòîâîé ñòåïåíè).
16. Ïóñòü A, B è C ïðîèçâîëüíûå ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþùèåñÿ ìíîæåñòâà. Äîêà14. Ïóñòü
æèòå, ÷òî:
a)
b)
c)
AB × AC ∼
= AB∪C ;
C
C ∼
A × B = (A × B)C ;
(AB )C ∼
= AB×C .
C6 C
A6 B
A6
∼ B , òî A ∼ B è C ∼ C .
18. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè A áåñêîíå÷íî, à B íå áîëåå, ÷åì ñ÷¼òíî, òî A ∪ B ∼
= A.
6
6
Òåîðåìà ÊàíòîðàÁåðíøòåéíà óòâåðæäàåò, ÷òî åñëè A ∼ B è B ∼ A, òî A ∼
= B.
17. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè
19. Äîêàæèòå, ÷òî:
a) Ëþáûå äâà îòðåçêà ðàâíîìîùíû;
b) Ëþáûå äâà èíòåðâàëà ðàâíîìîùíû;
c) Ëþáîé èíòåðâàë ðàâíîìîùåí ëþáîìó îòðåçêó;
d) Ëþáîé ïðÿìîóãîëüíèê ðàâíîìîùåí ëþáîìó êðóãó.
20. Ïîñòðîéòå áèåêöèè ìåæäó ñëåäóþùèìè ïàðàìè ìíîæåñòâ:
2
[0, 1] è ïîëóèíòåðâàë [0, 1);
Îòðåçîê [0, 1] è èíòåðâàë (0, 1);
Èíòåðâàë (0, 1) è R;
R è {0, 1}N (ò.å. ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ
a) Îòðåçîê
b)
c)
d)
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé 0 è 1).
Ìíîæåñòâà, ðàâíîìîùíûå ìíîæåñòâó äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, íàçûâàþòñÿ
íûìè.
êîíòèíóàëü-
21. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî èëè ñ÷¼òíîãî ÷èñëà êîíòèíóàëüíûõ ìíî-
æåñòâ êîíòèíóàëüíî.
22. Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà êîíòèíóàëüíû:
a)
b)
c)
d)
({0, 1}N )2 (ò.å. ìíîæåñòâî ïàð áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
[0, 1]2 ;
R2 ;
Rn äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàòóðàëüíîãî n > 0;
0 è 1);
e) ìíîæåñòâî òî÷åê, ëåæàùèõ âíóòðè íåêîòîðîãî òðåóãîëüíèêà íà ïëîñêîñòè;
f ) ìíîæåñòâî âñåõ òðåóãîëüíèêîâ íà ïëîñêîñòè;
N
g) N ;
h) ìíîæåñòâî èíúåêòèâíûõ ôóíêöèé èç
i) ìíîæåñòâî ñþðúåêòèâíûõ ôóíêöèé
RN ;
N â N;
èç N â N;
j)
k) ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé èç
l) ìíîæåñòâî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé èç
R â R;
R â R.
23. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåäèíåíèå êîíòèíóàëüíîãî ÷èñëà êîíòèíóàëüíûõ ìíîæåñòâî
êîíòèíóàëüíî.
24. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâà
2R , NR
è
RR
ðàâíîìîùíû è âñå áîëåå, ÷åì êîíòèíó-
àëüíû.
25. Îïèøèòå â ÿâíîì âèäå áèåêöèè ìåæäó
3
2R
è
NR ,
à òàêæå ìåæäó
2R
è
RR .