Задание 2. 1. Элементами множества М являются

Çàäàíèå 2.
(a; b) ⊂ R,
1. Ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà M ÿâëÿþòñÿ íåïåðåñåêàþùèåñÿ èíòåðâàëû
åñòü
(a; b) ∩ (a0 ; b0 ) = ∅,
åñëè
(a; b) 6= (a0 ; b0 ).
òî
Äîêàçàòü, ÷òî M íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî.
2. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ê áåñêîíå÷íîìó ìíîæåñòâó äîáàâèòü êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî, òî ìîùíîñòü ìíîæåñòâà íå èçìåíèòñÿ. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî èððàöèîíàëüíûõ
÷èñåë ðàâíîìîùíî ìíîæåñòâó âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.
a ∈ R íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì, åñëè ñóùåñòâóåò ìíîãî÷ëåí P (x) ñ öåëûìè
√
√ p
2, 3 − 2 - àëãåáðàèêîýôôèöèåíòàìè òàêîé, ÷òî P (a) = 0. Ïîêàçàòü, ÷òî ÷èñëà 3/7,
3. ×èñëî
÷åñêèå. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë ñ÷åòíî.
4. Èñïîëüçóÿ êîìïîçèöèè ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, óñòàíîâèòå íåïîñðåäñòâåííî âçàèìíîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìíîæåñòâàìè íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé
a)
(0; 1)
è
(0; ∞)
b)
(0; 1)
è
R
5. Äîêàæèòå ðàâíîìîùíîñòü îòðåçêà [0;1] è èíòåðâàëà (0;1) äâóìÿ ñïîñîáàìè:
1) óñòàíîâèâ íåïîñðåäñòâåííî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå
2) èñïîëüçóÿ òåîðåìû Êàíòîðà-Áåðíøòåéíà
6. Äîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå q 2
Ïîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî
= 2 íå èìååò ðåøåíèé â ìíîæåñòâå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.
M = {q ∈ Q| q 2 < 2} îãðàíè÷åíî ñâåðõó, íî íè îäíî ðàöèîíàëüíîå
÷èñëî íå ìîæåò áûòü åãî òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ.
7. Ìíîæåñòâà
∃c ∈ R
ò.÷.
(a ≤ c ≤ b)
∞
T
A ⊂ R
è
B ⊂ R
òàêîâû, ÷òî
∀a ∈ A, ∀b ∈ B (a ≤ c ≤ b).
íåëüçÿ çàìåíèòü íà
∀a ∈ A, ∀b ∈ B (a < b).
Ïðèâåñòè ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî íåðàâåíñòâî
(a < c < b).
8. Ïóñòü èìååòñÿ ñèñòåìà âëîæåííûõ îòðåçêîâ:
[an ; bn ] 6= ∅.
Äîêàçàòü, ÷òî
[a1 ; b1 ] ⊃ [a2 ; b2 ] ⊃ ...
Ïðèâåñòè ïðèìåð ñèñòåìû âëîæåííûõ èíòåðâàëîâ
(an ; bn ),
Äîêàçàòü, ÷òî
ïåðåñå÷åíèå êî-
n=1
òîðûõ ïóñòî. Ïðèâåñòè ïðèìåð ñèñòåìû âëîæåííûõ îòðåçêîâ, ïåðåñå÷åíèå êîòîðûõ ñîäåðæèò áîëåå îäíîé òî÷êè.
9. Ïóñòü
A ⊂ B.
Äîêàçàòü, ÷òî
inf B ≤ inf A, sup A ≤ sup B .
Ïðèâåñòè ïðèìåðû, êîãäà
íåðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî.
10. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè
11. Ñëîæèòü ÷èñëà
a
- íàèáîëüøèé ýëåìåíò ìíîæåñòâà
0, 5(68)
è
0, (342).
A,
òî
a = sup A.
Îòâåò äàòü â âèäå îáûêíîâåííîé íåñîêðàòèìîé
äðîáè.
1