Материалы вступительных экзаменов 2001 года R S|

Ê ÂÀÀÐ
ÍÈ
T À2 0
Â
Í0 2Ò/ №Û2
34
Материалы вступительных
экзаменов 2001 года
Институт естественных наук и экологии при
«Курчатовском институте»
МАТЕМАТИКА
Âàðèàíò ïèñüìåííîãî ýêçàìåíà
1. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé
R|
S|
T
a2 − x2 − a2 − y2 = b;
b
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
1
3
g
2
a2 − x2 + a2 − y2 = 2b + x + y .
FG
H
tg x −
IJ − 2ctg x + tg FG x + π IJ = 0 .
H 4K
6K
π
2
3. Ê ïàðàáîëå y = x − 3 x + 3 ïðîâåäåíû äâå êàñàòåëüíûå.
Îäíà èç íèõ êàñàåòñÿ ëåâîé âåòâè ïàðàáîëû è îäíîâðåìåííî
2
2
êðèâîé, çàäàííîé óðàâíåíèåì 5 x − 50 x + 5 y + 53 = 0 . Òàíãåíñ óãëà ìåæäó äâóìÿ êàñàòåëüíûìè ðàâåí 4/7. Îïðåäåëèòå ïëîùàäü ôèãóðû, çàêëþ÷åííîé ìåæäó ïàðàáîëîé è ýòèìè
êàñàòåëüíûìè.
4. Îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç îñíîâàíèÿ âñåõ âûñîò
òóïîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Íàéäèòå åå ðàäèóñ, åñëè íàèáîëüøàÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ðàâíà 4, à ðàññòîÿíèå ìåæäó
îñíîâàíèÿìè âûñîò, ëåæàùèìè íà ïðîäîëæåíèÿõ ñòîðîí
òðåóãîëüíèêà, ðàâíî 3.
5. Íà ñôåðå ñ ðàäèóñîì 2 ðàñïîëîæåíû òðè ïîïàðíî
êàñàþùèåñÿ îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñîì 1. Íàéäèòå îáúåì è
ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè óñå÷åííîãî êîíóñà, îáå îêðóæíîñòè
îñíîâàíèé êîòîðîãî ëåæàò íà ýòîé æå ñôåðå è êàñàþòñÿ
êàæäîé èç äàííûõ îêðóæíîñòåé.
1
6. Íå ïîëüçóÿñü êàëüêóëÿòîðîì, âû÷èñëèòå
1,0000000011
ñ 30 çíàêàìè ïîñëå çàïÿòîé.
ФИЗИКА
Вариант письменного экзамена
1. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü v0 íóæíî ñîîáùèòü òåëó
íåáîëüøîé ìàññû â öåíòðå àñòåðîèäà ìàññîé Ì è ðàäèóñîì
R, ÷òîáû îíî ÷åðåç ðàäèàëüíóþ øàõòó óøëî íà áåñêîíå÷íîñòü? Ïëîòíîñòü àñòåðîèäà ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé âî âñåì åãî
îáúåìå.
2. Öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ñ òîíêèìè ñòåíêàìè, èçãîòîâëåííûìè èç îäíîãî ìàòåðèàëà è èìåþùèìè îäèíàêîâóþ
òîëùèíó, ïîêîèòñÿ íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå
(ðèñ.1). Îáúåì ñîñóäà V, ïëîùàäü åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S, ìàññà ñòåíîê m.
∆
Âíóòðè íàõîäèòñÿ òîíêèé
ïîäâèæíûé ïîðøåíü ìàñNe
Ar
ñîé M, ãåðìåòè÷åñêè ðàçM
äåëÿþùèé ñîñóä íà äâå
S
m
m
÷àñòè. Ëåâàÿ ÷àñòü çàïîëíåíà íåîíîì ìàññîé m1 ,
ïðàâàÿ – àðãîíîì ìàññîé
Рис. 1
m2 .  íà÷àëüíûé ìîìåíò ñîñóä óäåðæèâàþò, à ïîðøåíü
îòâîäÿò âïðàâî îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà ðàññòîÿíèå ∆ ,
ìàëîå ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðîäîëüíûìè ðàçìåðàìè ÷àñòåé ñîñóäà. Çàòåì ñîñóä è ïîðøåíü îòïóñêàþò. Íàéäèòå ïåðèîä è
àìïëèòóäó êîëåáàíèé ñîñóäà, ñ÷èòàÿ m1 è m2 ìàëûìè ïî
ñðàâíåíèþ ñ m è M. Òðåíèåì è îòêëîíåíèåì ïðîöåññà
êîëåáàíèé îò èçîòåðìè÷åñêîãî ïðåíåáðå÷ü. Àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà ñèñòåìû ðàâíà T.
3. Ìåæäó äâóìÿ îáêëàäêàìè íåçàðÿæåííîãî ïëîñêîãî
âîçäóøíîãî êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ C, çàêîðî÷åííîãî íà
ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R, ïîìåùàþò ïîäîáíóþ îáêëàäêàì
ïðîâîäÿùóþ ïëàñòèíó ñ çàðÿäîì q > 0 íà ðàññòîÿíèè x îò
îäíîé èç îáêëàäîê. Ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ çàðÿäîâîãî ðàâíîâåñèÿ ïëàñòèíó áûñòðî óäàëÿþò èç êîíäåíñàòîðà. Ïîëàãàÿ, ÷òî
çà âðåìÿ ïåðåìåùåíèÿ ïëàñòèíû çàðÿä êîíäåíñàòîðà íå
óñïåâàåò èçìåíèòüñÿ, îïðåäåëèòå âåëè÷èíó è íàïðàâëåíèå
òîêà ÷åðåç ðåçèñòîð ñðàçó ïîñëå óäàëåíèÿ ïëàñòèíû è ðàáîòó,
ñîâåðøåííóþ ïðè óäàëåíèè ïëàñòèíû. Ðàññòîÿíèå ìåæäó
îáêëàäêàìè êîíäåíñàòîðà d ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ ðàçìåðàìè.
4. Íåïîäâèæíûé òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà S íàõîäèòñÿ íà
ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç ñîáèðàþùåé
L1 è ðàññåèâàþùåé L2 ëèíç, ðàñïîëîæåííûõ âïëîòíóþ äðóã
ê äðóãó (ðèñ.2). Îïòè÷åñêèå
L L
îñè ëèíç ñîâïàäàþò, à èõ ôîêóñíûå ðàññòîÿíèÿ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì F2 = −2 F1 , ãäå F1
v
v
– ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû
S
L1 . Ðàññòîÿíèå îò èñòî÷íèêà
*
d
äî ëèíçû L1 ðàâíî d = 3 F1 .
Îáå ëèíçû íà÷èíàþò äâèãàòüñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ äðóã îò äðóãà ñ îäèíà- Рис. 2
êîâûìè ïî ìîäóëþ ñêîðîñòÿìè v. Íàéäèòå âåëè÷èíó è íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè èçîáðàæåíèÿ, äàâàåìîãî ñèñòåìîé ëèíç, â ìîìåíò íà÷àëà èõ äâèæåíèÿ.
5. Â âåðòèêàëüíîì îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé B íàõîäÿòñÿ ãîðèçîíòàëüíûå ïðîâîäÿùèå ðåéêè (ðèñ.3).
Ïî ðåéêàì, ðàññòîÿíèå
m
ìåæäó êîòîðûìè l, ìîæåò ñêîëüçèòü áåç òðåv
íèÿ ïðîâîäÿùèé áðóR
l B
ñîê ìàññîé m, ïðèêðåïëåííûé ê àáñîëþòíî
óïðóãîé ïðóæèíå æåñòêîñòüþ k. Ðåéêè çàìê- Рис. 3
íóòû íà ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R áîëüøîé âåëè÷èíû. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî
òåïëîòû, êîòîðîå áóäåò âûäåëÿòñÿ â ðåçèñòîðå çà ïåðèîä
êîëåáàíèé áðóñêà, ïîñëå òîãî êàê åìó ìãíîâåííî ñîîáùèëè
ñêîðîñòü v. Ñîïðîòèâëåíèå ðååê è áðóñêà íå ó÷èòûâàòü.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèë
Ñ.Ôîìè÷åâ
35
ÂÀÐÈÀÍÒÛ
Институт криптографии, связи и информатики
Академии ФСБ РФ
МАТЕМАТИКА
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Вариант 1
(факультеты прикладной математики и информационной
безопасности)
1. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ îïðåäåëåíû òðè
÷èñëà: −3 − 5 − x ; x − 2 − 4 ; –2õ –3, è íàèáîëüøåå èç ýòèõ
÷èñåë îòðèöàòåëüíî.
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
2
2 − 3 cos 2 x + sin 2 x = 4 cos 3 x .
3. Ïåðâûé ÷ëåí àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ðàâåí b, à åå
ðàçíîñòü ðàâíà 5. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà b, ïðè
êîòîðûõ ñóììà ïåðâûõ n ÷ëåíîâ ýòîé ïðîãðåññèè äîñòèãàåò
ñâîåãî ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ïðè n = 30.
4. Â òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ óãîë Â ðàâåí 45°. Èç îñíîâàíèÿ K
áèññåêòðèñû CK ïðîâåäåíû ïåðïåíäèêóëÿðû KM è KN ê
ñòîðîíàì ÀÑ è ÂÑ ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå îòíîøåíèå äëèí
ñòîðîí ÀÂ è ÀÑ, åñëè CN = MN.
5. Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë áîëüøå:
9 log 3 13 + 28 ?
3 log 3 13 èëè
Îòâåò îáîñíóéòå. Òàáëèöàìè è êàëüêóëÿòîðîì ïîëüçîâàòüñÿ
íå ðàçðåøàåòñÿ.
6. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
5
1+ 3 − x
3− x
x−4
≤ x −4⋅4
.
3
Вариант 2
(факультеты специальной техники и информационной
безопасности)
1. ×èñëî 28 ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóììû äâóõ ñëàãàåìûõ à,
3
3
b òàê, ÷òî ñóììà a + b ìèíèìàëüíà. Íàéäèòå à, b.
2. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ êîðíåé èìååò óðàâíåíèå
sin 3 x − sin 7 x = 0 íà îòðåçêå x ∈ 0; 2 π ?
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
6
8
bx + 1gbx + 2g + bx + 4gbx − 1g = 1.
4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log
log e x − 2 x − 4 j > 0 .
1
5
4
2
5. Ìàøèíà âûåçæàåò èç ïóíêòà À â ïóíêò Â è, äîåõàâ äî
Â, òóò æå ïîâîðà÷èâàåò îáðàòíî. ×åðåç 5 ÷àñîâ ïîñëå âûåçäà
ìàøèíà áûëà â 80 êì îò Â, à åùå ÷åðåç ÷àñ – â 160 êì îò À.
Èçâåñòíî, ÷òî íà âåñü ïóòü òóäà è îáðàòíî ìàøèíà çàòðàòèëà
íå áîëåå 15 ÷àñîâ. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò À äî Â.
6. Îñíîâàíèå òðåóãîëüíèêà äåëèòñÿ âûñîòîé íà îòðåçêè
36 ñì è 14 ñì. Ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îñíîâàíèþ ïðîâåäåíà
ïðÿìàÿ, äåëÿùàÿ òðåóãîëüíèê íà äâå ðàâíîâåëèêèå ÷àñòè. Íà
êàêèå îòðåçêè ýòà ïðÿìàÿ äåëèò îñíîâàíèå òðåóãîëüíèêà?
ФИЗИКА
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Вариант 1
(факультеты специальной техники и информационной
безопасности)
1. Òåëî áðîøåíî ñ âûñîòû H íàä ïîâåðõíîñòüþ çåìëè ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ v0 . Íàéäèòå äàëüíîñòè L ïîëåòà
òåëà.
