14. Вполне упорядоченные множества

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ôàêóëüòåò èííîâàöèé è âûñîêèõ òåõíîëîãèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, âåñíà 2015
Ôóíäèðîâàííûå è âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, êàæäîå íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî êîòîðîãî
ñîäåðæèò ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò. (Íàïîìèíàíèå: ìèíèìàëüíûì ýëåìåíòîì íàçûâàåòñÿ
òîò, ìåíüøå êîòîðîãî íåò; íàèìåíüøèì òîò, êîòîðûé ìåíüøå âñåõ îñòàëüíûõ). Ñâîéñòâó ôóíäèðîâàííîñòè òàêæå ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
à)
íå ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîé ñòðîãî
óáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà;
á)
èçâåñòíî, ÷òî åñëè íåêîòîðîå ñâîéñòâî A âûïîëíåíî ïðè âñåõ
x < y , òî âûïîëíåíî A(y). Òîãäà A âûïîëíåíî ïðè âñåõ x.
Äîêàæèòå, ÷òî â ôóíäèðîâàííîì ìíîæåñòâå ëþáàÿ íåñòðîãî óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñòàáèëèçèðóåòñÿ.
Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò ðàâíîìîùíîå åìó ôóíäèðîâàííîå ìíîæåñòâî.
íàçûâàåòñÿ ôóíäèðîâàííîå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî.
Ïðèâåäèòå ïðèìåð ôóíäèðîâàííîãî, íî íå ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà, à
òàêæå ïðèìåð ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîãî, íî íå ôóíäèðîâàííîãî ìíîæåñòâà. Äëÿ ïîñëåäíåãî íåïîñðåäñòâåííî ïîêàæèòå íàðóøåíèå âñåõ òð¼õ óñëîâèé.
 íåêîòîðîì óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå ëþáîå íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî ñîäåðæèò
íàèìåíüøèé ýëåìåíò. Âåðíî ëè, ÷òî îíî âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå?
Ïîäìíîæåñòâî ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ
, åñëè ëþáûå äâà åãî ýëåìåíòà ñðàâíèìû. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ôóíäèðîâàííûì
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëþáàÿ åãî öåïü âïîëíå óïîðÿäî÷åíà.
ßâëÿåòñÿ ëè âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ñëîâ èç áóêâ ëàòèíñêîãî àëôàâèòà ñ ëåêñèêîãðàôè÷åñêèì ïîðÿäêîì?
Âñïîìíèòå, êàê îïðåäåëÿþòñÿ ñóììà, ïðîèçâåäåíèå è äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå
óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ. Âñåãäà ëè ñóììà, ïðîèçâåäåíèå è äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå
ôóíäèðîâàííûõ ìíîæåñòâ ôóíäèðîâàíû? Ìîãóò ëè ñóììà, ïðîèçâåäåíèå èëè äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå íåôóíäèðîâàííûõ ìíîæåñòâ áûòü ôóíäèðîâàííûìè? Âñåãäà ëè ñóììà,
ïðîèçâåäåíèå è äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ âïîëíå óïîðÿäî÷åíû? Åñëè íå âñåãäà, ïîïðîáóéòå ïðèäóìàòü íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå.
Âåðíû ëè äëÿ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ ïðàâèëà
êîììóòàòèâíîñòè, àññîöèàòèâíîñòè è äèñòðèáóòèâíîñòè (ïðàâîé è ëåâîé)? À äëÿ ôóíäèðîâàííûõ?
Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå íåïóñòûå âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà A è B , ÷òî
A + B ' B?
Ôóíäèðîâàííûì
Ïðèíöèï íåâîçìîæíîñòè áåñêîíå÷íîãî ñïóñêà:
Ïðèíöèï èíäóêöèè:
1.
2.
Âïîëíå óïîðÿäî÷åííûì
3.
4.
5.
öåïüþ
6.
7.
8.
9.
1
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè A âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, à f : A → A òàêîâà, ÷òî
ïðè x > y âåðíî f (x) > f (y), òî ïðè âñåõ x âûïîëíåíî f (x) > x. Âåðíà ëè ýòà òåîðåìà
äëÿ ôóíäèðîâàííûõ ìíîæåñòâ? Ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûõ?
Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå íåïóñòûå âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà A è B , ÷òî
A + B ' A?
Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ A · B ' A ñðåäè âïîëíå óïîðÿäî÷åííûõ ìíîæåñòâ.
Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè A è B âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, ïðè ýòîì A êîíå÷íî
è íåïóñòî, à B íå èìååò íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà, òî A · B ' B .
Äîêàæèòå, ÷òî âî âïîëíå óïîðÿäî÷åííîì ìíîæåñòâå ó êàæäîãî ýëåìåíòà a (êðîìå
ìàêñèìàëüíîãî) åñòü íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèé, ò.å. òàêîé c > a, ÷òî íè äëÿ êàêîãî b
íåâåðíî c > b > a.
âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà íàçûâàåòñÿ ýëåìåíò, íå
ÿâëÿþùèéñÿ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèì íè çà êàêèì äðóãèì.
Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî A èçîìîðôíî ñóììå
B + C , ãäå B è C âïîëíå óïîðÿäî÷åíû, ïðè ýòîì B íå èìååò íàèáîëüøåãî ýëåìåíòà, à
C êîíå÷íî.
Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà a âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà íàéä¼òñÿ ïðåäåëüíûé ýëåìåíò b 6 a, òàêîé ÷òî ìåæäó b è a ëåæèò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî
ýëåìåíòîâ.
Îïèøèòå âñå âïîëíå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà, èìåþùèå êîíå÷íîå ÷èñëî ïðåäåëüíûõ ýëåìåíòîâ.
10.
11.
12.
13.
14.
Ïðåäåëüíûì ýëåìåíòîì
15.
16.
17.
2