2. Ïóëÿ ëåòèò ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ v0 , ïðîáèâàåò
ëåæàùóþ íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñòîëà êîðîáêó è
âûëåòàåò â òîì æå íàïðàâëåíèè ñî ñêîðîñòüþ v0 3 . Ìàññà
êîðîáêè â ïÿòü ðàç áîëüøå ìàññû ïóëè. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ
ñêîëüæåíèÿ ìåæäó êîðîáêîé è ñòîëîì µ . 1) Íàéäèòå ñêîðîñòü v êîðîáêè ñðàçó ïîñëå âûëåòà èç íåå ïóëè. 2). Íà êàêîå
ðàññòîÿíèå s ïðîäâèíåòñÿ êîðîáêà? Âðåìÿ âçàèìîäåéñòâèÿ
ïóëè è êîðîáêè ìàëî.
3. Â ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 1, èçâåñòíû ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðîâ R1 è R2 , åìêîñòü êîíäåíñàòîðà C, ÝÄÑ
E áàòàðåè ñ ïðåíåáðåR
æèìî ìàëûì âíóòðåí1
íèì ñîïðîòèâëåíèåì.
2
Ïåðâîíà÷àëüíî êëþ÷ K
íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè
C
E
1, ïî öåïè òå÷åò ïîñòîR
ÿííûé òîê. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q2 âûäåëèòñÿ íà ðåçèñòîðå ñîïðîòèâëåíèåì R2 ïîñëå
ïåðåêëþ÷åíèÿ êëþ÷à èç Рис. 1
ïîëîæåíèÿ 1 â ïîëîæåíèå 2? Ñîïðîòèâëåíèåì ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ ïðåíåáðå÷ü.
4. Çàïàÿííóþ ïðîáèðêó ñ ãàçîì îõëàäèëè äî òåìïåðàòóðû
T = 283 Ê. Äàâëåíèå ïðè ýòîì óïàëî äî 70% ïåðâîíà÷àëüíîãî
äàâëåíèÿ. Íàéäèòå íà÷àëüíóþ òåìïåðàòóðó T0 ãàçà. Èçìåíåíèåì îáúåìà ïðîáèðêè ïðåíåáðå÷ü.
5. Ñîëíå÷íûé ëó÷, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç îòâåðñòèå â ñòàâíå,
o
ñîñòàâëÿåò ñ ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ ñòîëà óãîë α = 48 .
β
Ïîä êàêèìè óãëàìè
ê ïîâåðõíîñòè ñòîëà ìîæíî ðàñïîëîæèòü ïëîñêîå çåðêàëî, ÷òîáû èçìåíèòü íàïðàâëåíèå ëó÷à íà
ãîðèçîíòàëüíîå? Îòâåò ïîÿñíèòå ðèñóíêîì.
Вариант 2
(факультеты прикладной математики и информационной
безопасности)
1. Âàãîí øèðèíîé d, äâèæóùèéñÿ ïðÿìîëèíåéíî ñî ñêîðîñòüþ v, áûë ïðîáèò ïóëåé, äâèãàâøåéñÿ âñå âðåìÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ âàãîíà. Ñìåùåíèå îòâåðñòèÿ â
ñòåíêàõ âàãîíà îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãó ðàâíî l. Îïðåäåëèòå
ñêîðîñòü v1 äâèæåíèÿ ïóëè.
2. Ãðóç, ïîäâåøåííûé íà ëåãêîé íåðàñòÿæèìîé íèòè,
ñâîáîäíîãî âðàùàåòñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Â âåðõíåé
òî÷êå îêðóæíîñòè ñêîðîñòü ãðóçà ðàâíà v. Ñèëà íàòÿæåíèÿ
íèòè â íèæíåé òî÷êå îêðóæíîñòè â n ðàç ïðåâûøàåò ñèëó
íàòÿæåíèÿ íèòè â âåðõíåé òî÷êå îêðóæíîñòè. Îïðåäåëèòå
äëèíó íèòè L.
→
3. Â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé B ïîìåùåíî
ïðîâîëî÷íîå êîëüöî ðàäèóñîì a, îñü êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ
íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ðèñ.2). Îò öåíòðà ê êîëüöó
îòõîäÿò äâà îäèíàêîâûõ ïðîâîäÿùèõ ñòåðæíÿ, èìåþùèõ
ýëåêòðè÷åñêèé êîíòàêò ìåæäó
ñîáîé è êîëüöîì. Îäèí ñòåðæåíü íåïîäâèæåí, à äðóãîé ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé
ñêîðîñòüþ ω âîêðóã îñè êîëüöà. Çà îäèí ïîëíûé îáîðîò ñòåðæíÿ ïî íåìó ïðîòåêàåò çàðÿä Q.
Íàéäèòå: 1) ñóììàðíîå ýëåêòB
ðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå R ñòåðæíåé; 2) òåïëîâóþ ìîùíîñòü P,
ω
âûäåëÿþùóþñÿ â öåïè â ïðîöåññå âðàùåíèÿ. ÑîïðîòèâëåíèРис. 2
åì êîëüöà ïðåíåáðå÷ü.
Ê Â À Í T 2002/№2
36
p
4. Îïðåäåëèòå ðàáîòó îäíîãî ìîëÿ ãàçà â ïðîöåññå
2
1-2-3-4-1, èçîáðàæåííîì íà
ðèñóíêå 3. Äàâëåíèå ãàçà â
ñîñòîÿíèÿõ 2 è 3 âòîðîå áîëüøå, ÷åì â ñîñòîÿíèÿõ 1 è 4.
Îáúåì ãàçà â ñîñòîÿíèè 2
4
1
âäâîå áîëüøå, à â ñîñòîÿíèÿõ 3 è 4 – âòðîå áîëüøå, ÷åì
â ñîñòîÿíèè 1. Òåìïåðàòóðà
V
â ñîñòîÿíèè 1 ðàâíà T.
5. Ðàññòîÿíèå îò ïðåäìåòà
Рис. 3
äî ëèíçû d = 10 ì, îò ëèíçû
äî äåéñòâèòåëüíîãî èçîáðàæåíèÿ f = 2,5 ì. Îïðåäåëèòå
ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F ëèíçû.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè
À.Ëåäåíåâ, Â.Êèðèëëîâ, À.Ïè÷êóð
3
Московский институт электронной техники
(технический университет)
МАТЕМАТИКА
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Вариант 1
1. Íàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
y=
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
b x − 3g
F 2 − 9x I
GH 1 − 5x JK
−1
−1
2 − 3x + 2 .
−1
=
2
x−2
.
3. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ÷ëåíîâ ïðîãðåññèè 32,5, 37,5,
42,5 ... íóæíî âçÿòü, ÷òîáû èõ ñóììà áûëà áîëüøå 2160?
4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
1
≤ 3.
1−2 x
5. Ðåøèòå óðàâíåíèå
log
b1− x g2
8 − log1− x 32 = 0,7 .
6. Ðåøèòå óðàâíåíèå
2
5 sin 2 x + 10 sin x = 6 .
7. Â òðåóãîëüíèêå AÂC AB = BC. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì
â òî÷êå Î (Î – ñåðåäèíà îòðåçêà ÀÑ) êàñàåòñÿ ñòîðîí À è
ÂÑ â òî÷êàõ Ì è N. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà MN, åñëè ÀÎ =
= 3, à ÂÎ = 4.
8. Ó÷åíèê, ìàñòåð è ïîäìàñòåðüå ïî î÷åðåäè òêóò òêàíü.
Åñëè ó÷åíèê ñîòêåò 2 ì òêàíè, ïîäìàñòåðüå – 5 ì, à ìàñòåð
– 4 ì, òî îíè çàòðàòÿò íà ðàáîòó 1 ÷àñ 6 ìèíóò. Åñëè ó÷åíèê
ñîòêåò 3 ì òêàíè, ïîäìàñòåðüå – 2 ì, à ìàñòåð – 2 ì, òî îíè
çàòðàòÿò íà ðàáîòó 54 ìèíóòû. Êàêîå âðåìÿ îíè çàòðàòÿò íà
ðàáîòó, åñëè ó÷åíèê ñîòêåò 5 ì òêàíè, ïîäìàñòåðüå – 29 ì, à
ìàñòåð – 22 ì?
9. Â ïðàâèëüíîé ïðèçìå ABCA′B ′C ′ AB = 4 3 , AA ′ = 8 .
Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè ÂÑ è ÀÌ, ãäå Ì –
ñåðåäèíà îòðåçêà B ′C ′ .
10. Èçîáðàçèòå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, êîîðäèíàòû êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò íåðàlog
2
âåíñòâó 2 x − y ≥ x − y .
11. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à óðàâíåíèå
b x − 2g
2
b
g
− 0,2 arcsin sin x + a = 0
èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå?
Вариант 2
1. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå
4
−4
8
9c + 6 d + c d
16
2
− 3c .
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
x −10
x
3
5
−3
= 8.
10
3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
2
x + 3x ≤ 2 .
4. Ðåøèòå óðàâíåíèå
b x + 5g log e x
4−x
2
j
− 4 = 2 x + 10 .
5. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
FG
H
sin x cos 2 x + sin x −
55 π
sin 2 x cos x − sin x
2
IJ
K,
åñëè ctg x = −2 .
6.  ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ïðîèçâåäåíèå ÷ëåíîâ ñ
9-ãî ïî 16-é ðàâíî 6, à ïðîèçâåäåíèå ÷ëåíîâ ñ 17-ãî ïî 24-é
ðàâíî 12. Âû÷èñëèòå ïðîèçâåäåíèå ïåðâûõ âîñüìè ÷ëåíîâ
ïðîãðåññèè.
7.  ïàðàëëåëîãðàììå ABCD óãîë BAD ðàâåí 60°. Òî÷êà
K – ñåðåäèíà ñòîðîíû CD. Îòðåçêè AK è BD ïåðåñåêàþòñÿ
â òî÷êå Å. Íàéäèòå äëèíó ñòîðîíû ÀÂ, åñëè ðàññòîÿíèå îò
òî÷êè Å äî ïðÿìîé ÂÑ ðàâíî 2 3 .
8. Âûñîòà óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâíà 4, à ïëîùàäü îäíîãî èç
åãî îñíîâàíèé íà 44% áîëüøå ïëîùàäè äðóãîãî. Íàéäèòå
âûñîòó ïîëíîãî êîíóñà.
1− 2 x
9. Ãðàôèê ôóíêöèè y = 2
îòðàçèëè ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé y = x − 3 . Ãðàôèê êàêîé ôóíêöèè ïîëó÷èëñÿ?
10. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à óðàâíåíèå
c x − 4a + 1 + x − 8a + 1 − 4h e2ax
2
j
+ 24 ax − x + 22a − 11 = 0
èìååò ðîâíî òðè êîðíÿ?
11. Èç äâóõ ïóíêòîâ À è Â îäíîâðåìåííî íàâñòðå÷ó äðóã
äðóãó ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè âûåõàëè äâà àâòîìîáèëÿ.
Åñëè áû àâòîìîáèëè íå èçìåíÿëè ñêîðîñòè, òî èõ âñòðå÷à
ïðîèçîøëà áû ÷åðåç 4 ÷àñà. Îäíàêî, ïðîåõàâ 260 êì, ïåðâûé
àâòîìîáèëü âûíóæäåí áûë óáàâèòü ñêîðîñòü íà 50 êì/÷,
âòîðîé óáàâèë ñêîðîñòü íà 30 êì/÷ ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ èì
150 êì.  ðåçóëüòàòå ýòîãî âñòðå÷à ïðîèçîøëà ïîçæå, íî
òàêæå ÷åðåç öåëîå ÷èñëî ÷àñîâ. Îïðåäåëèòå ïåðâîíà÷àëüíûå
ñêîðîñòè àâòîìîáèëåé, åñëè èçâåñòíî, ÷òî êàæäàÿ èç íèõ
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé öåëîå ÷èñëî êèëîìåòðîâ â ÷àñ, à ðàññòîÿíèå ìåæäó À è  ðàâíî 800 êì.
ФИЗИКА
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Вариант 1
1. Íåáîëüøîå òåëî áðîøåíî ñ ãîðèçîíòàëüíîé ñêîðîñòüþ
v0 ñ âûñîòû H íàä ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ ñòîëà ñî
ñïåöèàëüíûì ïîêðûòèåì. Îáúåìíûå è ïîâåðõíîñòíûå ñâîéñòâà ñòîëà òàêîâû, ÷òî ïðè êàæäîì óäàðå âåðòèêàëüíàÿ
ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè òåëà, îñòàâàÿñü íåèçìåííîé ïî âåëè÷èíå, èçìåíÿåò íàïðàâëåíèå íà ïðîòèâîïîëîæíîå, à ãîðèçîíòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè óìåíüøàåòñÿ â äâà ðàçà. Íà
êàêîå ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå L âäîëü ãîðèçîíòà óäàëèòñÿ
òåëî îò òî÷êè ïåðâîãî óäàðà? Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ
ðàâíî g.
37
ÂÀÐÈÀÍÒÛ
2. Ïîñëå çàãðóçêè êîðàáëÿ ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé åãî
âåðòèêàëüíîãî ñìåùåíèÿ îò ðàâíîâåñèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ îò
T1 = 7 c äî T2 = 7,5 c . Íàéäèòå ìàññó ∆m äîáàâëåííîãî
2
ãðóçà. Ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ïî âàòåðëèíèè S = 500 ì .
3. Ê íèæíåìó êîíöó íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíû æåñòêîñòüþ k = 200 Í/ì ïðèêðåïèëè ãðóç ìàññîé m = 1 êã è áåç
òîë÷êà îòïóñòèëè. Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíóþ äåôîðìàöèþ
∆l ïðóæèíû.
4. Òðè îäèíàêîâûõ ñîñóäà, ñîåäèíåííûõ òîíêèìè òðóáêàìè, çàïîëíåíû ãàçîîáðàçíûì ãåëèåì ïðè òåìïåðàòóðå T =
= 40 Ê. Çàòåì îäèí èç ñîñóäîâ íàãðåëè äî T1 = 100 Ê, äðóãîé
– äî T2 = 400 Ê, à òåìïåðàòóðà òðåòüåãî ñîñóäà îñòàëàñü
íåèçìåííîé. Âî ñêîëüêî ðàç n óâåëè÷èëîñü äàâëåíèå â
ñèñòåìå?
5. Â äëèííîé ãîðèçîíòàëüíîé òåïëîèçîëèðîâàííîé òðóáêå
ìåæäó äâóìÿ îäèíàêîâûìè íåïðîâîäÿùèìè òåïëî ïîðøíÿìè
ìàññîé m = 0,5 êã êàæäûé íàõîäèòñÿ ν = 1 ìîëü îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî ãàçà ïðè òåìïåðàòóðå T0 = 300 Ê. Â íåêîòîðûé
ìîìåíò êàæäîìó ïîðøíþ ñîîáùàþò îäèíàêîâûå ïî âåëè÷èíå
ñêîðîñòè v = 10 ì/ñ, íàïðàâëåííûå íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó. Äî
êàêîé ìàêñèìàëüíîé òåìïåðàòóðû T íàãðååòñÿ ãàç? Òðåíèåì
ïðåíåáðå÷ü. Âíåøíåå äàâëåíèå ðàâíî íóëþ.
6. Äâà îäèíàêîâûõ ïëîñêèõ âîçäóøíûõ êîíäåíñàòîðà
çàðÿæåíû äî ðàçíûõ íàïðÿæåíèé. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà
òî÷å÷íûé çàðÿä, ïîìåùåííûé ìåæäó ïëàñòèíàìè ïåðâîãî
êîíäåíñàòîðà, â n = 2 ðàçà áîëüøå ñèëû, äåéñòâóþùåé íà
òàêîé æå çàðÿä âíóòðè âòîðîãî êîíäåíñàòîðà. Îïðåäåëèòå
îòíîøåíèå W1 W2 ýíåðãèé êîíäåíñàòîðîâ.
7. Ïåðâûå τ1 = 10 ñ òîê â ïðîâîäíèêå ðàâíîìåðíî âîçðàñòàë îò íóëÿ äî I = 2 À, ñëåäóþùèå τ 2 = 40 ñ òîê ïðîäîëæàë
ðàâíîìåðíî ðàñòè îò I äî 2I, è ïîñëåäíèå τ 3 = 10 ñ òîê
ðàâíîìåðíî óìåíüøàëñÿ îò 2I äî íóëÿ. Îïðåäåëèòå çàðÿä q,
ïðîøåäøèé ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ïðîâîäíèêà çà âñå
óêàçàííîå âðåìÿ.
8. Êîëåáàòåëüíûé êîíòóð ñîñòîèò èç êîíäåíñàòîðà åìêîñòüþ C = 2 ïÔ è îäíîãî âèòêà, èíäóêòèâíîñòü êîòîðîãî L =
= 1 ìêÃí, à ñîïðîòèâëåíèå ïðåíåáðåæèìî ìàëî. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå U ä = 6 B . Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå Φ m ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ïðîíèçûâàþùåãî âèòîê.
9. Òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè
d1 = F 2 îò òîíêîé ñîáèðàþùåé ëèíçû ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F íà åå ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè. Ëèíçó ðàçðåçàþò
ïîïîëàì ïëîñêîñòüþ, â êîòîðîé ëåæèò ãëàâíàÿ îïòè÷åñêàÿ
îñü, è îäíó ïîëîâèíêó óäàëÿþò îò èñòî÷íèêà òàê, ÷òî
ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòîé ïîëîâèíêîé ëèíçû è èñòî÷íèêîì
ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì d2 = 3 F 2 . Íàéäèòå ðàññòîÿíèå õ ìåæäó
èçîáðàæåíèÿìè èñòî÷íèêà, ôîðìèðóåìûìè äâóìÿ ïîëîâèíêàìè ëèíçû.
10. Êàêàÿ äîëÿ η ýíåðãèè ôîòîíà èçðàñõîäîâàëà íà
ðàáîòó ïî âûðûâàíèþ ôîòîýëåêòðîíà, åñëè êðàñíàÿ ãðàíèöà ôîòîýôôåêòà ñîîòâåòñòâóåò äëèíå âîëíû λ ê = 307 íì è
êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ôîòîýëåêòðîíà K = 1 ýÂ? Ïîñòîÿí−34
Äæ ⋅ ñ , ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå
íàÿ Ïëàíêà h = 6,6 ⋅ 10
c = 3 ⋅ 10
8
ì ñ , 1ýÂ = 1,6 ⋅ 10
−19
Äæ.
Вариант 2
1. Ëåòåâøèé âåðòèêàëüíî ââåðõ ñíàðÿä âçîðâàëñÿ íà
ìàêñèìàëüíîé âûñîòå. Â ðåçóëüòàòå îáðàçîâàëîñü áîëüøîå
êîëè÷åñòâî îäèíàêîâûõ, ðàçëåòåâøèõñÿ âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ îñêîëêîâ, êîòîðûå âûïàäàëè íà çåìëþ â òå÷åíèå
ïðîìåæóòêà âðåìåíè τ . Íàéäèòå âåëè÷èíó v0 ñêîðîñòè
îñêîëêîâ â ìîìåíò âçðûâà. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ
ðàâíî g.
2. Äîñêà ìàññîé M = 4 êã äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñî ñêîðîñòüþ v0 = 1 ì/ñ. Íà äîñêó
îñòîðîæíî îïóñêàþò ñâåðõó íåáîëüøîå òåëî ìàññîé m = 1 êã.
Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó äîñêîé è òåëîì µ = 0,4 . ×åðåç
êàêîå âðåìÿ τ ïîñëå îïóñêàíèÿ òåëà åãî ñêîëüæåíèå ïî
ïîâåðõíîñòè äîñêè ïðåêðàòèòñÿ?
3. Äâà áðóñêà ñ ìàññàìè m1 = 300 ã è m2 = 100 ã, íàõîäÿùèõñÿ íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè, ñîåäèíåíû
ñæàòîé ïðóæèíîé, ñòÿíóòîé íèòêîé. Ïðè ïåðåæèãàíèè íèòêè ïåðâûé áðóñîê ïðèîáðåòàåò ñêîðîñòü v = 1 ì/ñ. Ñ êàêîé
ñêîðîñòüþ v1 áóäåò äâèãàòüñÿ ýòîò áðóñîê, åñëè âî âðåìÿ
ïåðåæèãàíèÿ íèòêè âòîðîé áðóñîê óäåðæèâàòü íà ìåñòå?
Íà÷àëüíàÿ äåôîðìàöèÿ ïðóæèíû â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäíà è
òà æå.
4. Â öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì íàõîäèòñÿ âîçäóõ ñ îòíîñèòåëüíîé âëàæíîñòüþ ϕ1 = 80% ïðè òåìïåðàòóðå t1 = 27 oC .
Îáúåì âîçäóõà V1 = 1,5 ë. Êàêîé ñòàíåò âëàæíîñòü ϕ 2 , åñëè
îáúåì âîçäóõà óìåíüøèòü äî V2 = 0,37 ë, à òåìïåðàòóðó
ïîâûñèòü äî t2 = 100 oC ? Äàâëåíèå íàñûùåííîãî ïàðà ïðè
òåìïåðàòóðå t1 ðàâíî pí1 = 3,6 êÏà , à ïðè òåìïåðàòóðå
t2 – pí2 = 100 êÏà .
5. Íà êàêóþ âûñîòó H ìîæíî áûëî áû ïîäíÿòü ãðóç ìàññîé
3
m = 10 êã, åñëè áû óäàëîñü ïîëíîñòüþ èñïîëüçîâàòü ýíåðãèþ, îñâîáîæäàþùóþñÿ ïðè îñòûâàíèè ñòàêàíà ÷àÿ? Îáúåì
ñòàêàíà V = 250 ñì 3 , íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ÷àÿ t1 = 100 oC ,
êîíå÷íàÿ òåìïåðàòóðà t2 = 20 oC . Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü
âîäû c = 4,2 êÄæ êã ⋅ Ê , ïëîòíîñòü âîäû ρ = 10 3 êã ì 3 .
6. Íåçàðÿæåííûé ïëîñêèé âîçäóøíûé êîíäåíñàòîð ïîìåùàþò âî âíåøíåå îäíîðîäíîå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå, âåê→
òîð íàïðÿæåííîñòè E êîòîðîãî ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëàñòèíàì
êîíäåíñàòîðà. Ïëîùàäü êàæäîé ïëàñòèíû S. Ïëàñòèíû
ñîåäèíÿþò ïðîâîëîêîé. Íàéäèòå âåëè÷èíó çàðÿäà q íà êàæäîé ïëàñòèíå. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ ðàâíà ε 0 .
7. Êîíäåíñàòîð ïîäêëþ÷åí ê êëåììàì èñòî÷íèêà. Êîãäà
ïàðàëëåëüíî êîíäåíñàòîðó ïîäêëþ÷èëè ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R = 10 Îì, ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðà óìåíüøèëàñü â n =
= 1,44 ðàçà. Îïðåäåëèòå âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå r èñòî÷íèêà.
8. Îïðåäåëèòå ÷àñòîòó ν ïåðåìåííîãî òîêà, ïðîòåêàþùåãî
÷åðåç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûå êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ
C = 4 ìêÔ è ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R = 250 Îì, åñëè
ìàêñèìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ íà íèõ ðàâíû UC = 1,6 B è
U R = 8 B.
9. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè d îò òîíêîé ñîáèðàþùåé ëèíçû
ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì F ñëåäóåò ðàñïîëîæèòü ïðåäìåò
ïåðïåíäèêóëÿðíî îïòè÷åñêîé îñè ëèíçû, ÷òîáû ðàññòîÿíèå l îò ïðåäìåòà äî åãî äåéñòâèòåëüíîãî èçîáðàæåíèÿ,
ñîçäàâàåìîãî ëèíçîé, áûëî ìèíèìàëüíî âîçìîæíûì? Ðàññòîÿíèå l îòñ÷èòûâàåòñÿ âäîëü ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè
ëèíçû.
10. Çà îäíî è òî æå âðåìÿ ðàñïàëîñü δ 1 = 75% ÿäåð îäíîãî
ðàäèîàêòèâíîãî âåùåñòâà è δ 2 = 87,5% ÿäåð äðóãîãî ðàäèîàêòèâíîãî âåùåñòâà. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå T1 T2 ïåðèîäîâ
ïîëóðàñïàäà ÿäåð ýòèõ âåùåñòâ.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè À.Áåðåñòîâ, Í.Áîðãàðäò,
È.Êîæóõîâ, Ñ.Êóêëèí, Ä.Íè÷óãîâñêèé, À.Îâ÷èííèêîâ,
Ò.Îëåéíèê, Ò.Ñîêîëîâà
b
g
Ê Â À Í T 2002/№2
38
Московский государственный технический
университет им. Н.Э.Баумана
МАТЕМАТИКА
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Вариант 1
1. Îäèí ðàáî÷èé âûïîëíèë 5/7 íåêîòîðîãî çàêàçà, à çàòåì
åãî ñìåíèë äðóãîé ðàáî÷èé; òàêèì îáðàçîì, âåñü çàêàç áûë
âûïîëíåí çà 20 ÷. Çà ñêîëüêî ÷àñîâ êàæäûé ðàáî÷èé ìîæåò
âûïîëíèòü ýòîò çàêàç, åñëè, ðàáîòàÿ âìåñòå, îíè âûïîëíèëè
áû åãî çà 10 ÷?
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
FG
H
sin x + cos 5 x −
IJ =
2K
b
π
g
3 sin 3 x + π .
Óêàæèòå åãî êîðíè, ëåæàùèå â ïðîìåæóòêå π 2; π .
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
1+ x
3
+ 9 = 28 ⋅ 3
x
.
4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
log 2
x
x −1
b
g
R|x − 2x + y
S| x + x = 2
|T y − a
2
2
= 1,
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Íàéäèòå ýòî ðåøåíèå ïðè
êàæäîì à.
7.  ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäå TABCD ñ
âûñîòîé 6 è ñòîðîíîé îñíîâàíèÿ 11 ïðîâåäåíà ïëîñêîñòü,
ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç àïîôåìó TK áîêîâîé ãðàíè TAB è ïàðàëëåëüíàÿ ìåäèàíå ÂÌ áîêîâîé ãðàíè ÒÂÑ. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò ýòîé ïëîñêîñòè íàõîäèòñÿ ìåäèàíà ÂÌ?
1. Îäèí ðàáî÷èé çà ÷àñ äåëàåò íà 2 äåòàëè ìåíüøå, ÷åì
äðóãîé; ñîîòâåòñòâåííî, íà èçãîòîâëåíèå 100 äåòàëåé îí
çàòðà÷èâàåò íà 2,5 ÷ áîëüøå. Êàêîå âðåìÿ òðàòèò êàæäûé
ðàáî÷èé íà èçãîòîâëåíèå 100 äåòàëåé?
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
1 + cos x + 2 cos x = 0 .
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
1+ sin x
+4
b
1− sin x
F
GH
2
= 33 .
g
1 + log x 3 − 2 x < 0 .
5. Òðàïåöèÿ ABCD ñ îñíîâàíèÿìè ÀÂ = 2, CD = 5 è
âûñîòîé, ðàâíîé 4, ðàçáèâàåòñÿ íà äâå ÷àñòè ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðøèíó À è ïåðåñåêàþùåé îñíîâàíèå CD.
Êàêîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ìîæåò èìåòü ñóììà êâàäðàòîâ
ïëîùàäåé ýòèõ ÷àñòåé?
b
+ y−a
g
I
JK
2
= 25
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Íàéäèòå ýòî ðåøåíèå ïðè
êàæäîì à.
7. Íàéäèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ABCDA1 B1C1 D1 ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äèàãîíàëü AC1 è ïàðàëëåëüíîé äèàãîíàëè îñíîâàíèÿ BD, åñëè
ðàññòîÿíèå îò BD äî ñåêóùåé ïëîñêîñòè ðàâíî l, à äðóãàÿ
äèàãîíàëü îñíîâàíèÿ ÀÑ îáðàçóåò ñ ñåêóùåé ïëîñêîñòüþ
óãîë 30° è ñ äèàãîíàëüþ AC1 – óãîë 60°.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèë Ë.Ïàðøåâ
Российский государственный педагогический
университет им. А.И.Герцена
МАТЕМАТИКА
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Вариант 1
1. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n > 1 îïðåäåëåíà
ôóíêöèÿ
b g b x +x2−gb2xn− 1g .
fn x =
à) Íàéäèòå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé.
á) Íàðèñóéòå ãðàôèê ôóíêöèè
R|b x − 4gf b xg, åñëè x ≤ 1;
gb x g = S
|T x ,
åñëè x > 1.
â) Ïðè êàêèõ à óðàâíåíèå gb x g − a = 0 èìååò ðîâíî äâà
ðåøåíèÿ?
F 10 I = 0,81
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå G
b g .
H 3 JK
2
2
2
3 x −3
−2 x
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
sin x
1 + cos x
Вариант 2
4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
R|
|S
|| x + 4
Tb g
+ log 2 x + 2 ≤ 3 .
5. Êàêàÿ íàèáîëüøàÿ ïëîùàäü ìîæåò áûòü ó ïðÿìîóãîëüíèêà, îäíà ñòîðîíà êîòîðîãî ëåæèò íà îñè õ, äðóãàÿ – íà
3
ïðÿìîé õ = 4, à îäíà èç âåðøèí – íà ãðàôèêå ôóíêöèè y = x
(0 < x < 4)?
6. Óêàæèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé
2⋅4
6. Óêàæèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé
x +1
x
y = log 2 2 +
,
+
x +1
x
= 5 cos x − ctg x .
4. Äàí ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD. Èçâåñòíî, ÷òî
o
∠BAD = ∠CBD = 90 , BD = a, CD = b. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå
ìåæäó öåíòðàìè îêðóæíîñòåé, îäíà èç êîòîðûõ ïðîõîäèò
÷åðåç òî÷êè À, Â, D, à äðóãàÿ – ÷åðåç òî÷êè Â, Ñ, D.
5. Â îñíîâàíèè ïðÿìîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ëåæèò ðîìá ñî
ñòîðîíîé à è îñòðûì óãëîì α . Ïëîùàäü ñå÷åíèÿ, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû îñíîâàíèé ïàðàëëåëåïèïåäà, ðàâíà S. Îïðåäåëèòå îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà.
Вариант 2
1. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ
bg
2
fn x = 2n + 2 x − x .
à) Íàéäèòå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé.
á) Íàðèñóéòå ãðàôèê ôóíêöèè
1 2
f4 x , åñëè x ≤ 2;
g x = 2
R| b g
bg S
|Tx,
åñëè x > 2.
ÂÀÐÈÀÍÒÛ
bg
â) Ïðè êàêèõ à óðàâíåíèå g x = a èìååò ðîâíî òðè
ðåøåíèÿ?
x −2
x −2
=4+4
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 5 ⋅ 2
.
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
9 cos 2x + 5 = 8 cos4 x .
4. Ïëîùàäü ðàâíîáî÷íîé òðàïåöèè, îïèñàííîé îêîëî êðóãà, ðàâíà S, à âûñîòà òðàïåöèè â äâà ðàçà ìåíüøå åå áîêîâîé
ñòîðîíû. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ âïèñàííîãî êðóãà.
5.  ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïðèçìå ïîñòðîåíî ñå÷åíèå ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíû äâóõ ñìåæíûõ
ñòîðîí îñíîâàíèÿ, ïåðåñåêàþùåé òðè áîêîâûõ ðåáðà è íàêëîíåííîé ê ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ ïîä óãëîì β . Ñòîðîíà îñíîâàíèÿ ðàâíà à. Íàéäèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè
Ã.Õàìîâ, Î.Êîðñàêîâà
Российский государственный технологический
университет им. К.Э.Циолковского
ФИЗИКА
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Вариант 1
1. Â ñîñóäå åìêîñòüþ 5 ë íàõîäèòñÿ ãåëèé ïîä äàâëåíèåì
400 êÏà. Ñòåíêè ñîñóäà ìîãóò âûäåðæàòü ìàêñèìàëüíîå
äàâëåíèå 2 ÌÏà. Êàêîå ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû
ìîæíî ñîîáùèòü ãàçó, ÷òîáû ñîñóä íå ðàçîðâàëñÿ?
2. Â âîäó îïóñòèëè ïðÿìîóãîëüíûé ñòåêëÿííûé êëèí
(ðèñ.1). Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ óãëà ϕ ëó÷ ñâåòà, ïðîøåäøèé
÷åðåç ãðàíü AB, ïîëíîñòüþ äîéäåò äî ãðàíè AC?
B
A
Âîçäóõ Ëó÷ ïàäàåò ïî íîðìàëè ê
Âîäà
ãðàíè AB. Ïîêàçàòåëè
ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà 1,5,
âîäû 1,33.
3. Ìåòàëëè÷åñêèé øàð
ϕ
ðàäèóñîì 3 ñì, çàðÿæåííûé äî ïîòåíöèàëà 60 Â,
C
îêðóæàþò êîíöåíòðè÷åñРис. 1
êîé ïðîâîäÿùåé îáîëî÷êîé, ðàäèóñ êîòîðîé 15 ñì, à çàðÿä îáîëî÷êè ðàâåí íóëþ.
Øàð ñîåäèíÿþò ñ îáîëî÷êîé òîíêèì ïðîâîäíèêîì. ×åìó
ñòàíåò ðàâåí ïîòåíöèàë øàðà ïîñëå ýòîãî? Êàêîé çàðÿä
ïðîéäåò ïî ïðîâîäíèêó?
4. Ïóëÿ ïðîáèâàåò çàêðåïëåííóþ äîñêó òîëùèíîé 3,6 ñì è
âûëåòàåò èç íåå, ïîòåðÿâ 20% ñêîðîñòè. Íàéäèòå ìèíèìàëüíóþ òîëùèíó äîñêè, êîòîðóþ íóæíî ïîñòàâèòü âñëåä çà
ïåðâîé, ÷òîáû ïóëÿ â íåé çàñòðÿëà. Ñèëû òðåíèÿ â îáåèõ
äîñêàõ îäèíàêîâû, ñèëó òÿæåñòè íå ó÷èòûâàòü.
5. Ïðè ïîäêëþ÷åíèè ê òî÷êàì A è B ñõåìû (ðèñ.2)
âîëüòìåòðà îí ïîêàçûâàåò 20 Â. ×òî ïîêàæåò àìïåðìåòð,
åñëè åãî ïîäêëþ÷èòü ê òåì æå òî÷êàì âìåñòî âîëüòìåòðà?
Àìïåðìåòð è âîëüòìåòð èäåàëüíûå, R = 50 Îì, âíóòðåííèì
ñîïðîòèâëåíèåì èñòî÷íèA
êà ÝÄÑ ïðåíåáðå÷ü.
R
2R
6. Ìåòàëëè÷åñêîå êîëüöî ëåæèò íà íåïðîâîäÿùåé ãîðèçîíòàëüíîé
ïëîñêîñòè, ëèíèè èíäóêB
2R
R
öèè îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïåðïåíäèêóëÿðíû ïëîñêîñòè êîëüöà.
Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî
Рис. 2
ïîëÿ íà÷èíàåò èçìåíÿòñÿ
39
bg
2
ïî çàêîíó B t = B0 − bt , ãäå b = 10 Òë/ñ. Íàéäèòå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå B0 , ïðè êîòîðîì êîëüöî áóäåò ðàçîðâàíî. Ñîïðîòèâëåíèå åäèíèöû äëèíû êîëüöà 0,01 Îì/ì,
ñèëà íàòÿæåíèÿ ïðîâîëîêè, ïðè êîòîðîé êîëüöî ðâåòñÿ,
ðàâíà 10 Í, ðàäèóñ êîëüöà 10 ñì. Èíäóêòèâíîñòü êîëüöà
íå ó÷èòûâàòü, äî ðàçðûâà êîëüöî íå äåôîðìèðóåòñÿ.
Вариант 2
1. Ïî ãðàôèêó çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè îò âðåìåíè (ðèñ.3)
îïðåäåëèòå ñðåäíþþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ òåëà íà ïåðâîé
ïîëîâèíå ïóòè.
2. Ïëîñêèé âîçäóøíûé êîíäåíñàòîð ñ ïëîùàäüþ ïëàñòèí
2
200 ñì è ðàññòîÿíèåì ìåæäó íèìè 1 ìì ïîäêëþ÷èëè ê
èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ. Íà ïëàñòèíàõ ïðè ýòîì
ïîÿâèëñÿ çàðÿä 0,2 ìêÊë. Íå îòêëþ÷àÿ îò èñòî÷íèêà, êîíäåíñàòîð çàïîëíèëè æèäv,
êèì äèýëåêòðèêîì ñ ïðîì/ñ
íèöàåìîñòüþ ε = 2 . Íà
2
ñêîëüêî èçìåíèëàñü ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðà?
3. Ïåðâè÷íàÿ îáìîòêà
òðàíñôîðìàòîðà èìååò
11000 âèòêîâ. Îíà âêëþ÷åíà â ñåòü ïåðåìåííîãî
òîêà, íàïðÿæåíèå â ñåòè
220 Â. Êî âòîðè÷íîé îá0
4
8
t,c
ìîòêå ïîäêëþ÷åíà íàãðóçРис. 3
êà, êîòîðàÿ ïîòðåáëÿåò
ìîùíîñòü 40 Âò ïðè ñèëå òîêà âî âòîðè÷íîé öåïè 2 À.
Íàéäèòå ÷èñëî âèòêîâ âòîðè÷íîé îáìîòêè, åñëè åå ñîïðîòèâëåíèå 1 Îì.
4. Ñ èäåàëüíûì ãàçîì â êîëè÷åñòâå 1 ìîëü ïðîâîäÿò öèêë,
ñîñòîÿùèé èç äâóõ èçîõîð è äâóõ èçîáàð. Îòíîøåíèå äàâëåíèé íà èçîáàðàõ ðàâíî 5/4, îòíîøåíèå îáúåìîâ íà èçîõîðàõ
ðàâíî 6/5. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ýòîãî öèêëà â êîîðäèíàòàõ
ð, V è íàéäèòå ðàáîòó ãàçà çà îäèí öèêë, åñëè ðàçíîñòü
ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé òåìïåðàòóð ðàâíà 100 Ê.
5. Íà íåâåñîìîé íåðàñòÿæèìîé íèòè äëèíîé 1 ì âèñèò
áðóñîê. Â áðóñîê ïîïàäàåò ïóëÿ, ëåòåâøàÿ ãîðèçîíòàëüíî, è
çàñòðåâàåò â íåì. Ïðè êàêîé
3
2
ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòè ïóëè 1
áðóñîê ñäåëàåò ïîëíûé îáîðîò âîêðóã òî÷êè ïîäâåñà?
Ìàññà áðóñêà â 20 ðàç áîëüøå
ìàññû ïóëè.
6. Òðè ìåòàëëè÷åñêèå ïëàñ15 ìì
25 ìì
òèíû (ðèñ.4) îäèíàêîâû, èõ
ðàçìåðû ãîðàçäî áîëüøå ðàññòîÿíèé ìåæäó ïëàñòèíàìè.
Ïëàñòèíà 2 çàðÿæåíà, íàïðÿÊ
æåííîñòü åå ýëåêòðè÷åñêîãî
R
4
ïîëÿ ðàâíà 10 Â/ì. Êëþ÷ Ê
çàìûêàþò. Ïîñëå óñòàíîâëåРис. 4
íèÿ ðàâíîâåñèÿ ïëàñòèíó 2
î÷åíü áûñòðî (çàðÿäû íà ïëàñòèíàõ íå óñïåâàþò èçìåíèòüñÿ)
ïåðåäâèãàþò íà 15 ìì ïî íàïðàâëåíèþ ê ïëàñòèíå 3. Íàéäèòå
ñèëó òîêà ÷åðåç ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R = 60 Îì ñðàçó
ïîñëå ýòîãî.
Вариант 3
1. Íàéäèòå ìàññó Ñîëíöà, çíàÿ, ÷òî ñêîðîñòü äâèæåíèÿ
Çåìëè ïî îðáèòå ðàâíà 30 êì/ñ. Îðáèòó ìîæíî ñ÷èòàòü
êðóãîâîé ñ ðàäèóñîì 150 ìëí êì. Ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ 6,67 ⋅ 10 −11 Í ⋅ ì 2 êã 2 .
2. Â ñîñóä ïîìåñòèëè êóñîê ëüäà ìàññîé 1 êã, èìåþùèé
Ê Â À Í T 2002/№2
40
òåìïåðàòóðó –10 °C. Êàêàÿ ìàññà âîäû îêàæåòñÿ â ñîñóäå
ïîñëå òîãî, êàê åãî ñîäåðæèìîìó ñîîáùàò 106 Äæ òåïëà?
Óäåëüíûå òåïëîåìêîñòè ëüäà è âîäû 2,1 êÄæ êã ⋅ Ê è
4,2 êÄæ êã ⋅ Ê ñîîòâåòñòâåííî, óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà 333 êÄæ/êã, óäåëüíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ
âîäû 2250 êÄæ/êã.
3. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ 100 ìêÔ, çàðÿæåííûé äî íåêîòîðîãî íàïðÿæåíèÿ, çàìûêàþò íà êàòóøêó èíäóêòèâíîñòüþ
0,04 Ãí. ×åðåç êàêîå ìèíèìàëüíîå âðåìÿ ýíåðãèÿ îêàæåòñÿ
ðàñïðåäåëåííîé ïîðîâíó ìåæäó êîíäåíñàòîðîì è êàòóøêîé?
Ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäîâ íå ó÷èòûâàòü.
4. Äâà øàðà, îäèí ðàäèóñîì 5 ñì ñ çàðÿäîì +0,8 íÊë,
äðóãîé ðàäèóñîì 10 ñì ñ çàðÿäîì –2 íÊë, ñîåäèíÿþò òîíêîé
ïðîâîëîêîé. Êàêîé çàðÿä
m
ïðîéäåò ïî íåé? Øàðû íàõîäÿòñÿ äàëåêî äðóã îò äðóãà.
5. Êëèí ìàññîé 2m íàõî2m
äèòñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîé ïî30
âåðõíîñòè (ðèñ.5). Íà êëèí
êëàäóò áðóñîê ìàññîé m, êîРис. 5
òîðûé íà÷èíàåò ñêîëüçèòü
ïî êëèíó. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ ìåæäó
êëèíîì è ïëîñêîñòüþ, êëèí îñòàåòñÿ íåïîäâèæíûì? Óãîë
íàêëîíà êëèíà 30°, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è
êëèíîì 0,5.
6. Ýëåêòðè÷åñêèé ïðèáîð Ï ïîäêëþ÷åí ê ñåòè ïåðåìåííîãî
òîêà ñ íàïðÿæåíèåì 220  è ÷àñòîòîé 50 Ãö ÷åðåç êîíäåíñàòîð
åìêîñòüþ C = 0,5 ìêÔ
C
A
(ðèñ.6). Àìïåðìåòð ïîêàçûâàåò 0,01 À, ïîêàçàíèÿ
âîëüòìåòðà 180 Â. Íàéäèòå
Ï
V ìîùíîñòü, ïîòðåáëÿåìóþ
~
ïðèáîðîì. Àìïåðìåòð è
âîëüòìåòð èäåàëüíûå, ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäîâ íå
ó÷èòûâàòü.
Рис. 6
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëà
Ò.Ìåäèíà
b
b
g
g
Российский государственный университет
нефти и газа им. И.М.Губкина
F
H
7. Âû÷èñëèòå
o
b g
b g
cos π 6 cos 3 x − sin π 6 sin 3 x = 1 2 .
9. Ïðè êàêîì îòëè÷íîì îò íóëÿ çíà÷åíèè ïàðàìåòðà à
êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = x 3 + 4 x 2 + 6 x + a , ïðîâåäåííàÿ â òî÷êå åãî ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ Îõ, ïðîõîäèò ÷åðåç
òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ýòîãî ãðàôèêà ñ îñüþ Îó?
10. Ñêîëüêî öåëûõ ÷èñåë âõîäèò â îáëàñòü ðåøåíèé
íåðàâåíñòâà
11. ABCD – ðîìá ñ îñòðûì óãëîì BAD. Ðàññòîÿíèå ìåæäó
öåíòðàìè îêðóæíîñòåé, îïèñàííûõ îêîëî òðåóãîëüíèêîâ
ABD è BCD, ðàâíî 3 , à ìåæäó öåíòðàìè îêðóæíîñòåé,
îïèñàííûõ îêîëî òðåóãîëüíèêîâ ÀÂÑ è ACD, ðàâíî 6 .
Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ðîìá.
12. Â ïðàâèëüíóþ òðåóãîëüíóþ ïèðàìèäó âïèñàí øàð
ðàäèóñà 2, ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ýòîãî øàðà äî áîêîâîãî
ðåáðà ïèðàìèäû ðàâíî 3. Íàéäèòå êîñèíóñ ïëîñêîãî óãëà ïðè
âåðøèíå ïèðàìèäû.
Вариант 2
1. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå è âû÷èñëèòå åãî çíà÷åíèå ïðè
à = 2,03:
F
GH
3
6
7a
2
7 2a − 2
I⋅
J
7a − 2 K
2
6
2
2 + 6 7a
.
b
g b
g
6 2x − 5 > 4 x − 4 .
3. Ñóììà 7-ãî è 27-ãî ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè
ðàâíà 18. Íàéäèòå 17-é ÷ëåí ýòîé ïðîãðåññèè.
4. Ðåøèòå óðàâíåíèå
2
x − 0,25 = x + 0,5 .
e 6j
2
9 + 32 x − 16 x .
3. Äàíà àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ó êîòîðîé 7-é ÷ëåí
ðàâåí 24, à 10-é ÷ëåí ðàâåí 33. Íàéäèòå ïåðâûé ÷ëåí
ïðîãðåññèè.
4. Ðåøèòå óðàâíåíèå
x−8
:4
x −8
=
j.
5 log 6 10 3
3
8
.
cos2 10o − cos2 100o
.
cos 20o
2
2. Íàéäèòå íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
8. Íàéäèòå â ãðàäóñàõ íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü
óðàâíåíèÿ
tg 3 x + tg π 4
= 3.
1 − tg 3 x tg π 4
b g
b g
9. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà à ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ
òî÷êè íà ãðàôèêå ôóíêöèè y = x 3 − 15 x 2 − 9 x + a , â êîòîðûõ ôóíêöèÿ äîñòèãàåò ýêñòðåìóìà, ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî
êîîðäèíàò?
x
10. Íàéäèòå 2 , ãäå õ – áîëüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ
x
x
2 ⋅ 2,5 x −1 = 25 .
5. Ðåøèòå óðàâíåíèå
25
−
2. Íàéäèòå íàèìåíüøåå öåëîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà
+ 4 2b − 4b .
b x − 5g x − 5 = −169 .
5 x + 150 log x 9 ≥ 1 ?
log 9
6. Âû÷èñëèòå lg 6
7. Âû÷èñëèòå
1. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå:
y=
o
8. Íàéäèòå â ãðàäóñàõ íàèáîëüøèé îòðèöàòåëüíûé êîðåíü
óðàâíåíèÿ
e
Вариант 1
2 2 + 2b
I.
K
sin 20 − cos 20 ctg 125 .
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
3
o
3
5. Ðåøèòå óðàâíåíèå
МАТЕМАТИКА
16 2 + 8b
5
6. Äàíî: log a b = 5,6 . Íàéäèòå log a b a
2−2 x
⋅5
6 x −9
= 25 .
11. Â òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ âåðøèíó Â
41
ÂÀÐÈÀÍÒÛ
ñ öåíòðîì îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà îêðóæíîñòè Î,
ïåðåñåêàåò ñòîðîíó ÀÑ â òî÷êå D. Èçâåñòíî, ÷òî AD : DC =
= 4 : 1, sin ∠ABC = 0,75 . Íàéäèòå îòíîøåíèå OD : OB.
12. Îáúåì ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû SABCD
ðàâåí 500, áîêîâàÿ ãðàíü ïèðàìèäû îáðàçóåò ñ ïëîñêîñòüþ
îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû óãîë β , cos β = 0,4 . Âïèñàííûé â
ïèðàìèäó øàð êàñàåòñÿ åå áîêîâûõ ãðàíåé â òî÷êàõ Ì, N, Ð,
Q. Íàéäèòå îáúåì ïèðàìèäû SMNPQ.
12. Êâàäðàòíàÿ ðàìêà ñî ñòîðîíîé 6,8 ìì, ñäåëàííàÿ èç
2
ìåäíîé ïðîâîëîêè ñ ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ 1 ìì ,
ïîìåùåíà â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ïåðïåíäèêóëÿðíî
ëèíèÿì èíäóêöèè. Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ðàâíîìåðíî ìåíÿåòñÿ íà 12 Òë çà 0,2 ñ. ×åìó ðàâíà ïðè ýòîì ñèëà òîêà â ðàìêå?
−8
Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ìåäè 1,7 ⋅ 10 Îì ⋅ ì .
ФИЗИКА
1. Äâà êàìíÿ íàõîäÿòñÿ íà îäíîé âåðòèêàëè íà ðàññòîÿíèè
40 ì äðóã îò äðóãà. Â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè íèæíèé
êàìåíü áðîñàþò âåðòèêàëüíî ââåðõ ñî ñêîðîñòüþ 5 ì/ñ, à
âåðõíèé êàìåíü îòïóñêàþò áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè. ×åðåç
ñêîëüêî ñåêóíä îíè ñòîëêíóòñÿ?
2. Òåëåæêà ìàññîé 100 êã âìåñòå ñ ÷åëîâåêîì ìàññîé 80 êã
äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ 0,4 ì/ñ. ×åëîâåê íà÷èíàåò èäòè ïî
òåëåæêå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ
òåëåæêè. Ïðè êàêîé ñêîðîñòè (â ñì/ñ) ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî òåëåæêè îíà îñòàíîâèòñÿ?
3. Íà êàêóþ âåëè÷èíó ïëîòíîñòü íåêîòîðîãî òåëà áîëüøå,
÷åì ïëîòíîñòü æèäêîñòè, êîòîðàÿ ðàâíà 800 êã ì 3 , åñëè âåñ
òåëà â ýòîé æèäêîñòè â 9 ðàç ìåíüøå, ÷åì â âîçäóõå?
3
4. Ñêîëüêî òûñÿ÷ ìîëåêóë âîçäóõà íàõîäèòñÿ â 3 ìì
ñîñóäà ïðè 27 °C, åñëè âîçäóõ â ñîñóäå îòêà÷àí äî äàâëåíèÿ
1,66 ìêÏà? Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ
26
8300 Äæ êìîëü ⋅ Ê , ÷èñëî Àâîãàäðî 6 ⋅ 10 1 êìîëü .
5. Îïðåäåëèòå íà÷àëüíóþ òåìïåðàòóðó (â êåëüâèíàõ) 70 ã
àçîòà, åñëè ïðè èçîáàðíîì íàãðåâàíèè äî 350 Ê ãàç ñîâåðøèë
ðàáîòó 1,66 êÄæ. Ìîëÿðíàÿ ìàññà àçîòà 28 êã/êìîëü,
óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ 8300 Äæ êìîëü ⋅ Ê .
6. Ñêîëüêî âèòêîâ ïðîâîëîêè ñëåäóåò âïëîòíóþ íàìîòàòü
íà ôàðôîðîâóþ òðóáêó ðàäèóñîì 5 ñì, ÷òîáû èçãîòîâèòü
ðåîñòàò ñîïðîòèâëåíèåì 200 Îì? Óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå
−6
ïðîâîëîêè 5 ⋅ 10 Îì ⋅ ì , åå äèàìåòð 3 ìì.
7. Ïîä êàêèì íàïðÿæåíèåì íàõîäèòñÿ ïåðâè÷íàÿ îáìîòêà
òðàíñôîðìàòîðà, èìåþùàÿ 350 âèòêîâ, åñëè âî âòîðîé îáìîòêå 200 âèòêîâ è íàïðÿæåíèå íà íåé 120 Â?
8. Ïðåäìåò íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè 6 ñì îò äâîÿêîâûïóêëîé ëèíçû ñ îïòè÷åñêîé ñèëîé 10 äèîïòðèé. Íà êàêîì
ðàññòîÿíèè (â ñì) îò ëèíçû íàõîäèòñÿ ìíèìîå èçîáðàæåíèå
ýòîãî ïðåäìåòà?
9. Ê áðóñêó, ëåæàùåìó íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ óãëîì
íàêëîíà α (sin α = 0,6), äâàæäû ïðèëîæèëè ãîðèçîíòàëüíóþ ñèëó, ïûòàÿñü ïîäíÿòü åãî ââåðõ ïî ïëîñêîñòè. Â ïåðâîì
ñëó÷àå âåëè÷èíà ñèëû áûëà â 2 ðàçà áîëüøå, à âî âòîðîì –
â 2 ðàçà ìåíüøå äåéñòâóþùåé íà áðóñîê ñèëû òÿæåñòè. Âî
ñêîëüêî ðàç ñèëà òðåíèÿ â ïåðâîì ñëó÷àå áîëüøå, ÷åì âî
âòîðîì, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ðàâåí 0,8?
10. Âåðòèêàëüíàÿ òðóáêà ñ ïîðøíåì îïóùåíà íèæíèì
êîíöîì â ðòóòü. Âíà÷àëå ïîðøåíü íàõîäèòñÿ íà óðîâíå
ðòóòè â ñîñóäå, à çàòåì åãî ìåäëåííî ïîäíèìàþò íà âûñîòó
87,5 ñì. Ïðåíåáðåãàÿ ìàññîé ïîðøíÿ è òðåíèåì, íàéäèòå
2
ñîâåðøåííóþ ïðè ýòîì ðàáîòó. Ïëîùàäü ïîðøíÿ 10 ñì .
Âîçäóõà ïîä ïîðøíåì íåò, äàâëåíèåì ïàðîâ ðòóòè ïðåíåáðå÷ü. Ïëîòíîñòü ðòóòè 13600 êã ì 3 , àòìîñôåðíîå äàâëåíèå
750 ìì ðò. ñò.
11. Äâà îäèíàêîâûõ âîçäóøíûõ êîíäåíñàòîðà ñîåäèíåíû
ïîñëåäîâàòåëüíî è ïðèñîåäèíåíû ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî
íàïðÿæåíèÿ. Îäèí èç íèõ çàïîëíÿþò äèýëåêòðèêîì ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ 3. Âî ñêîëüêî ðàç óìåíüøèòñÿ íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â ýòîì êîíäåíñàòîðå?
12. Çàìêíóòûé ïðîâîä èçîãíóò â âèäå âîñüìåðêè è ïîìåùåí
â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì
èíäóêöèè. Ñ÷èòàÿ ïåòëè âîñüìåðêè îêðóæíîñòÿìè ðàäèóñîâ
5 ñì è 8 ñì, íàéäèòå ñèëó òîêà (â ìÀ), êîòîðûé áóäåò
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Âíèìàíèå! Åñëè åäèíèöû èçìåðåíèÿ íå óêàçàíû, âûðàçèòå
îòâåò â åäèíèöàõ ÑÈ. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ñ÷èòàé2
òå ðàâíûì 10 ì ñ .
Вариант 1
1. Ìÿ÷ áðîøåí ñ ïîâåðõíîñòè çåìëè ïîä óãëîì 30° ñ
íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ 30 ì/ñ. Ñêîëüêî ñåêóíä äëèëñÿ ïîëåò
ìÿ÷à äî åãî óäàðà î çåìëþ?
2. Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ñîñòàâëÿåò óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè Ìàðñà îò óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ íà Çåìëå, åñëè ðàäèóñ Çåìëè â äâà ðàçà áîëüøå
ðàäèóñà Ìàðñà, à ìàññà Çåìëè â 10 ðàç áîëüøå ìàññû
Ìàðñà?
3. Ïîñëå ðàçãðóçêè â ãàâàíè îñàäêà ïàðîõîäà óìåíüøèëàñü
íà 80 ñì. Ñêîëüêî òîíí ãðóçà ñíÿëè ñ ïàðîõîäà, åñëè ïëîùàäü
2
ñå÷åíèÿ ïàðîõîäà íà óðîâíå âàòåðëèíèè 3600 ì ? Ïëîòíîñòü
3
âîäû 1000 êã ì .
4. Êàêîâà ïîëíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ (â êÄæ) ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ãàçà, íàõîäÿùåãîñÿ â áàëëîíå
åìêîñòüþ 15 ë ïðè äàâëåíèè 400 êÏà?
5. Çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà ñîçäàåò â âàêóóìå â íåêîòîðîé
òî÷êå íàïðÿæåííîñòü 40 Â/ì. Êàêàÿ ñèëà (â íàíîíüþòîíàõ)
áóäåò äåéñòâîâàòü íà çàðÿä 7 íÊë, ïîìåùåííûé â ýòó òî÷êó,
åñëè âñþ ñèñòåìó ïîìåñòèòü â êåðîñèí, äèýëåêòðè÷åñêàÿ
ïðîíèöàåìîñòü êîòîðîãî ðàâíà 2,5?
6. Äâà ïðîâîäíèêà ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî è ïîäêëþ÷åíû
ê ñåòè ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ. Äëèíà ïåðâîãî ïðîâîäíèêà
â 3 ðàçà áîëüøå, à ïëîùàäü åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ â 15 ðàç
áîëüøå, ÷åì âòîðîãî.  ïðîâîäíèêàõ âûäåëÿåòñÿ îäèíàêîâàÿ
ìîùíîñòü. Âî ñêîëüêî ðàç óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ïåðâîãî
ïðîâîäíèêà áîëüøå, ÷åì âòîðîãî?
7. Ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê äëèíîé 2,5 ñì ñîâåðøàåò
ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé 0,003 ì. Îïðåäåëèòå
íàèáîëüøóþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ãðóçèêà ìàÿòíèêà (â ñì/ñ).
8. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðåäìåòîì è åãî óìåíüøåííûì â 6 ðàç
ìíèìûì èçîáðàæåíèåì ðàâíî 25 ñì. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò
ïðåäìåòà äî ëèíçû (â ñì).
9. Êàêîå óñêîðåíèå ïðèîáðåòóò ñàíêè ìàññîé 4 êã, åñëè
ïîòÿíóòü çà âåðåâêó ñ ñèëîé 28 Í, íàïðàâëåííîé ïîä óãëîì
30° ê ãîðèçîíòó? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ðàâåí 0,3. Ñ÷èòàòü
3 = 1,7 .
10. Ãðóç ìàññîé 2 êã ïîäâåøåí ê ïîòîëêó íà óïðóãîì
ðåçèíîâîì øíóðå. Íà ãðóç äâàæäû ïîäåéñòâîâàëè ïîñòîÿííîé ñèëîé, íàïðàâëåííîé âåðòèêàëüíî ââåðõ è ðàâíîé â
ïåðâîì ñëó÷àå 15 Í, à âî âòîðîì ñëó÷àå 5 Í. Âî ñêîëüêî ðàç
ìàêñèìàëüíàÿ âûñîòà ïîäúåìà ãðóçà (îòñ÷èòàííàÿ îò íà÷àëüíîé òî÷êè) â ïåðâîì ñëó÷àå áîëüøå, ÷åì âî âòîðîì?
11. Èäåàëüíûé îäíîàòîìíûé ãàç â êîëè÷åñòâå 1 ìîëü
íàõîäèòñÿ ïðè òåìïåðàòóðå 200 Ê. Îáúåì ãàçà óâåëè÷èâàþò
â 2 ðàçà òàê, ÷òî äàâëåíèå ëèíåéíî çàâèñèò îò îáúåìà è
óìåíüøàåòñÿ íà 20%, à çàòåì ãàç èçîõîðíî íàãðåâàþò äî
ïåðâîíà÷àëüíîãî äàâëåíèÿ. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû ïîëó÷èë ãàç â äâóõ ïðîöåññàõ? Óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ 8300 Äæ êìîëü ⋅ Ê .
b
g
Вариант 2
b
g
b
g
Ê Â À Í T 2002/№2
42
ïðîòåêàòü ïî ïðîâîäó ïðè óáûâàíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñî
ñêîðîñòüþ 0,2 Òë/ñ. Ñîïðîòèâëåíèå åäèíèöû äëèíû ïðîâîäà 0,5 Îì/ì.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Á.Ïèñàðåâñêèé, À.×åðíîóöàí
Санкт+Петербургский государственный
технический университет
2
x − 2 = 3.
1. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå
2
3. Íàéäèòå sin 2α , åñëè sin α = 1 3.
4. Ðåøèòå óðàâíåíèå
−1
.
2
4
2
x = log x 4 .
3. Íàéäèòå ìåíüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ
2
x − 6x + 7 = x − 1.
x x − 2 = 1.
7. Íàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ Dx ôóíêöèè
4. Âû÷èñëèòå çíà÷åíèå
2
log 5 4 ⋅ log 4 9 ⋅ log 9 25 .
6. Äëÿ ñêîëüêèõ öåëûõ çíà÷åíèé n âûðàæåíèå
ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì?
7. Âû÷èñëèòå 5 cos 3α , åñëè tg 3α 2 = 2 .
8. Ðåøèòå óðàâíåíèå
b
x
g
3n + 7
n +1
x
9⋅2 + 3 = 5⋅3 .
9. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
e
log 3 4 − 4 x
2
y= x −x .
12. Êàêîå èç ÷èñåë áîëüøå: a = arccos 1 2
= arcsin 4 5 ?
13. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
b g
b g
b2 x − 3g
èëè b =
2
x − 3x + 2 ≥ 0 .
14. Íàéäèòå íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ ctg x − tg x = 2 3 .
15. Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè
b
y = x−2
g
x − 1.
16. Íàéäèòå ôóíêöèþ, îáðàòíóþ ôóíêöèè y = x x − 1 ,
çàäàííîé íà ïðîìåæóòêå −2; 0 .
17. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé
R|x + y = 10,
S|x + y = 4.
T
2
2
18. Òðåóãîëüíèê ÀÂÑ âïèñàí â îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì
CD. Õîðäà ÀÂ ïàðàëëåëüíà CD. Íàéäèòå ÀÂ, åñëè ÀÑ = 4,
ÑÂ = 3.
19. Äëÿ äâóãðàííîãî óãëà α ïðè áîêîâîì ðåáðå ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû âåðíî ðàâåíñòâî cos α =
.
8. Ðåøèòå óðàâíåíèå
8
x
=2
x +1
.
5
9. Íàéäèòå ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = 2 x â òî÷êå x0 = 1 .
10. Íàéäèòå óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè, ñèììåòðè÷íîé ïðÿìîé ëèíèè ó = õ + 1 îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ëèíèè õ = 1.
11. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
2
j ≥ 1.
3
x−2
x−
10. Òðåòèé ÷ëåí ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ðàâåí 2. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå ïåðâûõ ïÿòè ÷ëåíîâ ýòîé ïðîãðåññèè.
11. Íàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ Dx ôóíêöèè
2
x −4
y=
Óáåäèòåñü, ÷òî ýòî ÷èñëî öåëîå.
5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 2x < x + 3 .
x
2
x − 3x + 2 = 0 .
2
x
5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x − 1 >
.
x +1
6. Ðåøèòå óðàâíåíèå
2. Ðåøèòå óðàâíåíèå
log
2
2. Íàéäèòå áîëüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ
(физико+технический факультет)
a − 2a
Вариант 2
a ⋅ a + 2a + 1 − a ïðè a > 0.
Вариант 1
−a
g
1. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
−2
b
(физико+механический факультет)
МАТЕМАТИКА
2a
= 1/5. Íàéäèòå êîñèíóñ ïëîñêîãî óãëà ïðè âåðøèíå ïèðàìèäû.
20. Äëÿ ñêîëüêèõ öåëûõ çíà÷åíèé n ñóììà êâàäðàòîâ
2
êîðíåé óðàâíåíèÿ nx − n + 2 x + 2 = 0 ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì?
x
< 1.
12. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé
|RSx + 2y = 5,
|Tlog x + log
2
2
y = 1.
13. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, îãðàíè÷åííîãî ëèíèÿìè ó = 2|x| è ó = 3 – õ.
14. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò äâóçíà÷íûõ ÷åòíûõ ÷èñåë, êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà 3 äàþò â îñòàòêå 2?
15. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
log 2 x −1 x ≥ log 2 x −1 2 .
x
16. Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = 9 − 4 ⋅ 3
íà ïðîìåæóòêå 0; 2 .
17. Ðåøèòå óðàâíåíèå
cos x =
x
cos 2 x .
18. Îïðåäåëèòå ïåðèìåòð ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà,
îñíîâàíèå êîòîðîãî ðàâíî 5, à ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè
ðàâåí 1.
19. Íàéäèòå îáúåì êîíóñà, åñëè ïëîùàäü åãî ïîëíîé
ïîâåðõíîñòè ðàâíà 8π , à ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ðàâíà π .
20. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = x − a x + 2 íà ïðîìåæóòêå 1; 4 îòðèöàòåëüíî?
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè
È.Êîìàð÷åâ, Å.Ïîäñûïàíèí, Ñ.Ïðåîáðàæåíñêèé
43
ÂÀÐÈÀÍÒÛ
Новосибирский государственный университет
ФИЗИКА
Письменный экзамен
Физический факультет
Êàæäûé âàðèàíò ñîñòîÿë èç çàäà÷ òðåõ òèïîâ.
Ïåðâûå òðè çàäà÷è – ðàñ÷åòíûå, ðàçëè÷íîé òðóäíîñòè: îò
ïî÷òè ñòàíäàðòíûõ äî ñðàâíèòåëüíî ñëîæíûõ, òðåáóþùèõ
ñìåêàëêè, ãëóáîêèõ çíàíèé, óìåíèÿ ðàçîáðàòüñÿ â íåïðèâû÷íîé èëè óñëîæíåííîé ñèòóàöèè.
×åòâåðòàÿ çàäà÷à – ýòà çàäà÷à-îöåíêà. Äëÿ åå ðåøåíèÿ íàäî
ïîíÿòü ðàññìàòðèâàåìîå ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå, ñôîðìóëèðîâàòü ïðîñòóþ (òàê êàê íóæíà òîëüêî îöåíêà) ôèçè÷åñêóþ
ìîäåëü ýòîãî ÿâëåíèÿ, âûáðàòü ðàçóìíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ
ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí è, íàêîíåö, ïîëó÷èòü ÷èñëåííûé ðåçóëüòàò, áîëåå èëè ìåíåå ñîîòâåòñòâóþùèé ðåàëüíîñòè. Â
òåêñòå çàäà÷è ïîä÷åðêèâàëîñü, ÷òî àáèòóðèåíò ìîæåò ñàì
âûáðàòü íåîáõîäèìûå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âåëè÷èíû è èõ
÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ.
Ïÿòàÿ çàäà÷à – ýòî çàäà÷à-äåìîíñòðàöèÿ, â êîòîðîé íàäî
îáúÿñíèòü ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå, äåìîíñòðèðóåìîå â àóäèòîðèè. Çäåñü íàäî ïîíÿòü ñóùíîñòü ÿâëåíèÿ è ñðåäè ðàçëè÷íûõ
ôàêòîðîâ âûäåëèòü ãëàâíûé.
Вариант 1
1.Äâà îäèíàêîâûõ øàðà ïëîòíîñòüþ ρ ñîåäèíåíû íåâåñîìîé íèòüþ, ïåðåáðîøåííîé ÷åðåç çàêðåïëåííûé áëîê. Îäèí
èç øàðîâ, ïîãðóæåííûé â âÿçêóþ æèäêîñòü ïëîòíîñòüþ ρ 0 ,
ïîäíèìàåòñÿ ñ óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòüþ v. Îïðåäåëèòå
îòíîøåíèå ρ ρ 0 , åñëè óñòàíîâèâøàÿñÿ ñêîðîñòü ñâîáîäíî
ïàäàþùåãî â æèäêîñòè øàðà òàêæå ðàâíà v. Óñêîðåíèå
ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g.
2. Äâà ïîðøíÿ ðàçíîé ôîðìû, íî îäèíàêîâîãî ñå÷åíèÿ S
ñ ìàññàìè m è M ðàñïîëîæåíû âïëîòíóþ äðóã ê äðóãó â
äëèííîé òðóáå ñå÷åíèåì
S, íàïîëíåííîé ãàçîì ñ
äàâëåíèåì ð, êàê ïîêàçàv
íî íà ðèñóíêå 1. Ïðàâîìó
m
M
ïîðøíþ ñîîáùàþò ñêîðîñòü v. Íàéäèòå ìàêñèp
p
ìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïîðøíÿìè. Ïîðøíè
Рис. 1
äâèæóòñÿ â òðóáå áåç òðåíèÿ, ãàç â îáëàñòü ìåæäó ïîðøíÿìè íå ïðîíèêàåò, èçìåíåíèåì äàâëåíèÿ ãàçà ïðåíåáðå÷ü.
3. Îïðåäåëèòå çàðÿäû íà êîíäåíñàòîðàõ â öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 2. Âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì áàòàðååê
ïðåíåáðå÷ü. Äî âêëþ÷åíèÿ â öåïü çàðÿäû íà ïëàñòèíàõ
êîíäåíñàòîðîâ áûëè ðàâíû
íóëþ.
C
4. Îöåíèòå âðåìÿ ïðîR
õîæäåíèÿ ñèãíàëà ïðè ðàçãîâîðå ïî ñïóòíèêîâîìó
òåëåôîíó, èñïîëüçóþùåìó
r
U
U
ñïóòíèê, íàõîäÿùèéñÿ íà
C
ãåîñòàöèîíàðíîé îðáèòå
(ò.å. ïîñòîÿííî «âèñÿùèé»
íàä îäíîé è òîé æå òî÷êîé
Рис. 2
çåìíîé ïîâåðõíîñòè).
5. Ïó÷îê ñâåòà îò ëàçåðà ïàäàåò íà áîêîâóþ ãðàíü ñòåêëÿííîé ðàâíîáåäðåííîé ïðÿìîóãîëüíîé ïðèçìû è âûõîäèò èç
íåå ïîä óãëîì 90°, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 3 ñëåâà. Åñëè ê
íàêëîííîé ãðàíè ïðèëîæèòü ñóõóþ áóìàãó, òî íè÷åãî íå
èçìåíèòñÿ. Îäíàêî åñëè ïðèëîæèòü ìîêðóþ ÷åðíóþ áóìàãó,
Рис. 3
èíòåíñèâíîñòü âûõîäÿùåãî èç ïðèçìû ñâåòà ðåçêî óìåíüøèòñÿ. Îáúÿñíèòå äåìîíñòðèðóåìîå ÿâëåíèå.
Вариант 2
1.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ïåðâûé èç äâóõ îäèíàêîâûõ óïðóãèõ øàðîâ îòïóñêàþò ñ íóëåâîé ñêîðîñòüþ ñ âûñîòû
h, à âòîðîé, íàõîäÿùèéñÿ ïîä ïåðâûì, âûñòðåëèâàþò ñ
ïîâåðõíîñòè çåìëè ñî ñêîðîñòüþ v âåðòèêàëüíî ââåðõ. ×åðåç
êàêîå âðåìÿ ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ âòîðîé øàð óïàäåò íà
çåìëþ? Óñêîðåíèå ñâîM
áîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî
g.
v
2. Ïîðøåíü ìàññîé m
p
m
S
ðàñïîëîæåí âïëîòíóþ ê
äíó îòêðûòîé ïðîáèðêè
ìàññîé Ì è ñå÷åíèåì S
p
(ðèñ.4). Êàêóþ ìèíèl
ìàëüíóþ íà÷àëüíóþ ñêî- Рис. 4
ðîñòü v íàäî ñîîáùèòü
ïðîáèðêå, ÷òîáû ïîðøåíü èç íåå âûëåòåë? Äëèíà ïðîáèðêè
l, àòìîñôåðíîå äàâëåíèå ð. Ïîðøåíü â ïðîáèðêå äâèæåòñÿ
áåç òðåíèÿ, âîçäóõ â îáëàñòü ìåæäó ïîðøíåì è
äíîì ïðîáèðêè íå ïðîíèC
êàåò.
R
R
3. Îïðåäåëèòå çàðÿäû íà
êîíäåíñàòîðàõ â öåïè, èçîáC
ðàæåííîé íà ðèñóíêå 5.
U
Âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèC
U
åì áàòàðååê ïðåíåáðå÷ü. Äî
âêëþ÷åíèÿ â öåïü çàðÿäû
íà ïëàñòèíàõ êîíäåíñàòî- Рис. 5
ðîâ áûëè ðàâíû íóëþ.
4. Îöåíèòå ìàêñèìàëüíóþ øèðîòó ìåñòíîñòè, ãäå åùå
ìîæíî ðàçãîâàðèâàòü ïî ñïóòíèêîâîìó òåëåôîíó, èñïîëüçóþùåìó ñïóòíèê, íàõîäÿùèéñÿ íà ãåîñòàöèîíàðíîé îðáèòå
(ò.å. ïîñòîÿííî «âèñÿùèé» íàä îäíîé è òîé æå òî÷êîé çåìíîé
ïîâåðõíîñòè).
5. Ñì. çàäà÷ó 5 âàðèàíòà 1.
Факультет естественных наук
Àáèòóðèåíòàì ïðåäîñòàâëÿëîñü ïðàâî âûáîðà ìåæäó ýêçàìåíîì ïî ôèçèêå è ýêçàìåíîì ïî õèìèè.
Вариант 3
1. Äâå áóñèíêè íàõîäÿòñÿ íà ñîãíóòîé ïîä óãëîì α ñïèöå
íà ðàññòîÿíèÿõ l1 è l2 îò òî÷êè èçãèáà. Èõ îäíîâðåìåííî
îòïóñêàþò ñ íóëåâîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ. ×åðåç êàêîå
âðåìÿ îäíà áóñèíêà äîãîíèò äðóãóþ íà ãîðèçîíòàëüíîì
ó÷àñòêå ïóòè? Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî
ïàäåíèÿ ðàâíî g.
2. Öèëèíäðè÷åñêèé ñòàêàí âûñîòîé Í, îïóùåííûé ââåðõ
äíîì â æèäêîñòü ïëîòíîñòüþ ρ , ïëàâàåò ïîãðóæåííûì äî
ãëóáèíû h1 . Ñòàêàí, ïëàâàþùèé âíèç äíîì, ïîãðóæåí äî
Ê Â À Í T 2002/№2
44
ãëóáèíû h2 . Íàéäèòå âåëè÷èíó àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ
p0 ïðè ýòîì. Óñêîðåíèå ñâîR
áîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g.
~U
3. Ñõåìà, ñîñòîÿùàÿ èç
äèîäîâ è ðåçèñòîðîâ, èçîáðàD
æåííàÿ íà ðèñóíêå 6, ïîär
êëþ÷åíà ê èñòî÷íèêó ïåðåìåííîãî òîêà. Îïðåäåëèòå,
Рис. 6
êàêàÿ ÷àñòü ïîëíîé òåïëîâîé
ìîùíîñòè ïðèõîäèòñÿ íà ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R. Ñîïðîòèâëåíèåì äèîäîâ â ïðÿìîì íàïðàâëåíèè ïðåíåáðå÷ü.
4. Òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îïòè÷åñêîé îñè
ëèíçû è ðàñïîëîæåííîé íà ðàññòîÿíèè l îò ëèíçû. Íàéäèòå
ñêîðîñòü äâèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ v1 , åñëè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû ðàâíî F.
D
r
Геолого+геофизический факультет
Àáèòóðèåíòàì ïðåäîñòàâëÿëîñü ïðàâî âûáîðà ìåæäó ýêçàìåíîì ïî ôèçèêå è ýêçàìåíîì ïî õèìèè.
Вариант 4
1. Îöåíèòå ìàññó àòìîñôåðû Âåíåðû. Ìàññó è ðàäèóñ
Âåíåðû ñ÷èòàòü ðàâíûìè çåìíûì. Ðàäèóñ Çåìëè R = 6400 êì,
óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 , äàâëåíèå ó ïî7
âåðõíîñòè ïëàíåòû p = 10 Ïà.
2. Íàéäèòå òåïëîâóþ ìîùíîñòü, âûäåëÿþùóþñÿ â ñõåìå,
èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 7. Ñõåìà ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ
îäèíàêîâûõ ðåçèñòîðîâ ñîïðîòèâëåíèåì r, îäíîãî ðåçèñòîðà
ñîïðîòèâëåíèåì R è áàòàðåéêè ñ ÝÄÑ U. Âíóòðåííèì
ñîïðîòèâëåíèåì áàòàðåéêè ïðåíåáðå÷ü.
3. Îïòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç äâóõ ñîîñíûõ ëèíç, îäíà
èç êîòîðûõ ðàññåèâàþùàÿ ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì −F1 , à
äðóãàÿ ñîáèðàþùàÿ ñ ôîêóñíûì ðàññòîÿíèåì +F2 (ðèñ.8).
Ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà, ïàU
r
r
r
D
d
r
R
Рис. 8
Рис. 7
äàþùèé âäîëü îïòè÷åñêîé îñè íà ðàññåèâàþùóþ ëèíçó,
îñòàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì è ïîñëå âûõîäà èç ñîáèðàþùåé
ëèíçû. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó ëèíçàìè l è îòíîøåíèå
äèàìåòðîâ ïó÷êîâ ñâåòà d/D íà âõîäå è âûõîäå èç ñèñòåìû.
4. Íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè íàõîäèòñÿ áðóñîê ìàññîé
m. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è
→
ïëîñêîñòüþ µ . Ê áðóñêó ïðèêëàäûâàþò ñèëó F , íàïðàâëåííóþ ïîä óãëîì α ê ãîðèçîíòó. Èçîáðàçèòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñèëû òðåíèÿ îò âåëè÷èíû ñèëû F. Ðàññìîòðèòå ñëó÷àè
α > 0 è α < 0.
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ã.Ìåëåäèí, À.Ìèëüøòåéí
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
XLII Международная
математическая олимпиада
XLII Международная математическая олимпиада (ММО)
прошла с 1 по 14 июля 2001 года в Вашингтоне и была
приуроченакпразднованию225летиянезависимостиСША.
НацеремонииоткрытияММОсвидеоприветствиемкучастни
камолимпиадыобратилсяПрезидентСШАДж.Буш,а4июля
все гости ММО могли любоваться фейерверком в честь Дня
Независимости во время вечернего круиза на теплоходах по
рекеПотомак.
Олимпиада,вкоторойпринялиучастие473школьникаиз85
странмира,принеслакомандеРоссиикакприятныедостиже
ния(второйразподряднашимшкольникамудалосьзавоевать
наММО5(!)золотыхмедалей),такиобиднуюнеудачу(лидеру
нашейкомандыА.Халявинунехватилолишьдвухочковдля
завоеваниязолота).
ВсоставкомандыРоссиинаММОвошлиставшиезолотыми
медалистамиодиннадцатиклассникиАндрейВоробьев(Санкт
Петербург,ФМЛ239),МихаилГарбер(Ярославль,школа33),
Алексей Глазырин (Челябинск, лицей 11), Сергей Соколов
(Рыбинск,школа30),СергейСпиридонов(Ижевск,школа41),
атакжезавоевавшийвовторойразсеребрянуюмедальММО
десятиклассникАндрейХалявин(Киров,ФМШ35).Запасным
членомкомандыбылАрсенийАкопян(Москва,лицей«Вторая
школа»).
Приведемрезультатынашихучастников:
С.Спиридонов
А.Воробьев
С.Соколов
М.Гарбер
А.Глазырин
А.Халявин
1
6
7
7
7
7
7
2
7
4
0
7
3
7
3
7
1
5
4
7
1
4
7
7
7
7
7
7
5
7
7
7
7
7
4
6
5
7
7
0
0
2
Σ
39
33
33
32
31
28
XLIIММОподтвердилатенденциювыходанаведущиепози
циидинамичноразвивающихсяазиатскихстран,атакжестран,
возникших после распада СССР. В неофициальном команд
ном зачете лучшие команды расположились в следующем
порядке:
Очки
Золото Серебро Бронза
1.
Китай
225
6
0
0
2–3. Россия
196
5
1
0
2–3. США
196
4
2
0
4–5. Болгария
185
3
3
0
4–5. Ю.Корея
185
3
3
0
6.
Казахстан 168
4
1
0
7.
Индия
148
2
2
2